Phương pháp toán tử trong cơ học lượng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

======

ĐINH THỊ ÁNH TUYẾT

PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên bằng tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô
giáoPGS.TS.Lƣu Thị Kim Thanh, ngƣời đã hƣớng dẫn và tận tình chỉ bảo
cho em trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý,
trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý
báu trong suốt bốn năm học vừa qua.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè, những ngƣời
đã giúp đỡ động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa
luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Đinh Thị Ánh Tuyết


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó, em nhận đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện của các
thầy cô giáo trong khoa Vật lý. Đặc biệt sự hƣớng dẫn tận tình của cô giáo
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo
một số bàidạy của thầy cô trong trƣờng và một số tài liệu ghi trong mục tài
liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong đề tài “ Phƣơng
pháp toán tử trong Cơ học lƣợng tử ” không có sự sao chép, trùng lặp với bất
cứ đề tài nào khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Đinh Thị Ánh Tuyết


MỤC LỤC
PHẦN 1 : MỞ ĐẦU .......................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài. .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu. .................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. ................................................................ 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận. ....................................................................................... 2
PHẦN 2 : NỘI DUNG ...................................................................................... 3

CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CHỦ YẾU CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ ............. 3
1.1. Lƣỡng tính sóng –hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định Heisenberg. . 3
1.1.1. Lƣỡng tính sóng hạt của hạt vi mô. ......................................................... 3
1.1.2. Nguyên lí chồng chất các trạng thái. ....................................................... 6
1.1.3. Hệ thức bất định Heisenberg. .................................................................. 8
1.1.4. Nội dung của Nguyên lý Bất định ........................................................... 9
1.1.5. Ý nghĩa của Nguyên lý Bất định ........................................................... 10
1.2. Hàm sóng của hạt vi mô. .......................................................................... 10
1.2.1. Định nghĩa hàm sóng. ........................................................................... 11
1.2.2. Các tính chất của hàm sóng................................................................... 11
1.2.3. Ví dụ về hàm sóng................................................................................. 11
1.2.4. Hàm sóng của hệ N hạt. ........................................................................ 12
1.2.5. Trung bình của một đại lƣợng vật lý. .................................................... 12
1.2.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng. ........................................................... 12
1.3. Phƣơng trình Schrodinger ........................................................................ 13
1.3.1. Phƣơng trình Schrodinger dừng ........................................................... 14
1.3.2. Phƣơng trình Schrodinger thời gian. ..................................................... 16


1.3.3. Tính chất của phƣơng trình Schrodinger .............................................. 16
1.4. Vai trò của Cơ học Cổ điển. ..................................................................... 17
1.4.1. Cơ học Cổ điển là giới hạn của Cơ học Lƣợng tử. ............................... 17
1.4.2. Cơ học Cổ điển là cơ sở của Cơ học Lƣợng tử. .................................... 17
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 18
CHƢƠNG 2 : PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ .................................................. 19
2.1. Các đại lƣợng động lực và các toán tử. ................................................... 19
2.2. Điều kiện để hai đại lƣợng vật lí đồng thời xác định trong cùng một trạng
thái. .................................................................................................................. 25
2.3. Phƣơng pháp toán tử. ............................................................................... 26
2.3.1. Toán tử : là một kí hiệu biểu thị một hoặc một tập hợp tác động toán

học, .................................................................................................................. 26
2.3.2. Phƣơng trình trị riêng của toán tử. ........................................................ 26
2.3.3. Các loại toán tử ..................................................................................... 27
2.4. Các tính chất của toán tử ......................................................................... 28
2.4.1. Cộng toán tử. ........................................................................................ 28
2.4.2. Nhân toán tử. ......................................................................................... 29
2.4.3. Toán tử đạo hàm theo thời gian. ........................................................... 30
2.5. Toán tử Hamilton. .................................................................................... 31
2.5.1. Định luật bảo toàn năng lƣợng và tính đồng nhất về thời gian. ............ 31
2.5.2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamintol trong trạng thái dừng. .... 31
2.6. Toán tử động lƣợng. ................................................................................. 32
2.6.1. Định nghĩa. ............................................................................................ 32
2.6.2. Tính chất giao hoán. .............................................................................. 33
2.6.3. Hàm riêng của toán tử động lƣợng. ..................................................... 33
2.7. Toán tử mô men động lƣợng. ................................................................... 34
2.7.1. Định nghĩa. ........................................................................................... 34


2.7.2. Tính chất giao hoán. .............................................................................. 34
2.7.3. Toán tử lˆz ............................................................................................... 36
2.7.4. Các toán tử lˆ ........................................................................................ 37
2.8. Toán tử chẵn lẻ Iˆ . .................................................................................... 41
2.9. Toán tử spin .............................................................................................. 41
2.9.1. Các cơ sở thực nghiệm dẫn đến đại lƣợng spin .................................... 41
2.9.2. Định nghĩa và tính chất của spin. .......................................................... 43
2.9.3. Hàm sóng và trị riêng của spin.............................................................. 43
2.10. Toán tử mômen động lƣợng toàn phần. ................................................. 44
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 45
PHẦN 3: KẾT LUẬN ..................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 47

