Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc bool

Nhóm 4:
Lê Bá Nhựt

-10520397

Lê Thị Hường

-10520528

Lê Thị Ánh Tuyết -10520641
Nguyễn Đức Duy - 10520502

ĐẠI SỐ BOOL

Lớp MAT04

Giảng viên: TS. Cao Thanh Tình
1

Đại số Bool


2

Nội Dung Chính



Hàm Bool



Các dạng biểu diễn hàm Bool



Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool



Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool



Hàm Bool của mạch điện



Bài tập

Đại số Bool

HÀM BOOL


3

Nội Dung Chính (tt)
I.

II.

Đại số Bool

Hàm Bool

1.

Đại số Bool nhị phân

2.

Hàm Bool

3.

Đại số Bool của các hàm Bool

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

1.

Từ đơn

2.

Đơn thức

3.

Đơn thức tối tiểu trong Fn

4.

Đa thức trong Fn

5.

Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool

6.

Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool

7.

Mệnh đề

8.

So sánh các dạng đa thức của hàm Bool

9.

Công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool


4

Nội Dung Chính (tt)
III.

IV.

V.

VI.
Đại số Bool

Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool

1.

Bảng mã

2.

Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool

3.

Nhận xét

4.

Tính chất

5.

Biểu đồ của 1 đơn thức

6.

Biểu đồ của đa thức

7.

Tế bào và tế bào lớn

Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool

1.

Họ phủ và họ phủ tối tiểu

2.

Thuật toán

Đại Số Các Mạch Điện

Bài Tập

1.

Hàm Bool của mạch điện

2.

Các loại cổng cớ bản

3.

Thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool

4.

Tối ưu hóa việc thiết kế mạng các cổng tổng hợp hàm Bool


HÀM BOOL

5

Đại số Bool


6

I.

Hàm Bool

George Boole
(1815-1864)

Đại số Bool


7

I.

Hàm Bool
1.

Đại số Bool nhị phân:
Đại số bool của các số nhị phân cũng thỏa các trường hợp (luật) như trong mệnh đề.
Luât phủ định kép

¬ ¬E <=> E

Luật lũy đẳng

E ˄ E <=> E
E ˅ E <=> E

Luật giao hoán

F˄ E <=> E ˄ F
F ˅ E <=> E ˅ F

Luật kết hợp

(E ˄ F) ˄ G <=> E ˄ (F ˄ G)
(E ˅ F) ˅ G <=> E ˅ (F ˅ G)

Luật phân phối

E ˄ (G ˅ F) <=> (E ˄ G) ˅ (E ˄ F)
E ˅ (G ˄ F) <=> (E ˅ G) (E ˅ F)

Luật phủ định De-Morgan

¬ (E ˄ F) <=> ¬E ˅ ¬F
¬ (E ˅ F) <=> (¬E) ˄ (¬F)

Luật hấp thụ

E ˄ (E ˅ F) <=> E ; E ˅ (E ˅ F) <=> E

Luật trung hòa

E ˄ 1 <=> E
E ˅ 0 <=> E

Luật thống trị

E ˄ 0 <=> 0
E ˅ 1 <=> 1

Luật bù

E ˄ ¬E <=> 0
E ˅¬E <=> 1

Đại số Bool

Luật kéo theo

E → F <=> ¬E ˅ F

Phủ định kéo theo

¬( E → F) <=> E ˄ ¬F


8

I.
2.

Hàm Bool
Hàm Bool:

a.

n∈ N
n ≥1
Hàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn → B, trong đó B = {0, 1}
Định nghĩa Cho

và

.

Một hàm Bool n biến là một hàm số có dạng f = f(x1 ,x2,…,xn), trong đó
{0, 1}

mỗi biến trong x1, x2,…, xn và f chỉ nhận giá trị trong B =

Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến.
Ví dụ: Biểu thức logic E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn là một

Đại số Bool

hàm Bool n biến.


9

I.

Hàm Bool
2.

Hàm Bool:

b.

Bảng chân trị
Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn)

.Vì mỗi biến xi chỉ

nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trường hợp của bộ biến (x1,x2,…,xn).

.Do đó, để mô tả f ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tất cả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của
biến. Ta gọi đây là bảng chân trị của f.

Đại số Bool

I.

