Hướng dẫn sử dụng casio FX570 để giải toán bà 6

Buổi 6
HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ
KIẾN THỨC:
- Lập công thức truy hồi của dãy số cho bới công thức tổng quát.
- Áp dụng giải một số dạng khác.
NỘI DUNG.
I. TÍNH SỐ HẠNG THỨ N CỦA DÃY SỐ:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n ∈ N* trong đó f(n) là biểu thức của n
cho trước.
Un =

Ví dụ 1. Cho dãy

2n + 1
2n − 1

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy

b) Tìm xem 1

2
là số hạng thức mấy
17

Giải.
PP1: Nhập công thức. (FX 570MS)
ALPHA Y ALPHA = ( 2 ALPHA X + 1 ) a b / c ( 2 ALPHA X − 1 )

a) ấn tiếp
CALC

1

=

3

U1 = 3

CALC

2

=

ab/c

1↵2↵3

U2 = 1

CALC

3

=

ab/c

1↵2↵5

CALC

4

=

ab/c

1↵2↵7

CALC

5

=

ab/c

1↵2↵9

CALC

6

=

ab/c

1↵2↵11

2
3
2
U3 = 1
5
2
U4 = 1
7
2
U5 = 1
9
2
U6 = 1
11

b) SHIFT SOLVE 1 a b / c 2 a b / c 17 = SHIFT SOLVE
Vậy 1

9

2
là số hang thứ 9
17

Cách 2 (Tất cả các máy). Khai báo A = 0, B = 0; A ← A + 1; B ← (2A+1)/(2A-1)
0 SHIFT STO A

0 SHIFT STO B

ALPHA A + 1 SHIFT STO A

( 2 ALPHA A + 1 ) a b/c ( 2 ALPHA A − 1 SHIFT STO B

a) ấn liên tiếp r

= ta được U0,.., U6

b) ấn liên tiếp r

= ta thấy A = 9 thì B = 1

2
2
vậy 1 là số hạng thứ 9
17
17

Cách 3 (Sử dụng hàm Calc 570MS, 570ES).
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA :
ALPHA B ALPHA = ( 2 ALPHA A + 1 ) a b/c ( 2 ALPHA A − 1 )

a) CALC 0 = ấn liên tiếp =
b) ấn liên tiếp = = a b / c

= lần ta được U0,.., U6
2
2
ta thấy A = 9 thì B = 1 vậy 1 là số hạng thứ 9
17
17

Ví dụ 2. Cho dãy U n =

2n − 1
2n

a) Tính U 2 , U 4 , U8 của dãy

b) Tìm xem

2047
là số hạng thức mấy
2048

Giải
ALPHA Y ALPHA = ( 2 ^ ALPHA X − 1 ) a b / c 2 ^ ALPHA X

a) ấn tiếp
3
4
15
U4 =
16
255
U8 =
256
U2 =

CALC

2

=

ab/c

3↵4

CALC

4

=

ab/c

15↵16

CALC

8

=

ab/c

255↵256

11

b) SHIFT SOLVE 2047 a b / c 2048 = SHIFT SOLVE
Vậy

2047
là số hạng thứ 11
2048


n

n

1  1 + 5   1 − 5  

÷ −
÷ , n = 1;2;...
Ví dụ 3: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: u n =
5  2 ÷  2 ÷ 




Giải:
- Ta lập quy trình tính un như sau:
( 1 ÷
÷ 2 )

5 )

5 )

∧

(

(

( 1 +

5 )

÷ 2 )

∧

ANPHA

A

- (

( 1 -

ANPHA A

- Sử dụng Calc tính CALC 1 = và lặt lại cho đến 10
Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,
u9 = 34, u10 = 55.
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

 u1 = a

trong đó f(un) là biểu thức của un cho

u
=
f(u
)
;
n
∈
N*
 n+1
n

trước.
 u1 = 1

Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 
un + 2
 u n +1 = u +1 , n ∈ N *
n


Giải:
Cách 1.- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1 = (u1)
(

ANS + 2 )

÷

(

ANS + 1 )

=

(u2)

= ... =

- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u1 = 1
u8 = 1,414215686
u2 = 1,5
u9 = 1,414213198
u3 = 1,4
u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667
u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103
u12 = 1,414213564


u6 = 1,414285714
u7 = 1,414201183
Cách 2. (570MS, ES)

u13 = 1,414213562
u14 =...= u20 = 1,414213562

ALPHA A ALPHA = ( ALPHA A + 2 ) a b/c ( ALPHA A + 1
CALC 1 =

Lặp lại = liên tục
u =33
 1
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi: 
33
 u n +1 = ( u n ) , n ∈ N *