PHẦN 1 : MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck,
Albert Einstein, Niels Bohr. Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger, Max
Born, John von Neumann, Paul Dỉac, Wolfgang Pauli và một số ngƣời khác
tạo nên. Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết này vẫn đƣợc nghiên cứu cho đến
ngày nay.
Cơ học lượng tử là một bộ phận trong cơ học lý thuyết.
Vật lý lý thuyết là một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các
thuyết vật lý. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý
xây dựng các thuyết vật lý.
Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con ngƣời trong một
lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tƣởng
tƣợng, các nhà vật lý lý thuyết bằng phƣơng pháp suy diễn, phƣơng pháp suy
luận toán học đã đề ra một hệ thống qui tắc, các định luật, các nguyên lý vật
lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tƣợng, các sự kiện vật lý và để tậo ra
khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn.
Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó
mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lƣợng tử nghiên
cứu về chuyển động và các đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ
năng lƣợng và xung lƣợng của các vật có kích thƣớc nhỏ bé, ở đó có sự thể
hiện rõ rệt của lƣỡng tính sóng hạt. Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định là tính
chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lƣợng tử đƣợc coi là cơ bản hơn
cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính các và đúng đắn rất nhiều các hiện
tƣợng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích đƣợc
Cơ học lƣợng tử đã đạt đƣợc các thành công vang dội trong việc giải
thích rất nhiều các đặc điểm của thế giới của chúng ta. Rất nhiều các công
nghệ hiện đại sử dụng các thiết bị có kích thƣớc mà ở đó hiệu ứng lƣợng tử

1


rất quan trọng nhƣ : laser, transistor, chụp cộng hƣởng từ hạt nhân….
Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lƣợng tử giúp chúng ta giải quyết
đƣợc những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc. Thông qua việc
học tập và nghiên cứu cơ học lƣợng tử mà nhất là các đốitƣợng của nó là
không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý,đặc biệt là với
sinh viên khoa Vật lý.
Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt
chƣơng trình học tập của ngành cũng nhƣ của khoa đề ra. Với mỗi môn học
đều có hệ thống các phƣơng pháp chuyên biệt và cơ học lƣợng tử cũng vậy.
Do đó em xin chọn đề tài “ Phƣơng pháp toán tử trong cơ học lƣợng tử”.
2.Mục đích nghiên cứu.
- Hệ thống hóa cơ sở chủ yếu của Cơ học Lƣợng tử.
- Các phƣơng pháp của Cơ học Lƣợng tử.
- Tƣơng tác của electron với trƣờng điện từ.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tƣợng : Các phƣơng pháp toán tử thƣờng đƣợc sử dụng.
- Phạm vi: Chƣơng I: “Nhập môn Cơ học Lƣợng tử”.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây dựng đƣợc các phƣơng pháp của Cơ học Lƣợng tử.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Phƣơng pháp chủ yếu là phƣơng pháp lý thuyết.
6. Cấu trúc khóa luận.
Phần1: Mở đầu.
Phần 2: Nội dung.
+ Chƣơng 1: Các cơ sở chủ yếu của Cơ học Lƣợng tử.
+ Chƣơng 2: Phƣơng pháp toán tử.

Phần 3: Kết luận.
Tài liệu tham khảo.

2


PHẦN 2 : NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CÁC CƠ SỞ CHỦ YẾU CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
1.1. Lƣỡng tính sóng –hạt của hạt vi mô và Nguyên lý Bất định
Heisenberg.
1.1.1. Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô.
Nhƣ chúng ta đã biết, hạt vi mô có lƣỡng tính sóng-hạt, chẳng hạn hạt
phôtôn trong những hiện tƣợng quang điện, bức xạ nhiệt biểu hiện tính chất
hạt, nhƣng trong các hiện tƣợng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực lại biểu hiện
tính chất của sóng điện từ. Nhiều hiện tƣợng thực nghiệm cũng cho thấy các
hạt vi mô khác đều có tính chất sóng. Chúng ta xét một số ví dụ đối với hạt
electron.
1.1.1.1 Chuyển động của electron trong mô hình nguyên tử cổ điển.
Electron trong nguyên tử cổ điển đƣợc coi nhƣ một hạt trong mô hình
nguyên tử Bohr. Việc coi electron là hạt trong trƣờng hợp này dẫn đến những
mâu thuẫn với các lý thuyết cổ điển: electron là hạt mang điện chuyển động
xunh quanh hạt nhân tƣơng đƣơng với một dòng điện biến thiên, do đó bức xạ
sóng điện từ và mất dần năng lƣợng, nghĩa là giá trị vận tốc giảm dần, điều
này tƣơng đƣơng với sự giảm khoảng cách từ electron đến hạt nhân và cuối
cùng electron “rơi” vào hạt nhân, dẫn đến nguyên tử bị phá hủy. Từ đó suy ra
rằng, không thể coi một cách đơn giản electron chỉ là hạt. Nhƣ chúng ta sẽ
thấy ở dƣới, việc coi electron có tính chất sóng sẽ khắc phục đƣợc nghịch lý
này.
1.1.1.2 Hiệu ứng đường ngầm.
Xét chuyển động của một hạt có khối lƣợng bằng m chuyển động từ

trái sang phải tới một hàng rào thế có độ cao bằng U ( hình 1.1 )

