Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc

Chương I : Cơ sở logic

1.

Gọi P,Q,R là các mệnh đề:
P:=”Bình đang học Toán”
Q:=”Bình đang học Tin học”
R=:”Bình đang học Anh văn”
Hãy viết lại các mệnh đề dưới đây dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép toán
a)
b)
c)
d)
e)

2.
a)
b)
c)
d)
e)

Phủ định các mệnh đề sau:
Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thì tôi sẽ không ra ngoài
15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4
Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải là hình thoi
Nếu An không đi làm ngày mai thì sẽ bị đuổi việc
Mọi tam giác đều có các góc bằng 60 độ
Cho p:”trời lạnh”, q:”trời mưa”. Hãy nêu

3.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
4.

Bình đang học Toán và Anh văn nhưng không học Tin học
Bình đang học Toán và Tin học nhưng không học cùng một lúc Tin học và Anh văn
Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán
Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán
Bình không học Tin học lẫn Anh văn nhưng đang học Toán

”trời không mưa”
” trời lạnh và mưa”
”trời lạnh hoặc trời mưa”
”trời mưa hoặc trời không lạnh”
”trời không lạnh và trời không mưa”=”Trời không lạnh cũng không mưa”
” không đúng khi cho rằng trời không mưa”=”thật là sai khi cho rằng trời không mưa

Cho p, q và r là các mệnh đề:
p: Bạn nhận được điểm giỏi trong kỳ thi cuối khoá.
q: Bạn làm hết các bài tập trong giáo trình.
r : Bạn đạt giỏi ở lớp.

Hãy dùng các kí hiệu p, q, r và các ký hiệu phép toán logic để viết các mệnh đề sau:
1

5.

a)

Bạn đạt giỏi ở lớp nhưng không làm hết các bài tập trong giáo trình.

b)

Bạn nhận được điểm giỏi trong kỳ thi cuối khoá, bạn làm hết các bài tập trong giáo trình
và bạn đạt loại giỏi ở lớp.

c)

Để được công nhận loại giỏi ở lớp bạn cần phải được điểm giỏi ở kỳ thi cuối khoá.

d)

Bạn đạt loại giỏi ở lớp nếu và chỉ nếu bạn làm hết các bài tập trong giáo trình hoặc nhận
được điểm giỏi trong kỳ thi cuối khoá.

Ba sinh viên A, B, C bị nghi là đã gian lận trong khi làm bài thi. Khi bị thầy hỏi thì họ khai
như sau:
A: “B đã chép bài và C vô tội” :
B: “Nếu A có tội thì C cũng có tội”
C: “Tôi vô tội”

Đặt mệnh đề:
P:”B chép bài”, Q:”C vô tội “, R:”A có tội”
A: P∧Q
B:R→¬Q

C:Q
Hãy trả lời các câu hỏi sau:
1.

Nếu A đã nói thật và B nói láo thì ai vô tội và ai đã chép bài

2.

Nếu mọi người vô tội thì ai nói thật ai nói láo

3.

Nếu A nói láo, B và C nói thật thì ai có tội

Gọi P,Q,R là các mệnh đề sau:
P: ABC là tam giác cân
Q: ABC là tam giác đều
R: Tam giác ABC có ba góc bằng nhau
Hãy viết các mệnh đề sau theo ngôn ngữ thông thường
a) Q → P
b)
P→Q

6.

2


P˄ Q
R→P

c)
d)

Chứng minh
[()(r˄s)]

7.

r
Hãy kiểm tra các suy luận sau:

8.

p→q
p → (q → r)
p → (r ˄ q) ˅ r

p˄q
→q

p˅q

p
p

→
r → (s ˅ t) (q ˄ r) → s
t→r

9.
a) Cho
b)

p,q,r là các biến mệnh đề. Chứng minh

Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

10.
a) Cho
b)

p,q,r là các biến mệnh đề. Chứng minh

Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

11.
a)

Chứng minh

b)

là hằng đúng
Phủ định và tìm chân trị của mệnh đê

12.
a)

Chứng minh

b)

là hằng đúng.
Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

13.
a)
b)

Cho p,q,r là các biến mệnh đề, đặt
hay hằng sai? Tại sao?
Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

. Hỏi E là hằng đúng

14.
3


a)
b)

15.
16.

Cho p,q,r là các biến mệnh đề. Chứng minh

Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

Không lập bảng chân trị chứng minh các hàm sau là hằng đúng: (P ∧ Q) → Q
Chứng minh rằng ¬ (q → p )∨(p ∧q ) q
a) cho p,q,r là các biến mệnh đề, đặt
c)

. Hỏi E là hằng đứng hay hằng sai? Tại sao?
Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

17.
a)

Cho dạng mệnh đề
. Tìm chân trị của q và r biết rằng E đúng, p sai.

b)

Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề

18.
a)

Cho p,q,r là các biến mệnh đề. Chứng minh

b)

Phủ định và tìm chân trị
.

19.

Cho p và q là 2 mệnh đề:
p: Tôi đã bắt đầu học môn Toán rời rạc.
q: Tôi đã bắt đầu học môn Toán rời rạc vào hôm thứ 2.

Hãy diễn tả các mệnh đề sau đây bằng các câu thông thường.

20.

Lập bảng giá trị chân lý của các mệnh đề phức hợp sau

21.

