sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
TRƯ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LU
LUẬN
VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

SỰ
Ự ĐẶT CHỈNH NGHIỆM CỦA BÀI
BÀI TOÁN
CÂN BẰNG
ẰNG VÀ
V CÁC VẤN ĐỀ LIÊN
ÊN QUAN

Giáo viên hướng
ớng dẫn
TS. Lâm Quốc Anh

Sinh viên thực
ực hiện
Phùng Thị Thùy Trang
MSSV:: 1100073
Lớp: SP Toán học K36

Cần Thơ, 2014

Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin bài tỏ lời biết ơn sâu sắc đến TS. Lâm Quốc Anh người thầy
luôn tân tâm chỉ bảo, tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt thời gian tôi hoàn thành
luận văn này.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trường Đại Học
Cần Thơ đã trang bị cho tôi những kiến thức nền tảng cực kì phong phú và bổ ích.
Đó là hai nguồn động viên vô cùng to lớn giúp tôi nhanh chóng nắm bắt và
vươn tới thành công trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng nhưng cũng không kém phần quan trọng, tôi xin gủi lời cảm ơn đến
gia đình và bạn bè tôi, những người luôn sát cánh cùng tôi, cổ vũ và giúp đỡ tôi, tạo
điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập để luận văn của tôi hoàn thành tốt đẹp.
Cần Thơ, tháng 1 năm 2014
Sinh viên thực hiện


Danh mục các từ viết tắt và kí hiệu
Trong luận văn này, chúng ta dùng những từ viết tắt và kí hiệu với các ý nghĩa xác
định sau đây:

Tập hợp rỗng
Tập hợp số tự nhiên
Tập hợp số thực
Tập hợp số hữu tỉ
= ℝ\ℚ
ℝ = ℝ ∪ {±∞}
⟶

0

Tập hợp số vô tỉ
Tập số thực mở rộng
Dãy {xn } hội tụ về phần tử x0

d (x, y )

Khoảng cách giữa điểm x và điểm y

d (x, M )

Khoảng cách giữa điểm x và tập M

diam M

Đường kính của tập M

:

⟶

Ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập L

:

⟶2

Ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y

grS

Đồ thị của S

id

Ánh xạ đồng nhất thức trên R+

lsc

Nửa liên tục dưới

usc

Nửa liên tục trên

(QEP)

Bài toán tựa cân bằng

(QOP)

Bài toán tựa tối ưu

(EPEC)

Bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng

(OPEC)

Bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Một trong những hướng nghiên cứu phát triển mạnh và có nhiều ứng dụng
trong thực tế trong giai đoạn hiện nay là Tối ưu hoá. Một trong những bài
toán trọng yếu của lý thuyết này là bài toán cân bằng. Mô hình bài toán cân
bằng được đưa ra vào năm 1994 bởi hai nhà toán học Blum và Oettly, bài
toán này chứa nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu hoá như, bài toán bất
đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, bài toán
cân bằng mạng giao thông,…. Cho đến nay đã có nhiều công trình nghiên
cứu về bài toán cân bằng, các kết quả nghiên cứu tập trung vào các chủ đề
trọng điểm như điều kiện tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm, thuật toán tìm
nghiệm. Sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán là chủ đề có mối liên hệ mật thiết
với tính ổn định nghiệm và thuật toán giải nghiệm và do đó có định hướng
ứng dụng rất cao. Với mong muốn tìm hiểu một lĩnh vực mới mẽ và có nhiều
khả năng phát triển trong thời gian tới, nên chúng tôi chọn đề tài “Sự đặt
chỉnh nghiệm của bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan”, với ming
muốn là tiền đề cho sự học tập tiếp nối của bản thân trong giai đoạn tiếp
theo.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Thông qua việc nghiên cứu đề tài này, tôi mong muốn giới thiệu một phần
cơ sở lí thuyết nghiên cứu sự đặt chỉnh của bài toán cân bằng, bài toán tối ưu
với mục đích giúp các bạn sinh viên trong quá trình nghiên cứu cũng như học
tập tốt hơn.
+ Qua đó cũng để tạo nền tảng kiến thức để tôi có thể học tập và nghiêm cứu
về sau.
3. Nội dung nghiên cứu
Luận văn này xoay quanh nghiên cứu về mô hình và ứng dụng của bài toán
cân bằng, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn trị, lí thuyết sự đặt chỉnh, và nghiên cứu

sự đặt chỉnh của bài toán cân bằng.
Bố cục luận văn được chia làm 3 chương
+ Chương 1: nêu một số kiến thức bổ trợ về không gian mêtric, không gian
tôpô, ánh xạ đa trị, khái niệm đặt chỉnh, độ đo… để sử dụng nghiên cứu các
phần sau.
+ Chương 2: nêu lên một số khái niệm về mô hình bài toán cân bằng, bài
toán tối ưu và một số khái niệm liên quan về sự đặt chỉnh nghiệm của hai bài
toán này.
+ Chương 3: nêu lên một số khái niệm sự đặt chỉnh nghiệm của bài toán cân
bằng hai mức: bài toán cân bằng với ràng buộc cân bằng và bài toán tối ưu
với ràng buộc cân bằng. Và một số định nghĩa, nhận xét liên quan khác.

