Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 5

Buổi 5.
HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ ĐA THỨC
KIẾN THỨC:
- Tính giá trị biểu thức
- Tìm thương và dư trong phép chia đa thức cho ax + b
NỘI DUNG.
4. Tìm điều kiện tham số của P ( x ) thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Ví dụ 1: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a)
Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trị tương
ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b)
Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c)
Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Giải:
a)
Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c
1,44a + 1,2b + c = 1993

ta được hệ 6,25a + 2,5b + c = 2045
13,69a + 3,7b + c = 2123


Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975
b) Số dư của phép chia P(x) =x 3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x)
tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0
x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
Ví dụ 2: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1
7− 5

1)

Xác định số hữu tỉ a và b để x =

2)

Với giá trị a, b tìm được hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x).

Giải: x = 6- 35 ⇒ b =

7+ 5

là nghiệm của P(x);

1
− x 2 − ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 )
x

(a+13) = b+6a+65 = 0 ⇒ a = -13 ; b =13 ⇒ P(x) =x3-13x2+13x-1
(x-1)(x2-12x+1) = 0 ⇒ x = 1 ; x ≈ 0,08392 và x ≈ 11,916
Ví dụ 3: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax 3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia
hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Hướng dẫn:
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r
Vậy
P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2
P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
 2197.a + 169b + 13.c = 2008


Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình : 27a + 9b + 3c = 2009
 2744 + 196b + 14c = 2010


Tính trên máy được : a = 3,693672994 ≈ 3,69
b = –110,6192807 ≈ –110,62
c = 968,2814519 ≈ 968,28


5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r 0+r1(x-c)+r2(xc)2+…+rn(x-c)n.
Ví dụ 1. Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
- Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q 1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q 1(x) và r0. Sau đó
lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2
3 1 0
0 1 1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3 1 3
9 28
q2(x)=x3+3x+1,r1=28
3 1 6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3 1 9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
4
3
2

Vậy x – 3x + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4.
6. Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = a 4 - 6a 3 + 27a 2 - 54a +32 thành thừa số.
Alpha

A

+

Alpha

27

Shift

^

Slove

1

=

x=2

A
1

=

6

Alpha
−

x2
Shift

Mode
−

5

54

A

Shift

x3

−

A

+

32

Alpha

-6
-5
Mode

=

22

1
=

w

3

−

32

1
1

-5
-3

6

Alpha

A

=

0

Alpha

Shift

x3

⇒ A =1

Slove

1
1

x=1
Mode

−

4

27
22
=

=

=

-54
-32

32
0

⇒x=2

22
16

-32
0

P(x) = (x − 1)(x − 2)(x 2 - 3x + 16)

7. Tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Ví dụ 1: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư là 6
và f(-1) = -18 .Tính f(2005) = ?
Giải:
- Đặt f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
a + b + c + d = 6

8a + 4b + 2c + d = 6
Ta có hệ phương trình: 

27a + 9b + 3c + d = 6
−a + bc + d = −18

- Giải hệ tìm được a = 1, b = -6, c = 11, d = 0. Ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Ví dụ 2. Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trong bài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:


Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + 1 = 0

16a1 + 8b1 + 4c1 + 2d1 + e1 + 4 = 0

81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + 9 = 0
⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1

256a1 + 64b1 + 16c1 + 4d1 + e1 + 16 = 0
625a + 125b + 25c + 5d + e + 25 = 0
1
1
1
1
1


Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x 5
bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Ví dụ 3: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f .
Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 .
Tính P(6), P(7), P(8), P(9)
Giải:
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
Ví dụ 4. Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính A =

P(5) − 2P(6)
=?
P(7)

H.Dẫn:
- Giải tương tự, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +

x(x + 1)

.
2

P(5) − 2P(6)
=
P(7)
8. Xây dựng công thức tính tổng bằng đa thức.
Ví dụ 1:
a. Đặt S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1). Tính S(100) và S(2009).
b. Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) và P(2009).
HD
- Từ đó tính được: A =

a. Đặt g(x) = x(x +1) = x 2 + x
Ta có: S(1) = g(1) = 1.2; S(2) = g(2) = 2.3; .....; S(n) = g(n) = n.(n+1)


- Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết: g(x) = f (x) − f (x −1)
Ta có: S(1) = 1.2 = g(1) = f(1) – f(0); S(2) = 2.3 = g(2) = f(2) – f(1); .....;
S(n) = n.(n+1) = g(n) = f(n) – f(n-1) Vậy S = g(1) + g(2) + ...+ g(n) = f(n) – f(n-1)
- Đặt f (x) = ax 3 +bx 2 +cx+d

g(x) = f (x) − f (x −1) ⇔ x 2 + x = ax 3 + bx 2 + cx + d - a(x-1)3 - b(x-1)2 - c(x-1) - d

