Lí thuyết vùng năng lượng và phân loại vật rắn theo vùng năng lượng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THỦY

LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG
VÀ PHÂN LOẠI VẬT RẮN
THEO VÙNG NĂNG LƯỢNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu một cách nghiêm túc, khẩn
trương, cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình và giúp đỡ tận tình của Giảng viên Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh đến nay khóa luận của tôi đã hoàn thành.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết,
các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là
của Giảng viên - Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh - người đã trực tiếp hướng
dẫn tôi. Bên cạnh đó tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên đã động
viên tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi
dựa trên cơ sở những kiến thức đã học về môn Vật lý chất rắn và tham khảo,
nghiên cứu các tài liệu cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ của Giảng viênTiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh. Nó không trùng với kết quả nghiên cứu của
bất kỳ tác giả nào khác. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thủy


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN................................. 3
1.1 Đối xứng tịnh tiến.[4].................................................................................3
1.2. Mạng Bravais.[3] ....................................................................................... 5
1.3. Ô đơn vị và ô cơ sở.[4] .............................................................................. 7
1.4. Các phép đối xứng của mạng tinh thể.[2] ............................................... 10
1.5. Phân loại các mạng Bravais.[1] ............................................................... 11
1.6. Hệ lập phương.[4] .................................................................................... 13
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 16
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ PHÂN LOẠI VẬT

RẮN THEO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG ....................................... 17
2.1. Nguyên lý hình thành vùng năng lượng. .................................................. 17
2.1.1 Vùng năng lượng- hệ quả của sự làm phủ sóng. .................................... 18
2.1.2 Vùng năng lượng - hệ quả của tuần hoàn tịnh tiến ................................ 21
2.2. Vùng năng lượng trong gần đúng điện tử gần tự do ................................ 25
2.2.1. Bài toán và cách giải thứ nhất ............................................................... 25
2.2.2. Bài toán và cách giải thứ hai. ................................................................ 31
2.2.3. Các nhận xét về sơ đồ vùng năng lượng ............................................... 36


2.3. Vùng năng lượng trong gần đúng điện tử liên kết chặt.[3] ..................... 42
2.3.1. Đặt vấn đề.............................................................................................. 42
2.3.2. Giải bài toán [4, tr170- tr174] .............................................................. 44
2.3.3. Phân tích kết quả ................................................................................... 44
2.4. Phân loại vật rắn theo vùng năng lượng................................................... 47
2.4.1. Điện môi ................................................................................................ 48
2.4.2. Chất bán dẫn .......................................................................................... 48
2.4.3. Kim loại. ................................................................................................ 50
Kết luận chương 2...........................................................................................50
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 52


DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1: Minh họa một số cách chọn các cặp vectơ cơ sở thích hợp.............. 5
Hình 1.2 minh họa cấu trúc tinh thể = Mạng Bravais + Nền tinh thể ............... 6
Hình 1.3 Sự khác biệt giữa r và R ..................................................................... 7
Hình 1.4 Ví dụ về cách chọn ô cơ sở (vẽ cho một mạng 2 chiều) xuất phát từ
các vectơ cơ sở của các hướng được chọn thích hợp. ....................................... 8
Hình 1.5 Minh họa cách dựng ô cơ sở Wigner - Seitz cho một mạng 2

chiều.Một cách đặc biệt để tạo ra ô cơ sở là cách làm của Wigner-Seitz:........ 9
Hình 1.6. Cách sắp xếp nguyên tử trong mạng BCC hình .............................. 14
Hình 1.7 Cách sắp xếp nguyên tử trong mạng FCC hình ............................... 15
Hình 2.1 Đồ thị 𝐸𝐤 của điện tử hoàn toàn tự do là một đường parabol đối
xứng qua trục tung........................................................................................... 22
Hình 2.2 Sự biến dạng của đồ thị 𝐸(k) (tại biên của các vùng Brillouin) khi
trong tinh thể điện tử không còn là hoàn toàn tự do. ...................................... 24
Hình 2.3 : Sơ đồ vùng năng lượng vẽ theo các biểu diễn . ............................. 38
Hình 2.4. Minh họa sự chồng lấn của các vùng năng lượng nếu xét .............. 40
theo các hướng khác nhau. .............................................................................. 40
Hình 2.5: Cấu trúc năng lượng của điện tử trong mạng nguyên tử của chất bán
dẫn. Vùng hóa trị được lấp đầy, trong khi vùng dẫn trống. Mức năng lượng
Fermi nằm ở vùng trống năng lượng. ............................................................. 48


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất rắn
đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn là một ngành khoa học
hết sức rộng lớn và nó đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi
nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử... Vật lý chất rắn là
một lĩnh vực rộng lớn nhằm nghiên cứu để hiểu biết và sử dụng vật chất giúp
nâng cao đời sống con người.
Khi đi sâu vào tìm hiểu chất rắn thì lý thuyết chính là nền tảng cho các
thực nghiệm ra đời trong đó có lý thuyết vùng năng lượng vì nó giúp ta giải
thích được các tính chất của vật rắn có liên quan đến cấu trúc bên trong tinh
thể. Đồng thời nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng là một trong những
nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn (chuyển động của electron trong
trường toàn hoàn của tinh thể, mô hình electron liên kết yếu, mô hình electron
liên kết mạnh, tính chất của electron theo lý thuyết vùng năng lượng...).

Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng cho ta một bức tranh đầy đủ về vật
rắn.
Trong lịch sử của lý thuyết chất rắn thì sự hình thành lý thuyết vùng năng
lượng trong tinh thể là một thành tựu to lớn của Vật lý lý thuyết. Vì vậy tôi
chọn đề tài: “Lý thuyết vùng năng lượng và phân loại vật rắn theo vùng
năng lượng."
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết vùng năng lượng, vận dụng lý thuyết này để nghiên
cứu cấu trúc vùng năng lượng, từ đó tìm hiểu và phân loại vật rắn theo cấu
trúc vùng năng lượng.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Cấu trúc tinh thể của vật rắn.
- Lý thuyết vùng năng lượng .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của vật rắn.
- Nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng và cách phân loại vật rắn theo cấu
trúc vùng năng lượng
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận thì Khóa luận gồm 2 chương:
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN.
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ PHÂN LOẠI
VẬT RẮN THEO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN
1.1. Đối xứng tịnh tiến.[4]
Phép tịnh tiến T(r) là một phép biến đổi mà sau đó mỗi điểm có tọa độ 𝐫1
bất kỳ nào đó đều được tịnh tiến đi một vectơ r để trở thành có tọa độ là 𝐫1 +
𝐫 tức là:
𝑇(𝐫): 𝐫1 −> 𝐫1 + 𝐫 , đối với mọi 𝐫1
Xét tinh thể lý tưởng, tức là tinh thể hoàn hảo (các nguyên tử sắp xếp
hoàn toàn theo theo đúng trật tự) và vô tận. Một tinh thể như vậy sẽ được gọi
là có đối xứng tịnh tiến đối với một phép tịnh tiến 𝑇(𝐫) nào đó nếu sau phép
tịnh tiến này nó là bất biến, hay nói cụ thể hơn: mỗi nguyên tử của tinh thể
dịch chuyển đến vị trí của nguyên tử cùng loại và toàn tinh thể (vô tận)
chuyển sang một vị trí mới trùng khít với chính nó ở vị trí cũ.
Dễ dàng thấy đối với một tinh thể thì đối xứng tịnh tiến chỉ có thể có
mặt khi phép tịnh tiến không phải là tịnh tiến đi một vectơ r bất kì mà là tịnh
tiến đi một vectơ r đáp ứng một số điều kiện nhất định.
Vì tinh thể là gián đoạn nên bằng trực giác đã có thể thấy rằng nếu xét
theo một hướng x nào đó của tinh thể thì trên hướng này nhất định sẽ phải có
một vectơ ngắn nhất 𝐚𝑥 (gọi là vectơ tịnh tiến cơ sở hoặc vectơ cơ sở trên
hướng x) mà tinh thể sẽ bất biến khi và chỉ khi ta tịnh tiến nó đi một đoạn
bằng một số nguyên lần 𝐚𝑥 (về cả 2 phía), tức là tinh thể sẽ bất biến (đối
xứng) khi và chỉ khi ta thực hiện phép tịnh tiến 𝑇(𝑛𝐚𝑥 ) với n là các số nguyên
(dương hoặc âm, có thể bằng 0).
Vì tọa độ của một điểm bất kỳ trong không gian 3 chiều được biểu diễn
thông qua 3 tọa độ của nó trên 3 trục tọa độ chọn không cùng nằm trên một
mặt phẳng, do dó đối với tinh thể 3 chiều có thể nói rằng khi đã chọn được 3
hướng x, y, z phù hợp với nhau (thích hợp) làm 3 trục tọa độ thì tất cả các

3


vectơ tịnh tiến R (tức là các vectơ mà khi thực hiện phép tịnh tiến T(R) thì
tinh thể sẽ bất biến) của tinh thể có thể được biểu diễn bằng công thức:
𝐑. 𝑛𝑥 𝐚𝑥 . 𝑛𝑦 𝐚𝑦 . 𝑛𝑧 𝐚𝑧