1


4. Đối tượng nghiên cứu
+ Giải tích đa trị, giải tích đơn trị.
+ Mô hình bài toán cân bằng các dạng đặc biệt và ứng dụng của chúng.
+ Sự đặt chỉnh và các vấn đề liên quan khác.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Sưu tầm, tổng hợp các nguồn tài liệu liên quan.
+ Nghiên cứu tổng hợp tài liệu theo hai cách: Tổng hợp hóa và đặt biệt hóa
các tài liệu đã có.
+ Phương pháp chuyên gia: Trao đổi với giáo viên hướng dẫn và học hỏi
thêm từ thầy cô, bạn bè những người có nhiều hiểu biết về vấn đề này.

2


Chương 1

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Không gian mêtric
1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X   , một ánh xạ

:

×

⟶ ℝ được gọi là một

mêtric trên X nếu các điều kiện sau thỏa mãn với mọi x , y , z  X :
(i)

d ( x , y )  0,
d ( x , y )  0  x  y;

(ii) d ( x, y )  d(y, x);
(iii) d ( x , y )  d ( x , z )  d(z, y).
Nếu X được trang bị mêtric d thì ta gọi cặp ( X , d ) là một không gian mêtric. Khi
ấy,
+ Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian ( X , d ) .
+ d ( x , y ) là khoảng cách giữa hai điểm x và y.

1.1.2 Khoảng cách giữa điểm và tập hợp, giữa tập hợp và tập hợp
Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian mêtric ( , ), xét điểm x và tập
đó, khoảng cách từ x đến

được định nghĩa là:

( , ) = inf { ( , ):

Đôi khi ta còn ký hiệu khoảng cách từ x đến

3

∈ }.

là dist(x, ).

⊂ . Khi


Định nghĩa 1.1.3 Với hai tập con , của không gian mêtric ( , ), khoảng cách
giữa hai tập hợp này được định nghĩa là:
( , ) = inf { ( , ):

∈ }.

∈ ,

1.1.3 Dãy hội tụ
Xét trong không gian mêtric ( , ). Khi đó:
Định nghĩa 1.1.4
phần tử

∈

Dãy phần tử {

}⊂

được gọi là hội tụ (theo mêtric d ) về

nếu
lim

→

(

) = 0.

,

Hay
∀ > 0, ∃
Kí hiệu: lim

=

→

⟹ (

∈ ℕ: ∀ ≥
⟶

hoặc

,

)< .

.

* Các tính chất:
+ Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
+ Nếu dãy {

} hội tụ về

thì mọi dãy con

Định nghĩa 1.1.5 Dãy phần tử {
lim

, →

}⊂
(

của nó cũng hội tụ về

.

được gọi là dãy Cauchy nếu
) = 0.

,

Nói cách khác,
∀ > 0, ∃

∈ ℕ: ∀ ,

⟹ (

≥

,

)< .

* Các tính chất:
+ Nếu dãy {

} hội tụ thì nó là dãy Cauchy.

+ Nếu dãy {

} là dãy Cauchy và có dãy con

hội tụ về

hội tụ về

thì {

} cũng

.

1.1.4 Không gian mêtric đầy đủ
a) Định nghĩa:
Không gian mêtric ( , ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều
hội tụ.

4


b) Tính chất:
- Tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là đầy đủ.
- Không gian con đầy đủ của một không gian mêtric là không gian con đóng.

1.1.5 Không gian mêtric compact
* Các định nghĩa:
Cho ( , ) là không gian mêtric.
- Tập con
con {xn

k

gọi là tập compact nếu mọi dãy {xn } trong

của

} hội tụ đến một điểm thuộc

- Tập con

của

.

gọi là tập bị chặn nếu đường kính của
( ) = sup{ ( , ): ,

- Tập con
điểm

đều có một dãy

của

∈ } < ∞.

gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi

,

,

…,

∈

ℎ

⊂⋃

> 0, tồn tại hữu hạn

( , ).

1.2 Không gian tôpô
1.2.1 Định nghĩa không gian tôpô
Định nghĩa 1.2.1 Cho tập
trên

≠ Ø. Một họ các tập con của

được gọi là một tôpô

nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a)

∈

à∅∈

;

b) Hợp tùy ý các tập thuộc là thuộc ;
c) Giao hữu hạn các tập thuộc cũng thuộc .
Một tập

được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu

( , ).
Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô là
một tôpô nào đó.

thì ta ngầm hiểu rằng trên

5

đã được trang bị


1.2.2 Không gian tôpô compact
* Các định nghĩa
- Trên không gian tôpô , cho ⊂ và { } ∈ là họ các tập con của . Khi đó,
{ } ∈ được gọi là phủ của nếu ⋃ ∈
⊃ . Nếu Ga là các tập mở thì phủ gọi
là phủ mở của .
được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của đều
tồn tại một phủ con hữu hạn. Tức là với mọi phủ mở { } ∈ của đều tồn tại hữu
- Không gian tôpô
hạn các chỉ số
- Tập con
tôpô trên

( = 1,2, … , ) sao cho ⋃

∈

được gọi là tập compact nếu

của

⊃ ..
với tôpô cảm sinh trên

bởi

là không gian compact.

- Không gian tôpô

gọi là compact địa phương nếu tại mỗi điểm

∈

đều tồn tại

một lân cận compact.
* Các tính chất:
- Tập con đóng của một không gian compact là tập compact.
- Tập con compact của một không gian Hausdorff là tập đóng.