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
SHIFT
ANS

3

∧

3 =

(u1)

SHIFT

3

3 =

(u2)

(u4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên.
=

=

 U1 = 3
 U n +1 = 2U n ; n ≥ 1

Ví dụ 3. Cho dãy 

Tính U1, U 2 , U3 , U 4 và S4 = U1 + U 2 + U 3 + U 4 ; P4 = U1U 2 U 3 U 4
Giải
Cách 1. (FX 570MS, Vn 570MS)
Khai báo A =1, B =3, C = 0 (tổng), D = 1 (tích)
A = A+1; B = 2A; C = C+B; D = D.B
1 SHIFT STO A

3 SHIFT STO B 0 SHIFT STO C 1 SHIFT STO D

ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA :
ALPHA B ALPHA = 2 ALPHA A ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA D × ALPHA B

ấn liên tiếp phím = như sau
=

A=

2

→n=2

=

B=

6

→ U2 = 6

=

C=

9

→ S2 = 9

=

D=

2

→ P2 = 18

Vậy ta có S4 = 45, P4 = 5184
Cách 2. (FX 570MS, Vn 570MS)
Khai báo A = 2A; C = C+A; D = D.A (A giá trị U, C: tổng, D : tích)
ALPHA A ALPHA = 2 ALPHA A ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA D × ALPHA B
CALC

(Máy hỏi A?) 3 = = (Kết quả A = U2 = 6)


(Máy hỏi C? C = C + A = 3) 3 = = (Kết quả C = S = 6)
(Máy hỏi D? D = DA = 3) 3 = = (Kết quả D = P = 18)
Lặp lại = = =
1
2
a) Lập trình ấn phím tính U n +1

Ví dụ 4: Cho dãy số U1 = ; U n +1 =

U 3n + 1
3

b) Tính U30 , U31 , U32
Giải.
Cách 1. a) U n +1 =

U 3n

U 3n

+1 1
= +
3
3 3

1 ab/ c 2 =
1 a b / c 3 + Ans x 3 a b / c 3

ấn = liên tục ta tính được Un+1
b) ấn = liên tục 10 lần ta thấy trên màn hình có giá trị 0.347296355 ấn tiếp = không thay đổi . Vậy
U30 = U 31 = U32 = 0.347296355

 u 1 = a, u 2 = b
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: 
 u n+2 = A u n+1+ Bu n + C ; n ∈ N*
 u 1 = 1, u 2 = 2
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định bởi: 
 u n+2 = 3u n+1+ 4u n + 5 ; n ∈ N*
Hãy lập quy trình tính un.
Cách 1. Tính trên các máy
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
× 3 + 4 ALPHA

A

+ 5 SHIFT

STO A

× 3 + 4 ALPHA

B

+ 5 SHIFT

STO B

Lặp lại ∆ = ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
Cách 2. (FX 570MS, Vn 570MS)

1 SHIFT STO A

2 SHIFT STO B

× 3 + 4 ALPHA A + 5 SHIFT STO A

(U 3)

× 3 + 4 ALPHA B + 5 SHIFT STO B

(U 4)

∆ SHIFT COPY
Lặp lại = =
Cách 3 (FX 570MS, Vn 570MS)

1 SHIFT STO A

2 SHIFT STO B

ALPHA

A

ALPHA

= 3 ALPHA

B

+ 4 ALPHA

A

+ 5 ALPHA

ALPHA

B ALPHA

= 3 ALPHA

A

+ 4 ALPHA

B

+ 5

Lặp lại = =
Cách 4 (FX 570MS, Vn 570MS)

:


ALPHA

A

ALPHA

= 3 ALPHA

B

+ 4 ALPHA

A

+ 5 ALPHA

ALPHA

B ALPHA

= 3 ALPHA

A

+ 4 ALPHA

B

+ 5

CALC

:

(Máy hỏi B?) 2 = (Máy hỏi A?) 1 =

Lặp lại = = = ...
Ví dụ 2: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=U2=1, Un+2= Un+1+ 2Un. Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy.
Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):
ALPHA A ALPHA = ALPHA B + 2 ALPHA A ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C ALPHA A ALPHA :
ALPHA B ALPHA = ALPHA A + 2 ALPHA B ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C ALPHA B