Kiểm tra xem các biểu thức sau có phải là hằng luôn đúng hay không:

4


22.

23.

Chứng minh các cặp biểu thức sau tương đương logic:

Lập bảng chân trị cảu những dạng mệnh đề sau:
E(p,q,r)=p˄(q˅ r)↔
F(q,p)= (p˄q)˄p

q

24.

Cho p,q,r là các biến mệnh đề. Chứng minh rằng:

(

p→r)˄(q→r)(p)

25.

Lập bảng chân trị của các mệnh đề phức hợp sau:
1.

(p∨q)∧¬(p∧q)

2.

(x∧y→z)∨(x∨ )

3.

(p ∧ q) ∨ ( ∨ q)

4.
5.
26.
27.

Chứng minh 1+3+...+(2n-1)= với mọi số nguyên dương n.

a. Nếu biết mệnh đề P→Q là sai, hãy cho biết chân trị của các mệnh đề sau:

P∧Q ¬P ∨ Q Q→P
b. Cho các biểu thức mệnh đề sau:
1. (( P∧Q)∧R) → (S∨M)
2. ( P∧(Q∧R)) → (S⊕M)
Xác định chân trị của các biến mệnh đề P, Q, R, S, M nếu các biểu thức mệnh
đề trên là sai.
28.
29.

Chứng minh rằng (p˄( q˄q)) là tương đương logic với
Hãy kiểm tra suy luận sau
t
5

p˄

q


r
(

)→r
()

p
Cho Q(x,y,z) là hàm mệnh đề xác định câu =+ hãy xác định giá trị chân lý của các mệnh đề
Q(3,2,1), Q(5,4,3)
31. Cho hàm mệnh đê P(x)=+X+41 là nguyên tố. Xác định giá trị chân lý của mệnh đề P(x) với
x thuộc không gia bao gồm các số tự nhiên[0...39].

32. Cho P(x) là hàm mệnh “x+1>x”. Xác định giá trị chân lý của mệnh đề x P(x), trong không
gian các số thực.
33. Cho P(x) là hàm mệnh đề “x>3”. Hãy tìm giá trị chân lý của mệnh đề x P(x) trong không
gian các số thực.
34. Cho Q(x) là “x+1>x”. Hãy tìm giá trị chân lý của mệnh đề x Q(x) trong không gian số các
số thực.
35. Dịch câu “Bạn không được lái xe máy nếu bạn cao dưới 1.5 mét trừ phi bạn trên 18 tuổi”
thành biểu thức logic.
36. Dịch câu “Tất cả các sinh viên học tin học đều học môn toán học rời rạc”
37. Dịch câu “Có một sinh viên ở lớp này ít nhất đã ở tất cả các phòng của ít nhất một nhà trong
ký túc xá”.
38. Các mệnh đề sau đúng hay sai
30.

“x
“x
“x
“x
39.
40.
41.

R,
R,
R,
R,

+ 3x + 1”
+ 3x + 1”
+1”

+1”

Mệnh đề “x R, “y R, x+ 2y ” đúng hay sai?
Mệnh đề “x R, “y R, x+ 2y ” đúng hay sai?
Kiểm tra tính đúng của suy luận sau:

x R()

42.
a)
b)

Có bao nhiêu cặp tập hợp con A,B của một tập hợp 8 phần tử sao cho A B=.
Có bao nhiêu cặp tập hợp con A,B của một tập hợp 8 phần tử sao cho:
.
6


43.

44.
45.

Tìm f ,g
= + 1, g(x)=
, g(x)=2x+1
Chứng minh 1+3+....(2n-1)= với mọi số nguyên dương n.
Chứng minh 1+2+3+...+(n-1)+n= n1

Chương 2: Phần Đếm

1.
2.
3.

Có bao nhiêu cách phân công cho 2 người mỗi người làm một việc khác nhau trong 3 công
việc.
có n ô khác nhau và n hạt khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách bỏ hạt vào ô biết rằng mỗi ô
chứa đúng 2 hạt?
phân công 7 người trực nhật hàng tuần, hỏi có bao nhiêu cách phân công mỗi ngày 1 người
trực?

4. một bài trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, sinh viên có thể chọn 1 trong 4 câu trả lời cho mỗi câu
hỏi.
a) có tất cả bao nhiêu cách để 1 sinh viên trả lời các câu hỏi trên bài trắc nghiệm nếu tất cả các
câu hỏi đều được trả lời?
b) có tất cả bao nhiêu cách để 1 sinh viên trả lời các câu hỏi trên bài trắc nghiệm nếu sinh viên
có thể trả lời hoặc không trả lời các câu hỏi?
5. một lớp học có 30 sinh viên dự định chụp hình kỉ niệm. hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí
khác nhau? Biết rằng lớp sẽ xếp thành 3 hàng ngang, hàng 1 có 9 sinh viên, hàng 2 10 sinh viên
và hàng 3 có 11 sinh viên. Nếu mỗi lần xếp hàng mất 2 phút thì thời gian cần thiết để chụp các
kiể hình là bao nhiêu?
6. a) có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 6
b) có bao nhiêu chuỗi bit có bit đầu và cuối đều bằng một và có độ dài là n nguyên dương.
7. a) tập A có n phần tử thì hỏi tập An có bao nhiêu phần tử?
b) một đa giác lồi 32 cạnh thì có bao nhiêu đường chéo?
8. a) có bao nhiêu bảng số xe bắt đầu bằng 50A và theo sau là 4 chữ số ( 0 -> 9) ?
7