(1.1)

trong đó 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧 là các số nguyên (dương hoặc âm, có thể bằng 0) và các
vectơ 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 là các vectơ cơ sở tương ứng trên các hướng x, y, z.
Các hướng x, y, z cũng còn hay được viết dưới dạng:
(1.1′ )

𝐑 = 𝑛1 𝐚1 + 𝑛2 𝐚2 + 𝑛3 𝐚3

Vì sao ta nói rằng 3 hướng tọa độ x, y, z phải được chọn phù hợp với
nhau thì khi đó thông qua các vectơ cơ sở 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 của chúng ta mới biểu
diễn được tất cả các vectơ tịnh tiến của tinh thể theo công thức (1.1) mà
không phải là có thể chọn 3 hướng bất kỳ không cùng nằm trên một mặt
phẳng? Vấn đề là ở chỗ nếu chọn hướng tuy không cùng nằm trên một mặt
phẳng nhưng không phù hợp với nhau thì công thức (1.1) sẽ không bao hàm
được hết tất cả các vectơ tịnh tiến của tinh thể. hay nói cách khác, sẽ có một
số vectơ tịnh tiến của tinh thể bị bỏ sót. Ví dụ đối với cấu trúc tinh thể 2 chiều
như biểu diễn trên (hình 1.1) thì nếu chọn 2 hướng x, y không phù hợp với
nhau như trong hai trường hợp bộ 2 vectơ cơ sở của chúng là 𝐚5𝑥 , 𝐚5𝑦 , ta sẽ có
một loạt các điểm R bị bỏ sót, mà điển hình là các điểm đánh dấu *.

4

𝐚1𝑦
𝐚2𝑥

𝐚3𝑦

𝐚2𝑦

𝐚1𝑥

𝐚3𝑥

𝐚4𝑥

𝐚5𝑥

∗

𝐚5𝑦

𝐚4𝑦
Hình 1.1: Minh họa một số cách chọn các cặp vectơ cơ sở thích hợp
(𝐚1𝑥 , 𝐚1𝑦 ; 𝐚2𝑥 , 𝐚2𝑦 ; 𝐚3𝑥 , 𝐚3𝑦 ; 𝐚4𝑥 , 𝐚4𝑦 ) và một cách chọn cặp vectơ cơ sở không thích
hợp (𝐚5𝑥 , 𝐚5𝑦 ), vẽ cho một tinh thể 2 chiều.
Nhưng mặt khác, cần chú ý rằng không phải chỉ có duy nhất một cách
chọn 3 hướng tọa độ x, y, z để thông qua các vectơ cơ sở 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 của chúng
biểu diễn được tất cả các vectơ tịnh tiến của tinh thể theo công thức (1.1) mà
có thể có nhiều cách chọn khác nhau. Điều này cũng được minh họa trên
(hình 1.1). Nguyên tắc chung để 3 hướng tọa độ x, y, z nào đó có thể coi là
phù hợp với nhau là hình hộp không gian do 3 vectơ cơ sở 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 của

chúng tạo ra là một ô cơ sở (1.1.3)
1.2. Mạng Bravais.[3]
Tập hợp tất cả các điểm có bán kính vectơ R được xác định theo công
thức (1.1) khi 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 là các vectơ cơ sở trên 3 hướng được chọn thích hợp
tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais (cũng còn có tên
khác là mạng không gian (space lattice). Mỗi một điểm trên đây được gọi là
một nút của mạng Bravais.
5


Mạng Bravais chỉ mới biểu diễn được tính chất tuần hoàn tịnh tiến của
mạng tinh thể, chỉ cần bằng trực giác vật lý đã có thể thấy rằng mạng Bravais
không phải là mạng tinh thể thực. Mạng tinh thể thực phải được mô tả bằng
cách chỉ ra mạng Bravais của nó đi kèm với chỉ ra nền tinh thể (nền là từ dịch
nghĩa của tiếng anh basis hoặc motif), trong đó nên tinh thể là khái niệm để
chỉ cấu hình nguyên tử (có bao nhiêu nguyên tử, các nguyên tử này thuộc
những loại nào và vị trí tương đối của chúng đối với nhau ra sao) tương ứng
với mỗi một nút mạng Bravais. Tức là:
Cấu trúc tinh thể = Mạng Bravais + Nền tinh thể
Điều này được minh họa bằng (hình 1.2). Đáng chú ý là về số nguyên tử của
nền tinh thể ta có:
 Các tinh thể đơn giản nhất: Nền tinh thể chỉ gồm một vài nguyên tử:
 Một số tinh thể hữu cơ: Nền tinh thể gồm ~ 100 nguyên tử:
 Các tinh thể abumin: Nền tinh thể gồm ~ 104 nguyên tử.
Trong vật lý chất rắn mà chúng ta đang nghiên cứu ở đây (có xu hướng thiên
về vật lý của các chất rắn vô cơ) nói chung người ta chủ yếu chỉ xét đến các
tinh thể đơn giản nhất.