B? Bấm 1 =

CALC máy hỏi:

A? Bấm 1 =

C? Bấm 1 =

Lặp lại = = = ........
Trong đó X là số hạng thứ A, B là các giá trị của dãy số; D là tích của các số hạng.
 U1 = 3, U 2 = 2
Viết 7 số hạng đầu và tính tổng S7,P7 của 7 số hạng đó
 U n = 3U n −2 − 2U n −1; n ≥ 3

Ví dụ 3. Cho dãy 

HD: Nhập các biểu thức. A = 3A – 2B:C=C+A:D=DA:B=3B-2A:C=C+B:D=DB
ALPHA A ALPHA = 3 ALPHA A − 2 ALPHA B ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A ALPHA :
ALPHA D ALPHA = ALPHA D ALPHA A ALPHA :
ALPHA B ALPHA = 3 ALPHA B − 2 ALPHA A ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA :
ALPHA D ALPHA = ALPHA D ALPHA B

A? Bấm 3 = B? Bấm 2 = C? Bấm 5 = D? Bấm 6 =

CALC máy hỏi:

Lặp lại = = = ........
Ví dụ 4. Cho U1 = -3, U2 = 7, Un+1 = Un + Un-1
a) Lập tình tính Un+1 theo Un, Un-1
b) Tính U3,U4,.......U7
c) Tính chính xác đến 5 chữ số và điền vào bảng sau:

U2
U1

U3

U2

U4
U3

U5
U4

U6
U5

U7
U6

Giải.Tính trên FX570MS
a)
(−) 3 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B
ALPHA A ALPHA = ALPHA B + ALPHA A ALPHA :
ALPHA B ALPHA = ALPHA A + ALPHA B

Lặp lại = = = ...
c) (−) 3 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B


ALPHA C ALPHA = ALPHA B ÷ ALPHA A ALPHA :
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + ALPHA B ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA A ÷ ALPHA B ALPHA :
ALPHA B ALPHA = ALPHA B + ALPHA A

Lặp lại = = = ........

 u 1 = a
4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: 
 u n+1 = f ( { n, un } ) ; n ∈ N*
 u1 = 0

Ví dụ 1 : Cho dãy số được xác định bởi: 
n
( u +1 ) ; n ∈ N*
 u n+1 =
n+1 n

Hãy lập quy trình tính un.
Cách 1.
1 SHIFT STO M 0 SHIFT STO A
ALPHA

M

(

ALPHA

M

+ 1 SHIFT

ALPHA

Lặp lại ∆ = ...

Cách 2 (570 MS).
1 SHIFT STO M
ALPHA
)

A

ALPHA

)

A

ALPHA

=

ALPHA

ALPHA
: ALPHA

CALC máy hỏi:

(

ALPHA

M

+ 1 SHIFT

STO A

STO M

ALPHA
M

=

5
, 3,
2

ALPHA
M

M

ALPHA

Lặp lại = ... = ...
1
3
, 1,
, 2,
ta được dãy:
2
2

Cách 3 (Fx 570 MS, Vn 570MS).
ALPHA

÷

0 SHIFT STO A

ALPHA
:

+ 1 )

A

M

ALPHA

(

ALPHA

= ALPHA

A
M

+ 1 )

÷

(

ALPHA

M

+ 1

÷

( ALPHA

M

+ 1

+ 1

7
,...
2
(

ALPHA

= ALPHA

A
M

+ 1 )
+ 1

M? Bấm 1 = A? Bấm 0 =

Lặp lại = = = ........
Ví dụ 2: Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1, Un+1=5Un-2n. Tính U20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Thuật toán: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):
A=5A-2X:
ALPHA A ALPHA = 5 ALPHA A − 2 ALPHA X ALPHA :
C= C+A:
ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA C ALPHA :
X=X+1
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1
Bấm CALC máy hỏi:
A? Bấm 1=
CALC 1 =
X? Bấm 1=
1=
C? Bấm 1=
1=
Lặp lại === ........
= = =


Ví dụ 3(TTT số 36). Cho dãy xác định bởi U1 = 1, U 2 = 3, U n = 3U n −1 khi n chẳn và U n = 4U n −1 + 2U n −2
khi n lẻ.
a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un
b) Tính U10 , U11 , U12 , U14 , U15

