Tính toán hình dáng và sự thay đổi độ dầy của vỏ bồn đựng chất lỏng có sức chịu đều, dưới tác dụng của áp lực chất lỏng và trọng lượng bản thân vỏ bồn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP
-----------------------------

PHẠM QUỐC HOÀN

TÍNH TOÁN HÌNH DÁNG VÀ SỰ THAY ĐỔI ĐỘ DẦY
CỦA VỎ BỒN ĐỰNG CHẤT LỎNG CÓ SỨC CHỊU ĐỀU,
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA ÁP LỰC CHẤT LỎNG VÀ
TRỌNG LƯỢNG BẢN THÂN VỎ BỒN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP
------------------------

PHẠM QUỐC HOÀN

TÍNH TOÁN HÌNH DÁNG VÀ SỰ THAY ĐỔI ĐỘ DẦY
CỦA VỎ BỒN ĐỰNG CHẤT LỎNG CÓ SỨC CHỊU ĐỀU,
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA ÁP LỰC CHẤT LỎNG VÀ
TRỌNG LƯỢNG BẢN THÂN VỎ BỒN

Chuyên ngành: Kỹ thuật máy và thiết bị cơ giới hóa nông lâm nghiệp
Mã số: 60.52.14

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ KHẮC BẢY

Hà Nội - 2012


i

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tố t nghiê ̣p Cao ho ̣c ta ̣i
Trường Đa ̣i Ho ̣c Lâm Nghiê ̣p, tác giả đã nhận được sự quan tâm, tận tình giúp
đỡ của các Thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại Trường Đại học Lâm nghiệp, đặc
biệt là thầy giáo - TS. Vũ Khắc Bảy - Người hướng dẫn khoa học, đã dành
nhiều thời gian, tận tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức quý báu trong
suốt thời gian học tập. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biế t ơn và ghi nhận
sự giúp đỡ quý báu đó. Xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo các khoa
thuộc trường Đại học Lâm nghiệp đã có nhiều ý kiến góp ý giúp tác giả hoàn
thiện Luận văn một cách hệ thống hơn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian còn hạn chế, nên đề tài
không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định, rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp quý báu của các Thầy cô giáo, Hội đồng khoa học của trường
để đề tài nghiên cứu của tôi được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè và
người thân trong gia đình đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt thời gian
học tập và hoàn thành bản luận văn tốt nghiệp này.

Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 06 năm 2012
Tác giả

Phạm Quốc Hoàn


ii

MỤC LỤC
Trang

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn .................................................................................................................. i
Danh mục các bảng ................................................................................................... iv
Danh mục các hình .................................................................................................... iv
ĐẶT VẤN ĐỀ ............................................................................................................1
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ...................................4
1.1

Các nghiên cứu về lý thuyết .........................................................................4

1.2 Đặt bài toán .......................................................................................................7
1.3 Mục tiêu của đề tài ............................................................................................8
1.4

Các bước thực hiện của nghiên cứu. ............................................................9

1.5 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Khả năng ứng dụng ...................................9
1.5.1 Đối tượng nghiên cứu ................................................................................9

1.5.2 Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................10
1.5.3 Khả năng ứng dụng ..................................................................................10
1. 6 Nội dung trình bày của luận văn ...................................................................10
1.7 Các kết quả đạt được của luận văn .................................................................11
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN .............12
2.1 Các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi .....................................................12
2.2 Các hệ thức cơ bản về lý thuyết màng của vỏ tròn xoay ................................13
2.2.1 Định nghĩa và các ký hiệu ........................................................................13
2.2.2 Phương trình cân bằng của vỏ tròn xoay chịu tải đối xứng trục ............18
CHƯƠNG 3 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT ĐỀU CỦA VỎ BỒN ĐỰNG
CHẤT LỎNG CÓ DẠNG VỎ TRÒN XOAY ......................................................23
3.1 Trạng thái ứng suất đều của vỏ tròn xoay chịu áp lực thủy tĩnh và trọng
lượng bản thân. ......................................................................................................23
3.2 Phương pháp tính toán hình dạng và độ dầy của vỏ tròn xoay có trạng thái
ứng suất đều tại mọi điểm , chịu áp lực thủy tĩnh và trọng lượng bản thân. .........26


iii

3.2.1 Tính toán hình dạng và độ dầy vỏ bồn .....................................................26
3.2.2 Tính toán thể tích bồn .............................................................................31
CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VỚI CÁC SỐ LIỆU CỤ THỂ..............32
4.1 Công cụ tính toán ............................................................................................32
4.2 Các kết quả tính toán .......................................................................................32
4.2.1