= Nền

Hình 1.2 minh họa cấu trúc tinh thể = Mạng Bravais + Nền tinh thể. Cả 3
loại tinh thể đều được cấu tạo từ cùng một mạng Bravais (mạng vuông hai
chiều), nhưng trên nền khác nhau.
6


Với định nghĩa như trên về mạng Bravais, có các nhận xét sau đây:
1) Điều quan trọng nhất là mạng Bravais phải biểu diễn được tính chất tuần
hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể, do đó các nút mạng Bravais không nhất thiết
phải trùng với các nút mạng tinh thể thực (có nguyên tử nằm ở đó).
2) Nếu tinh thể được cấu tạo nên từ nhiều loại nguyên tử, hoặc nói cách
khác, nếu số nguyên tử của nền tinh thể là 2 hoặc lớn hơn, thì có thể coi là
mỗi loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais của riêng mình (mạng con) và
khi đó mạng tinh thể sẽ gồm nhiều mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào
nhau (chú ý là nếu các mạng không giống hệt nhau thì không thể lồng vào
nhau được). Một tinh thể chỉ gồm một mạng Bravais có thể gọi là tinh thể đơn
giản, trong khi một tinh thể gồm nhiều mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào
nhau thường được gọi là tinh thể phức tạp.
Đáng chú ý là với cách xét coi mỗi loại nguyên tử tạo nên một mạng
Bravais của riêng mình thì để tiện cho việc xét vấn đề người ta lại thường coi
là các nguyên tử nằm ngay ở chính các nút của các mạng Bravais.
Hình 1.3 Sự khác biệt giữa r và
r

R

R

r: Biểu thị một điểm bất kỳ
trong không gian của tinh thể

(kể cả các nút của mạng
Bravais).
R: Chỉ biểu thị các nút mạng
Bravais

1.3. Ô đơn vị và ô cơ sở.[4]

7


Đối xứng tịnh tiến đã bao hàm ý là nếu lặp đi lặp lại một “ thể tích nào đó"
thì sẽ cho ra toàn tinh thể. “Thể tích nào đó" này thường được gọi là ô đơn vị
(unit cell). Ô đơn vị có thể tích nhỏ nhất được gọi là ô đơn vị cơ sở (hay còn
gọi vắn tắt là ô cơ sở), nó cũng còn được gọi là ô đơn vị tối giản hoặc sơ đẳng
(primitive unit cell).
Có nhiều cách để kiến tạo ô cơ sở, trong đó cách phổ biến nhất là lấy luôn
hình hộp không gian do 3 vectơ cơ sở 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 của 3 hướng x, y, z thích hợp
tạo ra làm ô cơ sở. Có 2 điểm đáng chú ý ở đây:
1) Nếu 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 là các vectơ cơ sở của 3 hướng x, y, z không thích hợp
thì hình hộp không gian do chúng tạo ra sẽ chỉ là một ô đơn vị chứ
không phải là ô cơ sở.
2) Trong trường hợp 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 là các vectơ cơ sở của 3 hướng x, y, z thích
hợp thì vì ở đây không phải chỉ có một cách chọn một bộ hướng x, y, z
thích hợp duy nhất mà có nhiều cách chọn khác nhau, nên nếu dùng
hình hộp không gian do 𝐚𝑥 , 𝐚𝑦 , 𝐚𝑧 tạo ra làm ô cơ sở thì với cách làm
này ta sẽ có không phải một mà là nhiều loại ô cơ sở với các hình dạng
khác nhau, nhưng chúng có một điểm chung là có cùng thể tích như
nhau. Các thí dụ về điều này được đưa ra trên (hình 1.4).

Hình 1.4 Ví dụ về cách chọn ô cơ sở (vẽ cho một mạng 2 chiều) xuất phát

từ các vectơ cơ sở của các hướng được chọn thích hợp.
8


Hình 1.5 Minh họa cách dựng ô
cơ sở Wigner - Seitz cho một
mạng 2 chiều.Một cách đặc biệt
để tạo ra ô cơ sở là cách làm của
Wigner-Seitz:

Lấy một nút trên mạng Bravais, vẽ các mặt phẳng vuông góc đi qua điểm giữa
của các đoạn thẳng nối nút mạng trên đây với tất cả các nút mạng lân cận của
nó, khi đó hình không gian nằm trong các mặt phẳng này là ô cơ sở (hình 1.5).
Có thể nói một cách tổng quát là ô cơ sở Winger-Seitz là vùng không gian gần
điểm đã chọn của mạng Bravais hơn bất cứ điểm nào khác của mạng. Có thể
dùng ô Wigner-Seitz để đại diện cho mạng Bravais vì các lý do sau đây:


Một mặt, ô Wigner-Seitz cũng là một ô cơ sở, tức là nó là thể tích nhỏ

nhất mà nếu lặp đi lặp lại sẽ cho ta toàn tinh thể.