Cách 1.
4 × 3 + 2 × 1 SHIFT STO A

→ U 3 = 14

×3 =

→ U 4 = 42

× 4 + 2 ALPHA A SHIFT STO A

→ U 5 = 196
=

Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn 
Cách 2. (Fx 570 MS, Vn 570MS).
1 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B

1 SHIFT STO A 3 SHIFT STO B

4 ALPHA B + 2 ALPHA A SHIFT STO A

× 4 + 2 ALPHA A SHIFT STO A

3 ALPHA A SHIFT STO B

× 3 SHIFT STO B

 SHIFT COPY =
 SHIFT COPY =

ấn = liên tục ta có : U10 = 115248; U11 = 537824; U12 = 1613472; U14 = 22588608; U15 = 105413804

Cách 3. Tính trên FX570MS, ES
ALPHA A ALPHA = 4 ALPHA B + 2 ALPHA A ALPHA :
ALPHA B ALPHA = 3 ALPHA A
CALC Máy hỏi: B? bấm 3 = A? bấm 1 =

ấn = liên tục ta có : U10 = 115248; U11 = 537824; U12 = 1613472; U14 = 22588608; U15 = 105413804
II. TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ.
1. Phương pháp quy nạp:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp
a 1 = 0

n(n + 1)
Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: 
(a n + 1) ; n ∈ N *
a n +1 =
(n + 2)(n + 3)



Giải:
- Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:
1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B
ANPHA C
÷ (
(

(

ANPHA =

ANPHA A

ANPHA

B + 1 )

ANPHA A

+ 2 )
ANPHA

(

(

ANPHA A

ANPHA A
:

ANPHA

+ 3 )
A

+ 1 )

)

×

ANPHA =

ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C

1 7 27 11 13 9
,
,
,
,
, ,...
6 20 50 15 14 8
- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:
1 5
1.5
7 2.7 2.7
27 3.9
=
=
=
a1 = 0; a2 = = =
; a3 =
; a4 =
6 30 3.10
20 40 4.10
50 5.10
...

- Ta được dãy:


⇒ dự đoán công thức số hạng tổng quát: a n =
* Chứng minh a n +1 =

a n +1 =

(n − 1)(2n + 1)
10(n + 1)

n(2n + 3)
10(n + 2)

n(n + 1)
n(n + 1)  (n − 1)(2n + 1) 
n(n + 1) (n − 1)(2n + 1) + 10(n + 1)
(a n + 1) =
+ 1 =

(n + 2)(n + 3)
(n + 2)(n + 3)  10(n + 1)
10(n + 1)
 (n + 2)(n + 3)

n(n + 1) 2n 2 − n − 1 + 10n + 10
n(n + 1) 2n 2 + 9n + 9
n(n + 1) (2n + 3)(n + 3)
=

=
=
(n + 2)(n + 3)
10(n + 1)
(n + 2)(n + 3) 10(n + 1)
(n + 2)(n + 3) 10(n + 1)
n(2n + 3)
Vậy a n +1 =
10(n + 2)
2003.4009
⇒ a 2004 =
20050
a1 = 1, a 2 = 3
Ví dụ 2: Xét dãy số: 
* Chứng minh rằng số A = 4a n.an+2 + 1 là số chính
a n + 2 = 2a n +1 − a n + 1; n ∈ N

phương.
Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 SHIFT STO A × 2 - 1 + 1 SHIFT STO B
× 2 -

ANPHA A

+ 1 SHIFT

STO A

× 2 -

ANPHA B

+ 1 SHIFT

STO B

∆

SHIFT

COPY

= ... = ...

- Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- Tìm quy luật cho dãy số:
1(1 + 1)
2(2 + 1)
3(3 + 1)
4(4 + 1)
5(5 + 1)
a1 = 1 =
; a2 = 3 =
; a3 = 6 =
; a 4 = 10 =
; a 5 = 15 =
2
2
2
2

2
n(n + 1)
Dự đoán công thức số hạng tổng quát: a n =
2
(n + 2)(n + 3)
* Chứng minh a n + 2 =
2
Ta có a n + 2 = 2a n +1 − a n + 1 = 2.
a n +2 =

(n + 1)(n + 2) n(n + 1)
2n 2 + 6n + 4 − n 2 − n + 2 n 2 + 5n + 6
−
+1 =
=
2
2
2
2

(n + 2)(n + 3)
2

- Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
⇒A là một số chính phương.
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)

2. Phương pháp phương trình đặc trưng:
Ví dụ. Cho dãy U n + 2 = U n +1 + U n , U 0 = U1 = 1 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
B1. Lập phương trình đặc trưng, Giải phương trình, tìm nghiệm đặc trưng.