Tính toán với vật liệu bê-tông cốt thép : ..............................................33

4.2.2

Tính toán với vật liệu composite : .........................................................36

4.3 Nhận xét các kết quả tính toán ........................................................................40
KẾT LUẬN ..............................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO


iv

DANH MỤC CÁC BẢNG
Tên bảng

Trang

4.1

Tọa độ (v , t) và độ dầy h của các điểm trên kinh tuyến v

34

4.2

Tọa độ (v , t) và độ dầy h của các điểm trên kinh tuyến v

37

TT

DANH MỤC CÁC HÌNH
TT

Tên hình

Trang

1.1

Hình ảnh quá trình thi công xây dựng tháp chứa nước

5

1.2

Tháp chứa nước tại Trảng Bom – Đồng Nai

6

2.1

Mặt hình học vỏ

13

2.2

Mặt trung bình vỏ

13

2.3

Hình 2.3

19

2.4

Lực tác động lên mặt cạnh của phân tố

20

2.5

Hình 2.5

21

2.6

Cân bằng của vỏ trên vòng tròn vĩ tuyến

22

3.1

Chọn hệ tọa độ tính toán : Trục 0v và trục 0t

24

3.2

Hình 3.2

24

3.3

Tại đỉnh bồn

28

4.1

Mặt cắt đứng thành vỏ bồn

33

4.2

Mặt cắt đứng thành vỏ bồn

36


1

ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong sự nghiệp công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước lĩnh vực cơ
khí chể tạo lắp giáp sửa chữa máy, thiết kế, và thiết bị cho các loại hình công
nghệ sản xuất đóng vai trò hết sức quan trọng. Phạm vi sử sản phẩm của

nghành chế tạo lắp máy rất rộng rãi.từ những chi tiết nhỏ đơn giản đến những
chi tiết, sản phẩm có kích thước lớn phức tạp. Những sản phẩm này đều được
tạo ra nhờ các má móc thiết bị khác nhau. Với xu thế toàn cầu hóa để nâng
cao sức mạnh cạnh tranh trong quá trình hội nhập chúng ta cần phát triển theo
hướng tối giảm chi phí gia công trên cơ sở đảm bảo và nâng cao chất lượng
sản phẩm.
Trong xu thế toàn cầu hóa để nâng cao sức cạnh tranh trong quá trình
hội nhập chúng ta cần phát triển sản xuất theo hướng tối giảm chi phí gia
công trên cơ sở đảm bảo nâng cao chất lượng sản phẩm,cũng như thẩm mĩ.
Bồn chứa chất lỏng chủ yếu ta thấy nhiều trong công nghiệp hóa dầu tất
cả các hoạt động sản xuất buôn bán tích trữ đều liên quan đến khâu bồn bể
chứa. Bồn bể chứa tiếp nhận nguyên liệu trước khi đưa vào sản xuất và tồn trữ
sau sản xuất. Bồn chứa có vai trò rất quan trọng nó có nhiệm vụ tồn trữ
nguyên liệu và sản phẩm giúp ta nhận biết được số lượng tồn trữ. Tại đây các
hoạt động kiểm tra chất lượng, số lượng phân tích các chỉ tiêu trước khi xuất
hàng tiêu thụ đều được thực hiện.
Bồn chứa có nhiều loại : Dựa theo chiều cao xây dựng người ta có bể
ngầm, bể nổi, bể nửa ngầm và bể ngoài khơi. Dựa theo áp suất .Ta có bể cao
áp, bể áp lực trung bình, và bể áp thường. Phân loại theo vật liệu xây dựng ta
có bể kim loại và bể phi kim, cuối cùng dựa theo hình dạng ta có bể trụ đứng,
bể trụ nằm, bể hình cầu, hình giọt nước.