3


U0
m
E
1

2

3
a

0

Nếu coi hạt không có tính sóng, trƣớc khi nói hàng rào thế (miền 1: U=0)
năng lƣợng E của hạt E=T+U=T, tức bằng động năng T. Trong miền 2:
U U 0

, và E
điều vô lý. Có nghĩa là tại biên của hàng rào thế (giữa miền 1 và miền 2) thì
T=0, hạt dừng lại, chuyển động theo chiều ngƣợc lại và không thể đi xuyên
vào hàng rào thế. Nói tóm lại nếu hạt chuyển động với động năng nhỏ hơn độ
cao của hàng rào thế năng T< U 0 thì nó không thể đi qua hàng rào thế năng (từ
miền 1 qua miền 2 sang miền 3).
Tuy nhiên nhiều hiện tƣợng thực nghiệm đã xác nhận là trong trƣờng
hợp này có thể vƣợt qua hàng rào thế sang miền 3. Hiện tƣợng hạt chuyển

động với động năng nhỏ hơn độ cao của hàng rào thế năng có thể đi qua hàng
rào thế năng gọi là hiệu ứng đường ngầm.
Lý thuyết lƣợng tử coi hạt có tính chất sóng đã giải thích đƣợc hiện
tƣợng thực nghiệm nêu trên. Tính toán cho thấy hệ số truyền qua D của hạt từ
miền 1 sang miền 3 đƣợc xác định bởi công thức:
D  exp  2a /   2mU 0  E 
Với bề dày hàng rào thế a vào cỡ 10 10 m, hiệu năng lƣợng ( U 0  E ) vào
cỡ 7,5.10 19 J , áp dụng công thức trên cho electron, hệ số truyền qua xấp xỉ
0,1. Chúng ta thấy khả năng xuyên qua hàng rào thế theo hiệu ứng đƣờng
ngầm là không nhỏ.

4


1.1.1.3 Nhiễu xạ electron.
Chiếu chùm electron qua một khe hẹp K và hứng trên màn huỳnh quang
M. Chúng ta thấy trên màn huỳnh quang hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng
giống nhƣ hình ảnh phân bố cƣờng độ sáng trong hiện tƣợng nhiễu xạ ánh
sáng ( hình 1.2a)

Để khẳng định hình ảnh nhiễu xạ trên không phải do tƣơng tác của
electron với biên của khe K, ngƣời ta thực hiện thí nghiệm nhiễu xạ electron
với 2 khe (hình 1.2b) và trên màn hình M là hình ảnh nhiễu xạ qua hai khe
nhƣ trong nhiễu xạ ánh sáng.
Kết quả trên chỉ có thể giải thích đƣợc nếu coi electron có tính chất sóng.
Với các hạt vi mô khác cũng có kết quả tƣơng tự.
De Broglie đã coi hạt vi mô tự do tƣơng ứng với một sóng gọi là sóng
De Broglie. Một hạt vi mô có năng lƣợng E và động lƣợng p tƣơng ứng với
một sóng đơn sắc có tần số f và bƣớc sóng  theo các quan hệ sau:
E=hf

(1.1a)

P=h/ 

(1.1b)

5


1.1.2. Nguyên lí chồng chất các trạng thái.
Nguyên lí chồng chất các trạng thái là một luận điểm rất cơ bản của
cơ học lƣợng tử. Nội dung của nguyên lí nhƣ sau:
(1) Nếu một hệ lượng tử nào đó có thể ở trong các trạng thái được mô
tả bởi các hàm sóng  1 , 2 ,.... thì nó cũng có thể ở trong trạng thái được mô
tả bởi tổ hợp tuyến tính bất kì của các hàm sóng đó:
   ck k ck  C 
k 1