Nhưng mặt khác, khác với các ô cơ sở được xây dựng từ các vectơ cơ

sở, ô Wigner-Seitz có tính duy nhất, vì với cách xây dựng đã tiêu chuẩn hóa,
chung cho mọi loại tinh thể như đã trình bày ở trên, đối với mỗi mạng
Bravais ta chỉ xây dựng được một ô Wigner-Seitz.


Hơn nữa, cách xây dựng ô Wigner-Seitz cho thấy nó mang theo mình

đầy đủ tất cả các tính chất đối xứng của mạng Bravais, trong khi các ô cơ sở
khác nói chung không có tính chất này.
Để kết luận, một lần nữa ta nhắc lại rằng các loại ô cơ sở khác nhau đều
có một tính chất chung là có thể tích như nhau và cùng chứa số nguyên tử

9


bằng số nguyên tử của nền tinh thể. Đây là tính chất xuất phát ngay từ định
nghĩa ô cơ sở.
1.4. Các phép đối xứng của mạng tinh thể.[2]
Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn
tịnh tiến, ngoài ra, tùy vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có thể có (hoặc
không có) các tính chất đối xứng khác nữa.
Phép đối xứng của tinh thế được định nghĩa chung như sau: Nếu sau
một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm
bất kỳ trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới
hoàn toàn giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại),
thì phép biến đổi này được gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép đối
xứng chủ yếu của mạng tinh thể là các phép sau đây:
 Tịnh tiến.
 Quay quanh một trục.
 Phản xạ gương (qua một mặt phẳng).
và các tổ hợp khác nhau của chúng. Chú ý là có những trường hợp mà một
phép biến đổi trên đây, nếu xét đơn lẻ thì không phải là một phép đối xứng,
nhưng nếu xét một tổ hợp nhất định nào đó của chúng với nhau thì lại là một
phép đối xứng.
Một tập hợp của các biến đổi đối xứng đi kèm thêm với hai định nghĩa:

định nghĩa tích của hai yếu tố và định nghĩa yếu tố nghịch đảo, sẽ lập thành
một nhóm. Các thí dụ về nhóm tinh thể là:
 Nhóm tịnh tiến: T(R).
 Nhóm quay quanh một trục bậc n (góc quay là bội của 2𝜋/𝑛, với
n=1,2,3,4,6): 𝐶𝑛 .
 Nhóm quay - nghịch đảo: 𝑆𝑛 .
 Nhóm quay - phản xạ gương: 𝐶𝑛𝑣 , 𝐶𝑛ℎ .
10


 Nhóm quay quanh hai trục, một trục bậc 𝑛 và một trục bậc 2 vuông góc
với trục bậc 𝑛: 𝐷𝑛
Đáng chú ý là tất cả các biến đổi thuộc nhiều nhóm đối xứng của tinh
thể, thí dụ 𝐶𝑛 , 𝐶𝑛𝑣 , 𝐶𝑛ℎ , 𝑆𝑛 , 𝐷𝑛 , … đều giữ cố định một điểm nào đó của tinh
thể. Các nhóm có tính chất như vậy được gọi là các nhóm điểm.
Tập hợp tất cả các phép đối xứng khác nhau của tinh thể lập thành một
nhóm gọi là nhóm không gian của tinh thể. Có tất cả 230 nhóm không gian,
tức là có 230 loại tinh thể có các tính chất đối xứng không gian khác nhau.
1.5. Phân loại các mạng Bravais.[1]
Dựa trên các tính chất đối xứng (bất biến) đối với nhóm tịnh tiến, các
mạng Bravais được phân ra làm 14 loại. Ngoài tính đối xứng đối với nhóm
tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào
đó. Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo thành một hệ. Căn cứ vào tính đối
xứng đối với các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais được chia làm 7 hệ
Đáng chú ý là các hệ tinh thể được phân loại theo ôn đơn vị chứ không
phải theo ô cơ sở. Điều này là dễ hiểu vì ô cơ sở chỉ cho thấy đối xứng tịnh
tiến, trong khi hệ tinh thể là phân loại tinh thể theo đối xứng đối với nhóm
điểm.
7 hệ tinh thể và 14 mạng Bravais
Để dễ nhớ sự phân loại các mạng Bravais thành 7 hệ có thể nhớ rằng các

hệ tinh thể khác nhau chẳng qua chỉ là các biến dạng của mạng lập phương
(có tính đối xứng cao nhất) thành các mạng có tính đối xứng thấp dần.
1) Hệ lập phương (cubic)
𝑎=𝑏=𝑐
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90°.
có 3 mạng: đơn, tâm khối (cũng còn gọi là tâm thể) và tâm mặt (cũng
còn gọi là tâm diện).
11


