Tuyển tập đầy đủ các chuyên đề ôn thi Đại học Cao đẳng môn Toán (có lời giải chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (39.11 MB, 594 trang )
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
1
TUYỂN TẬP
99 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CỰC TRỊ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
= + − + − +
f x x m x m m
; (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1
2) Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
2.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
+ (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
3.Câu I (2 điểm). Cho hàm số
3 2
3
= + +
y x x m
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −4.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho
0
120 .
=AOB
4.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số :
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) ( m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
5.Câu I .(2 điểm) Cho hàm số
4 2 2
2
y x mx m m
= + + +
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng
0
120
.
6.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số :
3 2 3
3 1
2 2
= − +
y x mx m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng y = x.
7.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
4 3 2
2 3 1 (1)
= + − − +y x mx x mx
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
8.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
y x m m x m
4 2 2
2( 1) 1
= − − + + −
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
9.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
y x mx m x
3 2 2
2 9 12 1
= + + +
(m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
CÑ CT
x x
2
=
.
10.Câu 1: ( 2điểm)
Cho hàm số y = 4x
3
+ mx
2
– 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x
1
và x
2
thỏa x
1
= - 4x
2
11.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3 2
( ) 3 1 1
y f x mx mx m x
= = + − − −
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số
( )
y f x
=
không có cực trị.
12.Câu I: Cho hàm số
4 3 2
x 2x 3 x 1 (1)
y x m m= + − − +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
2
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
13.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
y m 1 x mx 3m 2 x
3
= − + + −
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m 2
=
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
14.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
(
)
3 2
3 1 9 2
y x m x x m
= − + + + −
(1) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1.
2) Xác định m để (C
m
) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng
1
2
y x
=
.
15.Câu I: Cho hàm số y = x
3
+ mx + 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
16.Câu I Cho hàm số :
323
m
2
1
mx
2
3
xy +−=
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
2/ Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đt y = x
17.Câu I Cho hàm số:
2 2 3
( 1) 4
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
( )
m
C
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m= -1
2.Tìm các giá trò của tham số m để đồ thò
( )
m
C
có 1 điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ
(II) và 1
điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ (IV) của mặt phẳng toạ độ
18.Câu I. (2.0 điểm) Cho hàm số y =
x
x-1
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất.
19.Câu I. (2,0 điểm)Cho hàm số y = − x
3
− 3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).
20.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = − x
3
− 3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số thực.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).
21.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số
mxxmxy −++−= 9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
22.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x
3
– 3(m+1)x
2
+ 9x – m (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Xác định các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
3
23.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x
3
+ (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
24.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y =
1
3
x
3
– mx
2
+(m
2
– 1)x + 1 ( có đồ thị (C
m
) )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tìm m, để hàm số (C
m
) có cực đại, cực tiểu và y
CĐ
+ y
CT
> 2 .
25.Câu I (2 điểm): Cho hàm số : y = (x – m)
3
– 3x (1)
1. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
26.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= − + −
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
27.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = –x
3
+ 3x
2
+ mx – 2 (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
28.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x +1 có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
+∞;2
29.Câu I.(2đ) Cho hàm số
(
)
4 2
1 3 5
y m x mx
= − − +
1.Khảo sát với m=2
2.Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
30.Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số
(
)
(
)
4 2 2
2 2 5 5
y f x x m x m m
= = + − + − +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác
vuông
cân.
31.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
(
)
3 2
y x 3 m 1 x 9x m 2
= − + + + −
(1) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
1) Xác định m để (C
m
) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng
1
2
y x
=
.
32.Câu I:(2,0 điểm) Cho hàm số
3
(3 1)
y x x m
= − −
(C ) với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) khi
1
m
=
.
2. Tìm các gíá trị của m để đồ thị của hàm số (C) có hai điểm cực trị và chứng tỏ rằng hai
điểm cực trị này ở về hai phía của trục tung.
33.Câu 1: Cho hàm số
7)1(2)1(
24
−+++−= mxmxmy
1) Định m để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu
2) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=0
b) Dùng (C), biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:
0
4
4
12
8)
4
4
12
(
2
2
2
2
2
=+
+
−
+−
−
+
−
+−
a
x
x
xx
x
x
xx
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
4
34.Câu 1: Cho hàm số:
m
x
mmxmmx
y
+
++++
=
24)2(
222
1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm tương ứng có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ
(II) và 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) của mặt phẳng toạ độ.
2) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=-1. Dùng (C), biện luận theo a số nghiệm
thuộc
]3;0[
π
của phương trình:
04cos)1(cos
2
=−+−+ mxmx
35.Câu 1: Cho hàm số
mxmxmy −++−+= 2)1(3)1(
3
(C
m
)
1) Chứng minh họ đồ thị (C
m
) có 3 điểm cố định thẳng hàng
2) Khảo sát hàm số khi m=1
3) Tìm phương trình parabol (P) qua điểm cực đại, cực tiểu của (C) và tiếp xúc với y=4x+9
36.Câu 1: Cho hàm số
323
43 aaxxy +−=
(a là tham số) có đồ thị là (C
a
)
1) Xác định a để (C
a
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đừơng thẳng y=x
2) Gọi (C’
a
) là đừơng con đối xứng (C
a
) qua đừơng thẳng: x=1. Tìm phương trình của (C’
a
).
Xác định a để hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của (C’
a
) là 12
37.Câu I: (2 điểm). Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số
có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
38.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
+∞;2
39.Câu I : ( 2 điểm ). Cho hàm số y = x
3
+ ( 1 – 2m)x
2
+ (2 – m )x + m + 2 . (C
m
)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
40.Câu I. (2,0 điểm)
Cho hàm số y = − x
3
− 3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số thực.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).
41.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= + − −
(1) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành m
ột
tam giác
có diện tích bằng
4 2
.
42.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3
3 1
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Đường thẳng
( ): 1
y mx
∆ = +
cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác
0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để
ADB
là góc vuông.
