Tim hiểu về Isaac Newton

Sir Isaac Newton (1642 - 1727)
A `từ ngắn Tài khoản của Lịch sử Toán học '(4th edition, 1908) do WW Rouse Ball.
Các toán học xem xét trong chương này bắt việc tạo ra những quy trình mà phân biệt
toán học hiện đại. Những bất thường khả năng của Newton cho phép người trong một
vài năm để hoàn thiện các chi tiết của các quy trình tiểu học, và để distinctly trước mặt
ở tất cả các chi nhánh của toán học nghiên cứu khoa học sau đó, cũng như để tạo ra một
số môn học mới. Newton đã được các đại và bạn bè của Wallis, Nguyên lý Huygens,
và những người khác của những người được đề cập trong chương cuối cùng, nhưng
mặc dù hầu hết các công việc của mình toán học đã được thực hiện giữa năm 1665 và
1686, trong số lượng lớn của nó đã không được in - vào bất kỳ tỷ lệ trong cuốn sách
-mẫu - cho đến khi một vài năm sau.
Tôi đề nghị để thảo luận về công việc của Newton thêm đầy đủ hơn những người khác
của toán học, một phần vì của intrinsic tầm quan trọng của mình khám phá, và một
phần vì cuốn sách này chủ yếu là để dành cho bạn đọc tiếng Anh, và sự phát triển của
toán học tại Vương quốc Anh đã được cho một thế kỷ hoàn toàn trong tay của các
trường học Newtonian.
Isaac Newton được sinh ra ở Lincolnshire, gần Grantham, on December 25, 1642, và
chết tại khách sạn Kensington, London, vào ngày March 20, 1727. Ông được theo học
tại Trinity College, Cambridge, và sống ở đó từ 1661 đến 1696, trong khi đó thời gian
của người sản xuất hàng loạt các công việc của mình trong toán học; năm 1696 ông
được bổ nhiệm vào một giá trị văn phòng Chính phủ, và chuyển đến London, nơi người
định cư cho đến khi chết.
Cha của mình, những người đã mất sớm trước khi Newton được sinh ra, đã là một
yeoman nông dân, và nó đã được dự tính rằng Newton nên tiến hành trên paternal trang
trại. Ông này đã được gửi đến học tại Grantham, nơi học tập của mình và cơ khí vui
mừng thông thạo một số sự chú ý. Năm 1656 ông trở về nhà để tìm hiểu một công việc
kinh doanh của một nông dân, nhưng hầu hết các chi tiêu của mình thời gian giải quyết
vấn đề, làm thử nghiệm, mô hình hay devising cơ khí; mẹ này nhận thấy, sensibly giải
quyết để tìm thấy một số chi tiết congenial nghề nghiệp cho người, và chú ruột, mình
đã được học tại Trinity College, Cambridge, đề nghị rằng mình sẽ được gửi ở đó.
Năm 1661 Newton phù hợp nhập vào như là một sinh viên tại Cambridge, nơi lần đầu

tiên ông đã tìm thấy mình trong môi trường xung quanh đó có khả năng để phát triển
các quyền hạn của mình. Dường như ông, tuy nhiên, để đã có nhưng ít quan tâm chung
cho xã hội, hoặc cho bất kỳ pursuits lưu khoa học và toán học. May mắn người giữ
một nhật ký, và chúng tôi có thể làm như vậy, công bằng một mẫu ý tưởng của các
khóa học của giáo dục của các học sinh tiên tiến nhất tại một trường đại học tiếng Anh
tại thời điểm đó. Ông đã không đọc bất kỳ toán học trước khi vào cư trú, nhưng đã
quen với Sanderson's Logic, mà sau đó đã được chi thường xuyên như sơ kết, để toán
học. Vào đầu tháng mười hạn đầu tiên của mình đã xảy ra với ông tản xuống để
Stourbridge Hội chợ, và có chọn một cuốn sách về Giao Chiêm Tinh, nhưng không thể
hiểu rõ về tài khoản của các hình học và trigonometry. Do vậy, ông mua một Euclid,
và được ngạc nhiên khi thấy rõ ràng như thế nào trong DÖÏ vẻ. Ông thereupon chi
Oughtred's Clavis và Descartes's Géométrie, trong đó có những thứ hai người quản lý
Mail: Phone: 0983 049 101
để làm chủ tự do, mặc dù với một số khó khăn. Các quan tâm ông cảm thấy trong các
chủ đề để dẫn dắt người mất hơn là toán học hóa học như là một nghiên cứu nghiêm
trọng. Các toán học của mình đọc như là một đại học được thành lập ngày Kepler của
Quang, công việc của Vieta, van Schooten's Miscellanies, Descartes's Géométrie, và
Wallis's Arithmetica Infinitorum: Ông cũng đã tham dự barrow của bài giảng. Tại một
thời gian sau đó, vào ngày Euclid đọc kỹ lưỡng hơn, ông thành lập một cao ý kiến của
nó như một công cụ giáo dục, và người sử dụng để thể hiện mình rất tiếc là mình đã
không áp dụng hình học cho mình trước khi tiến hành algebraic để phân tích.