1.3 Đường kính của một tập
Định nghĩa 1.3.1 Cho
nghĩa như sau:

⊂ , A ≠ ∅ . Đường kính của tập A được kí hiệu và định
( ) = ( ) = sup{ ( ,

)| ,

∈ }

tức là cận trên đúng của các khoảng cách giữa các điểm thuộc A.
* Các tính chất:
Tính chất 1:
Giả sử A là tập con của không gian mêtric ( , )
Khi đó:

( )=

( ̅ ).

Chứng minh:
Vì

⊂ ̅, ta có

( )≤

( ̅)

6


> 0. Khi đó, lấy

Giả sử

∈ ̅ sao cho:

,
( ,

và

,

sao cho ( ,

∈

( ̅) −

)≥
)<

(

và

3
)<

,

Vì vậy ta được:
( ,

)≤ ( ,

)+ ( ,

( )≥ ( ,

Do đó:

)+ (

)≥ ( ,

)−

)+

2
3

( ̅) −

≥

> 0 , ta có:

Vì điều này đúng với mọi

( ̅ ).

( )≥
( ̅ ).

( )=

Vậy,

)≤ ( ,

,

Tính chất 2:
Nếu ( , ) là không gian mêtric compact thì X có đường kính hữu hạn.
Hơn nữa, ∃ ,

∈

sao cho:
( )= ( ,

).

Chứng minh:
Xét hàm

:

×

⟶ ℝ.

Ta chứng minh d liên tục tại điểm tùy ý ( ,

Chọn lân cận:
(Với

=( ( ,

)− , ( ,

=

( , )≤ ( ,

×

⊂

. Với

)+ ( ,

Suy ra: ( , ) − ( ,
( ,

× .

) + ) của

( ,

)

> 0 tùy ý)

Chúng ta cần tìm một tập mở
Gọi

)∈

×
∈

và

∈

)+ ( , )< ( ,

, ta có:
)+

)<

)≤ ( , )+ ( , )+ ( ,

Suy ra: ( ,

sao cho ( ) ⊆

)− ( , )<

7

)< ( , )+


Do đó, | ( , ) − ( ,

)| <

Điều này chứng tỏ rằng

( , )∈ , ∀ ,

Vì X là compact nên

×

đại trên

cũng là compact và vì d liên tục nên nó đạt cực

× , nghĩa là:
(

Vậy

∈ .

= (

)∈

,

×

)<∞

,

1.4 Tập mở, tập đóng
Định nghĩa 1.4.1 Cho x0  X và   0 . Khi đó,
-

Hình cầu mở tâm x0 , bán kính  là tập
B( x0 ,  )   x  X : d ( x, x0 )   

-

Với A  X , tập A được gọi là một lân cận của x0 ( hay x0 là điểm trong của
tập A) nếu
  0 : B( x0 ,  )  A

-

Tập G  X được gọi là tập mở nếu mọi điểm x  G đều là điểm trong của G.

-

Tập F  X được gọi là tập đóng nếu X \ F mở.

1.5 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.5.1 Ánh xạ đa trị F từ tập X vào tập Y, kí hiệu
phép cho tương ứng mỗi phần tử
( ).

∈

với một tập con của

:

⟶ 2 , là một

, mà ta ký hiệu là

Ánh xạ đa trị còn có các tên gọi khác như: Hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập.
Nếu với mỗi ∈ , tập ảnh
xạ đơn trị từ X vào Y.

( ) chỉ gồm một phần tử của Y , thì ta nói F là ánh

Định nghĩa 1.5.2 Cho ánh xạ đa trị

:

⟶ 2 , miền hiệu quả của F, kí hiệu là

domF, được xác định như sau:

8

= { ∈ | ( ) ≠ ∅}.
= ∅ và được gọi là chặt nếu

Ánh xạ đa trị F được gọi là tầm thường nếu
= .
:

Định nghĩa 1.5.3 Cho ánh xạ đa trị
định bởi công thức:
g

⟶ 2 , đồ thị của F , kí hiệu là grF, xác

= {( , ) ∈

× |

∈ ( )}.

Ánh xạ đa trị F hoàn toàn được đặc trưng bởi grF, tức là mỗi tập bất kỳ trong
×

đều là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Y. Vì vậy, đôi khi ta không cần

phân biệt giữa F với đồ thị của nó. Đồng thời mối quan hệ hai ngôi giữa các phần
tử của X và Y cũng là một ánh xạ đa trị từ X vào Y và ngược lại.
Ta nói ánh xạ F có tính chất nào đó nếu đồ thị của nó có tính chất đó. Thí dụ ánh
xạ đa trị F là đóng nếu grF là tập đóng; Ánh xạ đa trị F là compact nếu grS là tập

compact,...

1.6 Độ đo không compact
Định nghĩa 1.6.1 Cho M là tập con khác rỗng của không gian mêtric X.
(i) Độ đo Kuratowski của M là
n

  M   inf {   0 | M   M k và diam M k   , k  1,..., n, với

∈

}.

k 1

(ii) Độ đo Hausdorff của M là
n

  M   inf {   0 | M   B  xk ,  , xk  X , với

∈

}.

k 1

(i)

Độ đo Istratescu của M là:
  M   inf   0 | M không có vô hạn  -rời rạc tập con}.