2

Bồn đựng chất lỏng ( tháp nước ) với kích thước lớn làm bằng vật liệu
kim loại hoặc bằng vật liệu composite thường được xây dựng trong các khu
công nghiệp và dân sinh. Bồn nước có dạng vỏ tròn xoay được đặt trên một trụ
giá đỡ. Do áp lực thủy tĩnh của chất lỏng nên trong các thành của bồn nước
xuất hiện ứng xuất , chuyển vị.

Nếu với một hình dáng tròn xoay tùy ý, dưới tác dụng của áp lực chất
lỏng và trọng lượng bản thân, tại mỗi điểm của vỏ sẽ có các ứng suất với
cường độ khác nhau theo các hướng. Để bồn làm việc trong giới hạn cho phép
thì cường độ ứng suất u phải nhỏ hơn cường độ ứng suất cho phép p tại
mọi điểm. Để tốn ít nguyên liệu xây dựng thì cần có được một hình dáng và
độ dầy hợp lý để ứng suất đều nhau theo các hướng tại mỗi điểm trên thành
vỏ. Do vậy, tính toán hình dạng tròn xoay và sự thay đổi độ dầy của vỏ bồn
đựng chất lỏng làm bằng vật liệu kim loại hay composite có sức chịu đều
mọi phía dưới áp lực thủy tĩnh và trọng lượng bản thân sẽ giúp cho việc xây
dựng các bồn đựng chất lỏng có dạng vỏ tròn xoay làm việc được an toàn và tối
ưu về vật liệu xây dựng.
Hình dạng các tháp nước này thường là vỏ nón hay dạng giọt nước. Tháp
nước dạng giọt nước ngoài việc là công trình thẩm mỹ nơi công cộng mà còn
là hình dạng vỏ có sức chịu đều theo các hướng dưới tác dụng của áp lực nước
và trọng lượng bản thân.
Vật liệu composite hiện được thay thế rất nhiều cho vật liệu kim loại
trong xây dựng.
Tính toán một cách chi tiết để tối ưu hóa cũng như có một chương trình
tính thuận tiện cho việc thiết kế và thi công khi xây dựng bồn nước có sức chịu
đều bằng vật liệu composite thì hiện nay chưa có đầy đủ.


3

Để đảm bảo cho bồn làm việc đảm bảo tính an toàn nhất hiệu quả và
kinh tế nhất đồng thời cũng đáp ứng được tính thẩm mĩ thì đòi hỏi việc thiết
kế cũng như tính toán phải hết sức tỉ mỉ và cẩn thận đảm bảo độ chính xác cao
nhất. Xuất phát từ những yêu cầu thực tiễn nêu trên, được sự đồng ý của hội
đồng khoa học- công nghệ cơ sở đào tạo SĐH trường ĐHLN, Tôi tiến hành
thực hiện luận văn tốt nghiệp với đề tài “Tính toán hình dáng và sự thay đổi

độ dầy của vỏ bồn đựng chất lỏng có sức chịu đều, dưới tác dụng của áp
lực chất lỏng và trọng lượng bản thân vỏ bồn ”


4

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1.1

Các nghiên cứu về lý thuyết
Nghiên cứu độ bền của kết cấu cơ học là một vấn đề đã và đang vẫn

được quan tâm. Trên cơ sở lý thuyết đàn hồi mà cơ bản có được quan hệ giữa
ứng suất – biến dạng theo Húc, người ta đã giải được khá nhiều bài toán về độ
bền của các kết cấu dạng bản, vỏ. Sự phát triển của các nghiên cứu cơ học đàn
dẻo với các mô hình lý thuyết đàn dẻo khác nhau, người ta cũng có được các
kết quả nghiên cứu và tính toán đàn – dẻo ở một số dạng kết cấu vỏ mỏng.
Bài toán về độ bền của vỏ có dạng tròn xoay đã được đề cập đến trong
[1], [2], [5]. Trong các công trình này các tác giả đã xây dựng được các phương
trình tính toán bền cho kết cấu vỏ dạng tròn xoay. Công trình [3] đã có nghiên
cứu độ bền và ổn định đàn - dẻo của vỏ nón chịu áp suất ngoài, trong công
trình này tác giả đã có xét đến ảnh hưởng của các đặc trưng vật liệu đến giá trị
lực tới hạn cũng như xét đến ảnh hưởng của độ mỏng của vỏ ( qua tỷ số

h
)
L

đối với giá trị lực tới hạn.