Có một công của mình, ngày tháng năm 28, 1665, bằng văn bản trong cùng một năm
như rằng trong đó ông đã là BA độ, là sớm nhất chứng minh của các tài liệu của mình
chế của fluxions. Nó đã được cùng một khoảng thời gian mà người khám phá ra
binomial lý.
Trên tài khoản của các bệnh dịch hạch trường Cao đẳng đã được gửi đi xuống trong
phần của năm 1665 và 1666, và cho vài tháng tại thời điểm này Newton sống ở nhà.
Trong thời gian này đã được đông đúc với rực rỡ khám phá. Anh nghĩ ra những nguyên
tắc cơ bản của lý thuyết của mình gravitation, là, mà mọi cấp, thu hút mọi vấn đề của
các cấp, và người nghi ngờ rằng việc thu hút đa dạng như các sản phẩm của họ và

chúng tỷ như là vuông của xa giữa chúng. Ông cũng làm việc ra fluxional Giải tích
tolerably hoàn toàn: này trong một công ngày November 13, 1665, ông fluxions được
sử dụng để tìm tangent và bán kính của curvature tại bất kỳ điểm nào trên một cong, và
vào tháng Mười 1666 ông áp dụng chúng để một số vấn đề trong lý thuyết của tính.
Newton truyền đạt những kết quả này cho bạn bè của mình và các em học sinh từ và
sau khi 1669, nhưng chúng không được in cho đến khi công bố trong nhiều năm sau.
Nó cũng được trong khi ở tại nhà, khách sạn này có thời gian mà người devised một số
vật dụng cho xay ống kính để cụ thể hơn các hình thức khác spherical, và có lẽ ông
phân đôi ánh sáng mặt trời vào màu sắc khác nhau.
Rời ra các chi tiết và số điện thoại chỉ dùng chung quanh, lý luận của mình tại thời
điểm này trên lý thuyết của gravitation dường như đã được như sau. Ông nghi ngờ
rằng lực lượng mà giữ mặt trăng trong các orbit về, đất là tương tự như đất, nguy cơ, và
để xác minh Giả thuyết này như vậy, ông xuất. Ông biết rằng, nếu một hòn đá được
cho phép để rơi gần mặt đất, sự hấp dẫn của đất (có nghĩa là, sự nặng của đá) gây ra
cho nó để di chuyển qua ở một trong 16 bàn chân thứ hai. The moon's orbit liên quan
đến đất gần như là một vòng tròn, và như là một rough approximation, dùng nó để được
như vậy, ông biết cách của mặt trăng, và do đó các chiều dài của con đường; ông cũng
biết rằng thời gian mặt trăng để lấy đi sau khi chung quanh, là, một tháng.