b) có bao nhiêu số điện thoại mà gồm 6 chữ số trong đó không có 2 chữ số nào trùng nhau?
9. a) ném 10 trái bóng vào 3 cái rổ thì có bao nhiêu khả năng xảy ra biết mỗi rổ chỉ chứa tối đa
1 quả?
b) có bao nhiêu khả năng để tổ chức 3 cuộc họp khác nhau trong 1 tuần, sao cho mỗi ngày chỉ
tổ chức 1 cuộc họp?
10. có bao nhiêu khả năng để chọn 2 số từ các số nguyên 1, 2, 3, … , 100 sao cho tổng của
chúng là 1 số chẵn? một số lẻ?
11. có bao nhiêu khả năng để chia 2n người thành n cặp?
12. cho 2n đối tượng, trong đó n đối tượng giống hệt nhau, có bao nhiêu khả năng để chọn n đối
tượng khác nhau từ 2n đối tượng trên?
13. có bao nhiêu khả năng để chọn 2 số nguyên trong các số 1, 2, …, n-1 sao cho tổng của
chúng lớn hơn n.
14. a. có bao nhiêu cách khác nhau để phân công 3n người thực hiện n công việc khác nhau, biết
rằng mỗi nhóm gồm 3 người cùng thực hiện 1 việc?
b. có bao nhiêu cách khác nhau để phân công kn (k>=3) người thực hiện n công việc khác
nhau, biết rằng mỗi nhóm gồm 3 người cùng thực hiện 1 việc?
15. người ta phân loại học tập của học sinh theo thứ tự A, B, C, D và E. hỏi trong 1 lớp phải có
ít nhất bao nhiêu học sinh để chắc chắn rằng có ít nhất 2 học sinh cùng thứ tự bậc học tập.
16. giả sử mỗi password là 1 chuỗi có chiều dài từ 1-> 12 kí tự, được chọn trong 36 kí tự gồm
26 chữ cái tiếng Anh và 10 kí số 0->9. Hỏi phải chọn ra ít nhất bao nhiêu password để chắc
chắn rằng có ít nhất 2 password trùng nhau.
17. cho d là số nguyên dương. Chứng minh rằng trong 1 tập số gồm d+1 số nguyên dương có ít
nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho d.
18. a) cần chọn ra ít nhất bao nhiê người để trong những người được chọn chắc chắn có 7 người
cùng tháng sinh.
b) cần chọn ra ít nhất bao nhiê người để trong những người được chọn chắc chắn có 12 người
cùng ngày sinh.
19. Có bao nhiêu dãy có 4 chữ số thập phân:
a. Không chứa cùng một chữ số 2 lần
8

b. Có đúng 3 chữ số 9
c. Chữ số 1 và chữ số 2 không đứng cạnh nhau.
20. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh chung với mình. Có
bao nhiêu cách nếu:
a. Cô dâu đứng cạnh chủ rể
b. Cô dâu không đứng cạnh chú rể
c. Cô dâu đứng bên trái chú rể
21. Một mạng máy tính gồm 6 máy. Mỗi máy nối trực tiếp với ít nhất một máy khác. Chứng
minh rằng luôn có hai máy mà số các máy khác nối với chúng là bằng nhau.
22. Có 7 nữ và 9 nam.
a. Có bao nhiêu cách chọn một tổ có 5 người sao cho có ít nhất một nữ.
b. Có bao nhiêu cách chọn một tổ có 5 người sao cho có ít nhất một nam và một nữ.
23. Cam, táo, lê, mận mỗi loại có 5 quả. Có bao nhiêu cách chon 5 quả tùy ý từ số này?
24. Cho phương trình x + y + z + t = 20. Phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên
thỏa x≥1, y≥2, z≥3, t≥4.
25. Có 5 số 1, 4 số 2, 3 số 3. Có bao nhiêu cách xếp các số này thành một số có 12 chữ
số.
26. Cho các chữ số: 2,3,4,5,7,9. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau
được chọn từ 6 chữ số trên nếu:
a. Không có ràng buộc gì cả.
b. Các số tự nhiên phải là các số chẵn
c. Các số tự nhiên phải là các số lẻ
d. Các số tự nhiên phải lớn hơn 400.
27. Có 3 bé trai và 2 bé gái. Tìm số cách để 5 bé này ngồi trong một hàng nếu:
a. Không có ràng buộc gì cả
9

