ĐỀ 10 đề THI môn TOÁN có lời GIẢI

Luy n gi i

môn Toán 2014

Th y

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

Th i gian làm bài: 180 phút
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
Câu 1 (2,0 i m). Cho hàm s

mx3 3mx2 3 m 1 có

y

th là Cm .

a) Kh o sát và v
th hàm s v i m 1 .
b) Ch ng minh r ng v i m i m 0
th Cm luôn có hai i m c c tr A và B, khi ó tìm các giá tr
c a tham s m

2 AB 2

OA2 OB2

20 (trong ó O là g c t a

Câu 2 (1,0 i m). Gi i ph

ng trình 2

Câu 3 (1,0 i m). Gi i ph

ng trình 1
2

Câu 4 (1,0 i m). Tính tích phân I
3

1
sin
sin x
6

2x

).

4sin x 1

2
3
2x 4
(x
x
x
x 1
x 1

ln
dx .
3
x 1
x 1

1
.
2sin x

).

Câu 5 (1,0 i m). Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác vuông cân t i C, c nh huy n b ng 3a, G
là tr ng tâm tam giác ABC, bi t SG
cách t B

n m t ph ng (SAC ) theo a.

Câu 6 (1,0 i m). Cho hai s th c d
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A

ng x, y th a mãn x3
x

2

y3

1.

2

y
.
(1 x)(1 y)

II. PH N RIÊNG (3,0 i m) Thí sinh ch
A. Theo ch

a 14
. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng
2

( ABC ), SB

c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)

ng trình Chu n

Câu 7.a (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a
phân giác trong và trung tuy n qua

Oxy, cho tam giác ABC có ph

nh B là d1 : x

y 2 0; d 2 : 4 x 5 y 9 0 .

ng trình

ng
1
i m M 2;
2

15
. Tìm t a các nh A, B, C.
6
Câu 8.a (1,0 i m). Trong không gian Oxyz, cho m t c u (S ) : ( x 2) 2 y 2 ( z 1) 2 4 . Vi t ph ng
thu c c nh AB và bán kính

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là R

trình m t ph ng ( ) ch a tr c Oy và ti p xúc v i m t c u (S).
Câu 9.a (1,0 i m). Gi i b t ph
B. Theo ch

ng trình

10 1

log3 x

10 1

log3 x

2x
.
3

ng trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 i m). Trong m t ph ng t a
Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình
ng th ng
AB :2 x y 1 0 , ph ng trình
ng th ng AC : 3 x 4 y 6 0 và i m M (1; 3) n m trên
ng
th ng BC th a mãn 3MB 2 MC . Tìm t a
tr ng tâm G c a tam giác ABC.
Câu 8.b (1,0 i m). Trong không gian Oxyz, cho các i m A(1; 0; 0), B (0; 1; 2), C (2; 2; 1) . Tìm t a
i m D trong không gian cách
Câu 9.b (1,0 i m). Gi i ph

u ba i m A, B, C và cách m t ph ng (ABC) m t kho ng b ng

ng trình log 3 ( x 2) log 4 ( x

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

2

3.

4 x 3) .

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014

Th y

L I GI I
Câu
1

Ý
a (1,0 i m)

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

10:

áp án

V i m 1 , hàm s
TX :

x3 3x 2

ã cho có d ng: y

Gi i h n: lim ( x3 3 x2 )
x

i m

3
x

lim x3 1

x

; lim ( x 3 3 x 2 )
x

0,25

3
x

lim x 3 1

x

S bi n thiên c a hàm s .
x
x

Ta có: y ' 3 x 2 6 x ; y ' 0
BBT:

x
y’

0
2

0
0
0

0,25

2
0

y
4
Hàm s

ng bi n trên m i kho ng

Hàm s

tc c

Hàm s

t c c ti u t i i m x

it i i m x

;0 và 2;

0 ; giá tr c c

, ngh ch bi n trên kho ng 0; 2 .

i c a hàm s là y 0

0

2 ; giá tr c c ti u c a hàm s là y 2

0,25
4.

th :
Giao i m v i tr c tung là i m 0; 0 .
y

x

0

0

x 3

Nh n xét: i m I 1; 2 là tâm
th hàm s .

b

i x ng c a

0,25

(1,0 i m)
Ta có: y ' 3mx 2 6mx
Do y '
V i x

i d u qua x
0

y

x

y' 0

.
x 2
2 nên hàm s luôn có hai i m c c tr .

0 và x

3 m 1 ; x

0

2

y

m 3.