Bồn nước dạng vỏ có sức chịu đều chịu tải ngoài bởi áp lực thủy tĩnh và
trọng lượng bản thân vỏ, do đó ở đây ta chọn tham số tải ngoài là trọng lượng
riêng của chất lỏng  và trọng lượng riêng của vỏ là  B hay là trọng lượng
riêng trên một đơn vị diện tích mặt là q ( với q =  B . h , h là chiều dầy vỏ).
Do bài toán đàn hồi là duy nhất nghiệm, nên khi kết cấu cơ học làm việc
ở giai đoạn đàn hồi thì ứng với mỗi giá trị của tải ngoài sẽ có duy nhất một
trạng thái ứng suất , biến dạng , chuyển vị .
Tải trọng ngoài của bồn đựng nước là áp lực thủy tĩnh và trọng lượng
bản thân vỏ, chúng có cường độ và hướng khác nhau ở mỗi điểm. Vì vậy để có


5

được trạng thái ứng suất đều nhau theo các hướng thì vỏ cần có một hình dạng
và độ dầy nào đó.

Hình 1.1 Hình ảnh quá trình thi công xây dựng tháp chứa nước


6

Hình 1.2 Tháp chứa nước tại Trảng Bom – Đồng Nai


7

1.2 Đặt bài toán
Bồn đựng chất lỏng có dạng vỏ tròn
xoay. Vỏ bồn bị ngàm chặt trên một
trụ đứng theo đường tròn A-B

Vỏ có trọng lượng riêng  B và có
các đặc trưng vật liệu : mô đun đàn
hồi E , hằng số Poát-xông  .
Bồn đựng đầy chất lỏng có trọng
lượng riêng  .

Cần tính toán hình dạng của vỏ và quy luật thay đổi chiều dầy của vỏ để sao
cho ứng suất đều nhau tại mọi điểm của vỏ và bằng một giá trị  định trước.
Như vậy việc tính toán của vỏ bồn đựng chất lỏng có sức chịu đều dẫn đến vấn
đề cần được giải quyết :
Với yêu cầu sức chứa chất lỏng của bồn định trước.Với các thông số vật
liệu cho trước : E ,  B và trọng lượng riêng  của chất lỏng, thì hình dạng
của vỏ bồn tròn xoay cũng như sự thay đổi độ dầy h của vỏ phải như thế nào
để ứng suất tại mọi điểm đều nhau theo các hướng và bằng một giá trị định
trước.
Việc nghiên cứu của đề tài được đưa về bài toán : “Tính toán hình
dáng và sự thay đổi độ dầy của vỏ bồn đựng chất lỏng có sức chịu đều,
dưới tác dụng của áp lực chất lỏng và trọng lượng bản thân vỏ bồn ”


8

1.3 Mục tiêu của đề tài
Yêu cầu của bài toán đặt theo phần trên, tức là :
Với sức chứa chất lỏng của bồn được định trước. Với các thông số vật
liệu: E ,  B , và trọng lượng riêng của chất lỏng  T cho trước, thì hình dạng
của vỏ bồn tròn xoay cũng như sự thay đổi độ dầy h của vỏ phải như thế nào
để ứng suất tại mọi điểm đều nhau theo các hướng và bằng giá trị  định
trước.
Do vậy mục tiêu nghiên cứu của đề tài cần đạt được :