b. Các bé trai luôn ngồi cạnh nhau và các bé gái luôn ngồi cạnh nhau.
c. Hai bé gái luôn ngồi cạnh nhau
28. Nếu hoán vị các chữ cái trong từ MISSISSIPPI thì được bao nhiêu từ khác nhau
(không kể đến nghĩa).
29. Có 12 quyển sách, chia cho 4 đứa trẻ. Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau nếu:
a. Mỗi đứa trẻ được 3 quyển.
b. Hai đứa lớn, mỗi đứa được 4 quyển, hai đứa nhỏ, mỗi đứa được 2 quyển.12. Có bao nhiêu
byte có đúng 5 bit bằng 1.
30. Trong một lớp học có 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra
một ban cán sự lớp gồm 3 người: lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ. Biết rằng:
a. Không có ràng buộc gì.
b. Lớp trưởng phải là nam
c. Lớp trưởng phải là nam và thủ quỹ phải là nữ.
31. Xâu thuận nghịch độc là một xâu khi viết theo thứ tự ngược lại cũng bằng chính nó. Hãy
đếm số xâu nhị phân có độ dài n là thuận nghịch độc.
32. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 có năm số 0 liền nhau hoặc năm số 1 liến nhau.
33. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài bằng 8 có 3 số 0 liền nhau hoặc 4 số 1 liền nhau.
34. Mỗi sinh viên lớp toán học rời rạc hoặc giỏi toán hoặc giỏi tin học hoặc giỏi cả hai môn
này. Trong lớp có bao nhiêu sinh viên nếu 38 người giỏi tin (kể cả người giỏi cả hai môn), 23
người giỏi toán (kể cả người giỏi cả hai môn), và 7 người giỏi cả hai môn.
35. Chứng tỏ rằng, trong n+1 số nguyên dương không vượt quá 2n tồn tại ít nhất một số chia
hết cho một số khác.
36. Chứng minh rằng, trong dãy gồm n 2 + 1 số thực phân biệt đều có một dãy con dài n+1
hoặc thực sự tăng, hoặc thực sự giảm.
37. Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn, hoặc là thù. Chứng tỏ rằng trong
nhóm có ba người là bạn của nhau hoặc là kẻ thù của nhau.
10


38. Hãy chỉ ra rằng, trong 102 người có chiều cao khác nhau đứng thành một hàng có thể tìm

được 11 người có chiều cao tăng dần hoặc giảm dần mà không cần thay đổi thứ tự của họ trong
hàng.
39. Một đô vật tay tham gia thi đấu giành chức vô địch trong 75 giờ. Mỗi giờ anh ta thi đấu ít
nhất một trận, nhưng toàn bộ anh ta không thi đấu quá 125 trận. Chứng tỏ rằng, có những giờ
liên tiếp anh ta thi đấu 24 trận.
40. Một nhân viên bắt đầu làm việc tại công ty từ năm 1987 với mức lương khởi
điểm là 50000 đô la. Hàng năm anh ta được nhận thêm 1000 đô la và 5% lương của năm trước.
a) Hãy thiết lập hệ thức truy hồi tính lương của nhân viên đó n năm sau năm 1987.
b) Lương vào năm 1995 của anh ta là bao nhiêu?
c) Hãy tìm công thức tường minh tính lương của nhân viên này n năm sau năm 1987.
41. Tìm hệ thức truy hồi cho số hoán vị của tập n phần tử. Dùng hệ thức truy hồi đó tính hoán vị
của tập n phần tử.
42. Một máy bán tem tự động chỉ nhận các đồng xu một đôla và các loại tờ tiền 1 đôla và 5
đôla.
a) Hãy tìm hệ thức truy hồi tính số cách đặt n đô la vào trong máy bán hàng, trong đó thứ tự
các đồng xu, các tờ tiền là quan trọng.
b) Tìm các điều kiện đầu.
c) Có bao nhiêu cách đặt 10 đô la vào máy để mua một bộ tem.
43. Một báo cáo về thị trường máy tính cá nhân cho biết có 65000 người sẽ mua modem cho
máy tính của họ trong năm tới, 1 250 000 người sẽ mua ít nhất một sản phẩm phần mềm. Nếu
báo cáo này nói rằng 1.450.000 người sẽ mua hoặc là modem hoặc là ít nhất một sản phẩm phần
mềm thì sẽ có bao nhiêu người sẽ mua cả modem và mua ít nhất một sản phẩm phần mềm.
44. Một trung tâm máy tính có 151 máy vi tính. Các máy của trung tâm được đặt tên bởi một số
nguyên dương từ 1 đến 300 sao cho không có hai máy nào được đặt tên trùng nhau. Chứng
minh rằng luôn tìm được hai máy có tên là các số nguyên liên tiếp.
45. Chứng minh rằng trong số 10 người bất kỳ bao giờ cũng tìm được hoặc hai người có tổng số
tuổi chia hết cho 16, hoặc hai người mà hiệu số tuổi của họ chia hết cho 16.

11

46. Có 12 cầu thủ bóng rổ đeo áo với số từ 1 đến 12 đứng tập chung thành một vòng tròn giữa
sân. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 người liên tiếp có tổng các số trên áo là lớn hơn hoặc
bằng 20.
47. Một cuộc họp gồm 12 người tham dự để bàn về 3 vấn đề. Có 8 người phát biểu về vấn đề I,
5 người phát biểu về vấn đề II và 7 người phát biểu về vấn đề III. Ngoài ra, có đúng 1 người
không phát biểu vấn đề nào. Hỏi nhiều lắm là có bao nhiêu người phát biểu cả 3 vấn đề.
48. trong kho đề có 30 câu hỏi, mỗi đề thi có 4 câu hỏi. hỏi có chọn tất cả bao nhiêu đề thi?
49. cho tập hợp E = {1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số không yêu cầu đôi
một khác nhau(các chữ số chọn từ tập E} sao cho mỗi số tạo thành đều chia hết cho 4?
50. tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số sau lớn hơn chũ
số đứng liền trước?