Hàm Bool
2.

10

Hàm Bool:

b.

Bảng chân trị
Ví dụ: cho mạch điện như hình vẽ

A
Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòng điện đi qua MN.

M

N

Bảng giá trị

B

Đại số Bool

C

11

I.

Hàm Bool
3.

Các phép toán trên hàm Bool:

Với

f ,g∈F

ta định nghĩa tổng,n tích, bù hàm Bool của f và g như sau







Đại số Bool

f ∨ g = ( f + g)
f ∧ g = fg = f .g

f = 1− f

12

I.

Hàm Bool
3.

Các phép toán trên hàm Bool:
Ví dụ: n = 2

Đại số Bool

X1

1

1

0

0

X2

1

0

1

0

0(x1, x2)

0

0

0

0

1(x1, x2)

1

1

1

1

f(x1, x2)

0

1

0

1

g(x1, x2)

1

1

0

0

¬ f(x1, x2)

1

0

1

0

¬ g(x1, x2)

0

0

1

1

f g(x1, x2)

0

1

0

0

f V g(x1, x2)

1

1

0

1


Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

13

Đại số Bool

14

II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
1.

Từ đơn:
Xét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1 ,x2,…,xn.
Mỗi hàm bool xi hay ¬ xi được gọi là từ đơn.
Ví dụ: x1, x2, x3,…

2.

Đơn thức:
Là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.
Hay có thể hiểu là: Tích Bool của 1 hay nhiều từ đơn sao cho tích này khác 0.
Ví dụ: Trong F4 xét x3, x1x2, x1x2x3x4 (bậc của đơn thức là số thành phần x)
Trong Fn các đơn thức có bậc từ 1 đến n
x, ¬x, y, ¬y, z, ¬z, t, ¬t là các từ đơn
x¬yz ¬t, ¬x ¬yt là các đơn thức

Đại số Bool


15

II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
3.

Đơn thức tối tiểu trong Fn:
Là đơn thức có bậc cao nhất bằng n trong Fn.
Dạng tổng quát m = y1y2...yn, yi = xi hoặc ¬xi 1 ≤ i ≤n
Ví dụ: Trong F4 xét các đơn thức tối tiểu bậc 4
x1x2x3x4, x1¬x2x3x4, x1x2x3x4, ¬x1¬x2¬x3¬x4

4.

Đa thức trong Fn:
Là tổng Bool các đơn thức f = u1 V u2 V u3 V…V uk, trong đó ui là các đơn thức.
Ví dụ: Trong F5 xét đa thức
f(x1,x2,x3,x4) = x1¬x5 V ¬x2x3¬x4 V ¬x3 V ¬x1x3x4x5
=> Tổng Bool 4 đơn thức f(1,0,1,1,0)=1¬0V¬01¬1V¬1V¬1110 = 1

Đại số Bool


16

II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
5.

Dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Cho f thuộc Fn , f có thể viết dưới dạng sau
f = m1 V m2 V m3 V …V mk, (*)

với mi là các đơn thức tối tiểu bậc = n (i = 1…n )
(*) được gọi là dạng nối rời chính tắc của f
Ví dụ: Trong F4 có dạng biểu diễn sau đây
f(x,y,z,t) = x¬y¬zt V ¬xyzt V xy¬z¬t có dạng (*)

Đại số Bool


17

II.
6.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool



Cách 1: Bổ sung từ đơn còn thiếu vào các đơn thức




Bước 1: Khai triển hàm Bool thành tổng của các đơn thức



Bước 3: Tiếp tục khai triển hàm thu được ở bước 2 và loại bỏ những đơn thức bị trùng. Công thức đa thức thu được chính

là dạng nối rời chính tắc của hàm Bool ban đầu

Bước 2: Với mỗi từ đơn thu được ở bước 1, ta nhân đơn thức đó với các tổng dạng với xi là những từ đơn bị thiếu trong
đơn thức đó

Ví dụ: Trong F3 tìm dạng nối dời chính tắc f(x,y,z)= ¬x V ¬yz V xy¬z
f = ¬x(y V ¬y).(z V ¬z) V (¬x V x)¬yz V xy¬z
f = ¬xyz V ¬xy¬z V ¬x¬yz V ¬x¬y¬z V ¬x¬yz V x¬yzVxy¬z (*)
(*) Chính là dạng nối rời chính tắc

Đại số Bool


18

II.
6.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
Cách tìm dạng nối rời chính tắc của hàm Bool:
Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc của một hàm Bool



Cách 2: dùng bảng chân trị. Để ý đến các vector bool trong bảng chân trị mà f=1, tại đó Vector bool thứ k là u1, u2,…, un mà
f(u1, u2,…, un) = 1.