Do vai trò c a A, B nh nhau nên ta có th gi s
Ta có: OA2 OB 2 2 AB 2

20

0,25

9 m 1

2

0,25

A 0;3m 3 , B 2; m 3
4

m 3

2

2 4 16m 2

20

0,25

m 1
11m2

6m 17

V y m 1; m
2

0

m

17
11

0,25

17
là các giá tr c n tìm.
11

(1,0 i m)

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014
K: sin x

Th y

0 . PT t

ng

ng v i 4sin x 2 sin

1
cos 2 x
2

2(2sin x 1)

3
sin 2 x
2

ng Vi t Hùng (0985.074.831)
8sin 2 x 2sin x 1

2x

6

(2sin x 1)(4sin x 1)
0,25

2sin x 1 0
cos 2 x

3 sin 2 x

4sin x 1

x
x
3 sin 2 x

sin x

3

2

0,25

Z)

k2

4sin x 2sin 2 x 2 3 sin x cos x 0

cos x

1

6

ng trình có nghi m: x

k2

5
6

k2 ; x

6

7
6

x

(k

k2 ; x

Z)
7

6

0,25
k2

k

(1,0 i m)
k: 1

2
x

x 2
x

0

Khi ó ph

0
2

0.25
2
ng v i x 1
x

ng
x2

ng trình

2( x 2
t 1

2x

x 2 2 x ta có 2t 2 t 3 0

t: t

x2 2 x 1

t 1
+) V i x

2 : Ph

tt

x 2 2 x ph

t

x
x

0

ng trình ã cho t

+) V i x > 0 : Ph

3
2

x2

K t lu n: Ph
4

(k

4sin x 1

3 cos x

V y ph

k2

6
5
6

) 2sin x 1 0

) cos 2 x

0,25

2x

x2

2x 1

4x 3

2x ) 3

3
(L)
2

t

0.25

x

1

2 (L)

x

1

2 (Tm)

x2

ng trình

2x

2

2( x 2

2x

ng trình tr thành 2t 2

2 x) 3
t
1 (L)
t 3 0
3
t
2
x

3
2

4( x 2

4

x
4

52
4

;x

1

52
4

4x2 8x 9 0

2 x) 9

ng trình có nghi m x

0.25

4

52
4

(L)

0.25

2.

(1,0 i m)
2

I
3

tt

x 1

x 1
ln
dx
3
x 1
x 1
x 1
x 1

+) V i x

dt

2
x 1

3

t

1
2
2

2

3

x 1
x 1
ln
x 1
x 1

2
x 1

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

2

dx
0.25

dx

2; x

2

t

3

t i Moon.vn

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014

Th y

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

3

1
t ln tdt
22
1
u ln t u '

t
t
I
2
t
v' t v
2
9
5
V y I
ln 3 ln 2
4
8
(1,0 i m)
+) Do ó: I

5

3

3

t2
ln t
4
2

1
tdt
42

3

t2
ln t
4
2

t2
8

0.5

3

2

0.25

S

A

B

H
G

M
I

C

Vì tam giác ABC vuông cân t i C, AB 3a
G i M là trung i m AC

MC

BG

2
BM
3

a 5
2

SG

SB 2

K GI

AC ( I

AC )

AC

(SGI )

1
BC
3

Ta có GI
Ta có
6

3a
2 2

1
GH 2

a
. K GH
2

1
GS 2

1
GI 2

SI ( H

a

VS . ABC

SI )

a
3

GH

0.25

3a 5
2 2

MB
BG 2

3a
2

CA CB

GH

1
SG.S
3

(SAC )

ABC

3a 3
( vtt)
4

d (G , (SAC )) GH

d ( B,( SAC )) 3d (G, ( SAC )) 3GH

a 3

0.25

0.25

0.25

(1,0 i m)
t S

x

M t khác ( x
Ta có A

xy . Ta có x3

y;P
y)

3

4( x

3

x2 y 2
(1 x)(1 y)

Xét hàm s

Ta có f '( S )

f (S )

3

y )

y3 1
4

S 2 2P
P 1 S

3

S

P

S3 1
3S

S 1
0.25

4.

S3 2
.
( S 1)3

S3 2
v i1 S
( S 1)3

3(S 2 2)
( S 1) 4

S 3 3 PS 1

3

0.25

4 . Hàm f(S) liên t c và có

o hàm
0.25

3

0 nên hàm f(S) ngh ch bi n trên 1; 4 .

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014
Suy ra f ( S )

3

f

Th y
6

4
3

4 1

V y GTNN c a A b ng

7.a

.