Chương 3: Phần quan hệ
1. Liệt kê các các cặp được sắp trong quan hệ R từ A={0,1,2,3,4} đến B={0,1,2,3}
trong đó (a, b) thuộc R nếu và chỉ nếu:
a) a = b
b) a + b = 4 c) a > b
d) a | b
e) ƯCLN(a, b) = 1
f) BCNN(a, b) = 2
2. Liệt kê các cặp được sắp trong quan hệ R = {(a, b) | b chia hết cho a} trên tập hợp
{1, 2, 3, 4, 5, 6}biểu diễn quan hệ trên bằng đồ thị.
3. Đối với các quan hệ cho dưới đây trên tập {1, 2, 3, 4}, hãy xác định xem nó có phản xạ,
đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu không?
a) {(2,2), (2,3), (2, 4), (3,2), (3,3), (3,4)}
b) {(1,1),(1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
c) {(2,4), (4,2)}
12

d) {(1,2), (2,3), (3,4)}
e) {(1,10, (2,2), (3,3), (4,4)}
f) {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}
4. Xác định quan hệ R trên tập mọi nguời có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và bắc cầu
không, với (a,b) ∈ R nếu và chỉ nếu:
a) a cao hơn b?
b) a và b cao cùng ngày?
c) A và b cùng tên?
d) A và b có cùng một ông
5. Cũng hỏi như trên với quan hệ R trên tập các số nguyên và (x,y) ∈ R nếu và chỉ nếu:
a) x ≠ y b) xy ≥ 1
c) x = y (mod 7)
d) x và y đều âm hoặc đều không âm. e) x = y2.
6. Có bao nhiêu quan hệ khác nhau từ tập có m phần tử đến tập có n phần tử. Cho R là một
-1
quan hệ từ tập A đến tập B. Quan hệ ngược từ B đến A, được ký hiệu là R , là tập các cặp
được sắp {(b, a) | (a, b) ∈ R}. Quan hệ bù là tập các cặp được sắp {(a, b)| (a, b)∉ R}
7. Cho R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} và R2 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3),
(3, 4)} là các quan hệ từ {1, 2, 3} đến {1, 2, 3, 4}. Tìm:
a) R1 ∪ R2
b) R1 ∩ R2
c) R1 - R2
d) R2 ∪ R1
8. Cho R là một quan hệ có tính chất phản xạ và bắc cầu. Chứng minh là Rn = R với mọi số
nguyên dương n.
9. Cho R là quan hệ trên tập {1, 2, 3, 4, 5} chứa các cặp được sắp (1, 1), (1, 2), (1,
13

3), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2) và (5, 4). Tìm:
a) R2
b) R3
c) R4
d) R5
10. Biểu diễn các quan hệ trên tập {1, 2, 3} dưới đây bằng ma trận (với các phần tử được liệt
kê theo thứ tự tăng dần)
a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}
b) {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
c) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
d) {(1, 3), (3, 1)}
11. Liệt kê các cặp được sắp thứ tự trong quan hệ trên tập {1, 2, 3} tương ứng với các ma
trận dưới đây (trong đó các hàng và cột tương ứng với các số nguyên được liệt kê theo thứ tự
tăng)
a)
b)
c)

12. Hãy xác định xem các quan hệ được biểu diễn bởi các ma trận cho trong bài tập 11 có là
phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và/hoặc bắc cầu hay không?
13. Cho R là một quan hệ được biểu diễn bởi ma trận MR= , tìm ma trận biểu diễn:
a) R-1
b) b.
c) c.R2
14


14. Cho R1 và R2 là hai quan hệ trên tập A được biểu diễn bằng các ma trận:
MR1 =

và

MR2 =

Tìm các ma trận biểu diễn:
a) R 1 ∪ R 2
b) R 1 ∩ R 2
c) R 1 o R 2
d) R 2 o R 1
16. Vẽ các đồ thị có hướng biểu diễn các quan hệ trong bài tập 10.
17. Vẽ các đồ thị có hướng biểu diễn các quan hệ trong bài tập 11
Trong các bài tập 18 – 20 hãy liệt kê các cặp đuợc sắp trong quan hệ biểu diễn bới các đồ
thị có hướng.
a

18. Cho đồ thị:

c

b

19. Cho đồ thị:

a

c

b

d

20. Cho đồ thị:
a

b

15


c

d

21. Cho R là một quan hệ trên tập {0, 1, 2, 3} chứa các cặp được sắp gồm có (0, 1), (1, 1), (1,
2), (2, 0), (2, 2) và (3, 0). Tìm:
a) Bao đóng phản xạ của R
b) Bao đóng đối xứng của R
22. Cho R là quan hệ {(a, b) | a ≠ b}trên tập số nguyên. Tìm bao đóng phản xạ của R.
23. Cho R là quan hệ {(a, b) | a chia hết cho b}trên tập số nguyên. Tìm bao đóng đối xứng của
R.
24. Xác định dãy các đỉnh sau có là một đường đi trong đồ thị có hướng dưới đây không?