43.Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
4 2 2
y x 2m x 1
= − −
(1), trong đó m là tham số thực.
7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có
diện tích bằng 32.
44.Câu I (2 điểm)
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
5
Cho hm s
4 2 2
2
y x mx m m
= + + +
(1) , vi
m
l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi
2
m
=
.
2. Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to
thnh mt tam giỏc cú gúc bng 120
0
.
45.Cõu I (2 im)
Cho hm s
4 2
2
y x mx
=
(1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
1
m
=
.
2. Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tiu v hỡnh phng gii hn bi th hm s vi
ng thng i qua hai im cc tiu y cú din tớch bng 1.
46.Cõu I (2 im) Cho hm s
3 2
1
2 3
3
y x x x
= +
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) .
2. Gi
A, B
ln lt l cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s (1). Tỡm im M thuc
trc honh sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 2.
47.Cõu I (2 im)
Cho hm s
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
= + +
(1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
1
m
=
.
2. Tỡm m hm s (1) cú cc i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi
gc to O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O.
48.Cõu I (2 im)
Cho hm s
23
23
+= mxxxy
(1) vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2. nh m hm s (1) cú cc tr, ng thi ng thng i qua hai im cc tr ca th
hm s to vi hai trc ta mt tam giỏc cõn.
49.Cõu I (2 im) Cho hm s
mmmxxy +=
224
22
(1) vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2 nh m th ca hm s (1) cú ba im cc tr l ba nh ca mt tam giỏc vuụng.
50.Cõu 1. ( 2,0 im ) Cho hm s y = x
3
+ 2(m 1)x
2
+(m
2
4m + 1)x 2(m
2
+ 1) (1).
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc i,
cc tiu ca th hm s (1) vuụng gúc vi ng thng
5
2
9
+= xy
.
51.Cõu 1: ( 2,0 im)Cho hm s
3 2
2( 1) 9 2
y x m x x m
= + +
(1)
1) Vi
4
m
=
. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2) Tỡm m
( )
m
hm s (1) t cc tr ti
1 2
,
x x
tho món
1 2
2.
x x
=
52.Câu I: (2 im) Cho hm s
(
)
mxmmxmxxf ++++= 2)2(3)1(3
23
(1) (m là tham số)
1. Kho sát s bin thiên v v đồ th hm s (1) khi
2
=
m
.
2. Tìm m để đồ th hm s (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của th
hm s (1)
tới trục
Ox
bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của th hm s (1) tới trục
Oy
.
53.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x
3
3x
2
3m(m + 2) x 1 (1) , vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m=0.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú hai giỏ tr cc tr cựng du.
54.Cõu I (2 im) Cho hm s
(
)
3
3 2
m
y x mx C
= +
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(
)
1
C
2. Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
(
)
m
C
cắt đường tròn tâm
(
)
1;1 ,
I
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn
nhất
55.Câu I: ( 2,0 điểm ) Cho hàm số
1mx2xy
24
+
++
+−
−−
−=
==
=
(1).
1/.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1m
−
−−
−
=
==
=
.
2/.Tìm các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua
ba điểm này có bán kính bằng 1.
56.Câu I:(2.0 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
= − − + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 0.
2. Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam
giác có diện
tích lớn nhất.
57.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
4
− 2x
2
+ 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (C) sao cho đường thẳng AB song song với trục hoành và
khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến AB bằng 8.
58.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= + − −
(1) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành m
ột
tam giác
có diện tích bằng
4 2
.
59.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3
3 1
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Đường thẳng
( ): 1
y mx
∆ = +
cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác
0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để
ADB
là góc vuông.
60.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2
y x mx
= −
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
61.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc
trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
62.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
= − + + − − −
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với
gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
63.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
23
23
+−−= mxxxy
(1) với m là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2.Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
64.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
(
)
4 2
4 1 2 1
y x m x m
= − − + −
có đồ thị
(
)
m
C
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
7
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số khi
3
2
m
=
.
2. Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
65.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
4
– 2(m
2
– m + 1)x
2
+ m – 1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
66.Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = x
3
– 3mx
2
+ 3(m
2
– 1)x – m
3
(C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = –2.
2. Chứng minh rằng (C
m
) ln có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định
67.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= − +
(
)
C
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số
2.Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
(
)
C
tiếp xúc với đường tròn có phương
trình
( ) ( )
2 2
1 5
x m y m
− + − − =
68.Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y =
3
2
1
( 3) 2( 1) 1 (1)
3 2
x
m x m x− + − + +
( m là tham số thực)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hồnh độ lớn hơn 1.
69.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3 2
( ) 3 1 1
y f x mx mx m x
= = + − − −
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số
( )
y f x
=
khơng có cực trị.
70.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ
O.
71.Câu I : ( 2 điểm ). Cho hàm số y = x
3
+ ( 1 – 2m)x
2
+ (2 – m )x + m + 2 . (C
m
)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có cực trị đồng thời hồnh độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
72.Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số
mxmxxy 296
23
+++=
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng
5
4
.
73.Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số
3 2 2
y x 3x m m 1
= − + − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại , cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác
ABC bằng 7, với điểm C( – 2; 4 ).
74.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
+∞;2
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
8
75.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
m
y x m
x
= + +
−
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
2.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách
đường
thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.
76.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ
nhất.
77.Câu I: (2,0 điểm). Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ (m-1)x + 2.
1. Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m.
2. Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x = 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số
trong trường hợp đó.
78.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
79.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ
nhất.
80.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
(3 1) 3
y x m x
= + + −
(với
m
là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với
1
m
= −
.
2. Tìm tất cả các giá trị của
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân
sao
cho độ dài cạnh đáy bằng
3
2
lần độ dài cạnh bên.
81.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
4
– 2(m
2
– m + 1)x
2
+ m – 1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
82.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số
mxxmxy −++−= 9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
83.Câu I (2 điểm)Cho hàm số
y
=
2)1(2
24
−+−− mxmx
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
2
=
m
.