(2) Hàm  và hàm c (c phức bất kì  0)cùng tương ứng với một trạng
thái bất kì của hệ.
Từ các nội dung của nguyên lí này chúng ta sẽ đƣa ra một số nhận
xét, các nhận xét này rất quan trọng trong quá trình xây dựng nên môn cơ học
lƣợng tử.
Trƣớc hết các trạng thái trong cơ học lƣợng tử khác một cách cơ bản
với sự chồng chất các dao động của cơ học cổ điển, mà trong sự chồng chất
đó sẽ dẫn đến một dao động mới có biên độ lớn hơn hay nhỏ hơn các biên độ
của dao động thành phần. Ngoài ra, trong cơ học cổ điển có tồn tại các trạng
thái nghỉ, tức là các trạng thái ứng với dao động ở khắp mọi nơi biên độ dao
động bằng không. Còn trong cơ học lƣợng tử, các hàm sóng không mô tả một

sóng thực nào cả, ở nơi nào hàm sóng bằng 0, thì ở nơi đó không có mặt của
hạt.
Thứ hai, giả sử các hàm  1 , 2 ,... là nghiệm của phƣơng trình xác định
các trạng thái của một hệ lƣợng tử, thì để cho nguyên lí chồng chất các trạng
thái đƣợc thực hiện, bắt buộc phƣơng trình đó phải tuyến tính.
Thứ ba, nguyên lí chồng chất các trạng thái phản ánh một tính chất rất
quan trọng của các hệ lƣợng tử mà không có sự tƣơng tự trong vật lí cổ điển.
Để thấy rõ hơn, ta xét một trạng thái đƣợc biểu diễn bởi các hàm sóng:

6




i 
 p1r  E1t 




i  
 p2 r  Et 


 1 r , t   A exp

 2 r , t   B exp

Trong hai hàm sóng trên, hạt chuyển động với các giá trị xác định của




xung lƣợng, tƣơng ứng lần lƣợt là p1 và p 2 . Còn trong trạng thái    ck k
k 1

ck  C  chuyển động của các hạt không đƣợc đặc trƣng bởi giá trị của xung
lƣợng, vì trạng thái này không đƣợc biểu diễn bằng một sóng phẳng với giá trị


xác định của p . Trạng thái mới    ck k ck  C  là một trạng thái mà theo
k 1

một nghĩa nào đó, là trạng thái trung gian giữa các trạng thái ban đầu  1 , 2 ,...
Trạng thái này càng gần với tính chất của một trong các trạng thái đầu, nếu
“trọng số tỉ đối” của trạng thái đó càng lớn.
Ngoài ra nhƣ ta đã thấy ở ví dụ minh họa trên, trong cơ học lƣợng tử
thừa nhận những trạng thái mà trong đó một số đại lƣợng vật lí có thể không
xác định đƣợc.
Cuối cùng ta lƣu ý rằng, nguyên lí chồng chất các trạng thái chỉ áp
dụng trong không gian có kích thƣớc dài không nhỏ hơn 10 13 cm. Việc áp
dụng nguyên lí này cho không gian có kích thƣớc dài nhỏ hơn chƣa đƣợc
khẳng định.


Ví dụ: “Bó sóng” là tập hợp các sóng phẳng có các vector sóng k hƣớng
dọc trục Oz và có các giá trị nằm trong khoảng k 0  k đến k 0  k :
 z, t  

k0  k

 Ak exp ikz  t dk

k0  k

Đƣa vào biến số mới   k  k0 , khai triển  k  và Ak  theo chuỗi các
lũy thừa của  và chỉ giới hạn nhiều nhất là hai số hạng của chuỗi. Hãy tính
 z, t  ?

7


Giải
d 
 k và Ak   Ak 0  thì
 dk  0


Khai triển  k    k 0   

  d  
sin  z  
 t  k
dk

0 
 z, t   2 Ak 0  
exp ik 0 z   o t 
 d 
z 

 t
 dk  0

1.1.3. Hệ thức bất định Heisenberg.
Từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron có thể dẫn ra một dạng hệ thức bất đinh
Heisenberg nhƣ là một biểu hiện của tính chất sóng của electron. Khi chƣa
chú ý hiện tƣợng nhiễu xạ, electron chuyển động theo phƣơng y, do vậy
vx  0 : v y  v

Khi có nhiễu xạ v x  0 : v x  v x
Công thức cực tiểu nhiễu xạ (hình 1.3)
sin   k / b ; sin  min   / b   /( 2x)

Trong khi đó k=1 ứng với góc nhiễu xạ cực tiểu: sai số tọa độ theo
phƣơng x bằng một nửa độ rộng b của khe ( x  b / 2 )

Với các góc nhiễu xạ nhỏ mà ta còn quan sát đƣợc ảnh nhiễu xạ, chúng
ta có:
sin   tg  v x / v y  v x / v

8


Suy ra vx / v  sin  min   /( 2x)
Do đó xv x  v / 2
Thay v  p / m; vx  px / m; p  h / 
Cuối cùng: x.p x  h / 2
Tính toán chính xác chúng ta đƣợc:
x.p x   / 2

(1.2a)

Một cách tƣơng tự bằng cách thay đổi kí hiệu x thành y hoặc z:
y.p y   / 2

(1.2b)

z.p z   / 2

(1.2c)