3

6
3

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

,

3

t

c khi x

y

4 1

0.25

1
.
3

2

(1,0 i m)
+) Tìm

ct a

+) Vi t

c ph

B(1;1) . G i M’

3
;0
2
y 3 0

0,25

i x ng v i M qua d1, ta d có M '

ng trình các c nh AB : x 2 y 3 0; BC : 2 x
4
3
Suy ra góc gi a AB và BC: cos
sin
.
5
5

Áp d ng nh lí hàm sin ta
c AC 2 R sin B 2 R sin
3 AC 2 9
3 a
a t 9 a 4t
+) Gi s A a;
, C t ;3 2t
N
;
là trung i m AC.
2
2
4
N d2
a 5; t 2
Gi i h
a
3; t 0
AC 3

8.a

0,25

0,25

+) Lo i k A, C khác phía v i d và d2 ta
c c p i m th a mãn là A(5; 1), C (2; 1)
V y t a các nh c a tam giác ABC là A(5; 1), B (1;1), C (2; 1).
(1,0 i m)

M t ph ng

có vtpt là n

nên ( ) i qua i m O suy ra
( ) ch a Oy nên n

(a; b; c) trong ó a2 + b2 + c2
: ax by cz

0 . Do ( ) ch a tr c Oy

0.

(a; b; c) vuông góc v i j (0;1;0) suy ra b = 0

9.a

0.25

0.25

4
a ch n a = 3; c = 4 ta có
3

: 3x 4 z

0.

(1,0 i m)
K: x 0 (*)
B t PT

tt

10 1
10 1
3

Gi i ra ta
7.b

0.25
0.25

M t c u có tâm I(2; 0; 1), bán kính R= 2 và ( ) ti p xúc v i m t c u suy ra kho ng
c 0
2a c
cách t I n ( ) b ng bán kính v y ta có
2
4
c
a
a2 c2
3
+) V i c = 0 ch n a = 1 ta có
: x 0
+) V i c =

0,25

T ó ta
(1,0 i m)

log3 x

10 1

log3 x

2 log3 x
.3
3

log 3 x

(t > 0) , BPT tr thành t

10 1
.
3
c t p nghi m c a b t ph

1
t

log3 x

10 1

3

2
3

2
3

0.25

0.25
ng trình ã cho là S = [3;

ng th ng (AB) nên B a;1 2a ,

T

2 4b;3b

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

log3 x

0.25

ct

Vì B thu c
ng t : C

10 1
3

).

0.25

0.25

t i Moon.vn

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014
Ta có: MB

Th y

a 1; 4 2a , MC

Ta có AB

AC

A

3 a 1

2MC

TH2: 3MB

2

3 4 2a

B 3; 5 , C

2 3b 3
G

b

2

3 4b

a 3

2 3b 3

b 0

2 MC

8
3

G 1;

0.25

0.25

7 10
8
và G 1;
th a mãn
;
3
3
3

V y có hai i m G

2MC ho c 3MB
11
5
6
5

7 10
;
3
3

3 4 2a

2; 0

a

3 4b

3 a 1

2MC

0.25

2MC nên ta có: 3MB

11 17
14 18
;
,C
;
5
5
5
5

B

8.b

3 4b;3b 3

A 2; 3 .

Vì B, M, C th ng hàng, 3MB
TH1: 3MB

ng Vi t Hùng (0985.074.831)

bài.

(1,0 i m)
Gi s D a, b, c .
+) G i n là vtpt c a (ABC). n
n
AB; AC

AB và n
3;3; 3

AC nên ch n
3 1; 1;1

Ph ng trình m t ph ng (ABC): x y
+) Theo gi thi t ta có h ph ng trình:
a 1
a 1

2

b2 c2

2

b

2

c

a2

2

a b c 1

b 1
2

a 2

2

c 2

b 2

2

z 1 0

2

a b 2c
c 1

2

2

a 2b c

4

a b c 1

3

3

0.5

3

0.25

a c
b 2 c
a b c 1

3

a c
b 2 c

a

a

0

b 0 ho c b 2
c 2
c 0

c 1 1
9.b

2

0.25

V y có hai i m th a mãn yêu c u c a
(1,0 i m)
K: x
ta có ph
Hàm s

3.

t log 3 ( x 2) t

ng trình t
f (t )

1
M t khác f
2

4
9

t

1

log 4

3t

0
2

x
1

D(2; 0; 2) và D(0; 2; 0) .
3t

2

4t

9t 1

4
9

t

1
9

0.25

t

1 (1)

t

1
ngh ch bi n trên nên ph ng trình (1) có t i a 1 nghi m.
9
1
t
là nghi m duy nh t c a ph ng trình (1)
2

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

t

0.25

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!


Luy n gi i

môn Toán 2014
1
V it
x 2
3
2
K t h p v i i u ki n ta có nghi m ph

Th y

ng Vi t Hùng (0985.074.831)
0.25

ng trình ã cho là x

2

3.

0.25

CHÚC CÁC EM H C T P T T!

Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i

t i Moon.vn

t

c k t qu cao nh t trong k TS H 2014!