2. Tìm
m
để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
;1( )3
.
84.Câu I (2 điểm)Cho hàm số
y
=
2)1(2
24
−+−− mxmx
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
2
=
m
.
2. Tìm
m
để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
;1( )3
.
85.Câu I :( 2, 0 điểm) Cho hàm số
3 2
y (m 2)x 3x mx 5
= + + + −
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
9
2. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
86.Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số
(
)
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+−+−+=
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
87.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3
3 2
m
y x mx C
= − +
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(
)
1
C
Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
(
)
m
C
cắt đường tròn tâm
(
)
1;1 ,
I
bán
kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất
88.Câu I: ( 2,0 điểm ) Cho hàm số
1mx2xy
24
+
++
+−
−−
−=
==
=
(1).
1/.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1m
−
−−
−
=
==
=
.
2/.Tìm các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua
ba điểm này có bán kính bằng 1.
89.Câu I:(2.0 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
= − − + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 0.
2. Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam
giác có diện
tích lớn nhất.
90.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3
3 1
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Đường thẳng
( ): 1
y mx
∆ = +
cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác
0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để
ADB
là góc vuông.
91.Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
4 2 2
y x 2m x 1
= − −
(1), trong đó m là tham số thực.
9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
10. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có
diện tích bằng 32.
92.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
4 2 2
2
y x mx m m
= + + +
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
2
m
= −
.
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác có góc bằng 120
0
.
93.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2
y x mx
= −
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
94.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
95.Câu I (2 điểm)
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
10
Cho hm s
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
= + +
(1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
1
m
=
.
2. Tỡm m hm s (1) cú cc i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi
gc to O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O.
96.Cõu I (2 im) Cho hm s
23
23
+= mxxxy
(1) vi m l tham s thc.
3. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
4. nh m hm s (1) cú cc tr, ng thi ng thng i qua hai im cc tr ca th
hm s to vi hai trc ta mt tam giỏc cõn.
97.Cõu I (2,0 im) Cho hm s
(
)
4 2
4 1 2 1
y x m x m
= +
cú th
(
)
m
C
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th
(
)
C
ca hm s khi
3
2
m
=
.
2. Xỏc nh tham s m hm s cú 3 cc tr to thnh 3 nh ca mt tam giỏc u
98.Cõu I (2,0 im) Cho hm s
4 2
2 1
y x ( m )x m
= + +
(1), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 1.
2. Tỡm m th hm s (1) cú ba im cc tr A, B, C sao cho OA = BC, O l gc ta , A l
cc tr thuc trc tung, B v C l hai im cc tr cũn li.
99. Câu I.(2 điểm). Cho hàm số y = x
3
+( 1-2m)x
2
+(2-m)x + m +2. ( m là tham số ) (1)
1. Khảo sát Sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2.Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại ,điểm cực tiểu ,đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
www.MATHVN.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 1
10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI
ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Trong các các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán.
Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy
việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu. Ở bài viết nhỏ này sẽ
cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( và
đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi
kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài
toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công !
Trong bài viết này sẽ giới thiệu tới các em 8 phần: Trang
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………… 1
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… 2
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… 3 –12– 26
IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81
V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93
VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106
VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA
k
n
C …… 107 - 110
VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 2
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách
vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy
luận ra các công thức còn lại)
1
( 1))
1
u
u du C
1
2
1
1
1
1
; .
1 1
1 1
; ;
1
ax b
x
x dx C ax b dx C
a
du du
du u C C C
u u u
u
) ln
du
u C
u
2
ln
1
ln
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
)
ln
u
u
a
a du C
a
3
;
ln
1
;
x
x u u
x x ax b ax b
a
a dx C e du e C
a
e dx e C e dx e C
a
) sin cosudu u C
4
sin cos
1
sin( ) cos( )
xdx x C
ax b dx ax b C
a
) cos sinudu u C
5
cos sin
1
cos( ) sin( )
xdx x C
ax b dx ax b C
a
2
) cot
sin
du
u C
u
6
2
2
cot
sin
1
cot( )
sin ( )
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
2
) tan
cos
du
u C
u
7
2
2
tan
cos
1
tan( )
cos ( )
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
2 2
11 1 1
) ln
2 2
du u a
du C
u a a u a u a a u a
8
2 2
2 2
1
ln
2
1
ln
2
du u a
C
a u a u a
dx x a
C
x a a x a
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang
3
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
( )
( )
f x
I dx
g x
(*)
Chú thích: Sơ đồ trên được hiểu như sau :
Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc của tử số và mẫu số.
*) Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi đó ta chú ý tới bậc dưới mẫu số. Cụ thể:
++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 1 ta có luôn công thức trong bảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số.
++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 2 ta quan tâm tới hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới mẫu.
+) Nếu 0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành
hai biểu thức có mẫu bậc 1 (quay về trường hợp mẫu số có bậc bằng 1).
+) Nếu 0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để
đưa tích phân về dạng đã biết.
+) Nếu 0 tức khi đó ta không thể phân tích dưới mẫu số thành tích và hằng đẳng thức được.
-) Nếu trên tử là hằng số khác
0
ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển về dạng cơ bản
( theo cách đổi biến ở sơ đồ trên).
-) Nếu trên tử có dạng bậc nhất ta sẽ chuyển về bậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằng kĩ thuật vi phân
như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trường hợp trước đó (tử là hằng số khác
0
).
++) Nếu bậc của mẫu số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi biến hoặc các kĩ thuật:
Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân…
*) N
ế
u bậc của tử s
ố
lớn hơn hoặc b
ằ
ng b
ậc của mẫu s
ố
thì ta chuy
ể
n sang
TH2
(trư
ờ
ng h
ợ
p 2).
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 4
CHÚ Ý :
Việc đồng nhất hệ số dựa theo cách phân tích sau:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m n n
m n m n
A B x C
A A B x C B x Cf x
ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e
Sau đó quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng
nhau” từ đó tìm được các ,
i j
A B ,
j
C
( 1, ; 1, )i m j n hoặc có thể dùng cách chọn
x
để tìm các ,
i j
A B ,
j
C .