Các hệ thức (1.2) là các hệ thức bất định Heisenberg cho tọa độ và động
lƣợng.
Ví dụ: Nghiệm lại hệ thức (1.2a) cho hai trƣờng hợp hạt vĩ mô và hạt vi
mô để thấy hệ thức heisenberg chỉ có ý nghĩa đối với trƣờng hợp hạt vi mô.
Trƣờng hợp hạt vĩ mô: Một ô tô khối lƣợng 1000kg trong khi chuyển
động thẳng có sai số về tọa độ theo phƣơng x bằng 0,1m : sai số về vận tốc
theo phƣơng x bằng 5km/h. Nghiệm lại (1.2a).
Trƣờng hộ hạt vi mô: Hạt electron có khối lƣợng m chuyển động trong
nguyên tử hydro có sai số về tọa độ theo phƣơng x bằng x , sai số về vận tốc
theo phƣơng x bằng v x . Khối lƣợng electron m  9,1.10 31 kg ; x  0,5.10 10 m ;
v x  107 m / s . Nghiệm lại (1.2a).

Ý nghĩa của hệ thức bất định:Từ các hệ thức (1.2) chúng ta thấy tọa độ
và động lƣợng không thể đồng thời xác định chính xác.
Hệ thức bất định là một biểu hiện của Nguyên lý Bất định.
1.1.4. Nội dung của Nguyên lý Bất định
Trong cơ học cổ điển quỹ đạo hoàn toàn xác định trạng thái của hạt ở

9

mọi thời điểm. Căn cứ vào quỹ đạo của hạt chúng ta có thể chỉ ra tọa độ và
vận tốc của hạt ở bất cứ thời điểm nào.
Tuy nhiên đối với hạt vi mô, vì có độ bất định về tọa độ và động lƣợng(
hoặc vận tốc) chúng ta sẽ có một tập vô số các quỹ đạo có thể của vi hạt mà
không thể khẳng định là hạt chuyển động theo quỹ đạo nào. Vì thế “Không
thể xác định trạng thái của hạt vi mô bằng quĩ đạo”. Đó chính là Nguyên lý
Bất định heisenberg.
1.1.5. Ý nghĩa của Nguyên lý Bất định
Sở dĩ trạng thái của hạt vi mô không thể xác định bằng quĩ đạo chính là
vì hạt có tính chất sóng thể hiện bởi hệ thức Bất định Heisenberg mà chúng ta
đã dẫn ra từ hiện tƣợng nhiễu xạ electron. Điều đó có nghĩa là Nguyên lý Bất
định thể hiện rõ rệt tính chất sóng của vi hạt. Đó chính là ý nghĩa của Nguyên
lý bất định Heisenberg.
Vậy thì khi nào hạt vi mô là sóng và khi nào là hạt? Dễ thấy rằng hạt vi
mô bao giờ cũng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. Tuy nhiên việc
biểu hiện ra tính chất sóng hay tính chất hạt phụ thuộc vào vật mà hạt vi mô
tƣơng tác. Ví dụ trong hiện tƣợng nhiễu xạ electron thì hạt electron biểu hiện
tính chất sóng, còn trong việc đo tọa độ của hạt khi hạt qua khe hẹp thì nó lại
biểu hiện tính chất hạt. Điều đó có nghĩa là dù biết trạng thái của hạt vi hạt ở
thời điểm t, chúng ta không thể khẳng định ở thời điểm t’>t hạt sẽ thể hiện
tính chất nào và ở trạng thái nào. Tính chất của vi hạt chỉ được biểu hiện ra
khi nó tương tác với các vật xung quanh.
1.2. Hàm sóng của hạt vi mô.
Hạt vi mô có tính chất sóng nên trạng thái cuả nó không thể mô tả bằng
quỹ đạo. Vì vậy phải có cách tiếp cận khác. Ngƣời ta đã sử dụng hàm sóng để
mô tả trạng thái của vi hạt, coi việc có tồn tại hàm sóng nhƣ là một cơ sở của
Cơ học Lƣợng tử.

10


1.2.1. Định nghĩa hàm sóng.
Hàm sóng  x, y, z, t  là nghiệm của phƣơng trình sóng, tức phƣơng trình
vi phân cấp II, sao cho /  x, y, z, t  / 2 dV là xác suất tìm thấy hạt trong dV lân
cận điểm (x,y,z) ở thời điểm t.
Định nghĩa trên cho thấy hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt là một
hàm sóng không chỉ thỏa mãn phƣơng trình sóng mà còn có tính xác suất là
tính chất mà các sóng cổ điển không có.
1.2.2. Các tính chất của hàm sóng
1.2.2.1. Liên tục, có đạo hàm bậc nhất liên tục, trừ trường hợp thế năng bằng
vô cùng.
1.2.2.2. Hàm sóng thỏa mãn nguyên lý chồng chất.
Nếu các hàm sóng 1 ( x, y, z, t ) và  2 ( x, y, z, t ) mô tả các trạng thái của hạt thì
hàm sóng  ( x, y, z, t )  c11 ( x, y, z, t )  c2 2 ( x, y, z, t ) là tổ hợp tuyến tính của
1 ( x, y, z, t ) và  2 ( x, y, z, t ) cũng mô tả trạng thái của hạt.