Chúng ta nhớ lại rằng một tập con A của không gian mêtric X là  -rời rạc nếu
d  x, y    , x, y  A với x  y .

Ta thu được bất đẳng thức sau:
  M     M     M   2  M 

9

(1) .


Nghĩa  , và  chia sẻ nhiều tính chất chung và chúng ta sẽ sử dụng  để biểu thị
một trong số chúng.  là độ đo chính quy. Có những tính chất bên dưới:
(a)   M    nếu và chỉ nếu tập M không bị chặn;
(b)   M     clM  ;
(c) Từ   M   0 theo sau M là tập bị chặn hoàn toàn;
(d) Nếu X là không gian đầy và nếu  An  là một dãy của tập con đóng của X
sao cho An 1  An với mỗi

∈ ℝ, và lim n   An   0 thì K :  n An là

một tập compact không rỗng và limn H  An , K   0 trong đó H là
Hausdorff metric;
(e) Từ M  N theo sau   M     N  .
1.7 Sự đặt chỉnh Tykhonov
Định nghĩa 1.7.1 Cho ( , ) là không gian mêtric và cho

:

⟶ ℝ là tựa nửa

liên tục dưới. Thì ( , ) được gọi là đặt chỉnh Tykhonov nếu:
(i)
Tồn tại duy nhất ∈ sao cho ( ) ≤ ( ), ∀ ∈ ;
(ii)
Mọi dãy { } ta có ( ) ⟶ inf khi
⟶ ̅.

1.8 Các khái niệm và tính chất của ánh xạ nửa liên tục.
Định nghĩa 1.8.1 Cho X là không gian tôpô, x0  X và :

⟶ ℝ.

a) f được gọi là nửa liên tục trên, viết ngắn gọn là usc tại x0 nếu mọi dãy  xn 
hội tụ đến x0 thì
f ( x0 )  lim sup f ( xn ) ,

b) f được gọi là nửa liên tục dưới, viết ngắn gọn là lsc tại x0 nếu mọi dãy  xn 
hội tụ đến x0 thì
f ( x0 )  lim inf f ( xn ) .

Nhận xét 1.8.1 Chú ý rằng f là usc tại x0 nếu và chỉ nếu với mọi xn   x0 và
∀ ∈ ℝ,

 f ( xn )  b, n    f ( x0 )  b .

10

Định nghĩa 1.8.2 Cho X và Y là không gian tôpô, :

⟶ ℝ và g:

⟶ ℝ.

(a) f được gọi là 0-mức đóng trên tương ứng với g tại  x0 , y0   X  Y nếu,
với mọi dãy bất kỳ  xn , yn  hội tụ đến  x0 , y0  thì,
 f  xn   g  yn   0, n    f  x0   g  y0   0  ,

(b) f được gọi là 0-mức đóng dưới tương ứng với g tại  x0 , y0  nếu, cho bất
kỳ dãy  xn , yn  hội tụ đến  x0 , y0  thì,
 f  xn   g  yn   0, n    f  x0   g  y0   0  .

Định nghĩa 1.8.3 Cho X là không gian tôpô, và :

nếu, với mọi dãy bất kỳ {

(a) f được gọi là 0-mức đóng trên tại
đến

} hội tụ

thì
(

) ≥ 0, ∀ ⟹ ( ) ≥ 0,

(b) f được gọi là 0-mức đóng dưới tại
đến

⟶ ℝ.

nếu, với mọi dãy bất kỳ {

} hội tụ

thì
(

) ≤ 0, ∀ ⟹ ( ) ≤ 0.

Nhận xét 1.8.2 Trong Định nghĩa 1.8.2 và Định nghĩa 1.8.3 nếu ta thay 0 bởi b ∈ ℝ,
thì “0-mức” sẽ được thay bằng “b-mức”.
Nhận xét 1.8.3 Nếu f và g là usc tại x0 và y0 , tương ứng, thì f là 0-mức đóng
trên tương ứng với g

tại  x0 , y0  . Thật vậy, nếu

 x , y    x , y 
n

n

0

0

và

f  xn   g  yn   0 với mọi n , ta có
f  x0   g  y0   lim sup f  xn  +lim sup g  yn   lim sup  f  xn   g  yn    0 .

Tương tự nếu f và g là lsc tại x0 và y0 , tương ứng, thì f là 0-mức đóng dưới
tương ứng với g tại  x0 , y0  . Thật vậy, nếu
(

 x , y    x , y  và
n

n

0

0

) + g( ) ≤ 0 với mọi n , ta có
( ) + g( ) ≤ lim inf (

) + lim inf g( ) ≤ lim inf [ (

11

) + g( )] ≤ 0.


Ví dụ sau đây cho ta thấy điều ngược lại của nhận xét này là không đúng.
Từ bây giờ, Viết id thay cho ánh xạ đồng nhất thức trên ℝ .
Ví dụ 1.8.1 Cho : ℝ ⟶ ℝ được định nghĩa bởi:
0,

ế
∈ℚ
( )=
1, ế
∈ ℝ\ℚ
Khi đó f là 0-mức đóng trên tương ứng với id tại  x, y  , với mọi ( , ) ∈ ℝ × ℝ ,
nhưng f không là usc tại mọi

∈ ℚ cũng không là lsc tại mọi

Định nghĩa 1.8.2 Cho X là không gian tôpô và :

∈ ℝ\ℚ .

