Các bai toan wngs dụng đạo hàm

Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng
PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.
I. Định lí Lagrange và ứng dụng:
Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại
∈
c
(a;b) sao cho f’(c) =
ab
afbf
−
−
)()(
.
Bài tập 1: Cho n > 1 và b > a > 0. Chứng minh rằng:
na
n-1
(b-a) < b
n
– a
n
< nb
n-1
(b-a).
Bài tập 2: Cho 0 < a < b <
2
π
. Chứng minh rằng:
.
cos
tantan
cos

22
b
ab
ab
a
ab
−
<−<
−
Bài tập 3: Cho a < b < c. Chứng minh rằng:
ccabcabcbacbacabcabcbacbaa 33
222222
<−−−++−++<−−−++−++<
Bài tập 4: Cho x > y > 1. Chứng minh rằng :
5y
4
(x-y) < x
5
– y
5
<5x
4
(x-y)
Bài tập 5: Cho 1 y < x, p ∈ Z, p
≥
2, chứng minh:
5y
p-1
(x-y) < x
p

– y
p
<5x
p-1
(x-y)
Hệ quả: (Định lý Rolle): Nếu f(x) xác định và liên tục trên [a;b], có đạo hàm trên (a;b), f(a) = f(b) thì
tồn tại
∈
c
(a;b) sao cho f’(c) = 0.
Bài tập 6: CMR phương trình asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c, d∈R.
Giải : Xét F(x) = -
7
a
cos7x +
5
b
sin5x -
3
c
cos3x + dsinx, với x ∈ [0;2
π
].
Ta có F(x) liên tục trên [0;2
π
], có đạo hàm trên (0;2
π
).
Mặt khác, ta có F(2
π

) = F(0) = -
7
a
-
3
c
.
Do đó theo định lý Lagrange, ta có:
0
x
∃
∈(0;2
π
) sao cho :F’(x
0
) =
0
02
)0()2(
=
−
−
π
π
FF
⇔
asin7x
0
+ bcos5x
0

+csin3x
0
+ dcosx
0
= 0
Suy ra phương trình: asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm.
Bài tập 7: Cho m >0 và
0
12
=+
+
+
+
m
c
m
b
m
a
. Chứng minh rằng: ax
2
+ bx + c =0 có nghiệm ∈ (0;1).
II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT, HPT, BPT:
1. Nếu f(x) là hàm số liên tục trên tập K và đơn diệu trên K thì PT f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm
trên K.
2. cho hệ pt:






=
=
=
)(
)(
)(
xfz
zfy
yfx
; Nếu f(x) đơn điệu trên tập K thì x = y =z trên K.
Chứng minh:* f(x) đồng biến trên K, Với x, y, z
K∈
Giả sử
zyx
≤≤

⇒
)()()( zfyfxf
≤≤
⇒

yxz
≤≤
⇒
x = y =z.
Các bài toán:
Bài tập 1: Giảicác phương trình:
a)
0431

35
=+−−+
xxx
b)
82315
22
++−=+
xxx
Bài tập 2: Giải bất phương trình:
871357751
543
<−+−+−++ xxxx
.
Bài tập 3: Giải phương trình:
(2x+1)
(
)
3)12(2
2
+++
x
+ 3x
(
)
392
2
++
x
= 0.
Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng

II. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong các bài toán PT, BPT, HPT HBPT:
Bài toán 1: Tìm m để phương trình F(x,m) = 0 (1) có nghiệm trong khoảng K.
Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số:
- Biến đổi PT(1)
⇔
f(x) = g(m) (Trên K)
- Xét hàm số f(x)
- Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm
)(min,)(max xfxf
K
K
).
- Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y
- (1) có nghiệm
⇔
g(m)
∈
Y.
Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m)
≥
0 ) (1) có nghiệm trong khoảng K.
Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số:
- Biến đổi BPT(1)
⇔
f(x) > g(m) (f(x)
≥
g(m)) (Trên K)
- Xét hàm số f(x)
- Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm
)(min,)(max xfxf

K
K
).
- Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y
- (1) có nghiệm
⇔
(g(m);+
∞
)

Y
≠
∅ ( [g(m);+
∞
)

Y
≠
∅)
Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m)
≥
0 ) (1) có nghiệm với
∈∀
x
K.
Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số:
- Biến đổi BPT(1)
⇔
f(x) > g(m) (f(x)
≥

g(m)) (Trên K)
- Xét hàm số f(x)
- Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm
)(min,)(max xfxf
K
K
).
- Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y
- (1) có nghiệm
∈∀
x

⇔
Y
⊂
(g(m);+
∞
).( Y
⊂
[g(m);+
∞
).)
Bài 1: Tìm m để bất phương trình:
mxx
>++
12
2
có nghiệm với
∈∀
x

R.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình:
mxxm
+<+
92
2
có nghiệm với
∈∀
x
R.
Bài 3: Tìm m để bất phương trình:
352)3)(21(
2
−−+≥−−
xxmxx
đúng với
∈∀
x






−
3;
2
1
.
Bài 4: Tìm m để bất phương trình

13
+≤−−
mxmx
có nghiệm.
Bài 5 : Tìm m để bất phương trình
mxxxx
+−≤−+
2)6)(4(
2
có nghiệm với
∈∀
x
R.
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
mxxxx
=−+−−++
)6)(3(63
.
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực:

2 2
(3 14 14) 4(3 7)( 1)( 2)( 4)x x x x x x m
− + − − − − − =
.
Bài 8: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau:
( )
3
23
113
−−≤−+

xxaxx
có nghiệm.
Bài 9: a. Cho hàm số
2
sin
)(






=
x
x
xf
chứng minh rằng
)(' xf
< 0 với






∈
4
;0
π
x

.
b. Tìm mọi giá trị của tham số a để phương trình ax
2
+ 2cosx = 2 có đúng hai nghiệm trong đoạn






2
;0
π
Bài 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng
Bài 11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: .
Bài 12: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
.
Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
(
)
4
2
4
2
422422
−=+−−+−
xxxxm