Hai tính chất trên thể hiện hàm sóng là nghiệm của phƣơng trình sóng.
1.2.2.3. Giới nội, đơn trị.
1.2.2.4. Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

  ( x, y, z, t )

2

dV  1 .

(1.3)

1.2.2.5. Nếu hàm sóng 1 ( x, y, z, t ) và  2 ( x, y, z, t ) mô tả trạng thái của hai phần
độc lập của hệ thì hàm sóng  ( x, y, z, t )  1 ( x, y, z, t ). 2 ( x, y, z, t ) mô tả trạng thái
của hệ gồm hai phần nói trên.
Ba tính chất trên thể hiện tính xác xuất của hàm sóng.
1.2.3. Ví dụ về hàm sóng.
Hàm sóng của một hạt tự do là hàm sóng phẳng đơn sắc gọi là sóng De
Broglie.

11


 ( x, y, z, t )   (r , t )  0ei ( kr wt )  0ei ( pr  Et )/


(1.4)

 E  E  E
j
k
,
p x
p y
p z

E
p

Vận tốc nhóm của sóng: vn    i
là vận tốc trùng với vận tốc của hạt.

Vận tốc pha của sóng: v ph   / k  2f / k ; k  2 /  trong đó năng lƣợng
E, động lƣợng p của hạt tự do quan hệ với các đặc trƣng của sóng De Broglie
tƣơng ứng theo công thức (1.1).
1.2.4. Hàm sóng của hệ N hạt.
Hàm sóng của hệ N hạt có các tính chất nhƣ hàm sóng của một hạt,
nhƣng phụ thuộc vào tọa độ của tất cả N hạt qi  ( xi , yi , zi ) , i=1.2.3…,N:
  q, t     q1 , q2 , q3 ,...., qN , t 

(1.5)

1.2.5. Trung bình của một đại lượng vật lý.
Trung bình Fˆ của một đại lƣợng vật lý F có thể tính theo hàm sóng
 q, t  của hạt (hoặc hệ) bởi công thức sau:
Fˆ    * q Fˆ q  q dq

(1.6)

Trong đó Fˆ là toán tử tƣơng ứng với đại lƣợng F, sẽ đƣợc đề cập đến ở
các phần sau. Giá trị trung bình Fˆ của đại lƣợng F tính theo công thức (1.6)
chính là giá trị của đại lƣợng F xuất hiện trong trạng thái  q, t  , và đƣợc gọi
là trung bình lƣợng tử của đại lƣợng F.
1.2.6. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng.
Năm 1926 M.Born đã đƣa ra giả thiết cho ý nghĩa của hàm sóng. Theo
giả thiết này, cƣờng độ sóng De Broglie tại mỗi điểm của không gian, ở một
thời điểm đã cho, tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đã cho của không
gian đó.
Nhƣ vậy, theo M.Born thì đại lƣợng:

12

 (q) dq   * (q) (q)dq
2

tỉ lệ với xác suất dW(q) để khi đó, chúng ta tìm thấy giá trị tọa độ của các hạt
của hệ nằm trong khoảng (q,q+dq).
Nếu hàm  (q) đã đƣợc chuẩn hóa:


  (q)

2

dq   (q), (q)   1



thì dW(q) là giá trị xác suất:

dW(q)   (q) dq
2

Còn đại lƣợng:
( )

| ( )|

( )

mang ý nghĩa là mật độ xác suất tìm thấy tọa độ q của hệ ( ở thời điểm t).

Từ điều kiện chuẩn hóa, ta thấy rằng các hàm chuẩn hóa sai khác nhau
một nhân số modul bằng đơn vị, nghĩa là hơn kém nhau một hệ số exp(iα) (α
∈ R). Tuy nhiên các kết quả vật lý luôn tỉ lệ với | ( )| và vì vậy sự bất định
này không còn nữa.
Trong một số trƣờng hợp, tích phân ∫| ( )|
đại lƣợng ( )

không hội tụ. Lúc đó

| ( )| sẽ không có ý nghĩa mật độ xác suất. Tuy nhiên

trong trƣờng hợp này, tỉ số giữa các đại lƣợng| ( )| ở các điểm khác nhau
vẫn xác định xác suất tỉ đối của các điểm tƣơng ứng.
1.3. Phƣơng trình Schrodinger
Phƣơng trình Schrodinger do Schrodinger đƣa ra, đƣợc coi là một trong
những cơ sở chủ yếu của Cơ học Lƣợng tử.
Giải phƣơng trình Schrodinger chúng ta tìm đƣợc hàm sóng  x, y, z  và
năng lƣợng E. Thông thƣờng với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá
trị xác định chúng ta có thể viết  x, y, z, t    0 ( x, y, z)  f t  , trong đó  0 x, y, z 