⟶ℝ.

(a) f được gọi là tựa nửa liên tục trên tại x0  X nếu,
 f  x   f  x0    [với mọi { xn }  x0 , f  x  > lim sup f  xn  ].

(b) f được gọi là tựa nửa liên tục dưới tại x0  X nếu,
 f  x   f  x0    [với mọi { xn }  x0 , f  x  < lim inf f  xn  ].

(c) f được gọi là tựa liên tục tại x0  X , nếu f là tựa nửa liên tục trên và tựa
nửa liên tục dưới tại x0 .
Các lớp hàm nửa liên tục trên (dưới) chứa nghiêm ngặt các hàm nửa liên tục trên
(dưới). Chúng ta có một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.8.2 Cho : ℝ ⟶ ℝ được xác định bởi:

 x  1,


f  x    0,
 x  1,


x0
x0
x0

Khi đó f là tựa liên tục tại 0 nhưng không usc và lsc tại 0.
Lưu ý thêm rằng, nếu f và g là lsc (usc) tại x0 , thì f  g là lsc (usc, tương ứng)
tại x0 . Tính chất này không giữ cho hàm số tựa liên tục như thấy bởi ví dụ sau:
Ví dụ 1.8.3 Cho

, g : ℝ ⟶ ℝ được xác định như bên dưới:

12


1,

≥0

,

<0

( )=

à g ( )=− .

2
Thì f1 là tựa nửa liên tục dưới tại 0 và g liên tục tại 0. Nhưng
  x  1,
 f1  g1  x    x
  2 ,

x  0,
x  0,

thì không tựa nửa liên tục dưới tại 0.
Tương tự cho tựa nửa liên tục trên. Cho
−1,
≥0
( )=
à g ( )= .
− ,
<0
2
Thì tại 0, f 2 là tựa nửa liên tục trên và g liên tục. Tuy nhiên,

 x  1,

( f 2  g2 )  x    x
 2 ,

x  0,
x  0.

thì không tựa nửa liên tục trên tại 0.
Bổ đề 1.8.1 Cho X là không gian tôpô. Thì :

⟶ ℝ là tựa liên tục nếu và chỉ

nếu, Lấy mọi dãy xn  và  yn  trong X hội tụ tương ứng đến x và y. Ta có,
[ ( ) < ( )] ⟹ [lim sup (
Chứng minh
Đầu tiên, giả sử rằng f là nửa liên tục trên X.
Xét ( ) < ( ),
⟶
à
⟶ . Đặt
Nếu tồn tại số ( ) ∈ [ ( ), ( )] , thì ta có
lim sup (
→

) < lim inf ( )].

( ) = { ( )| ∈ }.

) < ( ) < lim inf ( ).
→

Nếu không, xét [ ( ), ( )] ∩

( ) = . Vì f là nửa liên tục trên tại x, ta có
lim sup ( ) < ( ).
→

13

Bây giờ, nếu

( ) < lim sup (
→

), thì [ ( ), ( )] ∩

( ) = , điều này mâu

sup ( ) ≤ ( ) < ( ). Tương tự như vậy, f
là tựa nửa liên tục dưới tại y, ta được ( ) ≤ lim → inf ( ) và khi đó
lim sup ( ) ≤ ( ) < ( ) ≤ lim inf ( ) .
thuẫn với giả thiết. Vì vậy lim

→

→

→

đó là tính chất của f.
Ta chứng minh phần đảo. Xét ( ) < ( ),

⟶

và ( )

sao cho

=

với

mọi n. Khi đó
lim sup (
→

) < ( ),

Nghĩa là, f tựa nửa liên tục trên tại x. Tương tự như vậy, ta có suy ra tính tựa nửa
liên tục dưới của f tại x.

14


Chương 2
SỰ ĐẶT CHỈNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
CÂN BẰNG
2.1. Các định nghĩa liên quan
Cho X và  là không gian tôpô Hausdorff, ánh xạ :

×

× Λ ⟶ ℝ và

K i :     2  , i  1, 2. Bài toán tựa cân bằng chứa tham số bao gồm, với mỗi   

,
(QEP ) tìm x  K1 ( x ,  ) sao cho, y  K 2 ( x ,  ),

Cho ánh xạ g:

f ( x , y ,  )  0.

× Λ ⟶ ℝ (trong đó ℝ = (−∞; +∞]) và K : X    2 X .

Bài toán tựa tối ưu chứa tham số là, với mỗi    ,

(

)

min g( , )
ℎ
∈ ( , )

Thay vì viết (QEP ) :    cho họ các bài toán tham số, trong các phần sau chúng
ta chỉ viết đơn giản (QEP). (QOP) tương tự.
Định nghĩa 2.1.1 Cho n  hội tụ đến  . Lấy xn  K1 ( xn , n ) , dãy  xn  được gọi là
dãy xấp xỉ của (QEP) tương ứng đến n  , nếu  dãy  n  hội tụ đến 0  sao cho,
y  K 2 ( xn , n ),

f ( xn , y , n )   n  0 .