Mail: Phone: 0983 049 101
Vì vậy anh cũng có thể dễ dàng tìm thấy các Vận tốc tại bất kỳ điểm nào như M. Ông
có thể do đó tìm cách MT qua mà nó sẽ di chuyển trong kế tiếp thứ hai nếu nó không
được kéo theo thu hút của trái đất. Vào cuối rằng thứ hai tuy nhiên nó đã được tại M ',
và do đó trên đất E phải có kéo nó xa thông qua các TM' trong một lần thứ hai (giả theo
hướng của đất của pull để được cố định). Bây giờ ông và một số nhà vật lý học của
thời gian đã có từ conjectured Kepler thứ ba của pháp luật mà thu hút của đất trên một
cơ thể để có thể được tìm thấy trong cơ thể giảm như đã được xoá bỏ xa hơn khỏi mặt
đất, tỷ như là vuông của khoảng cách từ trung tâm của trái đất; nếu này đã được pháp
luật trên thực tế, và nếu nguy cơ đã được các lực lượng duy nhất mà giữ mặt trăng
trong các orbit, sau đó TM 'nên được đến 16 tỷ như là bàn chân vuông của xa của mặt
trăng từ trung tâm của đất để các vuông của bán kính của đất. Năm 1679, khi ông lặp

đi lặp lại việc điều tra, TM 'đã được tìm thấy có giá trị được yêu cầu bởi các Giả thuyết,
và xác minh đã được hoàn thành, nhưng trong 1.666 người ước tính của các xa của mặt
trăng là không chính xác, và khi tính toán, người làm ông đã tìm thấy rằng TM 'đã được
khoảng một thứ tám-ít hơn nên nó đã được trên Giả thuyết của mình.
Sự khác biệt này không có vẻ đã rúng động đức tin của mình trong niềm tin rằng nguy
cơ mở rộng như xa như mặt trăng và đa dạng tỷ như là vuông của xa; nhưng từ Whiston
của ghi chú của một hội thoại với Newton, nó sẽ có vẻ rằng Newton inferred rằng, một
số khác lực lượng - lẽ Descartes's vortices - acted trên mặt trăng cũng như nguy cơ.
Tuyên bố này đã được xác nhận bởi Pemberton của tài khoản của các điều tra. Nó có
vẻ, hơn nữa, mà Newton đã tin vững chắc trong các nguyên tắc của phổ gravitation, có
nghĩa là, rằng mọi cấp, thu hút mọi vấn đề của các cấp, và nghi ngờ rằng việc thu hút
đa dạng như các sản phẩm của họ và chúng tỷ như là vuông của xa giữa chúng nó,
nhưng nó là một số mà sau đó ông đã không biết những gì thu hút của một loạt
spherical trên bất kỳ bên ngoài sẽ được điểm, và không nghĩ rằng nó có khả năng đó,
một particle sẽ được thu hút bởi mặt đất, nếu như các thứ hai đã được tập trung vào một
đơn cấp tại các trung tâm.
Ngày mình quay trở lại Cambridge năm 1667 Newton được bầu vào một trường cao
đẳng fellowship tại khách sạn của mình, và vĩnh viễn lấy lên có nơi cư trú của mình.
Mail: Phone: 0983 049 101
Trong phần đầu của 1669, hoặc có lẽ trong 1668, ông được sửa lại barrow's giảng dạy
cho các người. Kết thúc của mười bốn giảng dạy được biết đến đã được viết bởi
Newton, nhưng bao nhiêu phần còn lại là do lời đề nghị của mình có thể không được
xác định ngay bây giờ. Ngay sau khi ông này đã được hoàn thành đã được hỏi bởi
barrow và Collins để chỉnh sửa và thêm vào một ghi chú của dịch Kinckhuysen's
Algebra; ông consented để làm được điều này, nhưng về điều kiện mà tên của mình
không nên xuất hiện trong các vấn đề. Năm 1670 ông cũng bắt đầu có một hệ thống
exposition của mình bằng cách phân tích nên chuỗi dài vô tận, đối tượng của dự án này
đã được thể hiện trong ordinate của một cong trong một loạt vô tận algebraical mỗi hạn,
trong đó có thể được tích hợp theo quy định của Wallis; kết quả của mình về chủ đề
này đã được truyền đạt đến barrow, Collins, và những người khác trong 1669. Điều

này là không bao giờ hoàn thành: các fragment đã được xuất bản năm 1711, nhưng đến
bản chất của nó đã được in ra như là một phụ lục của Quang trong 1704. Những tác
phẩm này chỉ là sự hình thành của Newton's thư giãn, hầu hết thời gian của mình trong
thời gian này đang được hai năm cho đến nghiên cứu quang.