1. Mô hình hóa và thiết lập bài toán cơ học về độ bền của vỏ tròn xoay
chịu áp lực thủy tĩnh và trọng lượng bản thân với các điều kiện biên
xác định.
2. Tìm mối liên hệ giữa các thông số E ,  ,  B ,  T , h khi kết cấu làm
việc trong giới hạn đàn hồi.
3. Trên cơ sở mối liên hệ trên, tìm được profin của thiết diện vỏ và độ
dầy h dọc đường kinh tuyến của vỏ để cho ứng suất tại mọi điểm
của vỏ đều nhau theo các hướng và bằng giá trị  định trước.
4. Đưa ra được phần mềm tính toán sự phụ thuộc hình dạng của
thành vỏ bồn và sự thay đổi độ dầy h của thành vỏ với thể tích
chứa chất lỏng của bồn.
Mục tiêu thứ 3 và 4 có một ý nghĩa thực tế : cho phép thiết kế hình dạng
của vỏ bồn và quy luật thay đổi độ dầy h của vỏ, để khi bồn đựng đầy chất
lỏng sẽ có trạng thái ứng suất đều nhau theo các hướng tại mọi điểm và ứng
suất này bằng giá trị định trước , đồng thời tính toán được độ dầy của h cần
thiết để và bồn có sức chứa theo yêu cầu.


9

1.4

Các bước thực hiện của nghiên cứu.
Để giải quyết các mục tiêu của bài toán trên, đề tài cần phải thực hiện

được các bước sau:
Bước 1. Thiết lập các phương trình tính bền cho kết cấu vỏ tròn xoay.
Bước 2. Xác định trạng thái ứng suất màng của vỏ tròn xoay khi chịu
áp lực thủy tĩnh và trọng lượng bản thân.
Bước 3. Trên cơ sở xác định được trạng thái ứng suất màng của vỏ

tròn xoay, thiết lập được phương trình tính toán hình dạng của đường sinh và
độ dày h của vỏ với điều kiện ứng suất theo hai hướng : dọc đường kinh tuyến
và hướng vĩ tuyến là bằng nhau và bằng giá trị  định trước.
Bước 4. Đưa ra thuật toán giải bằng số các phương trình trên.
Bước 5. Lập trình tính toán để có được kết quả nhanh chóng khi thay
đổi các thông số. Do hình dạng vỏ bồn phụ thuộc vào giá trị của thông số
nên dẫn đến sức chứa của bồn phụ thuộc vào các thông số. Vậy nhờ chương
trình tính, ta có thể lựa chọn giá trị của thông số hợp lý để sức chứa của bồn
có giá trị định trước. Chẳng hạn : với các thông số vật liệu vỏ và trọng lượng
riêng chất lỏng cố định, khi đó độ dầy h phải như thế nào để bồn làm việc
trong trạng thái ứng suất đều và có sức chứa định trước.
Trong các bước thực hiện trên, bước 1 được thực hiện nhờ [1] , [2] , [3]
, [5], còn các bước tiếp theo được đề tài giải quyết.
1.5 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Khả năng ứng dụng
1.5.1 Đối tượng nghiên cứu
 Mô hình hóa bài toán tính toán bền của bồn đựng đầy chất lỏng có dạng

vỏ tròn xoay, có kể đến trọng lượng bản thân vỏ được đưa về dạng bài
toán: tính toán bền của vỏ tròn xoay chịu áp lực thủy tĩnh và trọng
lượng bản thân với các điều kiện biên xác định.


10

 Giải bài toán độ bền của vỏ tròn xoay chịu áp lực thủy tĩnh và trọng

lượng bản thân với điều kiện : trạng thái ứng suất đều nhau theo 2 hướng
: vĩ tuyến và kinh tuyến và bằng giá trị  định trước.
 Trên cơ sở mối liên hệ trên, tìm quan hệ giữa các đại lượng : E ,

 B , ,

 và h , để từ đó tìm được hình dạng của vỏ bồn và quy luật thay đổi
của h khi  cố định.


Đưa ra được phần mềm tính toán hình dạng thành vỏ bồn theo các
tham số vật liệu và theo ứng suất định trước  của thành vỏ.

1.5.2 Phạm vi nghiên cứu
 Tính toán bền của vỏ tròn xoay chịu áp lực thủy tĩnh và trọng lượng bản
thân , với điều kiện trạnh thái ứng suất đều theo các hướng và bằng giá
trị định trước.
 Có thể thay đổi các giá trị của các tham số E ,  ,  B ,  và h0 – ( độ
dầy của vỏ tại đỉnh bồn) - trong tính toán.
 Lập chương trình tính.
1.5.3 Khả năng ứng dụng
 Đề tài có khả năng ứng dụng tính toán khi xây dựng bồn chứa nước
dạng tròn xoay theo các thông số vật liệu vỏ cho trước E ,  B , và chất
lỏng được chứa trong bồn có trọng lượng riêng  . Bồn được thiết kế và
xây dựng sao cho trạng thái ứng suất của vỏ bồn đều nhau theo các
hướng vĩ tuyến và kinh tuyến và bằng giá trị  định trước và đồng thời
có sức chứa theo yêu cầu.
 Cho kết quả tính toán nhanh do xây dựng phần mềm.
1. 6 Nội dung trình bày của luận văn
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, 5 chương và phụ lục :
 Chương 1 : Tổng quan nội dung nghiên cứu