⇔ x 2 + x = 3ax 2 - (3a + 2b)x + (a - b + c)
1
3

2
3


1
a =
3a = 1
3


⇔ −3a + 2b = 1 ⇔ b = 1
a − b + c = 0


c = 2
3


1
3

2
3

Vậy f (x) = x 3 + x 2 + x , Suy ra S = f (n) − f (0) = n 3 + n 2 + n

1
4

3
2

b. Tương tự bài b, S = n 4 + n 3 +

11 2 3
n + n
4
2

9. Tính tổng các hệ số đa thức bậc n.
Ví dụ 1: Cho f (x) = x 2010 + (k + 1)x 2009 + (2k + 1)x 2008 + ... + (2009k + 1)x + (2010k + 1)
với ∀k ∈ R . Tính f (1 − k) .
HD
Ta biết đa thức f(x) có nghiệm x0 thì f(x0) = 0 hay f(x) : (x - x0) dư 0
Dùng lược đồ Hooc-ne cho đa thức f(x) ta có
1
k+1
2k + 1
...
2009k + 1
2010k + 1
1-k
1
2
3
...
2010
2011
Như vậy f(x) : (x – (1-k) dư 2011 hay f(1 - k) = 2011
Ví dụ 2. Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + …. + a45x45.
Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44
HD: Đặt P(x)= đa thức đã cho Có S1 = P(1) - P(0) = 515 − 215 ;

có 514 = 6103515625 ;515625.5 = 2578125
6130.5.106 = 30515000000 Cộng lại ta có S1 =
P (−1) = ( −1)15 = −1 ; S2 =

1
( P(1) + P(−1) )
2

Ví dụ 3. Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7)32. Tính chính xác đến đơn vị:
a) Số dư của phép chia Q(x) cho x – 1.
b) Tổng các hệ số của đa thức Q2(x).
HD b. Tổng các hệ số của đa thức Q(x) là giá trị của đa thức tại x = 1. Gọi tổng các hệ số của đa
2
thức là A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7) 64 = 264. Để ý rằng : 264 = ( 232 ) = 42949672962 . Đặt 42949 =
X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.10 5 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 . Tính trên máy kết hợp với giấy
ta có:
X2.1010 =
1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5
2XY.10 =
5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0
2
Y =
4 5 2 8 7 5 1 6 1 6
A=
1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6
Ví dụ 4. Giả sử có biểu thức:

T(x) = ( 1 + x 2 ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + .... + a 29 x 29 + a 30 x 30 .
15

Tính

chính

xác

giá

trị

của

biểu

H = - 2a1 + 22 a 2 − 23 a 3 + 2 4 a 4 - 25 a 5 + .... + 2 28 a 28 − 2 29 a 29 + 230 a 30.
Ví dụ 5 . a) Tìm phần dư khi chia đa thức: x100 − 2 x 51 + 1 cho x 2 − 1
5
2
b) Cho đa thức f ( x ) = x + x + 1 có năm nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5
2
Ký hiệu p( x ) = x − 81 hãy tìm P = p( x1 ) . p( x2 ) . p( x3 ) . p( x4 ) . p( x5 )

a.

b.

thức

:


BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (NGÀY 25/10/2013)
5
4
3
2
Bài tập 1: Cho đa thức P ( x) = x − 3x + 4x − 5x + 6x + m. Viết phương trình ấn phím để:
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập 2: Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – 2 và x – 3. Hãy tìm
giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
Bài tập 3. Cho hai đa thức sau: f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a và g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b
Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung
Bài tập 4: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức
Q(x) có bậc là 3 . Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) ?

5
4
3
2
Bài tập 5: Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + dx + evà cho biết P(1) = 1, P(2) = 7,

P(3) = 17, P(4) = 31, P(5) = 49 . Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10) và P(11) ?
Bài tập 6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11.
a. Tìm a, b, c, d

Tính A =

P ( 15 ) + P ( −12 )
+ 15 .
20

Bài tập 7:
a. Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32.
b. Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n 4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn với mọi số
nguyên n.
Bài tập 8: Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5 và chia cho x – 2
được số dư là -4. Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x 81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết
cho (x-1)(x-2)
Bài tập 9: Cho P(x) = ax17 + bx16 + cx15 + ... + m, biết P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . .; P(17) = 17. Tính
P(18)
Bài tập 10: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33.
Biết P(N) = N + 51. Tính N?
Bài tập 11: Cho đa thức Q(x) = ( 3x 2 + 2x – 7 )64. Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến
đơn vị.
Bài tập 12: Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244. Tính A = x3000 + y3000
Bài tập 13: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0
b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = 0
Bài tập 14: a) Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình : x9 + x – 7 = 0
c) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377