Trong tháng mười 1669, barrow thôi các Lucasian ghế trong favor of Newton. Trong
thời gian làm nhiệm kỳ của professorship, nó đã được Newton's thực hành để công khai
giảng dạy một lần một tuần, từ một nửa cho-một-giờ đến một giờ tại một thời gian, ở
một trong hạn của mỗi năm, có lẽ dictating bài giảng của mình như nhanh chóng như
họ có thể được đưa xuống, và trong tuần sau khi giảng dạy để cống hiến bốn giờ để lấy
hẹn mà ông đã cho học sinh nào muốn đến phòng của mình để thảo luận các kết quả
của các trang trước giảng dạy. Ông không bao giờ lặp đi lặp lại một khóa học, mà
thường gồm chín hoặc mười bài giảng, và nói chung các bài giảng của một khóa học
bắt đầu từ những điểm mà trước khóa học đã kết thúc. Manuscripts các bài giảng của
mình cho ra mười bảy của mười tám năm đầu tiên của mình đang có nhiệm kỳ extant.
Khi chọn lựa chọn đầu tiên bổ nhiệm Newton quang cho các sản phẩm của mình bài
giảng và nghiên cứu, và trước khi kết thúc của 1.669 người đã làm việc ra các chi tiết
của mình khám phá của decomposition của một quang của ánh sáng trắng vào tia khác
nhau do có nghĩa là màu sắc của một prism. Hoàn toàn giải thích về những lý thuyết
của rainbow từ sau này khám phá. Các khám phá này hình thành các sản phẩm-vấn đề
của bài giảng mà ông phó giáo sư Lucasian như trong năm 1669, 1670 và 1671. Các
kết quả trưởng mới được hiện trong một giấy truyền đạt đến Royal Xã hội trong tháng
Hai, 1672, và sau đó được xuất bản trong triết giao dịch thực hiện. Các công ban đầu
của mình trong bài giảng đã được in 1729 dưới tiêu đề Lectiones Opticae. Điều này
làm việc được chia thành hai cuốn sách, là người đầu tiên trong đó có chứa bốn phần và
thứ hai năm. Phần đầu tiên của cuốn sách đầu tiên chúng tôi kinh doanh với các
decomposition dùng năng lượng mặt trời của ánh sáng bởi một prism trong hậu quả của
bất bình đẳng refrangibility của tia mà soạn nó, và một mô tả của mình thử nghiệm
được cập nhật. Thứ hai, phần có chứa một tài khoản của các phương pháp mà Newton
phát minh để xác định các coefficients của refraction của cơ quan khác nhau. Điều này
được thực hiện bằng cách làm một quang đi qua một prism của các tài liệu đó, để là

một sai tối thiểu, và các ông, nếu các góc độ của prism được i và các sai số quang được
, Các REFRACTIVE INDEX sẽ được tội lỗi ½ (i + ) Cosec ½ i. Thứ ba là phần trên
bề mặt refractions tại khách sạn bay; ông đây shews rằng nếu một quang đi qua một
prism với tối thiểu sai, các góc độ của tình trạng là bằng với góc nhô lên; nhất của phần
này là dành riêng cho geometrical các giải pháp của các vấn đề khác nhau. Thứ tư,
phần có chứa một cuộc thảo luận của refractions ở bề mặt cong. Thứ hai, xử lý các
cuốn sách của mình về lý thuyết của màu sắc và của rainbow.