11

 Chương 2 : Cơ sở lý thuyết sử dụng trong luận văn
 Chương 3 : Trạng thái ứng suất đều của vỏ bồn đựng chất lỏng có
dạng vỏ tròn xoay.
 Chương 4: Kết quả tính toán với các số liệu cụ thể.
 Chương 5 : Kết luận
Phần phụ lục là code của chương trình tính trên Visual-Basic.
1.7 Các kết quả đạt được của luận văn
Kết quả nghiên cứu của đề tài đã thực hiện được :
- Xây dựng mô hình tính toán về hình dạng và độ dầy của vỏ bồn đựng
chất lỏng dạng tròn xoay để vỏ có trạng thái ứng suất đều khi chịu áp lực thủy
tĩnh và trọng lượng bản thân.
- Xây dựng các phương trình liên hệ giữa các tham số vật liệu, độ dầy
vỏ, ứng suất theo hai hướng vĩ tuyến và kinh tuyến bằng nhau và bằng  .
- Có thể thay đổi các giá trị của các tham số E ,  ,  B ,  và h0 – ( độ
dầy của vỏ tại đỉnh bồn) - trong tính toán.
- Viết phần mềm tính toán giúp cho việc lựa chọn các thông số trên
phù hợp khi xây dựng bồn chứa chất lỏng, để đảm bảo khi bồn chứa đầy chất
lỏng sẽ làm việc trong trạng thái ứng suất đều định trước và có sức chứa theo
yêu cầu.


12

CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
2.1 Các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi
+ Phương trình cân bằng

ij

 K j  0
xi

(2. 1a)

nếu không kể lực khối :

ij
xi

0

(2-1b)

+ Định luật Huc ( phương trình trạng thái)

ij  ij  2ij

(2- 2)

+ Hệ thức Cô-si

u j 
1  u
ij   i 

2  x j xi 
+ Điều kiện đầu

(2- 3)

tại t = 0 có :

* ui(x1 , x2 , x3 , 0) = ui0  x1 ,x2 ,x3 ,0 
*

ui
t

(2-4)

 vi0 (x1 ,x 2 ,x3 )
t0

+ Các điều kiện biên
 
* Trên biên Su cho chuyển vị : u  u b


* Trên biên S lực mặt F = Tn

hay là ij n j  Fi

(2-5)
(2-6)

Các phương trình (2-1a) (hoặc (2-1b) ), (2-2) , (2-3) cùng với các điều
kiện đầu (2-4) và các điều kiện biên (2-5), (2-6) lập thành một hệ kín xác
định 3 thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng
suất.

Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên đã
được chứng minh.


13

2.2 Các hệ thức cơ bản về lý thuyết màng của vỏ tròn xoay
2.2.1 Định nghĩa và các ký hiệu
Tương tự như lý thuyết tấm, ta gọi h là chiều dầy của vỏ và luôn coi
chiều này là nhỏ hơn nhiều so với các kích thước khác và bán kính cong của
vỏ ( ≤ 20 lần). Gọi mặt chia đôi chiều dầy của vỏ là mặt trung bình ( hay là
mặt giữa ). Nếu biết hình dạng của mặt trung bình và chiều dầy tại từng điểm
của mặt giữa thì ta có thể hoàn toàn xác định được vỏ về mặt hình học