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính tích phân
2
2
0
2
dx
I
x x k
với : 1)
3
4
k
2)
1k
3)
4k
Giải: 1) Với
3
4
k
thì :
2
2 2 2 2
2
2
0 0 0 0
0
4 (2 3) (2 1) 2 2 2 1
2 ln
3
4 8 3 (2 1)(2 3) 2 1 2 3 2 3
2
4
dx dx x x x
I dx dx
x x x x x x x
x x
15
ln
7
2) Với 1k thì :
2
2 2
2 2
0
0 0
1
2 1 ( 1) 1
dx dx
I
x x x x
2
3
3) Với
4k
thì :
2 2
2 2
0 0
2 4 ( 1) 3
dx dx
I
x x x
Đặt
1 3 tan
x t
với ;
2 2
t
2
2
3
3.(1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
và
:0 2x
thì
:
6 3
t
Khi đó
23 3
3
2
6
6 6
3.(1 tan ) 3 3
3.(tan 1) 3 3
t dt
I dt t
t
3
18
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1
3
4 1
I dx
x
2)
0
2
2
1
2 3
dx
I
x x
3)
1
3
2
0
6 9
dx
I
x x
4)
1
4
2
0
2 2
dx
I
x x
5)
1
5
2
0
4 5
2
x
I dx
x x
6)
2
6
2
1
3 2
4 4 1
x
I dx
x x
7)
2
7
2
1
3
2 4
x
I dx
x x
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 5
Giải: 1)
2
2
1
1
1
3 3
ln 4 1
4 1 4
I dx x
x
3 7
ln
4 3
2)
0
2
2
1
2 3
dx
I
x x
0
1
( 1)(2 3)
dx
x x
1
5
0
1
(2 3) 2( 1)
( 1)(2 3)
x x
dx
x x
0
0
1
1
1 1 2 1 1 1 1
ln ln
5 1 2 3 5 2 3 5 6
x
dx
x x x
ln6
5
3)
1
1 1
3
2 2
0
0 0
1
6 9 ( 3) 3
dx dx
I
x x x x
1
12
4)
1 1
4
2 2
0 0
2 2 ( 1) 1
dx dx
I
x x x
Đặt
1 tan
x t
với
;
2 2
t
2
2
(1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
và
:0 1x
thì
: 0
4
t
Khi đó
0 0
2
0
4
2
4
4 4
(1 tan )
tan 1
t dt
I dt t
t
4
5)
1 1 1
1
5
2
0
0 0 0
4 5 ( 1) 3( 2) 1 3
ln 2 3ln 1
2 ( 1)( 2) 2 1
x x x
I dx dx dx x x
x x x x x x
4ln 2
Chú ý
: Việc phân tích
4 5 1 3( 2)x x x
có được là do ta đi tìm hệ số
,a b
thỏa mãn:
4 5 ( 1) ( 2) 4 5 ( ) 2
x a x b x x a b x a b
khi đó
4 1
2 5 3
a b a
a b b
6)
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1
3 7
2 1
3 2 3 7
2 2
4 4 1 (2 1) 2(2 1) 2(2 1)
x
x
I dx dx dx
x x x x x
2
1
3 7
ln 2 1
4 4(2 1)
x
x
3 7
ln3
2 6
7)
2 2 2 2
7
2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 2 4
3 1 (2 2) 1
2
4 4
2 4 2 4 2 2 4 2 4 2
x
x x dx
I dx dx dx A B
x x x x x x x x
(*)
+) Tính
2 2
2
2
2
2 2
1
1 1
(2 2) ( 2 4)
ln 2 4
2 4 2 4
x d x x
A dx x x
x x x x
2ln 2 (1)
+) Tính
2 2
2 2
1 1
2 4 ( 1) 3
dx dx
B
x x x
Đặt
1 3 tan
x t
với ;
2 2
t
2
2
3
3.(1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
và
: 1 2x
thì
:0
3
t
23 3
3
2
0
0 0
3.(1 tan ) 3
3 3
tan 1 3
t dt
B dt t
t
(2) . Thay (1) và (2) vào (*) ta được:
7
I
4 3
ln 2
3
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 6
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
1
1
2 2 4
2 1
x x x
I dx
x
2)
1
4 3 2
2
2
0
2 4 2
2 3
x x x x
I dx
x x
3)
2
3 2
3
2
1
4 4 7 2
4 4 1
x x x
I dx
x x
4)
1
2
4
2
0
( 1)
1
x
I dx
x
( D – 2013) 5)
2
2
5
2
0
2 1
2 4
x x
I dx
x x
Giải:
1)
2
2 2
3 2 3
2
1
1 1
1
2 2 4 5 5
1 ln 2 1
2 1 2 1 3 2
x x x x
I dx x dx x x
x x
10 5
ln3
3 2
2)
1 1 1
4 3 2
2 2
2
2 2
0 0 0
2 4 2 5 2( 1) ( 3)
1 1
2 3 2 3 ( 1)( 3)
x x x x x x x
I dx x dx x dx
x x x x x x
1
1
3
2
0
0
2 1
1 2ln 3 ln 1
3 1 3
x
x dx x x x
x x
2
2ln3 ln2
3
3)
2 2 2 2
3 2
3
2 2 2 2
1 1 1 1
4 4 7 2 6 2 3(2 1) 1 3 1
4 4 1 4 4 1 (2 1) 2 1 (2 1)
x x x x x
I dx x dx x dx x dx
x x x x x x x
2
2
1
3 1
ln 2 1
2 2 2(2 1)
x
x
x
11 3
ln3
6 2
4)
1
2
4
2
0
( 1)
1
x
I dx
x
( D – 2013)
1 1 1 1 1 1
2 2
1
2
4
2 2 2 2
0
0 0 0 0 0 0
1 2 2 2 ( 1)
1 ln( 1)
1 1 1 1
x x x x d x
I dx dx dx dx dx x x
x x x x
1 ln 2
5)
2 2 2
2
5
2 2 2
0 0 0
3
(2 2) 6
2 1 3 9
2
2 2
2 4 2 4 2 4
x
x x x
I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
2
2 2
0 0 0
3 ( 2 4)
2 6
2 2 4 2 4
d x x dx
dx