2) Hệ tứ giác (tetragonal - bốn phương)
So với hệ lập phương: kéo dài hoặc thu ngắn một cạnh c, giữ nguyên
các góc vuông. Có 2 mạng: đơn và tâm khối.
𝑎=𝑏≠𝑐
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90°
3) Hệ trực giao (orthorhombic) (cũng còn gọi là hệ vuông góc hay trực
thoi)
So với hệ lập phương: kéo dài hoặc thu ngắn cả hai cạnh b và c, giữ
nguyên các góc vuông. Có 4 mạng: đơn, tâm khối, tâm đáy và tâm mặt.
𝑎≠𝑏≠𝑐
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90°
4) Hệ hình thoi( rhombohedral)
So với hệ lập phương: giữ nguyên các cạnh, chỉ thay đổi các góc bằng
cách kéo hình lập phương theo một đường chéo không gian, được một
hình thoi khối. Chỉ có một mạng đơn.
𝑎≠𝑏≠𝑐
𝛼, 𝛽, 𝛾 ≠ 90°
5) Hệ một nghiêng (monilinic) (cũng còn gọi là hệ đơn tà)
So với hệ lập phương: ngoài thay đổi các cạnh thêm thay đổi một góc,
do đó đấy trở nên hình bình hành. Có 2 mạng: đơn và tâm khối.

𝑎≠𝑏≠𝑐
𝛼 ≠ 90°, 𝛽 = 𝛾 = 90°
6) Hệ ba nghiêng (monoclinic) (cũng còn gọi là hệ tam tà)
So với hệ lập phương: tất cả các cạnh, các góc đều thay đổi. Hệ có tính
đối xứng kém nhất. Chỉ có một mạng đơn.
𝑎≠𝑏≠𝑐
𝛼, 𝛽, 𝛾 ≠ 90°
12


7) Hệ lục giác (hexagonal)
Là hệ duy nhất không có liên quan với hệ lập phương. Chỉ có một mạng
đơn.
1.6. Hệ lập phương.[4]
Hệ lập phương bao gồm các mạng Bravais sau đây:
 Hệ lập phương đơn (simple cubic hoặc primitive cubic, viết tắt là
PC);
 Lập phương tâm khối hay còn gọi là tâm thể (body-centered
cubic, viết tắt là BCC);
 Lập phương tâm mặt hay còn gọi là tâm diện (face-centered
cubic, viết tắt là FCC);
Đây là một hệ hết sức quan trọng, nhất là các mạng FCC và BCC, vì rất
nhiều chất rắn kết tinh dưới dạng các mạng này, do đó sau đây ta sẽ xét hệ
này cụ thể hơn một chút.
1. Cấu trúc lập phương đơn (PC)
Cách thường làm nhất để chọn các vectơ cơ sở cho mạng PC là chọn
luôn các cạnh của hình lập phương:
𝐚1 = 𝑎𝐢; 𝐚2 = 𝑎𝐣; 𝐚3 = 𝑎𝐤
(trong công thức này và các công thức sau đây, i, j, k là các vectơ đơn vị trực
giao nhau song song với các cạnh của hình lập phương).

Ô cơ sở Wigner-Seitz của mạng PC cũng là một hình lập phương.
2. Cấu trúc lập phương tâm khối (BCC)
Một cách chọn vectơ cơ sở là chọn hai cạnh của hình lập phương và một nửa
đường chéo không gian của hình lập phương.
𝐚1 = 𝑎𝐢
𝐚2 = 𝑎𝐣
𝐚3 = 𝑎(𝐢 + 𝐣 + 𝐤)/2
13


Một cách chọn khác là: nối một đỉnh của hình lập phương với ba tâm của ba
hình lập phương khác liền kề với nó, lấy các đoạn thẳng này làm vectơ cơ
sở. Khi đó một cách chọn ô cơ sở là chọn hình khối được tạo nên bởi 3 vectơ
cơ sở này.
𝐚1 = 𝑎(𝐢 + 𝐣 − 𝐤)/2
𝐚2 = 𝑎(𝐣 + 𝐤 − 𝐢)/2
𝐚3 = 𝑎(𝐤 + 𝐢 − 𝐣)/2

(a)

(b)

(c)