13


là hàm sóng chỉ phụ thuộc tọa độ.
1.3.1. Phương trình Schrodinger dừng
Phƣơng trình Schrodinger dừng có dạng sau :
H 0 x, y, z   E 0 x, y, z 

(1.7)

Trong đó H là Hamiltonian ( tức toán tử năng lƣợng ) của hạt





H    2 / 2m   U x, y, z 


(1.8a)

2
2
2


x 2 y 2 z 2

(1.8b)

là toán tử Laplace và U(x,y,z) là thế năng của hạt trong trƣờng lực.
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình (1.7) để xác định hàm sóng  và năng lƣợng
E của một vi hạt tự do có khối lƣợng m (U(x,y,z)=0):
 2  2  2
 2  2   2m /  2 E
2
x
y
z





(1.9)

Tìm nghiệm dƣới dạng :
  x, y, z, t   A exp i  px x  p y y  pz z  Et  /

(1.10)

Thay (1.10) vào (1.9), suy ra năng lƣợng E  p 2 / 2m
A là một hằng số không phụ thuộc vào tọa độ và đƣợc xác định từ công thức
chuẩn hóa (1.3), chúng ta đƣợc A  1 / V , với V là thể tích trong đó có hạt.
Ví dụ 2: giải phƣơng trình (1.7) để xác định hàm sóng và năng lƣợng của
một vi hạt chuyển động trong giếng thế năng một chiều vô hạn:
U x   

với x  0

U x   0

với 0  x  a (miền II)

U x   

với x  a

(miền I)

(miền III)

Phƣơng trình schrodinger (1.7) trong trƣờng hợp này có dạng:

14


Trong miền I:

 2 I
  k 2  2mU /  2  I (1.11a)
x 2

Trong miền II:





 2 II
 k 2 II
2
x

(1.11b)

 2 III
  k 2  2mU /  2  III
2
x



Trong miền III:



Với: k 2  2mE /  2

(1.11c)
(1.12)

Vì U   trong miền I và miền III, dễ thấy rằng:
 I   III  0

(1.13)

Trong miền II phƣơng trình cho  II có dạng của phƣơng trình dao động
điều hòa nên chúng ta tìm nghiệm  II dƣới dạng:
 II x   A sinkx  B coskx

(1.14)

Do tính liên tục của hàm sóng tại x=0 và x=a, từ (1.13) và (1.14) chúng
ta có:
 II 0  B  0

(1.15a)

 II a   A sinka  B coska  A sinka  0

(1.15b)

Suy ra(vìA phải khác 0): sinka  0 và
k  n / a

(1.16a)

Từ (1.12): E  n 2  2 2 / 2ma 2 

(1.16b)

n=1,2,3………

(1.16c)

(n không bằng 0 vì  II x  không đồng nhất bằng 0)
Kết quả là

 II x   A sinnx / a 

Hằng số A có thể xác định từ công thức huẩn hóa (1.3):
a

A

2

sin 2 nx / a dx  1

0

Suy ra A  2 / a

15


Cuối cùng :  II x   2 / a sinnx / a 

(1.17)

1.3.2. Phương trình Schrodinger thời gian.
Phƣơng trình schrodinger thời gian xác định sự phụ thuộc của hàm sóng
theo thời gian:
i x, y, z, t  / t  H x, y, z, t 

(1.18a)

Với các trƣờng hợp năng lƣợng E của hạt có giá trị xác định, toán tử
Hamilton H không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, hàm sóng  x, y, z, t 
là nghiệm của các phƣơng trình schrodinger:
H x, y, z, t   E x, y, z, t 

Suy ra  x, y, z, t    0 x, y, z exp  iEt / 

(1.18b)
(1.19a)

Trƣờng hợp hệ N hạt các công thức (1.18), (1.19) có công thức tƣơng tự:
i q, t  / t  H q, t 

(1.18c)

 q, t    0 q exp  iEt / 

(1.19b)

Trong đó q là tập các biến xác định trạng thái của hệ.
1.3.3. Tính chất của phương trình Schrodinger
Xuất phát từ dạng chung của phƣơng trình Schrodinger , chúng ta có thể
thấy phƣơng trình này có một số dạng chung nhƣ sau:
- Nghiệm của phƣơng trình thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm sóng.
- Năng lƣợng trung bình bao giờ cũng lớn hơn thế năng cực tiểu trung
bình
Vì H=T+U suy ra: <H>=E=<T>+<U>, do đó E  U  U min
-Với U  0 trạng thái ứng với E  0 là trạng thái ràng buộc.
Chúng ta chứng minh bằng phản chứng:
Hạt tự do có U=0 do đó E=<T>>0, do đó hạt với E<0 không thể có U=0,
tức hạt không thể là hạt tự do và phải ở trạng thái ràng buộc U  0 .