Định nghĩa 2.1.2 Bài toán (QEP) được gọi là đặt chỉnh tại  nếu,
(a) Tập nghiệm S ( ) của (QEP ) là khác rỗng.

15

(b) Lấy bất kỳ dãy n  hội tụ đến  , mỗi dãy xấp xỉ tương ứng của (QEP) có
một dãy con hội tụ đến điểm thuộc S ( ) .
(QEP) được gọi là đặt chỉnh duy nhất tại  nếu S ( )   x  là một tập đơn phần tử,
và mọi dãy xấp xỉ đều hội tụ đến x .
(QEP) (hoặc bất kỳ bài toán nào) được gọi là đặt chỉnh theo tham số ( đặt chỉnh duy
nhất) nếu nó đặt chỉnh ( đặt chỉnh duy nhất) tại mọi    .
Định nghĩa 2.1.3. Cho n  hội tụ đến  trong  . Lấy xn  K ( xn , n ) , dãy  xn 
được gọi là dãy xấp xỉ ( tối thiểu) của (QOP) tương ứng đến n  , nếu  dãy  n 
hội tụ đến 0  sao cho,
g ( xn , n ) 

inf

xK ( xn ,n )

g ( x, n )   n .

Định nghĩa 2.1.4. Bài toán (QOP) được gọi là đặt chỉnh tại  nếu,
(a) (QOP ) có nghiệm;
(b) Lấy bất kỳ dãy n  hội tụ đến  , mọi dãy xấp xỉ tương ứng của (QOP) có
một dãy con hội tụ đến một vài điểm của S ( ) .
Chúng ta nói rằng (QOP) được gọi là đặt chỉnh duy nhất tại  nếu S ( )   x  , và
mọi dãy xấp xỉ đều hội tụ đến x .
2.2 Bài toán tựa cân bằng (QEP)
Nhận xét 2.2.1 Cho Q : X  2Y là ánh xạ đa trị giữa hai không gian tôpô, khi đó các
khẳng định sau là đúng:
(i)

Nếu Q ( x ) là compact, thì Q là usc tại x nếu và chỉ nếu mọi dãy  xn  hội tụ

đến x và yn  Q ( xn ) , có một dãy con  yn

k

 hội tụ đến

y  Q( x ) .

(ii) Hơn nữa, nếu Q ( x )   y  là một tập đơn phần tử thì giới hạn điểm y trên
phải là y và mọi dãy  yn  hội tụ đến y .
Bởi S ( ) biểu thị tập nghiệm của (QEP ) . Cho   0 , tập  -nghiệm của (QEP )
được định nghĩa bởi:

16


S (  ,  )  {x  K1 ( x,  ) | f ( x , y ,  )    0,  y  K 2 ( x ,  )}

Khi X và Y là không gian mêtric, với   0,   0 . Chúng ta định nghĩa tập nghiệm
xấp xỉ của họ (QEP) (Cho phép chúng là tham số để biến thiên xung quanh điểm
được xét đến) là:

 ( ,  ,  ) :   

S ( ,  )

B ( , )

Khi đó B ( ,  ) là hình cầu đóng tâm tại  và bán kính  .
Định lí 2.2.1 Giả sử rằng:

(i)

X là compact, K1 đóng và K2 là lsc trong X    ;

(ii)

f

là

0-mức

đóng

trên

tương

ứng

với

id

trong

K1 ( X ,  )  K 2 ( X ,  )     0 ;

Khi đó (QEP) là đặt chỉnh tại  . Hơn nữa, nếu S ( ) là một tập đơn phần tử, thì bài
toán này là đặt chỉnh duy nhất tại  .

Chứng minh:
+ Trước tiên chứng minh rằng S (.,.) là usc tại   ,0  .
Giả thiết ngược lại, tồn tại tập con mở S ( , 0) của U sao cho với mọi  n ,  n  hội
tụ đến   ,0  trong Λ × ℝ , có xn  S  n ,  n  sao cho xn  U với mọi n.
Bởi tính compact của X, chúng ta có thể giả sử rằng  xn  hội tụ đến x0 , vì K1 đóng
tại  x0 ,   nên có x0  K1 ( x0 ,  ) . Nếu x0  S   , 0   S    , thì tồn tại y0  K 2 ( x0 ,  )
sao cho f ( x0 , y0 ,  )  0 . Tính nửa liên tục dưới của K2 chứng tỏ tồn tại
yn  K 2 ( xn , n ) sao cho  yn   y0 . Với xn  S  n ,  n  ta có f ( xn , yn , n )   n  0 .

Bởi tính đóng 0-mức trên tương ứng với id của f chúng ta có f ( x0 , y0 ,  )  0 (mâu
thuẫn). Do đó, x0  S   , 0   U điều này mâu thuẫn với việc xn  U với mọi n. Do
đó S là usc tại   ,0  .
+ Bây giờ để kiểm tra S ( ) là compact chúng ta chỉ cần kiểm tra tính đóng của nó.

17


Cho xn  S ( ) hội tụ đến x0 . Nếu x0  S ( ) tồn tại y0  K 2 ( x0 ,  ) sao cho
f ( x0 , y0 ,  )  0 . Từ tính nửa liên tục dưới của K2 có yn  K 2 ( xn ,  ) sao cho

 yn   y0 . Với mọi n, chúng ta có

f ( xn , y n ,  )  0 , x n  S (  ) .

