Tính ổn định và đặt chỉnh tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN QUỐC DUY

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH TIKHONOV CỦA
BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỪ ĐIỂN

Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số ngành: 62460112

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. Hồ Chí Minh – Năm 2017


✬
Công trình này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên
Tp. Hồ Chí Minh.

✩

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lâm Quốc Anh
GS.TSKH. Phan Quốc Khánh

Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi
Phản biện 2: TS. Nguyễn Đình Tuấn
Phản biện 3: TS. Nguyễn Hồng Quân
Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà
Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Xuân Hải

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo tại trường
Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM vào lúc
ngày
tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM.
2. Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM.
✫

✪


Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở được dùng cho các chương sau.
1.1

Tính liên tục của ánh xạ đơn trị

Định nghĩa 1.1.1. Cho f : E → R ∪ {+∞}, a ∈ R, x¯ ∈ E và {xn } là dãy bất kỳ trong
E hội tụ về x.
¯ Hàm f được gọi là
(a) a-mức trên đóng tại x¯ nếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn
[ f (xn ) ≥ a,

∀n] =⇒ [ f (x)
¯ ≥ a] .

(b) a-mức trên đóng mạnh tại x¯ nếu ∀νn ↓ 0 ta có mệnh đề kéo theo sau đây

[ f (xn ) + νn ≥ a,

∀n] =⇒ [ f (x)
¯ ≥ a] .

(c) nửa liên tục dưới tại x¯ nếu
f (x)
¯ ≤ lim inf f (xn ).
n→∞

(d) giả liên tục dưới tại x¯ nếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn
[ f (x) < f (x)]
¯ =⇒ f (x) < lim inf f (xn ), ∀xn → x¯ .
n→∞

(e) nửa liên tục trên (tương ứng, giả liên tục trên) tại x¯ nếu (− f ) là nửa liên tục dưới
(tương ứng, giả liên tục dưới) tại x;
¯ Hàm f được gọi là liên tục (tương ứng, giả
liên tục) tại x¯ nếu f là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới (tương ứng, giả liên
tục trên và giả liên tục dưới) tại x.
¯
Ta nói rằng f thỏa mãn một tính chất nào đó ở trong X ⊂ E nếu nó thỏa mãn tính
chất đó với mọi điểm x ∈ X.
1.2

Tính lồi và tính đơn điệu của hàm giá trị thực

Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊂ E là tập lồi. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là
(i) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ (0, 1), ta có
f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y).

1


Chương 1

Kiến thức bổ trợ

(ii) lồi mạnh với hệ số α > 0 trên X nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ (0, 1), ta có
f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y) −

α
t(1 − t) x − y 2 ,
2

Hàm f được gọi là lõm (tương ứng, lõm mạnh) trên X nếu − f là hàm lồi (tương
ứng, lồi mạnh) trên X.
Định nghĩa 1.2.2. (Xem Crouzeix et al., 20001 ) Song hàm g : X × X → R được gọi
là
(a) giả đối xứng, nếu với mỗi cặp x, y ∈ X, g thỏa mãn điều kiện sau đây:
g(x, y) = 0 =⇒ g(y, x) = 0;
(b) tựa đơn điệu, nếu
g(x, y) > 0 =⇒ g(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈ X;
(c) giả đơn điệu, nếu
g(x, y) ≥ 0 =⇒ g(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈ X;
(d) giả đơn điệu∗ , nếu nó là giả đơn điệu trên X và với mỗi cặp x, y ∈ X, nếu g(x, y) =
g(y, x) = 0 thì với mọi z ∈ X tồn tại một số thực dương k phụ thuộc vào x, y, z sao
cho
g(x, z) = kg(y, z);
(e) giả đối xứng∗ , nếu g là giả đối xứng và giả đơn điệu∗ .
1.3

Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ đa trị F đi từ kh� (A4);
(ii) f2 thỏa mãn giả thiết (A1);
(iii) bài toán bị phạt (PLEP) có nghiệm x(ε),
¯
với ε > 0 đủ nhỏ.
Khi đó, mỗi điểm tụ x¯ của dãy {x(ε)}
¯
ε>0 đều là nghiệm của bài toán cân bằng từ
điển gốc (LEP).
Kết quả sau đây cho ta các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng từ điển bị phạt (PLEP).
Định lý 5.1.2. Giả sử rằng
(i) f1 (·, y) và f2 (·, y) là các hàm nửa liên tục trên với mọi y ∈ X;
(ii) f1 (x, ·) và f2 (x, ·) là các hàm lồi và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ X;
(iii) f1 là bức ở trên X;
(iv) f2 là đơn điệu mạnh ở trên X.
Khi đó, với mọi ε > 0, tập nghiệm của bài toán (PLEP) là một tập khác rỗng.
5.2

Hàm gap và cận sai số cho bài toán cân bằng từ điển bị phạt

Cố định một số thực δ > 0 và cho h : X × X → R là một hàm khả vi, lồi theo biến
thứ hai và thỏa mãn
(i) h(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X;
(ii) h(x, x) = 0 và ∇2 h(x, x) = 0, với mọi x ∈ X.
Chúng ta xét bài toán sau:
(APLEP) Tìm x¯ ∈ X sao cho

φε,δ (x,
¯ y) ≥ 0,

20

∀y ∈ X,


Chương 5

Phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng từ điển

ở đó φε,δ (x, y) := gε (x, y) + δ h(x, y).
Trước khi thiết lập sự tương đương của bài toán (PLEP) và bài toán (APLEP),
chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả nổi tiếng đóng vai trò quan trọng cho
việc nghiên cứu các kết quả trong phần còn lại của chương.
Định nghĩa 5.2.1. Hàm h : E → R được gọi là liên tục Lipschitz trên tập X ⊂ dom h
nếu tồn tại hằng số κ > 0 sao cho
h(x ) − h(x) ≤ κ x − x ,

∀x , x ∈ X.

Hằng số κ được gọi là hằng số Lipschitz.
Định nghĩa 5.2.2. Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu E ∗ và
h : E → R ∪ {+∞} là một hàm chính thường và lồi. Điểm x∗ ∈ E ∗ được gọi là dưới
gradient của h tại x, nếu
h(y) ≥ h(x) + x∗ , y − x , với mọi y ∈ E.
Tập hợp tất cả các dưới gradient của h tại x được gọi là dưới vi phân của h tại x và
được ký hiệu là ∂ h(x). Nếu ∂ h(x) khác rỗng thì h được gọi là khả dưới vi phân tại x.
Mệnh đề sau đây cho ta sự tương đương của hai bài toán (PLEP) và (APLEP).

Mệnh đề 5.2.1. Với mỗi x ∈ X, nếu fi (x, ·), i = 1, 2, là lồi, khả dưới vi phân và liên
tục tại một điểm nào đó trong X thì bài toán (PLEP) và bài toán (APLEP) có cùng
tập nghiệm với mọi ε > 0.
Bây giờ, chúng ta nhắc lại khái niệm hàm gap được Mastroeni3 giới thiệu cho bài
toán cân bằng.
Định nghĩa 5.2.3. Hàm p : X → R được gọi là hàm gap cho bài toán (PLEP) nếu nó
thỏa mãn các tính chất sau:
(i) p(x) ≥ 0, với mọi x ∈ X;
(ii) p(x)
¯ = 0 khi và chỉ khi x¯ là nghiệm của bài toán (PLEP).
Mệnh đề dưới đây cho ta cách xác định hàm gap cho bài toán (PLEP).
3 Mastroeni,

G.: Gap functions for equilibrium problems. Journal of Global Optimization 27, 411–426

(2003)

21


Chương 5

Phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng từ điển

Mệnh đề 5.2.2. Giả sử rằng các giả thiết trong Mệnh đề 5.2.1 nghiệm đúng, giả
thiết thêm rằng, fi (x, ·), i = 1, 2, là nửa liên tục dưới và h(x, ·) là hàm lồi mạnh với
mọi x ∈ X. Khi đó, với δ > 0, hàm pε,δ (x) := max{−gε (x, y) − δ h(x, y) | y ∈ X} là
một hàm gap cho bài toán (PLEP).
Định lý 5.2.1. Giả sử rằng φε,δ là ∇-đơn điệu chặt trên X, nghĩa là
∇1 φε,δ (x, y) + ∇2 φε,δ (x, y), y − x > 0,

∀x, y ∈ X, x = y.