a

c

b

d

e

a) a, b, c, e
b) b, e, c, b, e
c) a, a, b, e, d, e
d) b, c, e, d, a, a, b
16


e) b, c, c, b, e, d, e, d
f) a, a, b, b, c, c, b, e, d
25. Tìm tất cả các chu trình có chiều dài bằng 3 trong đồ thị có hướng cho trong bài 24.
26. Dùng thuật toán Warshall tìm bao đóng của các quan hệ sau cho trên tập {1, 2, 3, 4}
a) {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
b) { (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)}
c) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
d) {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 2)}
27. Các quan hệ nào trong số các quan hệ trên tập {0, 1, 2, 3} cho dưới đây là quan hệ tương
đương? Xác định các tính chất của một quan hệ tương đương mà các quan hệ khác không có?
a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)}
28. Các quan hệ nào trong số các quan hệ trên tập mọi người cho dưới đây là quan hệ
tương đương
a) {(a, b) | a và b cùng tuổi}
b) {(a, b) | a và b có cùng bố mẹ}
c) {(a, b) | a và b đã gạp nhau}
d) {(a, b) | a và b có cùng thứ tiếng}

29. Xác định các quan hệ sau đây được biểu diễn bởi các ma trận cho dưới đây có là một quan
hệ tương đương không?
a)

b)

C)

30. Xác định các lớp tương đương của quan hệ tương đương cho trong bài tập 27.
17


31. Cho A = {2, 3, 4}; B = {2, 4, 8}. Định nghĩa các quan hệ giữa A và B như sau:
x ∈A, y∈B; xRy ⇔ xx ∈A, y∈B; xTy ⇔ x là ước số của y ( y chia hết cho x).
x ∈A, y∈B; xHy ⇔ y = 4.
x ∈A, y∈B; xSy ⇔ (x+2 = y).
a) Hãy viết các quan hệ R, T, H và S dưới dạng liệt kê.
b) Biểu diễn các quan hệ R, T, H và S dạng bảng (ma trận).
c) Cho biết số quan hệ 2 ngôi giữa A và B.
32. Cho A = {2, 3, …, 10}. Biết rằng hai số nguyên dương được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
chúng có ước số chung lớn nhất là 1. Xác định trên A quan hệ R định nghĩa như sau:
x, y ∈A, xRy ⇔ x và y nguyên tố cùng nhau.
a) Cho biết chân trị các mệnh đề sau: 2R3,

2R4,

2R5, 4R10.

b) Biểu diễn quan hệ R dạng ma trận.

c) Cho biết R có tính chất nào sau đây: phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu?
33. Cho A = {a,b,c}. trên A xác định bao nhiêu quan hệ khác nhau có tính phản xạ?
34. Chứng tỏ các quan hệ dưới đây là quan hệ tương đương:
a) Quan hệ ℜ trên tập Z các số nguyên: xℜy ⇔ x + y là số chẵn
b) Quan hệ ℜ trên tập R các số thực: xℜy ⇔ |x| = |y|.
c) Quan hệ ℜ trên tập R các số thực: xℜy ⇔ cos 2 x + sin 2 y =1.
d) Cho A = {1,2,3,4,5}.
Quan hệ ℜ trên tập AxA : (a,b)ℜ(c,d) ⇔ a+b = c+d.
Chứng minh ℜ là quan hệ tương đương. Tìm các lớp tương đương: [(1,1)], [(1,3)],
[(2,4)].
35. Trên A = {1,2,3,4,5,6} cho quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4),
(5,5),(6,6)}.
18


a) Kiểm tra lại R là một quan hệ tương đương.
b) Tìm các lớp tương đương: [1], [2], [3].
c) Tìm phân hoạch của A thành các lớp tương đương.
36. Cho A ={1,2,3,4,5}. Tìm quan hệ tương đương R trên A sao cho R phân hoạch A thành các
lớp tương đương: {1,2}, {3,4} và {5}.
37. Cho n là số nguyên dương. Đặt Un là tập các ước số nguyên dương của n.
a) Tìm U12 , U30 ( viết các tập dưới dạng liệt kê).
b) Trên U n định nghiã quan hệ chia hết như sau:
x, y ∈U n , x|y ⇔ tồn tại số nguyên dương k sao cho y = kx.
Ta nói khi đó x chia hết y ( hay y chia hết cho x = x là ước số của y).
i) Chứng tỏ quan hệ chia hết định nghĩa như trên là quan hệ thứ tự trên U12 và trên U30 .
Tổng quát quan hệ chia hết là quan hệ chia hết là quan hệ thứ tự trên tập các số nguyên
dương.
ii) Cho biết x|y là quan hệ thứ tự trên U10 . Tìm phần tử tối đại, tối
tiểu, lớn nhất, bé nhất (nếu có). Hỏi tương tự cho U12 , U30 .