Hình 2.1. Mặt hình học vỏ

Hình 2.2. Mặt trung bình vỏ


14

Để phân tích nội lực, ta tách trong vỏ một phân tố vô cùng nhỏ bởi hai
cặp mặt phẳng rất gần nhau cùng vuông góc với mặt trung bình của vỏ và
chứa các độ cong chính của vỏ. Chọn các trục tọa độ x và y theo phương tiếp
tuyến với đường cong chính tại điểm O như trên hình vẽ, còn trục z thì vuông
góc với mặt trung bình. Ký hiệu lần lượt bán kính cong chính trong các mặt
phẳng xz và yz là Rx và Ry .
Khi tính toán trạng thái biến dạng, ứng suất ở đây dựa theo giả thiết sau
 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của vỏ vẫn còn thẳng và
vuông góc với mặt trung bình của vỏ khi chịu uốn và độ dài của chúng

không đổi ( giả thiết pháp tuyến thẳng của Kirchhoff )
 Thành phần ứng suất pháp theo pháp tuyến với mặt trung bình được bỏ
qua.

Nếu gọi *x , *y , *xy là các thành phần của biến dạng của mặt giữa thì
các thành phần biến dạng sẽ là :
x  *x  z.x

trong đó x ; y
còn

;  y  *y  z. y

;  xy  *xy  z. xy

(2-7)

là độ cong mặt giữa của theo các phương x và y ,

xy là độ xoắn của mặt giữa. Các đại lượng này nếu biểu diễn theo các

thành phần chuyển dịch theo hệ thức Cô-si sẽ có dạng :

*x 

1 u
v 1 w


1 x 12 y R x

*y 

1 v
u 2 w


2 y 12 x R y

1     v     u 
*xy   1    2  
2  2 x   2  1 y  1 

(2-8)


15

x 

1  u
1 w  1  v
1 w  1








1 x  R x 1 x  12  R y 2 y  y

y 

1  v
1 w  1  u
1 w  2



 


2 y  R y 2 y  12  R x 1 x  x

1    v
1 w  1   u
1 w 
xy   2 
 2





2  1 x   2 R y 2 y  2 y   1 R x 12 x 
trong đó u , v , w

là chuyển dịch của mặt giữa, 1 ; 2 là hệ số

nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường của mặt giữa theo các
hướng x và y.
Ký hiệu các thành phần của ten-xơ ứng suất trên các mặt bên của phân
tố là : x ,  y , xy  yx , xz , yz . Khi đó hợp lực của các thành phần ứng
suất này trên một đơn vị chiều dài của mặt cắt vuông góc như trên hình sẽ là
:
h

h

2


z 
z 
N x    x 1 
dz
,
N


1



 dz
y
y




R
R
h
h

y 
x 

2
2
2

h

h

2


z 
z 
Nxy   xy 1 
dz , Nyx   yx 1 

 dz


R
R

h

h

y 
x 

2
2

h

2

(2-9)

h

2


z 
z 
Qx   xz 1 
dz , Qy   yz 1 

 dz


R

R
h
h

y 
x 

2
2
2

Mô men uốn và mô men xoắn trên một đơn vị chiều dài của mặt cắt
vuông góc được cho theo biểu thức :


16

h

h

2


z 
z 
M x    x z 1 
dz , M y   y z 1 

 dz



R
R
h

h


y
x


2
2
2

h

h

2


z 
z 
Mxy    xyz 1 
dz
,
M



z
1



 dz
yx
yx



R
R
h
h

y 
x 

2
2
2

Do h rất nhỏ so với Rx và Ry nên các đại lượng

(2-10)

z

z
,
là nhỏ nên
Rx Ry

cũng như trong tính toán về tấm, ta sẽ bỏ qua đại lượng này và do đó ta sẽ có
Nxy = Nyx và
h

2



Nx 

h

x dz , N y 

h



h

2

h

Qx 



h

h

Mx 

h

2

xz

dz , Qy 

2



x zdz ,
h



yz

dz



h

xy

zdz ,

2

xy

dz

2

(2-11)

2

My 

2



y

zdz

2

h

2



h

2

h

2

Nxy  N yx 

dz

h

h

Mxy  

y

2

2

h

2

h

2

Myx 

2



h

yx

zdz

(2-12)

2

Với trạng thái biến dạng trên thì theo Húc ta có được các thành phần

của ten- xơ ứng suất :
x 

E  *
 *y   z  x   y 
2  x
1 

y 

E  *
 *x   z   y  x 
2  y
1 

xy 

E
 *xy  z xy 
1 

(2-13)