Hình 1.6. Cách sắp xếp nguyên tử trong mạng BCC hình
(a); Một cách chọn ô cơ sở cho mạng BCC hình (b); Ô cơ sở Wigner - Seitz
của mạng BCC hình (c).
Ô cơ sở Wigner-Seitz của mạng BCC là một hình khối 14 mặt, trong đó
8 mặt là hình lục giác đều và 6 mặt là hình vuông, với các hình lục giác đều
to hơn hẳn các hình vuông, và như vậy hình khối 14 mặt này có thể coi là

hình khối 8 mặt bị cắt ở các góc.
3. Cấu trúc lập phương tâm mặt (FCC)

14


Cách thường dùng nhất là chọn các vectơ nối một đỉnh của hình lập
phương với tâm của ba mặt bên xung quanh đỉnh này làm các vectơ cơ sở.
Khi đó một cách chọn ô cơ sở là dùng hình khối được tạo nên bởi 3 vectơ cơ
sở này.

(a)

(b)

(c)

Hình 1.7 Cách sắp xếp nguyên tử trong mạng FCC hình
(a); Một cách chọn ô cơ sở cho mạng FCC hình (b); Ô cơ sở Wigner - Seitz
của mạng FCC hình (c).
𝐚𝟏 = 𝑎(𝐣 + 𝐤)/2
𝐚𝟐 = 𝑎(𝐤 + 𝐣)/2
𝐚𝟑 = 𝑎(𝐢 + 𝐣)/2
Ô cơ sở Wigner-Seitz của mạng FCC là một hình khối 12 mặt đều, mỗi
mặt là một hình thoi. (Hình 1.6) và (hình 1.7) minh họa cách sắp xếp nguyên
tử, một cách chọn ô cơ sở và hình dạng ô cơ sở Wigner-Seitz của mạng BCC
và FCC trong hệ lập phương.
Chú ý là số nút lân cận gần nhất là đặc trưng cho mỗi mạng Bravais, có
nghĩa là mỗi một nút mạng Bravais đều có số nút lân cận gần nhất như nhau.
Số này còn được gọi là số phối vị (coordiination number).

15


Kết luận chương 1
Trong chương 1 tôi đã trình bày về cấu trúc tinh thể của vật rắn gồm có
- Đối xứng tịnh tiến
- Mạng Bravais
- Ô đơn vị và ô cơ sở
- Các phép đối xứng của mạng tinh thể
- Phân loại các mạng Bravais
- Hệ lập phương

16


CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ PHÂN LOẠI
VẬT RẮN THEO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG
2.1. Nguyên lý hình thành vùng năng lượng.
Có hai cách tiếp cận để xét trạng thái năng lượng của điện tử trong chất
rắn, đó là:
1) Coi là các điện tử liên kết chặt với các nguyên tử mẹ của chúng và nghiên
cứu sự thay đổi các trạng thái của các điện tử này khi một số lượng lớn các
nguyên tử kết hợp lại với nhau để tạo thành một vật rắn. Cách tiếp cận này
thường được gọi là phép gần đúng điện tử liên kết chặt (đt-lkc)
2) Xem xét điều gì xảy ra khi điện tử chuyển từ trạng thái hoàn toàn tự do
sang trạng thái nằm trong trường thế năng tuần hoàn do các ion của mạng tinh
thể sinh ra. Cách tiếp cận này thường được gọi là phép gần đúng điện tử gần
tự do (đt-gtd).
Vì sao chúng ta phải sử dụng cả 2 cách tiếp cận trên để xét vấn đề vùng

năng lượng mà không chỉ dùng 1 cách thôi? - Lý do là 2 cách tiếp cận này có
tác dụng hỗ trợ, bổ sung cho nhau, giống như khi ta xem xét cùng một vấn đề
từ 2 phía khác nhau để có thể hiểu nó một cách đầy đủ và toàn diện hơn


Cách tiếp cận thứ nhất đơn giản, dễ hiểu nên rất hay được dùng để

minh họa cách hình thành các vùng năng lượng. Ngoài ra cách này còn nói
lên rằng chỉ cần sự ảnh hưởng lên nhau giữa các nguyên tử lân cận nhau (trật
tự gần) là đã đủ để làm sinh ra bức tranh vùng năng lượng chứ không phải chỉ
có tính tuần hoàn của trường tinh thể (trật tự xa) mới làm sinh ra được các
vùng năng lượng. Từ đây có thể thấy rằng một số chất rắn không có cấu trúc
tinh thể vẫn có thể có các vùng năng lượng.