(5.1)

(ε)

(a) Nếu x không là nghiệm của bài toán (PLEP), thì yδ (x) − x là một hướng
giảm của pε,δ tại x, tức là
(ε)

∇pε,δ (x), yδ (x) − x < 0.
(b) Nếu x¯ là một điểm dừng của pε,δ trên X, tức là
∇pε,δ (x),
¯ y − x¯ ≥ 0,

∀y ∈ X,

thì x¯ là nghiệm của bài toán (PLEP).
Bằng cách sử dụng hàm gap hiệu chỉnh pε,δ (x), chúng ta xét các kết quả về cận
sai số cho bài toán (PLEP).
Mệnh đề 5.2.3. Giả sử rằng
(i) f1 là đơn điệu trên X;
(ii) f2 là đơn điệu mạnh với hệ số 2τ trên X;
(iii) ∇2 h(x, ·) là liên tục Lipschitz với hằng số κ < 4ετ/δ .
Nếu tập nghiệm SPLEP (X, gε ) là khác rỗng thì, với mọi x ∈ X,
d (x, SPLEP (X, gε )) ≤
Mệnh đề 5.2.4. Giả sử rằng
(i) f1 là đơn điệu trên X;
(ii) f2 đơn điệu mạnh trên X với hệ số τ;

(iii) fi (x, ·), i = 1, 2, là lồi với mọi x ∈ X;
22

2pε,δ (x)
.
4ετ − δ κ


Chương 5

Phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng từ điển

(iv) fi , i = 1, 2, là khả vi trên X × X;
(v) ∇1 fi (·, ·), ∇2 fi (·, ·), i = 1, 2, là liên tục Lipschitz đều trên X × X và ∇2 h(x, ·) là
liên tục Lipschitz với mọi x ∈ X;
và giả sử thêm rằng SPLEP (X, gε ) khác rỗng. Khi đó, với mọi x ∈ X,
d (x, SPLEP (X, gε )) ≤

L
√
ετ δ α

trong đó L là hằng số dương độc lập với ε.

23

2pε,δ (x),


Kết luận

Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm và tính đặt chỉnh
của các bài toán liên quan đến tối ưu theo thứ tự từ điển. Chúng tôi đã đạt được những
kết quả sau:
1) Thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục, tính đóng và tính liên tục của ánh
xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển.
2) Thiết lập các điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh Tikhonov, đặt chỉnh Tikhonov theo
dãy, đặt chỉnh Zolezzi và đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi của bài toán
cân bằng từ điển trong trường hợp tập ràng buộc là compact.
3) Bằng cách sử dụng độ đo tính không compact, chúng tôi cũng thiết lập được điều
kiện cần và đủ cho các tính đặt chỉnh trên của bài toán này trong trường hợp tập
ràng buộc không compact.
4) Ứng dụng của các kết quả đã đạt được vào bài toán bất đẳng thức biến phân và
bài toán tối ưu theo thứ tự từ điển.
5) Giới thiệu một phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng từ điển. Sử dụng
hàm gap hiệu chỉnh để thiết lập kết quả về cận sai số của bài toán bị phạt.

24


Danh mục công trình
(1) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Kruger, A.Y., Thao, N.H.: Well-posedness for lexicographic vector equilibrium problems. In: Demyanov, V.F. et al. (eds.), Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics, pp. 159–174. Springer (2014)
(2) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Continuity properties of solution maps of
parametric lexicographic equilibrium problems. Positivity 20, 61–80 (2016)
(3) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: Tykhonov well-posedness for lexicographic equilibrium
problems. Optimization 65, 1929–1948 (2016)
(4) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: On penalty method for equilibrium problems in lexicographic order. Positivity, first online (2017)
(5) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Levitin-Polyak well-posedness for parametric vector equilibrium problems in lexicographic order. Optimization, submitted

25