17

Do vậy ta dẫn đến :

Nx 

Eh
*  *y 

2  x
1 

Ny 

Eh *
 *x 
2 y
1 

N xy 

(2-14)

Eh *
xy
1 

Mx   D x  y  ; My   D y  x  ;
Mxy   M yx   D 1    xy

Eh 3
ở đây D 
gọi là độ cứng trụ khi uốn
12(1  2 )
Như vậy, với giả thiết khi vỏ chịu uốn các đoạn thẳng vuông góc với
mặt trung bình ( mặt giữa) vẫn thẳng góc với mặt trung bình sau khi biến

dạng thì các biểu thị hợp lực trên một đơn vị dài Nx , Ny , Nxy và các mô men
Mx , My , Mxy là các hàm của sáu đại lượng : ba thành phần biến dạng mặt

giữa: *x , *y , *xy , hai đại lượng x ,  y biểu thị độ cong và xy biểu thị độ
xoắn của mặt giữa.
Trong rất nhiều bài toán khi xác định biến dạng của vỏ, ta có thể bỏ qua
ứng suất khi uốn mà chỉ xét đến ứng suất gây ra do biến dạng của mặt giữa.
Đó là các bài toán dạng như là bể chứa bằng vỏ mỏng hình cầu chịu áp lực
phân bố đều. Bài toán bể chứa bằng vỏ hình trụ chịu áp lực phân bố đều, trong
trường hợp này nếu bị ngàm chặt 2 đầu thì cũng chỉ có xảy ra uốn cục bộ.
Trong các trường hợp như vậy chỉ còn 3 đại lượng chưa biết :
Nx , Ny , Nxy = Nyx .
Ta gọi các lực Nx , Ny , Nxy = Nyx là các lực màng và lý thuyết vỏ
dựa trên cơ sở bỏ qua ứng suất khi uốn gọi là lý thuyết màng hay còn gọi là
lý thuyết phi mô men.


18

2.2.2 Phương trình cân bằng của vỏ tròn xoay chịu tải đối xứng trục
Kết cấu dạng vỏ tròn xoay được dùng nhiều trong các loại bể chứa, mái
vòm. Mặt tròn xoay được tạo nên khi có một đường cong phẳng quay quanh
một trục nằm tròng mặt phẳng chứa đường cong đó. Đường cong này được
gọi là đường kinh tuyến và mặt của nó được gọi là mặt phẳng kinh tuyến.
Dùng hai mặt phẳng kinh tuyến gần kề nhau và hai vòng tròn vĩ tuyến để tách
một phân tố ra khỏi vỏ. Vị trí kinh tuyến được xác định bởi góc  kể từ một
mặt kinh tuyến nào đó. Vị trí vòng vĩ tuyến được xác định bởi góc  hợp bởi
pháp tuyến của mặt và trục xoay. Mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng vuông
góc với kinh tuyến là hai mặt phẳng của độ cong chính tại một điểm nào đó
của mặt tròn xoay. Ký hiệu
phẳng kinh tuyến

R2 bán kính cong của đường cong theo mặt

và R1 là bán kính cong của đường cong thuộc mặt phẳng

vuông góc với mặt kinh tuyến. Còn bán kính của đường tròn vĩ tuyến là R0.


19

Hình 2.3
Với các ký hiệu nêu trên ta có được các cạnh của phân tố giao nhau tại
O sẽ có chiều dài là :
dy = R2 d 

; dx = R0 d  = R1 sin d

(2- 15)

khi đó diện tích của mặt phân tố sẽ là dx . dy = R1R2 sin dd
Vì tải trọng là đối xứng nên biến dạng sẽ đối xứng do đó không có lực
cắt tại các mặt của phân tố.
Ký hiệu N , N là các lực pháp tuyến trên một đơn vị chiều dài như
hình vẽ . Cường độ tải trọng ngoài tác động trong mặt phẳng kinh tuyến trong
trường hợp đối xứng này được phân tích thành hai thành phần X và Z song
song với các trục tọa độ. Nhân các thành phần này với diện tích
R1R2 sin dd ta được các thành phần tải trọng tác động lên phân tố.