Nhưng ưu điểm của cách tiếp cận thứ nhất cũng lại chính là nhược

điểm của nó, vì không cho thấy ảnh hưởng của tuần hoàn tịnh tiến lên sự hình
17


thành của các vùng năng lượng. Cụ thể hơn, cách tiếp cận thứ nhất chỉ cho
thấy sự phụ thuộc của bức tranh năng lượng của điện tử vào khoảng cách mà
không cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng này vào vectơ sóng (k), mà chỉ
có cách tiếp cận thứ hai mới làm được điều này.
2.1.1 Vùng năng lượng- hệ quả của sự làm phủ sóng.[4]
Đưa ra các phân tích vật lý đơn giản để thấy rằng nguyên nhân tạo ra các
vùng năng lượng là do điện tử thuộc các nguyên tử khác nhau có các hàm
sóng chồng lấn (phủ) lên nhau.
Nhắc lại lý thuyết lượng tử về cấu tạo nguyên tử (mẫu nguyên tử Bohr):

Trong một nguyên tử riêng biệt
 Các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lượng gián đoạn nhất định
nào đó gọi là các mức năng lượng nguyên tử.
 Mỗi điện tử phải nằm trên một mức năng lượng khác nhau (nguyên lý
loại trừ Pauli).
 Một mức năng lượng được đặc trưng bởi một bộ gồm 4 số lượng nguyên
tử: n, l, m, s, trong đó:
• n = 1,2,3... (số lượng tử chính)
• l = 0,1,2...,(n - 1) (số lượng tử quỹ đạo)
• m = −𝑙, (𝑙 − 1) … , (𝑙 − 1), 𝑙 (số lượng tử từ)
• s = +1/2, -1/2 (số lượng tử spin)
Thực tế cho thấy rằng vị trí năng lượng của một mức chủ yếu chỉ do n
quyết định, do đó người ta đưa ra khái niệm lớp (các mức có cùng một giá trị
của n) và ký hiệu của các lớp này băng K (𝑛 = 1), L (𝑛 = 2), M (𝑛 = 3),...
Ngoài ra, trong tất cả các lớp người ta cũng thấy rằng các mức năng lượng có
cùng giá trị của 𝑙 bao giờ cũng nằm rất gần nhau, do đó nên người ta đã đưa ra
thêm khái niệm lớp con (các mức có cùng một giá trị của 𝑛 và cùng một giá
trị của 𝑙) và ký hiệu của các lớp con này bằng cách viết giá trị hằng số của 𝑛
18


(1, 2, 3...) kèm theo giá trị của 𝑙 ký hiệu bằng chữ: 𝑠 (𝑙 = 0), 𝑝 (𝑙 = 1), 𝑑 (𝑙 =
2) … và tùy chọn có thể kèm thêm số điện tử thuộc lớp con này viết dưới dạng
số mũ của 𝑙. Ví dụ: 2𝑠, 3𝑑, 5𝑓 … hoặc 1𝑠 2 , 2𝑝3 ...
Để có một vật liệu có thể xét bức tranh (tưởng tượng) về 𝑁 nguyên tử
giống hệt nhau đang ở cách xa nhau vô tận tiến lại gần nhau, khi đó:
 Nếu các nguyên tử cách xa nhau đến mức có thể coi chúng là hoàn toàn
độc lập đối với nhau thì vị trí của các mức năng lượng của chúng là hoàn
toàn trùng nhau.
 Khi các nguyên tử tiến lại gần nhau đến khoảng cách cỡ Å (10−10 𝑚)

thì các hàm sóng của các điện tử của chúng bắt đầu phủ lên nhau và ta không
thể tiếp tục coi chúng là độc lập được nữa. Kết quả là các mức năng lượng
nguyên tử thôi không còn là trùng chập nữa mà tách ra thành các vùng năng
lượng:
• Mỗi mức tách ra thành một vùng.
• Mỗi vùng gồm 𝑁 mức nằm gần nhau đến mức có thể coi là chúng phân
bố gần như liên tục theo năng lượng.
Và như vậy trong một số trường hợp có thể nói về các vùng ví dụ như
3𝑠, 4𝑝... được sinh ra từ các mức năng lượng tương ứng của nguyên tử.
Sự tách một mức năng lượng nguyên tử ra thành một vùng năng lượng
rộng hay hẹp phụ thuộc vào sự phủ hàm sóng giữa các điện tử thuộc các
nguyên tử khác nhau với nhau là nhiều hay ít.
 Giữa các điện tử nằm trên các lớp ngoài của nguyên tử, nhất là các điện tử
hóa trị, có sự phủ hàm sóng mạnh, do đó vùng năng lượng lúc này rộng.
 Các điện tử nằm trên các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì sự phủ hàm
sóng càng yếu đi bấy nhiêu và vùng năng lượng đối với các lớp càng nằm
sâu bên trong càng hẹp lại.

19