38. Cho R là một quan hệ trên A. Chứng minh rằng nếu R có tính chất đối
xứng và tính bắc cầu thì r có tính phản xạ.
39. Cho A = {4,5,6}; B = {5,6}, C = {6,7,8}. Xác định quan hệ 3 ngôi giữa A, B và C như sau:
a∈A, b∈B, c∈C. Quan hệ R trên AxBxC:
R = {(a,b,c)/ a < b và b < c}
a) Cho biết chân trị các mệnh đề: (4, 5,6) ∈R; (5,5,6)∈R;

(4,6,7)∈R.

b) Liệt kê các phần tử của R.
40. cho A ={a1, a2, …., an} là 1 tập thứ tự. chứng minh rằng nếu a1≤ a2 ≤ … ≤ an ≤ a1 thì a1 =
a2 = . . = an
41. cho ánh xạ f: X
R đơn ánh. Trên tập X ta đặt quan hệ 2 ngôi S như sau: xSy khi
và chỉ khi f(x) ≤ f(y). chứng minh S là 1 quan hệ thứ tự toàn phần trên tập X.
19


42. cho S là 1 quan hệ thứ tự trên tập X. trên tập X xét quan hệ T được đinh nghĩa như sau: aTb
khi và chỉ khi bSa ( quan hệ T gọi là quan hệ đối của quan hệ S, kí hiệu S-1). Chứng minh T
cũng là quan hệ thứ tự.
43. cho tập X được sắp thứ tự toàn phần. chứng minh phần tử tối đại (tối tiểu) cũng là phần tử
lớn nhất ( nhỏ nhất).
44. Gọi X là tập hợp tất cả công dân nước Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam. Trên tập X
xét quan hệ 2 ngôi R được định nghĩa như sau:
∀ x, y ϵ X, xRy  x có cùng nhóm máu với y
Chứng minh R là quan hệ tương đương và liệt kê tất cả lớp tương đương của X.
45. cho tập X = { 1, 2, 3, 4, 5}. Cho R và S là 2 quan hệ 2 ngôi trên tập X có ma trận biểu diễn
lần lượt là:
AR =

AS =

Chứng minh R và S là quan hệ thứ tự trên tập X. Hãy vẽ biểu đồ Hasse cho các quan hệ này.
46. trên tập hợp A = {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5}. Ta xét quan hệ 2 ngôi R như sau:
xRy  x – 3y chẵn.
a)
b)

Chứng minh R là quan hệ tương đương.
Tìm cá lớp tương đương của [1], [2].

47. trên tập hợp A = {-2, -1, 0, 2, 3}. Ta xét quan hệ 2 ngôi R như sau:
xRy  x2 – 2x = y2 – 2y.
a)
b)

Liệt kê các phần tử của tập quan hệ R trên A.
Tìm tập hợp X có vô hạn phần tử để R là 1 quan hệ thứ tự trên X. Giải thích?

48. xét quan hệ R trên Z định bởi:
x, y ϵ Z, xRy  ∃ n ϵ Z, x= y2n
a)
b)
c)

Chứng minh R là 1 quan hệ tương đương.
Trong số các lớp tương đương [1], [2], [3], [4] có bao nhiêu lớp đôi một phân biệt?
Câu hỏi tương tự câu b) cho các lớp [6], [7], [21], [25], [35], [42] và [48].

49. cho X ={2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 15, 20, 30, 36, 40, 60} với quan hệ ước số.
a) vẽ sơ đồ Hasse.
20


b) tìm các phần tử tối đại và tối tiểu trong X
50. trong các trường hợp sau, hãy tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu(nếu có)
của tập hợp đã cho với thứ tự tương ứng. vẽ biểu đồ Hasse.
a) U30 = { n ϵ N | n|30} với quan hệ ước số |.
b) X = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 80} với quan hệ ước số |.
c) X = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11} với quan hệ R được xác định như sau:
xRy  x = y hay x< y – 1.

Chương 4: Đại số bool và hàm bool
1. Cho S là tập hợp các ước nguyên dương của 70, với các phép toán •, + và ’ được định nghĩa
trên S như sau:
a • b = UCLN(a, b), a + b = BCNN(a, b), a’ = 70/a.
2. Chứng tỏ rằng S cùng với các phép toán •, + và ’ lập thành một đại số Boole.
3. Chứng minh rằng:
a) (a+b).(a+b’) = a;
b) (a.b)+(a’.c) = (a+c).(a’+b).

4. Cho các hàm Boole F1, F2, F3 xác định bởi bảng sau:
x
0
0
0
0
1
1

1
1

y
0
0
1
1
0
0
1
1

z
0
1
0
1
0
1
0
1

F1
1
1
0
1
1
0

0
1

F2
1
0
1
1
0
0
1
1
21

F3
0
1
1
0
1
1
1
1


Vẽ mạch thực hiện các hàm Boole này.

5. Hãy dùng các cổng NAND để xây dựng các mạch với các đầu ra như sau:
a)
b) xy

c) x+y
d) x y.
6. Hãy dùng các cổng NOR để xây dựng các mạch với các đầu ra được cho trong Bài tập 5.
7. Hãy dùng các cổng NAND để dựng mạch cộng bán phần.
8. Hãy dùng các cổng NOR để dựng mạch cộng bán phần.
9. Dùng các bản đồ Karnaugh, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu (khai triển cực tiểu) của các
hàm Boole ba biến sau:
a)
.
b)
c)
d)

.
.
.

10. Dùng các bản đồ Karnaugh, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole bốn biến
sau:
a)
.
b)

.

c)

.

d)

.

11. Dùng phương pháp Quine-McCluskey, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole
ba biến cho trong bài tập 9 và hãy vẽ mạch thực hiện các dạng tối thiểu tìm được.
12. Dùng phương pháp Quine-McCluskey, tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu của các hàm Boole
bốn biến cho trong Bài tập 9 và hãy vẽ mạch thực hiện các dạng tối thiểu tìm được.