Theo giả thiết (ii) ta có được f ( x0 , y0 ,  )  0 (điều này vô lí), do đó x0  S ( ) và do
đó S ( z ) là compact. Theo Nhận xét 2.2.1 ta có điều phải chứng minh.
Các ví dụ sau chỉ ra tính cốt yếu của các giả thiết trong Định lí 2.2.1:
Ví dụ 2.2.1 (Tính compact của X không thể bỏ)
Cho
= ℝ, = ℝ , ( , ) = ( , ) = ℝ, ̅ = 0 và f ( x, y ,  )  2 x  y   . Rõ

ràng là trong X   , K1 đóng và K2 là lsc. (ii) đúng vì f liên tục trong X  X   .
Nhưng ( ) = ℝ với mọi    . Do đó, (QEP) không đặt chỉnh tại 0. Thật vậy,
Cho n 

1
 0 và xn  n  S (n ) với mọi n. Thấy rằng  xn  không có dãy con hội
n

tụ nào, do đó X không compact.
Ví dụ 2.2.2 (Tính đóng của
Cho

là điều cần thiết)

X   2,1 ,   0,1 , K1 ( x,  )   2 ,1 , K 2 ( x,  )  0,1 ,   0

và

f ( x , y ,  )  x ( x  y ) . Không khó để thấy rằng X là compact, K2 là lsc trong X   .

(ii) được thỏa ( bởi tính liên tục của f ). Nhưng S (0)  1 và S ( )  0,1 với mọi
   0,1 . Do đó, (QEP) không đặt chỉnh tại 0. Vì K1 không đóng tại X  0 . Thật

vậy, Cho xn  n 

1
1
2
và zn    K1 ( xn , n )    ,1 chúng ta thấy rằng  xn  hội tụ
n

n
 n 

đến 0  K1 (0, 0).
Ví dụ 2.2.3 (Tính nửa liên tục dưới của

không thể bỏ qua)

Cho X   1,1 ,    0,1 , K1 ( x,  )  0,1 , f ( x, y ,  )  x  y ,   0 và
1,0,1,
K 2 ( x,  )  
0,1 ,

 0
 0

18


Khi đó X là compact, K1 đóng trong X   và (ii) đúng ( bởi tính liên tục của f
trong X  X   ). Nhưng S (0)  1 và S ( )  0,1 với mọi    0,1 . Do đó, (QEP)
không đặt chỉnh tại 0, Vì K2 không lsc trong X    .
Ví dụ 2.2.4 ((ii) không thể bỏ được)
Cho X   0,1 ,   0,1 , K1 ( x,  )  K 2 ( x,  )  0,1 và
x  y
f ( x, y ,  )  
y  x

 0
 0

Thấy rằng giả thiết (i) được thỏa mãn và S (0)  1 . Cho n   n 

1
và
n

xn  0  S (n ,  n ) . Khi đó  xn  là dãy xấp xỉ của (QEP) tương ứng đến n  . Nhưng

xn  0  S (0) và do đó (QEP ) :    không đặt chỉnh tại   0 . Vì giả thiết (ii)

bị vi phạm. Thật vậy, lấy xn  0, yn  1, n 

 x , y ,  ,     0,1, 0, 0
n

n

n

n

và

1
n

và  n  0 , chúng ta có

1


f ( xn , yn , n )   n  f  0,1,   1  0
n


nhưng

f  0,1,0   1  0 .

Nhận xét 2.2.2 Trong trường hợp đặc biệt, ở đây K ( x ,  )  X , không khó để kiểm
tra rằng giả thiết (ii) cho f có thể quy về điều kiện tương tự cho f ., y,. với mọi
y  X . Do đó Định lí 2.2.1 được cải tiến thành Định lí 2.2.3. Thật vậy, kiểm tra

thấy thỏa mãn giả thiết (ii) của Định lí 2.2.1 từ tính đơn điệu của f .,.,   và tính
nửa liên tục dưới của f  x,.,. . Nếu  xn , n    x,   và  n  hội tụ đến 0  sao
cho
f  xn , y , n    n  0 ,

thì bởi sự đơn điệu, ta có bất đẳng thức sau:
f  y , x ,    lim inf f  y , xn , n   lim inf   f  xn , y , n    lim inf  n  0

kéo theo f  x, y ,    0 . Hơn nửa chú ý rằng chúng ta bỏ qua tính nửa liên tục của
f .,.,   và tính lồi của f  x ,.,   .

19


Định lí 2.2.2 Cho X và  là không gian mêtric.
Nếu (QEP) là đặt chỉnh duy nhất tại  , thì diam    ,  ,    0 với

(i)

 ,     0 ,0  .
(ii)

Ngược lại, nếu X đầy và các điều kiện sau đây là đúng
(a) K1 đóng và K2 là lsc trong X    ;
(b) f là 0-mức đóng trên tương ứng với id trong
K1 ( X ,  )  K 2 ( X ,  )     0 ;

