Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp huyện quỳnh lưu

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
LỚP 9 Năm học 2013-2014

Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2,0 điểm)
x2 − x
x2 + x
−
Cho A =
x + x +1 x − x +1

a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B.
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0
Câu 3: (2,5 điểm)
a) Tìm x, y biết :

1
1
+
+ x+ y =4
x
y

b) Giải phương trình : x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 =

x+3
2

Câu 4: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y ≠ 0 . CMR :

x y
x2 y 2
+ 2 + 4 ≥ 3 + ÷
2
y
x
 y x

Câu 5: (2,0 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không
trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB,
kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM
cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại
K.
a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?
c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi
điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O.
------Hết------


ĐÁP ÁN
Câu 1: ( 2,0 điểm)

a) ĐKXĐ: x ≥ 0

(

)

(

)

x x3 −1
x x3 +1
x2 − x
x2 + x
A=
−
=
−
x + x +1 x − x +1
x + x +1
x − x +1

=

x

(

)(

) − x(

)(

)=

x −1 x + x +1

x +1 x − x +1

x + x +1

x − x +1

x

(

)

x −1 − x

(

)

x + 1 = x − x − x − x = −2 x

b) B = A + x – 1= −2 x + x − 1 = x − 2 x − 1 = ( x − 1) − 2 ≥ −2
2

Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
Câu 2: ( 1,5 điểm)
x 2 – 5xy + 6y 2 + 1 = 0 ⇔ 4x 2 − 20xy + 24y 2 + 4 = 0
⇔ (2x − 5y) 2 − y 2 + 4 = 0 ⇔ (2x − 5y) 2 − y 2 = −4 ⇔ (2x − 6y)(2x − 4y) = −1
⇔ (x − 3y)(x − 2y) = −1
KQ: (x; y) ∈ { (−5; −2); (5; 2)}

Câu 3: (2,5 điểm)
a) ĐKXĐ: x > 0; y > 0
2

2
1
1
1
1


+
+ x+ y =4⇔ x+
−2+ y +
−2 = 0 ⇔  x − 1  + y − 1 ÷ = 0

÷
x
y
x
y

x  
y÷


1

 x− x =0
x = 1

⇔
⇔
( TM ĐKXĐ)
y =1
 y− 1 =0

y

Vậy (x;y)=(1;1)

x+3
x+3
⇔ x −1+ 2 x −1 +1 + x −1− 2 x −1 +1 =
2
2
2
2
x+3
⇔
x −1 +1 +
x −1 −1 =

ĐKXĐ : x ≥ 1
2
x+3
⇔ x −1 +1 + x −1 −1 =
(*)
2
Nếu x ≥ 2 phương trình (*)
x+3
x+3
⇔ x −1 +1 + x −1 −1 =
⇔ 2 x −1 =
⇔ 4 x −1 = x + 3
2
2
⇔ 16( x − 1) = x 2 + 6 x + 9 ⇔ x 2 − 10 x + 25 = 0 ⇔ ( x − 5) 2 = 0 ⇔ x = 5 (TM)
Nếu 1 ≤ x < 2 phương trình (*)
x+3
x+3
⇔ x −1 +1 +1− x −1 =
⇔2=
⇔ 4 = x + 3 ⇔ x = 1 ( TM)
2
2

b) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 =

(

)

(

)


Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5
Câu 4: (1,0 điểm)
 x y
x y
x2 y 2
x 2 y2
(x 2 + y 2 − xy)(x − y) 2
+
+
4
≥
3
+
⇔
+
−
3
+
+
4
≥
0
⇔
≥0


÷

÷
y 2 x2
y2 x 2
x 2 y2
y x
 y x

Câu 5: ( 2,0 điểm)
a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường
·
·
kính) suy ra BEF
= KMF
= 900
1
2

Gọi C là trung điểm của KF ta có EC = CM = KF
hay EC = CM = CK = CF

Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một
đường tròn tâm C.
b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của
tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK
EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC
=

1

1
HF, mà EC= = KF nên HF=KF.
2
2

I
F

C
H

M

E
K

A

O
K là trực tâm của tam giác FAB nên FK ⊥ AB , mà
·
·
AH ⊥ AB do đó AH//KF suy ra KFE
.
= EAH
∆KEF = ∆HEA suy ra AH=KF
Do đó AH=AK=KF=EH và AF ⊥ HK nên tứ giác
AHFK là hình thoi.
c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà AM ⊥ BF nên HF ⊥ BF (1)
Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2)

Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định.

B