x x x x
2
2
0
3 3
2 ln( 2 4) 6 4 ln3 6
2 2
x x x I I
(*)
Tính
2 2
2 2
0 0
2 4 ( 1) 3
dx dx
I
x x x
Đặt 1 3tan
x t
(với ;
2 2
t
)
2
2
2 2
3
3(1 tan )
cos
( 1) 3 3(1 tan )
dx dt t dt
t
x t
và
:0 2x
thì
:
6 3
t
23 3
3
2
6
6 6
3(1 tan ) 3 3 3
3(1 tan ) 3 3 18
t dt
I dt t
t
(2*). Thay (2*) vào (*) ta được:
5
I
3 3
4 ln3
2 3
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 7
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
1)
1
3
1
4 2
0
3 2
x
I dx
x x
(B – 2012) 2)
1
7
2
4 2
0
(3 2 )
x
I dx
x
3)
2
2
3
4 2
1
1
( 3 2)
x
I dx
x x x
4)
2
4
2 2
1
2 3
( 2 )( 4 3)
x
I dx
x x x x
5)
1
2
5
4 3 2
2
1
4 6 4 1
x
I dx
x x x x
6)
2
6
3 5
1
dx
I
x x
7)
1
7
3
0
(1 2 )
x
I dx
x
8)
2
8
2014
1
1
dx
I
x x
9)
0
2
9
8
1
(1 )
x dx
I
x
Giải: 1)
1
3
1
4 2
0
3 2
x
I dx
x x
(B – 2012) Đặt
2
t x 2dt xdx
hay
2
dt
xdx
và :0 1x thì :0 1t
1 1 1 1
2
1
4 2 2
0 0 0 0
. 1 . 1 2( 1) ( 2) 1 2 1
3 2 2 3 2 2 ( 1)( 2) 2 2 1
x xdx t dt t t
I dt dt
x x t t t t t t
1
0
1
ln 2 ln 1
2
t t
3
ln3 ln 2
2
2)
1
7
2
4 2
0
(3 2 )
x
I dx
x
Đặt
3 3
4
4
1
8
8
3 2
3
2
dt x dx x dx dt
t x
t
x
và :0 1x thì :3 1t
Khi đó
1 1 1 3
7 4
3
2
4 2 4 2 2 2
0 0 3 1
3
1 1 3
2
.
(3 2 ) (3 2 ) 8 16
t
x x t
I dx x dx dt dt
x x t t
3
3
2
1
1
1 3 1 1 3
ln
16 16
dt t
t t t
2 ln3
16
3)
2
2
3
4 2
1
1
( 3 2)
x
I dx
x x x
Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
và
:1 2x thì :1 2t
Khi đó
2 2
2
3
2 4 2 2
1 1
( 1) 1 1
.
( 3 2) 2 ( 3 2)
x t
I xdx dt
x x x t t t
Lúc này ta sẽ phân tích
2
1
( 3 2)
t
t t t
thành tổng các phân thức có mẫu bậc 1 bằng phương pháp đồng nhất
hệ số . Cụ thể:
2
1 1
( 3 2) ( 1)( 2) 1 2
t t A B C
t t t t t t t t t
1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)t A t t Bt t Ct t
(*)
Việc tìm
, ,A B C
có thể làm theo 2 cách :
Cách 1:
2
(*) 1 ( ) (3 2 ) 2t A B C t A B C t A khi đó
1
0
2
3 2 1 2
2 1 3
2
A
A B C
A B C B
A
C
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 8
Cách 2: +) Chọn
0t
thì (*) có dạng:
1
1 2
2
A A
+) Chọn
1t
thì (*) có dạng:
2 2B B
+) Chọn
2t
thì (*) có dạng:
3
3 2
2
C C
Vậy
2
2
3
1
1
1 1 2 3 1 3
ln ln( 1) ln( 2)
2 2 1 2( 2) 4 4
I dt t t t
t t t
7ln3 11.ln 2
4
4)
2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
( 2 )( 4 3) ( 2)( 1)( 3) ( 3 )( 3 2)
x x x
I dx dx dx
x x x x x x x x x x x x
Cách 1
: (đổi biến)
Đặt
2
3t x x
(2 3)dt x dx
và :1 2x thì : 4 10t
Khi đó
10
10 10
4
4 4
4
1 1 1 1
ln
( 2) 2 2 2 2
dt t
I dt
t t t t t
1 15
ln
2 12
Cách 2
: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân)
2 2
2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1
( 3 2) ( 3 ) (2 3)
1 1 (2 3) (2 3)
2 ( 3 )( 3 2) 2 3 3 2
x x x x x
x dx x dx
I dx
x x x x x x x x
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 1
1
1 ( 3 ) ( 3 2) 1 3
ln
2 3 3 2 2 3 2
d x x d x x x x
x x x x x x
1 15
ln
2 12
5)
1
2
5
4 3 2
2
1
4 6 4 1
x
I dx
x x x x
Chia cả tử và mẫu trong biểu thức tích phân cho
2
x
ta được:
1 1
2
2
5
2
2
2 2
2
2
1
1
1
1
4 1
1 1
4 6
4 6
dx
x
x
I dx
x x
x x
x x
x x
Cách 1
: (đổi biến) Đặt
1
t x
x
2
2 2
2
1
1
1
2
dt dx
x
t x
x
và
: 2 1x
thì
5
: 2
2
t
Khi đó
2
2 2 2
5
2 2 2
5
5 5 5
2
2 2 2
1
( 2) 4 6 4 4 ( 2) 2
dt dt dt
I
t t t t t t
1
36
Cách 2
: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt)
1
1 1
2
5
2 2
2 2
2
1 1
1 2
1
1
1 1 1
2
4 4 2
dx d x
x x
I
x
x x x
x
x x x
1
36
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 9
6)
2 2
6
3 5 3 2
1 1
(1 )
dx dx
I
x x x x
Cách 1: (đổi biến)
Đặt
2
t x
2
2
dt