Mail: Phone: 0983 049 101
Bởi một chương hiếu kỳ tai nạn lao động của Newton không đúng các chromatic
aberration của hai màu sắc do có nghĩa là của một vài prisms. Ông bỏ vì vậy, hy vọng
làm một refracting telescope đó nên được achromatic, và thay vì một thiết kế phản ánh
văn, có lẽ trên modal của một nhỏ nhất mà đã được thực hiện trong 1668. Các mẫu
người sử dụng vẫn được gọi là do tên của mình; ý tưởng của nó đã được đề xuất tự
nhiên do Gregory's telescope. Năm 1672 ông phát minh một phản ánh vi, và một vài
năm sau ông phát sextant các dự án này đã được rediscovered do J. Hadley trong 1731.
Professorial bài giảng của mình từ 1673 đến 1683 là trên đại số và các lý thuyết của
tính, và được mô tả dưới đây, nhưng nhiều thời gian của mình trong những năm qua đã
chiếm với các điều tra, và tôi có thể đánh dấu rằng cuộc sống của mình trong suốt
Newton phải có dành ít nhất là nhiều sự chú ý đến hóa học và để theology như toán
học, mặc dù mình không phải là kết luận của quan tâm đầy đủ các yêu cầu đề cập đến ở
đây. Lý thuyết màu sắc của mình và mình khấu trừ từ quang của mình đã được thử
nghiệm tại khách sạn đầu tiên tấn công với những vehemence. Các thư này mà entailed
trên Newton chiếm gần tất cả các tiện nghi của mình trong năm 1672 đến 1675, và
chứng vô cùng distasteful to him. Writing on December 9, 1675, anh nói, `` Tôi đã rất
bắt bớ với các thảo luận của tôi phát sinh ra lý thuyết của ánh sáng, mà tôi buộc tội của
riêng tôi khinh chia cho số lượng đáng kể so với một phước lành của tôi như yên lặng
để chạy sau khi một cái bóng.'' Một lần nữa, ngày November 18, 1676, ông quan sát, ``
cho tôi xem tôi đã làm nô lệ cho bản thân mình một triết lý; nhưng nếu tôi nhận được
thoát khỏi Ông bắc Linus của doanh nghiệp, tôi sẽ quyết đấu giá adieu để nó luôn luôn,
excepting những gì tôi làm cho tôi tư nhân hài lòng, hoặc để lại để đi ra sau khi tôi, vì

tôi thấy một con người hoặc là phải giải quyết để đưa ra không có gì mới, hoặc để trở
thành nô lệ để bảo vệ nó.''The voâ lyù không thích để có kết luận của mình nghi ngờ
hoặc để được tham gia vào bất kỳ thư về họ đã được một trait ở Newton's ký tự.
Newton đã được quan tâm sâu sắc trong câu hỏi như làm thế nào để các tác động của
ánh sáng thực sự đã được sản xuất, và vào cuối 1675 ông đã làm việc ra corpuscular
hay emission lý thuyết, và đã có shewn nó sẽ như thế nào cho tất cả các tài khoản khác
nhau của hiện tượng geometrical quang, chẳng hạn như Reflexion, refraction, màu sắc,
diffraction, vv Để làm được điều này, tuy nhiên, ông bắt buộc phải thêm vào một ít giả
rider, rằng ông corpuscules đã xen fits của Reflexion đơn giản và dễ dàng refraction
truyền đạt đến họ bởi một không gian ether mà đầy. Các lý thuyết được biết đến là ngay
bây giờ để được untenable, nhưng nó nên được lưu ý là Newton enunciated nó như là
một Giả thuyết mà từ đó sẽ làm theo những kết quả nhất định: nó sẽ có vẻ rằng ông tin
rằng, làn sóng lý thuyết để được intrinsically thêm probable, nhưng nó đã được giải
thích sự khó khăn diffraction trên lý thuyết rằng đó dẫn đến đề nghị người khác Giả
thuyết.
Newton's corpuscular lý thuyết đã được expounded trong Memoirs truyền đạt đến
Royal Xã hội trong tháng mười hai 1675, và đó cũng là đáng kể của ông Quang sao
chép, xuất bản năm 1704. Thứ hai trong công việc anh ta xử lý trong chi tiết với lý
thuyết của mình fits của Reflexion dễ dàng và chuyển giao, và các màu sắc và làm việc
của đĩa, để mà ông được thêm vào một giải thích về những màu sắc của tấm dày [BK.