Khi đó (QEP) là đặt chỉnh duy nhất tại  , với điều kiện là diam    ,  ,    0
với  ,     0 ,0  .
Chứng minh:
(i) Giả thiết (QEP) là đặt chỉnh duy nhất tại  , nhưng có  n ,  n    0 , 0  sao
∈ ℕ và r  0 thì, với mọi n  n0 ,

cho với

diam    ,  n ,  n   r .
Khi đó tồn tại x1n , xn2     ,  n ,  n  sao cho d  x1n , xn2  

r
. Vì vậy tồn tại
2

n1 , n2  B   ,  n  sao cho
f  x1n , y , n1    n  0,

y  K  x1n , n1 

f  xn2 , y , n2    n  0,

y  K  xn2 , n2 

và

nghĩa là x1n  và xn2  là dãy xấp xỉ của (QEP) tương ứng với n1  và n2  . Do đó,

x 
1
n

và

x 

d  xn1 , xn2  

2
n

hội tụ đến nghiệm duy nhất của (QEP ) , mâu thuẫn vì

r
 0 , với mọi n.
2

(ii) Cho n    và  xn  là dãy xấp xỉ của (QEP) tương ứng với n  . Khi đó, tồn
tại  n   0 sao cho với mọi

∈

(

,

f  xn , y, n    n  0 ,

20

), ∀ ∈ ℕ,


Vì vậy xn thuộc

  ,
K1 tại

n

  ,

n

,  n  với

 n  : d  n ,    0 ,

n   . Vì diam

,  n   0 , nên  xn  là một dãy Cauchy và hội tụ đến x . Bởi tính đóng của

̅ , ̅ nên ta có ̅ ∈

̅ , ̅ . Lập luận như Định lí 2.2.1, chúng ta kết luận

rằng x  S    . Ta hoàn toàn chứng minh được rằng (QEP ) có một nghiệm duy
nhất. Nếu S    có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 , không khó để thấy rằng x1 và x2
thuộc

   ,  ,   , với mọi  ,   0 . Thấy rằng
0  d  x , x   diam   ,  ,  
1

2

điều này vô lí.
Nhận xét 2.2.3 Nếu K  x,    X với lập luận tương tự như Nhận xét 2.2.2 chúng
ta thấy rằng Định lí 2.2.2 là cải tiến của Định lí 2.2.1. Ở đây chúng ta bỏ qua tính
nửa liên tục của f .,.,   và tính lồi của f  x,.,   .
Ví dụ 2.2.5 Cho X    0,1 , K1 ( x,  )  K 2 ( x,  )  0,1 và f  x, y,    1 . Khi đó
(QEP) là đặt chỉnh trong  . Nhưng

   , ,    0,1 và do đó đường kính của nó

không hội tụ về 0.
Định lí 2.2.3
(i)

Nếu (QEP) là đặt chỉnh tại  , thì      ,  ,     0 với

 ,     0 ,0  .
(ii) Ngược lại, nếu X đầy,  là compact hoặc số chiều hữu hạn và điều kiện
sau là đúng:
(a) K1 đóng và K2 là lsc trong X    ;
(b) f là b-mức đóng trên trong K1 ( X ,  )  K 2 ( X ,  ) với mọi b  0 ,
Khi đó (QEP) là đặt chỉnh tại  , điều kiện là      ,  ,     0 với

 ,     0 ,0  .
Chứng minh:

21


Cho  là độ đo Hausdorff  (trường hợp độ đo Kuratowski tương tự)
(i)

Giả sử rằng (QEP) là đặt chỉnh tại  và  ,     0 ,0  .
Từ S        ,  ,   với mọi  ,   0









   , ,  , S    H *   , ,  , S   ,

Trong đó H *  A, B   supaA d  a, B  và d  a, B   inf bB d  a, b  . Cho  xn  là một dãy
bất kỳ trong S    . Từ  xn  là một dãy xấp xỉ của (QEP), có một dãy con hội tụ đến
điểm của S    . Do đó S    là compact.
n



Nếu S      B zk ,   H     ,  ,   , S    
k 1



và do đó






  
Từ S    là compact,   S      0 . Nên chúng ta có
    , ,    H    , ,   , S   .
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng H     ,  ,   ,S      0 với  ,     0 ,0  . Thật
   , ,    H   , ,   , S     S   .







vậy, giả thiết ngược lại rằng tồn tại   0,  n ,  n    0  , 0  và xn     ,  n ,  n 
sao cho với mọi

∈ ℕ, d  xn , S       . Từ  xn  là một dãy xấp xỉ của (QEP) , có

một dãy con hội tụ đến điểm của S    , mâu thuẫn.
(ii)

Giả sử rằng      ,  ,     0 với  ,     0 ,0  . Đầu tiên chúng ta

chứng minh rằng    ,  n ,  n  đóng với mọi  ,   0 . Cho xn     ,  n ,  n  sao cho

xn   x . Thì lấy mỗi ∈ ℕ, có

n  B   ,   sao cho, với mọi y  K 2  xn , n  ,

f  xn , y, n     0 .

Từ B   ,   là compact, chúng ta có thể giả sử rằng n    , n  B   ,   . Bởi
tính đóng của K1 tại  x,   , x  K1  x,   . Chúng ta khẳng định rằng, với mọi
y  K 2  x,   ,

f  x, y ,      0 .

Thật vậy, Nếu tồn tại y  K 2  x,   , sao cho f  x, y,      0 , thì tồn tại
yn  K 2  xn , n  sao cho  yn   y với K2 là lsc tại  x,   . Bởi tính  -mức đóng trên

22