dt xdx xdx
và :1 2x thì :1 4t
Khi đó
2 4
6
4 2 2
1 1
1
(1 ) 2 ( 1)
xdx dt
I
x x t t
4
2
1
1 ( 1)
2 ( 1)
t t
dt
t t
4 4
2 2
1 1
1 1 1 1 1 ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
t t
dt dt
t t t t t t
4
4
2
1
1
1 1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2
t
dt
t t t t t
3 1 5
ln
8 2 8
Cách 2
: (Dùng kĩ thuật tách ghép)
2 2
2 2
6
3 2 3 2
1 1
(1 ) 1 1
(1 ) (1 )
x x
I dx dx
x x x x x
2 2
2 2
3 2 3 2
1 1
1 (1 ) 1 1
(1 ) 1
x x x
dx dx
x x x x x x
2 2
2
3 2
1 1
1 1 1 (1 )
2 1
d x
dx
x x x
2
2
2
1
1 1 3 1 5
ln ln(1 ) ln 2 ln
2 2 8 2 2
x x
x
3 1 5
ln
8 2 8
7)
1
1 1 1
7
3 3 2 3 2
0 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
(1 2 ) 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) (1 2 ) 2 2(1 2 ) 4(1 2 )
x x
I dx dx dx
x x x x x x
1
18
8)
2
8
2014
1
1
dx
I
x x
Đặt
2014 2013 2013
1 2014
2014
dt
t x dt x dx x dx
và :1 2x thì
2014
: 2 1 2t
Khi đó
2014 2014
2 1 2 1 2
2013
8
2014 2014
1 2 2
1 1 1 1
2014 ( 1) 2014 1
1
x dx dt
I dt
t t t t
x x
2014
1 2
2
1 1
ln
2014
t
t
2014
2015ln 2 ln(1 2 )
2014
9)
0
2
9
8
1
(1 )
x dx
I
x
Đặt
1t x dt dx
và
: 1 0x
thì
:1 2t
Khi đó
2
2 2 2
2 2
9
8 8 8 7 6 7 6 5
1 1 1
1
(1 ) 1 2 1 2 1 1 1 1
7 3 5
t dt t t
I dt dt
t t t t t t t t
33
4480
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1)
2
2
1
3
1
1x
I dx
x
2)
ln2
3
2
0
1
x
I e dx
Giải:
1)
2
2
1
3
1
1x
I dx
x
Đặt
2 2 2
2 2
1 1
1
tdt xdx
t x t x
x t
và cận
:0 3t
2 2 3 3
2 2 2
1
3 4 2 2 2 2
1 1 0 0
1 1. .
( 1) (1 )
x x xdx t tdt t
I dx dt
x x t t
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 10
Đặt
2
2
tan (1 tan )
cos
du
t u dt u du
u
và cận
:0
3
u
2 2 2 23 3 3 3
2 2
1
2 2 2 2
0 0 0 0
tan .(1 tan ) tan sin
.cos sin
(1 tan ) 1 tan cos
u u du u u
I du udu udu
u u u
3
3
0
0
1 cos2 1 1 3
sin 2
2 2 4 6 8
u
du u u
4 3 3
24
2)
ln2
3
2
0
1
x
I e dx
Đặt
2
3 3
3
3
1 1
1
x
x x
x
t dt e dx
t e t e
e t
và cận
:0 1t
ln2 ln2 1 1 1
3 2 3
3
2
3 3 3
0 0 0 0 0
1. .3 1
1 3 3 1
1 1 1
x x
x
x
e e dx t t dt t dt
I e dx dt
e t t t
Ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số:
2
3 2 2
1 1
1 .( 1) ( )( 1)
1 ( 1)( 1) 1 1
A Bt C
A t t Bt C t
t t t t t t t
2
0
1 1 2
1 ( ) ( ) 0 ; ;
3 3 3
1
A B
A B t A B C t A C A B C A B C
A C
( Có thể chọn
0t
và
1t
được ba pt 3 ẩn
, ,A B C
rồi giải tìm được
, ,A B C
(máy tính có thể giúp ) )
Vậy ta có:
3 2 2
1 1 2 1 1 2
1 3( 1) 3( 1) 3 1 1
t t
t t t t t t t
1
2
2
0
1 2
3
1 1
t
I dt
t t t
1 1 1 1
2
2 2 2
0 0 0 0
1
(2 1) 1
1 1 1 ( 1)
2
3 3
1 1 1 2 1 1
t
d t t dt
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1
3 ln( 1) ln( 1)
2
t t t t J
3 ln 2 J
(*) với
1 1
2
2
2
0 0
1
1 3
2 2
dt dt
J
t t
t
Đặt
2
2
2
2
2
3 3(1 tan )
2cos 2
1 3
tan
2 2
1 3 3
(1 tan )
2 2 4
u
dt du du
t
t u
t u
và :0 1t thì cận
:
6 6
u
26 6
6
2
6
6 6
3(1 tan ) 4 2 3 2 3 2 3
.
2 3(1 tan ) 3 3 9
u
J du du u
u
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta được :
2
I
2 3
3 ln 2
9
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 11
Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi
chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay
là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có:
( ) ( )
f t dt g x dx
thì
xảy ra 2 khả năng:
+) Trong đề bài có chứa
( )
g x dx
(có thể phải thêm bước tách ghép, thêm bớt để nhìn thấy nó) và phần còn
lại của biểu thức dưới dấu tích phân (nếu có) còn chứa biến
x
mà ta rút được theo
t
. Khi đó xác suất ta đi
theo hướng này đúng là cao.