II, phần 4] và quan sát trên inflexion của ánh sáng [BK. III].
Hai chữ cái được viết bởi Newton trong năm 1676 là đủ thú vị để chúng một allusion
cho họ. Leibnitz, những người đã được ở London trong 1673, đã có truyền đạt một số
kết quả để Royal Xã hội mà ông đã có vụ phải là mới, nhưng mà nó đã được chỉ ra với
Mail: Phone: 0983 049 101
người trước đó đã được chứng bởi Mouton. Điều này dẫn đến một thư với Oldenburg,
các thư ký của xã hội. Năm 1674 Leibnitz viết rằng anh ta có `` chung phụ thuộc vào
phương pháp phân tích nên chuỗi dài vô tận.''Oldenburg, trong trả lời, người nói rằng
Newton và Gregory đã được sử dụng như vậy trong loạt công việc của mình. Trong câu
trả lời cho một yêu cầu cho các thông tin, Newton wrote on June 13, 1676, cho một

khẩu tài khoản của mình phương pháp, nhưng thêm các mở rộng của một binomial (có
nghĩa là, trong binomial lý) và của ; Từ thứ hai, trong đó ông deduced rằng của
tội x: này dường như là sớm nhất được biết đến dụ của một loạt các reversion. Ông
cũng chèn một biểu hiện cho rectification của một elliptic arc trong một loạt vô tận.
Leibnitz wrote on 27 tháng tám yêu cầu chi tiết cho toàn; và Newton trong một lâu
nhưng thú phát lại, ngày 34 tháng mười, 1676, và gửi đi qua các Oldenburg, cung cấp
cho một tài khoản của con đường, trong đó ông đã được dẫn đến một số kết quả của
mình.
Trong thư này Newton bắt đầu bằng cách nói rằng ông đã hoàn toàn được sử dụng ba
phương pháp cho mở rộng trong hàng loạt. Đầu tiên của ông là đến du học tại khách
sạn từ của phương pháp interpolation Wallis do đó đã được tìm thấy biểu thức cho khu
vực của một vòng tròn và một hyperbola. Vì vậy, bằng cách xem xét một loạt các biểu
thức , , ,..., Ông deduced do interpolations quy định của
pháp luật mà kết nối của các coefficients trong mở rộng của , Và
bằng cách ,...; sau đó dung thu được những biểu hiện cho chung hạn trong việc mở rộng
của một binomial, có nghĩa là, trong binomial lý. Ông nói rằng, ông xuất để kiểm tra
này bởi những hình vuông của việc mở rộng , Mà giảm đến 1 - x ²; và ông
xuất trong một cách tương tự với các mở rộng. Ông lý các thử nghiệm tiếp theo trong
trường hợp bởi extracting the square gốc của 1 - x ², arithmetico thêm. Ông
cũng được sử dụng để xác định trong loạt các lĩnh vực của vòng tròn và hyperbola
trong nên chuỗi dài vô tận, và ông đã tìm thấy rằng những kết quả đã được tương tự
như những người đã đến Úc tại bằng cách khác.
Có kết quả này được thành lập, sau đó ông bỏ các phương pháp interpolation trong
loạt, và việc làm của mình binomial lý để bày tỏ (khi có thể) của ordinate của một cong
trong một vô tận trong loạt tăng dần quyền hạn của abscissa, và như vậy, do Wallis
phương pháp của ông đạt được biểu hiện trong nên chuỗi dài vô tận cho các lĩnh vực và
ARC của cong trong cách mô tả tại phụ lục của ông Quang và trong mình Tư Analysi
cho mỗi Equationes Số Terminorum Infinitas. Ông nói rằng ông đã sử dụng phương
pháp thứ hai này trước khi bệnh dịch hạch ở 1665-66, và đi vào để nói rằng ông được
sau đó phải rời khỏi Cambridge, và sau đó (presumably trên của mình quay trở lại

Cambridge) ông thôi theo đuổi những ý tưởng, như ông được tìm thấy rằng Nicholas
Mercator đã làm việc cho một số người trong số họ trong mình Logarithmo-technica,
xuất bản năm 1668, và ông tin rằng phần còn lại đã được hoặc sẽ được tìm thấy ra
trước khi bản thân ông đã được xuất bản của mình có khả năng để khám phá.