Ví dụ: cho f(x,y) = x V ¬y. Tìm biểu thức dạng nối rời chính tắc của f
Lập bảng chân trị của f

Các thể hiện làm cho f = 1 là 00, 10, 11 lập được các từ tối tiểu tương ứng.

Vậy dạng nối rời chính tắc của f là f(x,y) = ¬x ¬y V x ¬y V xy

Đại số Bool


19

II.
7.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool

Mệnh đề:

f ∈ Fn Khi đó,



f có thể có nhiều dạng đa thức khác nhau , ta chọn ra các công thức đơn giản nhất có thể được. Chúng chính là các công
thức đa thức tối tiểu của f.



Đại số Bool

f chỉ có một dạng nối dời chính thức duy nhất (không tính sự hoán đổi của các đơn thức).

20

II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
8.

So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
f ∈ Fn và f có 2 dạng đa thức
f = u1 V u2 V… V up (1)
f = v1 V v2 V… V vq (2)

a.

Ta nói (1) và (2) đơn giản ngang nhau nếu
p=q

deg(uj) = deg(vj) (1 ≤ j ≤ p)

b.

Ta nói (1) đơn giản hơn (2) hay (2) phức tạp hơn (1)
p≤q

deg(uj) ≤ deg(uj) (1 ≤ j ≤ p)

chú ý:

Đại số Bool



Có thể hoán vị v1, v2, …,vq trước khi so sánh bậc nếu cần thiết



Có thể có những cặp đa thức không so sánh được


21

II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
8.

So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
Ví dụ:

a.

f ∈ F4 có 3 dạng đa thức
f(x,y,z,t) = x ¬y ¬t V ¬xyz V x ¬z ¬ t V xyz (1)
= x ¬y ¬t V ¬xyz V xy ¬z V yzt (2)
= x ¬y ¬t V ¬xyzt V ¬xyz ¬t V xy ¬z V yzt (3)
(1) và (2) đơn giản ngang nhau
vì

p=q=4

deg(uj) = deg(vj) = 3

(2) đơn giản hơn (3) hay (3) phức tạp hơn (2)
vì

q=4
deg(vj) ≤ deg(qj)

Đại số Bool


22

II.

Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool
8.

So sánh các dạng đa thức của hàm Bool:
Ví dụ:

b.

g ∈ F4 có 2 dạng đa thức
g(x,y,z,t) = x ¬yz V z ¬t V ¬xyz V ¬xy ¬zt (4)
= z ¬t V x ¬yzt V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5)
ta thấy:

p=q=4

d(u1) > d(v1); d(u2) < d(v2)

nên cần phải hoán vị
(5)  x ¬yzt V z ¬t V ¬xyzt V ¬xy ¬zt (5`) (q` = 4)
(4) đơn giản hơn 5`

vì

p = q` = 4

deg(uj) ≤ deg(wj)

Đại số Bool


BIỂU ĐỒ KARNAUGH

23

Đại số Bool


24

III. Biểu Đồ Karnaugh
1. Công thức đa thức tối tiểu:
Với f ∈ Fn khi đó:



f có thể có 1 hay nhiều dạng đa thức khác nhau. Ta chọn ra các dạng đa thức đơn giản nhất
có thể được, đó chính là các công thức đa thức tối tiểu của hàm bool f.

 Ta có thể tìm các đa thức tối tiểu của hàm bool bằng phương pháp biểu đồ karnaugh(Hàm
bool không quá 4 biến).

Đại số Bool


25

III. Biểu Đồ Karnaugh
2. Bảng mã: B = {0;1}



2
Bảng mã cho B ( 2 biến bool x và y)

x

x



z
z

y

11

01

y

10

00

3
Bảng mã cho B (3 biến bool x, y, z)

x

x

x

x

101

111

011

001

100

110

010

000

y

y

Đại số Bool

y

y