+) Trong đề bài không có lượng
( )
g x
để ta chỉnh (vì
dx
đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt
( )
g x
đi cùng hay phải có
( )
g x dx
thì ta mới chuyển được theo
( )
f t dt
). Khi đó các em nên nghĩ tới việc tự
nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉnh bằng cách nhân với lượng tương ứng ở dưới mẫu số
và phần phát sinh thêm sau khi nhân cùng với biểu thức trước đó sẽ rút được theo
t
(ở cả hai bài toán trên
ta đã tự nhân cả tử và mẫu lần lượt với
x
và
x
e )
Bài luyện
Tính các tích phân sau: 1)
1
2
0
2
dx
I
x x
( Đs:
1 1
ln
3 4
) 2)
1
2
2
0
4 11
5 6
x
I dx
x x
( Đs:
9
ln
2
)
3)
3
3
3
2
0
2 1
x
I dx
x x
( Đs:
9
3ln 4
4
) 4)
3
3
4
2
0
1
x dx
I
x
( Đs:
3
ln 2
2
)
5)
1
5
4 2
0
4 3
xdx
I
x x
( Đs:
1 3
ln
4 2
) 6)
1
2
6
2
0
3 10
2 9
x x
I dx
x x
( Đs:
1 4
1 ln
2 3
)
7)
0
7
2 2
1
( 4 3)( 4 4)
dx
I
x x x x
( Đs:
1 3 1
ln
2 2 6
) 8)
1
2
8
4 2
0
2 1
dx
I
x x
( Đs:
1 1
ln3
3 4
)
9)
1
9
4 2
0
3 4
dx
I
x x
( Đs:
ln3
20
) 10)
1
10
4 2
0
4 3
dx
I
x x
( Đs:
(9 2 3)
72
)
11)
1
11
3
0
(1 3 )
x
I dx
x
( Đs:
1
8
) 12)
1
12
2
2
0
1
dx
I
x
( Đs:
2
8
) 13)
1
3
13
2
8
0
4
x dx
I
x
( Đs:
1 ln3
96 128
)
14)
1
14
3
0
1
dx
I
x
( Đs:
1 3
ln 2
3 18
) 15)
6 10
2
2
15
4
1
1
1
x
I dx
x
( Đs:
2
6
) 16)
1
4
16
6
0
1
1
x
I dx
x
(Đs:
3
)
17)
1
2
17
4 3 2
1
2
2
2 5 4 4
x
I
x x x x
( Đs:
3
44
) 18)
1
18
2 2
0
2 5
( 3 2)( 7 12)
x
I dx
x x x x
( Đs:
1 5
ln
2 4
)
19)
1
19
4 3 2
0
2 1
2 3 2 3
x
I dx
x x x x
( Đs:
3
ln
5
) 20)
2
2
20
4 2
1
3
( 3 2)
x
I dx
x x x
( Đs:
13 21
ln3 ln2
4 4
)
21)
1
21
2
0
( 1)( 2)
xdx
I
x x
( Đs:
3
ln 2
20 5
) 22)
1
2
22
3 2
0
2 5 2
2 4 8
x x
I dx
x x x
( Đs:
1 3
ln
6 4
)
23)
2
3 2
23
4 3
1
4 1x x x
I dx
x x
( Đs:
8 15
ln
3 7
) 24)
5
3 2
24
2 2
3
4 2 1
( 1)
x x x
I dx
x x
( Đs:
15 2
ln
2 15
)
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 12
2. TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng các em cần nắm
được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau với
1;5k
(có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :
2
0
sin
k
A xdx
2
0
cos
k
B xdx
4
0
tan
k
C xdx
2
4
cot
k
D xdx
2
3
1
sin
k
E dx
x
6
0
1
cos
k
F dx
x
4
6
1
tan
k
G dx
x
3
4
1
cot
k
H dx
x
Giải:
*) Với k = 1 . Ta có:
+)
2
2
1
0
0
sin cosA xdx x
1
+)
2
2
1
0
0
cos sinB xdx x
1
+)
4 4 4
4
1
0
0 0 0
sin cos 2
tan ln cos ln
cos cos 2
x d x
C xdx dx x
x x
1
ln 2
2
+)
2 2 2
2
1
4
4 4 4
cos sin 2
cot ln sin ln
sin sin 2
x d x
D xdx dx x
x x
1
ln 2
2
+)
2
1
3
1
sin
E dx
x
Cách 1:
2 2 2
1
2 2
3 3 3
1 sin sin
sin sin 1 cos
x x
E dx dx dx
x x x
. Lúc này ta có 2 cách trình bày
Cách trình bày 1: Đặt
cost x
sindt xdx
và
:
3 2
x
thì
1
: 0
2
t
Khi đó
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2
1
2
0 0 0 0
0
1 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1
ln
1 (1 )(1 ) 2 (1 )(1 ) 2 1 1 2 1
dt dt t t t
E dt dt
t t t t t t t t
1
ln3
2
Cách trình bày 2:
2 2
2
1
3
3 3
cos 1 1 1 1 1 cos
cos ln
(1 cos )(1 cos ) 2 1 cos 1 cos 2 1 cos
d x x
E d x
x x x x x
1
ln3
2
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 13
Cách 2:
2 2
2 2 2 2 2 2
1
3 3 3 3 3 3
sin cos sin cos cos sin
1 1 1
2 2 2 2 2 2
sin 2 2
2sin cos cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
dx dx d d
E dx dx
x x x x x x
x
2
2
3
3
ln cos ln sin ln tan
2 2 2
x x x
1
ln3
2
Cách 3:
2 2 2 2
1
2
3 3 3 3
tan
1 1
2
sin
2sin cos 2tan cos tan
2 2 2 2 2
x
d
dx
E dx dx
x x x x x
x
2
3
ln tan
2
x
1
ln3
2
+)
6 6 6
1
2 2
0 0 0
1 cos cos
cos cos 1 sin
x x
F dx dx dx
x x x
( tính tương tự như
1
E
- hoặc đổi biến hoặc vi phân)
6 6
6