Newton kế tiếp giải thích rằng ông cũng đã có một phương pháp thứ ba, trong đó (anh
nói) đã có khoảng 1.669 người đã được gửi đến một tài khoản barrow và Collins, minh
họa bởi các ứng dụng cho các khu vực, rectification, cubature, vv Đây là phương pháp
fluxions; nhưng Newton cung cấp cho không có mô tả của nó đây, mặc dù ông cho biết
Mail: Phone: 0983 049 101
thêm một số hình minh họa của nó sử dụng. Illustration là người đầu tiên là trên
quadrature của cong đại diện bởi các phương trình
mà anh nói có thể bị ảnh hưởng như là một tổng hợp của (m + 1) / n điều khoản nếu
(m + 1) / n là một sô nguyên dương, và trong đó anh nghĩ rằng không thể khác được,
ngoại trừ ảnh hưởng bởi một loạt vô tận. [Điều này không phải là như vậy , Sự hội
nhập, nếu có thể p + (m + 1) / n được một số nguyên.] Ông cũng sẽ cho một danh sách
các hình thức khác đó là ngay lập tức integrable, trong đó có các trưởng đang
,
,
,
,
;
nơi mà m là một sô nguyên dương và n là số bất kỳ điều gì. Cuối cùng, ông chỉ ra rằng
các khu vực của bất kỳ cong có thể dễ dàng xác định bởi khoảng các phương pháp
interpolation mô tả dưới đây trong thảo luận của mình Methodus Differentialis.
Vào cuối Newton alludes thư của mình để các giải pháp của `` inverse vấn đề của
tangents,''một sản phẩm mà trên đó Leibnitz đã yêu cầu thông tin. Ông cho formulae
cho bất kỳ reversing loạt, nhưng nói rằng, bên cạnh những formulae ông có hai phương
pháp để giải quyết các câu hỏi, mà cho hiện tại ông sẽ không ngoại trừ mô tả bởi một
anagram đó, được đọc, là như sau, `` Una methodus consistit trong extractione fluentis
quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum trong

assumptione seriei vì quantitate qualibet incognita ex qua caetera commode derivari
possunt, et trong collatione terminorum homologorum aequationis resultantis, như
eruendos terminos assumptae seriei.''
Ông ngụ ý trong bức thư này mà ông là lo lắng bởi ông là các câu hỏi được hỏi và đưa
ra các controversies mới về mọi vấn đề mà ông sản xuất, mà mình shew rashness trong
xuất bản `` quod umbram captando eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus
substantialem.''
Leibnitz, trong câu trả lời của mình, ngày 21 tháng sáu, 1677, giải thích phương pháp
của mình để vẽ tangents cong, mà anh nói không phải do khán `` fluxions của dòng,
nhưng do sự khác biệt của số điện thoại''; và giới thiệu ông chú của mình và dx dy cho
infinitesimal khác nhau giữa các phối hợp của hai điểm trên một cong. Ông cũng cho
một giải pháp của vấn đề để tìm một cong có subtangent là cố định, mà shews rằng anh
cũng có thể hội nhập.
