Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 4

Buổi 4.
HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨC
KIẾN THỨC:
- Tính giá trị biểu thức
- Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho ax + b
NỘI DUNG.
I. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
3

Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 4 )
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC
- Kết quả: P(1,25) =
; P(4,327) =
3

P(-5,1289) =

; P( 1 4 )

=

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10
tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =

Từ đó tính P(0,53241) =
Tương tự:

( x − 1)(1 + x + x 2 + ... + x 9 ) x10 − 1
=
x −1
x −1

x9 − 1
Q(x) = x + x +...+ x + x + x = x (1 + x + x + x +...+ x ) = x
x −1
2

3

8

9

10

2

2

3

8

2

Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =
16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
 a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + 1 = 0
16a + 8b + 4c + 2d + e + 4 = 0
1
1
1
1
 1
81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + 9 = 0
⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
 256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 0
1
1
1
1
1

625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = 0

Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của

5
x bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.
Từ đó tính được: P(6) =
; P(7) =
; P(8) =
; P(9) =


Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được:
P(5) =
; P(6) =
; P(7) =
; P(8) =
; P(9) =
4
3
2
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10.
Tính A =

P (5) − 2 P(6)
=?
P (7)

H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +

A=

P (5) − 2 P(6)
=
P (7)

x( x + 1)
. Từ đó tính được:
2

Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ∈ Z thoả mãn:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
1999a + b + 2000 = 0
a = −1
⇔
⇔
2000a + b + 2001 = 0
b = −1

⇒ g(x) = f(x) - x - 1

* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) =

27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c là
nghiệm của hệ phương trình:
a + b + c + 3 = 0

9a + 3b + c + 11 = 0
 25a + 5b + c + 27 = 0


a = −1

⇒ bằng MTBT ta giải được: b = 0
c = −2


⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2
Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy:
g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.
f(-2) = (-3)(-5)(-7)(-2-x0) + 4 + 2 = 210 + 105x0 + 6 = 216 + 105x0
7f(6) = 7.5.3.1(6-x0) + 36 + 2 = 630 - 105x0 + 38 = 668 - 105x0
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 216 + 105x0 - 668 - 105x0 = 884
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
H.Dẫn:


- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:
 d = 10

 a + b + c + d = 12


8a + 4b + 2c + d = 4
 27a + 9b + 3c + d = 1

lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b,
5
2

c trên MTBT cho ta kết quả: a = ; b = −
5
2

⇒ f ( x) = x 3 −

25
; c = 12; d = 10
2

25 2
x + 12 x + 10 ⇒ f (10) =
2

Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và
f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ đó tính được f(2005) =

Bài 10: Cho đa thức P( x) =

1 9 1 7 13 5 82 3 32
x − x + x − x + x
630
21
30
63
35

a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
P( x) =

1
( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x −1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4)
2.5.7.9

Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x
nguyên thì tích: ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số
nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
II. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức:
Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Cách giải:
 b
 b
 −b 

- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ P  −  = 0.Q  −  + r ⇒ r = P  
 a
 a
 a 
3
2
Bài 1: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x - 5x + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
 
 
 
 
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ P   = 0.Q   + r ⇒ r = P   ⇒ r = P  
2
2
2
2
5

5

5

5

5
Tính trên máy ta được: r = P   =
2

Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)

Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b 0x2
+ b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 +
(b2-b1c)x + (r - b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c
+ a3.


Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức
P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát. Tìm thương và dư trong phép chia đa
thức P(x) cho (ax +b)
Bài 2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1
0
-2
-3
0
0
1
-1
-5
1
-5
23
-118
590
-2950 14751 -73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
( −) 5 SHIFT STO M
1 × ANPHA

M

+ 0 =
+

(-5) :

ghi ra giấy -5

(23) :

ghi ra giấy

×

ANPHA

M

×

ANPHA

M

- 3 =

(-118) :

ghi ra giấy -118

×

ANPHA

M

+ 0 =

(590) :

ghi ra giấy

×

ANPHA

M

+ 0 =

(-2950) : ghi ra giấy -2950

×

ANPHA

M

+ 1 =

(14751) : ghi ra giấy 14751

×

ANPHA

M

-

- 2 =

23
590

1 =
(-73756) : ghi ra giấy -73756
4
x - 2x - 3x + x - 1 = (x + 5)(x - 5x + 23x - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756
Bài 3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Giải:
7

5

4

6

5

1

- Thực hiện phép chia P(x) cho  x −  , ta được:

2

1  2 5
7 1

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 =  x −   x + x −  + . Từ đó ta phân tích:
2 
2
4 8

1 1  2 5
7 1

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2.  x −  . .  x + x −  +
2 2 
2
4 8

7 1
1 2 5
= (2x - 1).  x + x −  +
4
8 8
2

3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được
P(x) = Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0
b
a

hay m = -r = - P( − ). Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.
Bài 1: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)




Ta có: P1  −  + m = 0 ⇒ m = − P1  − 
 3
 3
2

2

Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại x = −

2
ta được m =
3

Bài 2: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa

thức trên có nghiệm chung x0 =

1
2


H.Dẫn:
1
1
là nghiệm của P(x) thì m = − P1   , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
2
2
1
1
x0 = là nghiệm của Q(x) thì n = −Q1   , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
2
2
1
1
Tính trên máy ta được: m = − P1   =
;n = −Q1   =
2
2
x0 =

Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ
có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:

a) Giải tương tự bài 16, ta có: m =
;n =
b) P(x) M(x - 2) và Q(x) M(x - 2) ⇒ R(x) M(x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x 2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x)
chỉ có một nghiệm x = 2.
Bài 4: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q 1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q 2(x) dư
r2. Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

−
−
−
−
−
2
1
−
2

2

1
Vậy: r2 = −

-1

4
3
4

8
1
−
2

16
5
16

32
3
−
16

64
7
64

128
1
−
16

256

1
16

Bài 5:
a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức x 2010 − 6 x11 + 212 cho 2011x2 – 2011.
b) Xác định phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = 1+ x 7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 cho Q(x) = x3 – x .
Tính R (79,102011)
HD. a. Giả sử f(x) = x 2010 − 6 x11 + 212 = (2011x2 – 2011).Q(x) +R(x)
= 2011(x – 1)(x + 1).Q(x) + ax + b ( vì đa thức chia có bậc 2)
Ta có : f(1) = a + b = 12010 – 6.111 + 212 = 4091
f(-1) = - a + b = (-1)2010 – 6.(-1)11 + 212 = 4103
⇒ a = - 6 ; b = 4097 .
Vậy đa thức dư trong phép chia x 2010 − 6 x11 + 212 cho 2011x2 – 2011 là
R(x) = -6x + 4097.

b. P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 = (x3 – x) T(x) + R(x)
= (x3 – x) T(x) + ax2 + bx + c
= x(x-1)(x+1) T(x) + ax2 + bx + c
Ta có: P(0) = 1 ⇔ c = 1
P(1) = 6 ⇔ a + b + c = 6
P(-1) = 6 ⇔ a - b + c = 0
Vậy a = 2, b = 3, c = 1. Vậy R(x) = 2x2 + 3x + 1


BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (NGÀY 14/10/2013)
Bài 1. Cho đa thức g(x) = 8x 3 −18x 2 + x + 6 .
a) Tìm các nghiệm của đa thức g(x).
b) Tìm các hệ số a,b,c của đa thức bậc ba f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c , biết rằng khi chia đa thức
f(x) cho đa thức g(x) thì được đa thức dư là r(x) = 8x 2 + 4x + 5 .
c) Tính chính xác giá trị của f (2008) .
4
3
2
Bài 2. Cho đa thức P(x) = x + 5x -4x +3x-50 . Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x –
2 và r2 là phần dư của phép chia P(x) cho x – 3 . Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ?
Bài 3. Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho
(x – 13) có số dư 1, chia cho (x-3) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Bài 4. Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007. Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45
Bài 5. Cho f (x) = x 2010 + (k + 1)x 2009 + (2k + 1)x 2008 + ... + (2009k + 1)x + (2010k + 1) với
∀k ∈ R . Tính f (1 − k)
Bài 6. Xác định phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = 1+ x7 + x9 + x10 + x2010 + x2011 cho Q(x) =
x3 – x . Tính R (79,102011)
Bài 7. Tìm phần dư của phép chia P(x) = x2010 + x2011 + 11 cho x2 – 1.

Bài 8. Đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e biết P(1) = 11 , P(2) =14 , P(3) = 19 , P(4) =
26 , P(5) = 35 . Hãy tính P(11) , P(12) , P(13) , P(14) , P(15) , P(16) .
Bài 9. Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + …. + a45x45.
Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44
Bài 10. a. Khi chia đa thức f (x) = 2x 4 + 8x 3 - 7x 2 + 8x - 12 cho đa thức (x - 2) ta được
thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Tìm hệ số a của x 2 trong đa thức Q(x) và số dư r trong phép
chia.
b. Phân tích đa thức P(x) = a 4 - 6a 3 + 27a 2 - 54a +32 thành nhân tử.
Bài 11. Giả sử có biểu thức: T(x) = ( 1 + x 2 ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x3 + .... + a 29 x 29 + a 30 x 30 .
15

Tính chính xác giá trị H = - 2a1 + 2 a 2 − 2 a 3 + 2 a 4 - 2 a 5 + .... + 2 a 28 − 2 a 29 + 2 a 30.
Bài 12: Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7)32. Tính chính xác đến đơn vị:
a) Số dư của phép chia Q(x) cho x – 1.
b) Tổng các hệ số của đa thức Q2(x).
Bài 13: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64. Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn
vị.
Bài 14.a) Tìm phần dư khi chia đa thức: x100 − 2 x 51 + 1 cho x 2 − 1
2

3

4

5

28

29

30

5
2
b) Cho đa thức f ( x ) = x + x + 1 có năm nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5

2
Ký hiệu p( x ) = x − 81 hãy tìm

P = p( x1 ) . p( x2 ) . p( x3 ) . p( x4 ) . p( x5 )

Bài 15. Cho đa thức f(x) = (x2 + 3x -1)2012 Tính tổng các hệ số của các hạng tử chứa lũy
thừa bậc chẵn của x.