16


1.4. Vai trò của Cơ học Cổ điển.
1.4.1. Cơ học Cổ điển là giới hạn của Cơ học Lượng tử.
Từ hệ thức bất định Heisenberg chúng ta thấy khi cho h=0, xp x  0 , có
nghĩa là x hoặc p x ( hoặc cả hai) có thể bẳng 0, tọa độ và động lƣợng có thể
đồng thời xác định chính xác, chúng ta nhận đƣợc các kết quả phù hợp với Cơ
học Cổ điển. Vậy Cơ học Cổ điển có thể coi là giới hạn của Cơ học Lượng tử
khi cho h tiến tới 0.

1.4.2. Cơ học Cổ điển là cơ sở của Cơ học Lượng tử.
Để làm biểu hiện ra tính chất của hạt vi mô, cần cho nó tƣơng tác với
một đối tƣợng nào đó. Căn cứ vào sự thay đổi trạng thái của một đối tƣợng
tƣơng tác ta suy ra tính chất của hạt vi mô. Để nghiên cứu định lƣợng các tính
chất của hạt vi mô phải dùng đối tƣợng tƣơng tác với hạt vi mô là máy đo.
Máy đo thực chất là các giác quan của con ngƣời, có thể đƣợc mở rộng bởi
các thiết bị hỗ trợ. Kết quả đo thiết bị hiển thị ra mà giác quan con ngƣời có
thể nhận biết đƣợc đều là giá trị trung bình vĩ mô, vì thế bộ phận hiển thị kết
quả của thiết bị đo và cơ quan cảm nhận của giác quan con ngƣời phải là hệ
cổ điển, hoạt động trên cơ sở của Cơ học Cổ điển. Điều đó có nghĩa là nếu
không có Cơ học Cổ điển thì chúng ta không thể nào nghiên cứu đƣợc hạt vi
mô. Vì vậy Cơ học Cổ điển là một trong những cơ sở của Cơ học Lƣợng tử.

17


KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong chƣơng 1, em đã trình bày về “Các cơ sở chủ yếu của Cơ học
lƣợng tử” với các nội dung chủ yếu là : lƣỡng tính sóng-hạt của hạt vi mô và
nguyên lí bất định Heisenberg, hàm sóng của hạt vi mô, phƣơng trình
Schrodinger, vai trò của Cơ học Cổ điển. Chƣơng này là cơ sở để em nghiên
cứu các vấn đề tiếp theo của khóa luận.

18


CHƢƠNG 2 : PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ
2.1. Các đại lƣợng động lực và các toán tử.
1. Chúng ta đã biết, một trong những đặc điểm rất đặc trƣng để nhận biết
các tính quy luật khách quan của các tính chất, hiện tƣợng của thế giới vi mô

là sự cần thiết phải đƣa vào sử dụng các “dụng cụ” hay các “máy đo”; điều đó
có nghĩa là sử dụng các dụng cụ nào dó để tác động vào các đối tuợng vi mô,
mà kết quả là, do sự tƣơng tác của hệ vi mô với máy đo sẽ đƣa đến sự thay
đổi các trạng thái của cả hệ vi mô lẫn trạng thái của máy đo, phản ánh độ lớn
của tƣơng tác.
Qua đó ngƣời ta nói rằng, đại lƣợng vật lí cần xác định đã đƣợc đo và
máy đo cho phép ta xác định đƣợc độ lớn của đại lƣợng vật lí này.
Ứng với mỗi trạng thái xác định của hệ lƣợng tử (trạng thái liên kết hệ
lƣợng tử và máy đo), phép đo cho chúng ta một số đo xác định. Ngƣợc lại, có
thể đặc trƣng cho trạng thái của hệ bằng tập các số đo các đại lƣợng vật lí
khác nhau.
Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hệ có thể xác định bằng tập các tọa
độ và xung lƣợng. Các đại lƣợng vật lí này đủ để đặc trƣng cho trạng thái của
hệ cơ học và đƣợc gọi là các đại lƣợng động lực của cơ học.Trong cơ học
lƣợng tử, các đại lƣợng vật lí có vai trò tƣơng tự cũng đƣợc gọi là các đại
lƣợng động lực của cơ học lƣợng tử.
2.Trong các phép đo các đại lƣợng động lực, cần chú ý rằng, do sự tƣơng
tác giữa hệ vi mô và hệ máy đo, hệ vi mô cần nghiên cứu cũng sẽ chịu tác
dụng của tƣơng tác, kết quả là, ở mỗi phép đo, hệ lƣợng tử sẽ ở trong một
trạng thái liên kết hệ lƣợng tử - máy đo xác định và phép đo cho chúng ta một
giá trị xác định của đại lƣợng vật lí cần đo. Trong phép đo tiếp theo, hệ lƣợng
tử sẽ chuyển sang trạng thái mới và máy đo cho chúng ta giá trị mới của phép

19