+ Lập phương trình: Thay u bởi x, n bởi 0, chuyển chỉ số thành số mũ

U n + 2 = U n +1 + U n ⇒ x n + 2 = x n +1 + x n ⇒ x 0+ 2 = x 0 +1 + x 0 ⇒ x 2 = x1 + x 0 ⇒ x 2 − x − 1 = 0
+ Giải phương trình: x1 =

1+ 5

; x2 =

1− 5

2
2
n
n
n
+ Nghiệm tổng quát phương trình đặc trưng: x n = c1x1 + c 2 x 2 + ... + c k x k ( x1 , x 2 ,..., x k là nghiệm pt
n

n

1+ 5 
1− 5 
+
c

đặc trưng) ⇒ x n = c1 
÷
÷
2
 2 
 2 

n

n

1+ 5 
1− 5 
B2. Tìm số hạng tổng quát: Thay x bởi u, giải tìm c ⇒ U n = c1 
÷ + c2 
÷
 2 
 2 

5 +1
c1 + c 2 = 1
c1 =

U0 = 1 
2 5

1− 5  ⇒ 
⇔  1+ 5 

 U1 = 1

c1  2 ÷+ c2  2 ÷ = 1 c = 5 − 1



 
 1 2 5
n

n

n +1

n +1

5 +1 1 + 5 
5 −11 − 5 
1 1+ 5 
1 1− 5 
⇒ Un =
+
=
−

÷

÷

÷

÷

2 5  2 
2 5  2 
5 2 
5 2 


BÀI TẬP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY (01-11-2013)
Bài 1: Cho dãy số un =

(2 + 3)n − (2 − 3)n
n = 1; 2; 3 …
2 3

a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy số này.
b) Lập một quy trình tính un trên máy casio

b.Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un
c. Tìm tất cả các số tự nhiên n để un chia hết cho 3

13+ 3 ) - ( 13- 3 )
Bài 2. Cho dãy số bởi công thức : U = (
n

n

n

2 3

với n = 1, 2, 3, ……, k, …..

a. Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
b. Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1
c. Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1
13+ 3 ) - ( 13- 3 )
Bài 3. Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức: U = (
n

n

b. Chứng minh rằng : U n =

a. Tính U1; U2; U3; U4

n

2 3

U n +1 + 166U n −1
26

c. Lập quy trình bấm phím tính Un+1 . Tính U8 - U5

a 3n + a n
Bài 4: Cho dãy số a1 = 3; an + 1 =
.
1 + a 3n
a. Lập quy trình bấm phím tính an + 1

b. Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10

1
xn3 + 1
Bài 5: Cho dãy số x1 = ; xn +1 =
.
2
3

a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1

Tính x30 ; x31 ; x32

4 + xn
Bài 6: Cho dãy số xn +1 =
(n ≥ 1)
1 + xn

a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.
b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.
Bài 7: Cho dãy số xn +1 =

4 xn2 + 5
(n ≥ 1)
1 + xn2

a) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1
2

Bài 8: Cho dãy số x1 = 0,5 , xn +1 =

11xn + 3
2
xn

+1

*

( ∀n ∈ N )

- Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn+1 theo xn
Bài 9: Cho dãy số x10 = 1 , xn =

2
11xn +1 + 3
2
xn +1 + 1

Tính x100

- Tính x5; x10
*

( ∀n ∈ N ) Hãy tính x1 ; x5

Bài 10. Dãy số {xn} xác định như sau: x0 = 3, x n +1 =

3.x n − 1
, n = 1;2;3;…
xn + 3

a. Lập qui trình ấn phím để tính xn và tính x3 ; x6 ; x9 ; x12.
b. Tính x2009.
Bài 11. Cho dãy xác định bởi U1 = 1, U 2 = 3, U n = 3U n −1 khi n chẳn và U n = 4U n −1 + 2U n −2 khi n lẻ.
a) Lập trình ấn phím liên tục tính Un
b) Tính U10 , U11 , U12 , U14 , U15
Bài 12. Dãy số {un} xác định như sau: u1 = 1 ; u2 = 2

2,008u n −1 + 2,009u n −2
un = 
 2,008u n −1 − 2,009u n −2
a. Lập qui trình tính un.

ví i n lÎ
ví i n ch¼
n

b. Tính u5; u10; u15; u20.