Hooke năm 1679, theo yêu cầu của Royal Xã hội, wrote Newton để thể hiện một hy
vọng rằng ông sẽ làm cho biết thêm thông tin liên lạc cho xã hội, và thông báo cho
người của nhiều sự kiện sau đó được phát hiện gần đây. Newton phản hồi nói rằng anh
Mail: Phone: 0983 049 101
ta đã bỏ, những nghiên cứu của triết lý, nhưng ông được thêm vào đó trên đất của nhật
triều di động có thể được chứng bởi các thử nghiệm của quan sát những sai từ
perpendicular của một hòn đá xuống từ một chiều cao đến mặt đất - một thử nghiệm
sau đó đã được sản xuất bằng Xã hội và thành công. Hooke trong thư của mình được
đề cập Picard's geodetical nghiên cứu; trong những Picard được sử dụng một giá trị của
các bán kính của đất mà là chính xác đáng kể. Điều này dẫn Newton để lặp lại, với
Picard của dữ liệu, tính toán của mình trên 1666 âm lịch orbit, và như vậy, ông đã xác
minh rằng mình supposition nguy cơ mở rộng như xa như mặt trăng và đa dạng tỷ như
là vuông của xa. Ông sau đó xuất để xem xét các lý thuyết tổng quát của chuyển động
của một cấp dưới một tâm, lực lượng vũ trang, có nghĩa là, một hướng dẫn đến một
điểm cố định, và cho thấy các véc tơ sẽ sweep hơn bình đẳng trong lĩnh vực bình đẳng
lần. Ông cũng chứng minh rằng, nếu một particle mô tả một ellipse theo một tâm, tập
trung vào một lực lượng, quy định của pháp luật phải được rằng của inverse vuông của

khoảng cách từ tập trung, và ngược lại, rằng các orbit của một dự kiến cấp dưới sự ảnh
hưởng của các lực lượng như vậy cũng có thể là CONIC (hoặc , Nó có thể được, anh
nghĩ rằng chỉ có một ellipse). Vâng quy định của mình để xuất bản không có gì có thể
đất hum controversy khoa học là một trong những kết quả này đã bị khóa lên trong lòng
mình, và nó chỉ là một câu hỏi cụ thể gửi tới cho người năm năm sau đó dẫn để ấn
phẩm của họ.
The Universal arithmetic, đó là trên đại số, lý thuyết của tính, và các vấn đề
miscellaneous, chứa các chất của Newton của bài giảng trong năm 1673 đến 1683.
Công của mình vẫn còn extant; Whiston trích ra một hơi miễn cưỡng cho phép từ
Newton để in nó, và nó đã được xuất bản năm 1707. Theorems mới trong vài ngày số
điểm thời khác nhau trong đại số và các lý thuyết của Newton tính sau đây enunciates
kết quả quan trọng. Ông giải thích rằng các phương trình có rễ là các giải pháp của một
vấn đề sẽ có nhiều rễ còn có những trường hợp có thể khác nhau, và người xem xét như
thế nào nó sẽ xảy ra rằng các phương trình mà một vấn đề dẫn có thể chứa rễ mà không
đáp ứng các câu hỏi ban đầu . Ông kéo dài của Descartes quy định của dấu hiệu để cho
đến giới hạn số lượng các hư rễ. Ông sử dụng các nguyên tắc liên tục để giải thích hai
cách thực tế và bất bình đẳng rễ có thể trở thành hư không bình đẳng trong đi qua, và
minh hoạ điều này bằng cách geometrical cân nhắc; đó ông shews rằng hư rễ phải xảy
ra trong đôi. Newton cũng cho đây là một quy tắc để tìm các giới hạn cho các rễ tích
cực của một số phương trình, và để xác định khoảng giá trị của số rễ. Ông tiếp tục
enunciates các lý do được gọi tên mình cho việc tìm kiếm tổng của n th quyền hạn của
rễ của một phương trình, và bắt nền tảng của các lý thuyết của symmetrical chức năng
của rễ của một phương trình.
Lý thú nhất trong công việc của mình là cố gắng để tìm một quy định (tương tự của
Descartes thực cho rễ) do đó số lượng các hư rễ của một phương trình có thể được xác
định. Ông biết rằng các kết quả mà ông đạt được không universally đúng, nhưng anh đã
không có bằng chứng và không giải thích những gì đã được các ngoại lệ đối với các
quy định. Lý của ông là như sau. Giả định các phương trình để được n của các tổ chức
trong năm mức độ giảm dần quyền hạn của x (của các coefficient đang được tích
cực), và giả sử các n + 1 số thập phân

để được hình thành và được viết dưới đây các điều khoản tương ứng của phương trình,
sau đó, nếu vuông của bất kỳ hạn khi nhân tương ứng phần nhỏ được lớn hơn các sản
Mail: Phone: 0983 049 101