0 0
0
1 sin 1 1 1 1 1 sin
sin ln
2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 1 sin 2 1 sin
d x x
d x
x x x x x
1
ln3
2
+)
4 4 4 4
4
1
6
6 6 6 6
1 cos sin
cot ln sin ln 2
tan sin sin
x d x
G dx xdx dx x
x x x
1
ln 2
2
+)
3 3 3 3
3
1
4
4 4 4 4
1 sin cos 2
tan ln cos ln
cot cos cos 2
x d x
H dx xdx dx x
x x x
1
ln 2
2
*) Với k = 2 . Ta có:
+)
2 2
2
2
2
0 0
0
1 1 1
sin (1 cos2 ) sin 2
2 2 2
A xdx x dx x x
4
+)
2 2
2
2
2
0 0
0
1 1 1
cos (1 cos2 ) sin 2
2 2 2
B xdx x dx x x
4
+)
4 4
2
4
2
2
0
0 0
1
tan 1 tan
cos
C xdx dx x x
x
4
4
+)
2 2
2
2
2
2
4
4 4
1
cot 1 cot
sin
D xdx dx x x
x
4
4
+)
2
2
2
2
3
3
1
cot
sin
E dx x
x
3
3
+)
6
6
2
2
0
0
1
tan
cos
F dx x
x
3
3
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 14
+)
4 4 4
2
4
2
2 2
6
6 6 6
1 1
cot 1 cot
tan sin
G dx xdx dx x x
x x
3 1
12
+)
3 3 3
2
3
2
2 2
4
4 4 4
1 1
tan 1 tan
cot cos
H dx xdx dx x x
x x
3 1
12
*) Với k = 3 . Ta có:
+)
32 2 2
2
3 2 2
3
0 0 0
0
cos
sin sin .sin (1 cos ) cos cos
3
x
A xdx x xdx x d x x
2
3
(có thể đặt cost x )
+)
3
2 2 2
2
3 2 2
3
0 0 0
0
sin
cos cos .cos (1 sin ) sin sin
3
x
B xdx x xdx x d x x
2
3
(có thể đặt
sint x
)
+)
4 4 4 4
3 3 2
3
2
0 0 0 0
tan
tan tan tan tan tan (1 tan ) tan tan
cos
x
C xdx x x x dx x x x dx x dx
x
2
4 4 4
4
1 1
2
0 0 0
0
tan tan
tan tan tan
cos 2
x x
dx xdx xd x C C
x
1 1
ln2
2 2
( các em có thể xem lại cách tính
1
1
ln 2
2
C
đã tính ở trước đó với k = 1 )
+)
2 2 2 2
3 3 2
3
2
4 4 4 4
cot
cot cot cot cot cot (1 cot ) cot cot
sin
x
D xdx x x x dx x x x dx x dx
x
22 2 2
2
1 1
2
4
4 4 4
cot cot
cot cot cot
sin 2
x x
dx xdx xd x D D
x
1 1
ln 2
2 2
(các em có thể xem lại cách tính
1
1
ln 2
2
D
đã tính ở trước đó với k = 1 )
+)
2 2 2
3
3 4 2 2
3 3 3
1 sin sin
sin sin (1 cos )
x x
E dx dx dx
x x x
Đặt cos sint x dt xdx và
1
: 0
2
t
Khi đó
1 1 1
2
2 2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
0 0 0
(1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) 2(1 ).(1 )
(1 ) 4 (1 ) .(1 ) 4 (1 ) .(1 )
t t dt
dt t t t t
E dt
t t t t t
1 1
2 2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 2 1 1 1 1 1
4 (1 ) (1 ) (1 ).(1 ) 4 (1 ) (1 ) 1 1
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1 1 1 1
ln
4 1 1 1
t
t t t
1 1
ln3
4 3
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 15
+)
6 6 6
3
3 4 2 2
0 0 0
1 cos cos
cos cos (1 sin )
x x
F dx dx dx
x x x
Đặt
sin cost x dt xdx
và
:0
6
x
thì
1
:0
2
t
Khi đó
1 1 1
2
2 2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
0 0 0
(1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) 2(1 ).(1 )
(1 ) 4 (1 ) .(1 ) 4 (1 ) .(1 )
t t dt
dt t t t t
F dt
t t t t t
1 1
2 2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 2 1 1 1 1 1
4 (1 ) (1 ) (1 ).(1 ) 4 (1 ) (1 ) 1 1
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1 1 1 1
ln
4 1 1 1
t
t t t
1 1
ln3
4 3
+)
4 4 4 4
3 3 2
3
3
6 6 6 6
1
cot cot cot cot cot (1 cot ) cot
tan
G dx xdx x x x dx x x x dx
x
4 4 4 4 4
2 2
6 6 6 6 6
cot cos cot cos sin
cot cot
sin sin sin sin sin
x x x x d x
dx dx dx xd x
x x x x x
2
4
6
cot
ln sin
2
x
x
1
1 ln 2
2
+)
3 3 3 3
3 3 2
3
3
4 4 4 4
1
tan tan tan tan tan (1 tan ) tan
cot
H dx xdx x x x dx x x x dx
x
3 3 3 3 3
2 2
4 4 4 4 4
tan sin tan sin cos
tan tan
cos cos cos cos cos
x x x x d x
dx dx dx xd x
x x x x x
2
3
4
tan
ln cos
2
x
x
1
1 ln2
2
*) Với k = 4 . Ta có:
+)
2
2 2 2 2
4 2
4
0 0 0 0
1 cos2 1 1 1 cos4
sin 1 2cos2 cos 2 1 2cos2
2 4 4 2
x x
A xdx dx x x dx x dx
2
2
0
0
1 3 1 1 3 1
2cos2 cos4 sin 2 sin 4
4 2 2 4 2 8
x x dx x x x
3
16
www.VNMATH.com