22


13. Hãy giải thích làm thế nào có thể dùng các bản đồ Karnaugh để rút gọn dạng tích chuẩn tắc
(tích các tổng) hoàn toàn của một hàm Boole ba biến. (Gợi ý: Đánh dấu bằng số 0 tất cả các
tuyển sơ cấp trong biểu diễn và tổ hợp các khối của các tuyển sơ cấp.)
14. Dùng phương pháp ở Bài tập 13, hãy rút gọn dạng tích chuẩn tắc hoàn toàn:
.
15. Dùng định lý De Morgan, rút gọn biểu thức sau cho đến khi chỉ còn biến đơn đảo (một gạch
trên)

16.Đơn giản các hàm sau dùng bản đồ Karnaugh
a) f (A, B,C) =∑(0,2,3,4,6)
b) f (A, B,C,D) =∑ (0,1,2,4,5,7,11,15)
c) (X1, X2, X3, X4) =∑ (3,7,11,13,14,15) f X1 X 2 X3 X4
d) Cực tiểu các hàm trên ở dạng tích các tổng
17. Dùng bản đồ Karnaugh rút gọn hàm
a) f (A, B,C,D) =∑ (0,2,6,8,9,10,11,13) .
b) f (A, B,C,D) =∑ (0,1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,13)
c) f (A, B,C,D) =∏(0, 2,3, 4,6,7,9,12,13)
d) f (A, B,C,D) =∏ (0, 2,8,9,10,11,13,14)

18. Cho hàm bool:
f(A, B, C, D) = Σ(3, 4, 5, 7, 10, 12, 13) + d(8, 9, 11), Dùng bản đồ Karnaugh để :
a. Xác định dạng chuẩn tổng các tích của hàm f (gọi là hàm g).
b. Xác định dạng chuẩn tích các tổng của hàm f (gọi là hàm h).
c. So sánh hai hàm g và h.
d. Vẽ sơ đồ mạch hàm g mà chỉ sử dụng cổng NOR.
23


19. Cho hàm bool
f(A, B, C, D) = Σ(0, 1, 2, 6, 8, 9, 11, 14, 15) +d(3,10), Dùng bản đồ Karnaugh để :
a. Xác định dạng chuẩn tổng các tích của hàm f (gọi là hàm g).
b. Xác định dạng chuẩn tích các tổng của hàm f (gọi là hàm h).
c. So sánh hai hàm g và h.
d. Vẽ sơ đồ mạch hàm g mà chỉ sử dụng cổng NAND.
20. Cho hàm bool
f(A, B, C, D) = Π (0, 1, 2, 6, 8, 9, 11, 14, 15) +D(3,10), Dùng bản đồ Karnaugh để :
a. Xác định dạng chuẩn tổng các tích của hàm f (gọi là hàm g).
b. Xác định dạng chuẩn tích các tổng của hàm f (gọi là hàm h).
c. So sánh hai hàm g và h.
d. Vẽ sơ đồ mạch hàm g mà chỉ sử dụng cổng NAND.
21. Đơn giản hàm Logic 4 biến
a) f(A, B, C D) =
b) f(A, B, C D) =
22. Cho hàm số: f(ABCD) = Σ (3,5,7,11,13,15)
a) Viết biểu thức đại số đầy đủ cho hàm
b)Viết biểu thức dạng tối thiểu hóa cho hàm
c) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NAND 2 đầu vào
d) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NOR 2 đầu vào
23. Cho hàm số: f(ABCD) = Σ (1,3,4,6,9,11,12,14)

a) Viết biểu thức đại số đầy đủ cho hàm
b)Viết biểu thức dạng tối thiểu hóa cho hàm
24


c) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NAND 2 đầu vào
d) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NOR 2 đầu vào
24. Cho hàm số: f(ABCD) = Σ (0,2,5,7,8,10,13,15)
a) Viết biểu thức đại số đầy đủ cho hàm
b)Viết biểu thức dạng tối thiểu hóa cho hàm
c) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NAND 2 đầu vào
d) Vẽsơ đồ logic cho hàm dùng cổng NOR 2 đầu vào
25. Cho hàm số: f(ABCD) = Π (1,3,6,9,11,14,15)
a) Viết biểu thức đại số đầy đủ cho hàm
b)Viết biểu thức dạng tối thiểu hóa cho hàm
c) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NAND 2 đầu vào
d) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NOR 2 đầu vào
26. Cho hàm số: f(ABCD) = Π (0,2,12,13,14,15)
a) Viết biểu thức đại số đầy đủ cho hàm
b)Viết biểu thức dạng tối thiểu hóa cho hàm
c) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NAND 2 đầu vào
d) Vẽ sơ đồ logic cho hàm dùng cổng NOR 2 đầu vào
27. Trong đại số Bool A, chứng minh rằng:
a. Nếu a α b thì b α a
b. Nếu a α b và c α d thì a ^ c α b ^ d
28. Cho A là một đại số Bool và a A. Xét B là tập tất cả các phần tử của A được trộibởi a. B có
phải là đại số Bool với các phép toán kế thừa từ A hay không?
25