Giao trinh hinh hoc afin va hinh hoc oclit phan 2

CHƯƠNG

IV

KHÔNG GIAN

§12.

Ì -

Định

Không

KHÔNG

Ociit

là

gian véctơ

Oclit

hữu

hạn

Không

gian

Oclit

Oclit

véctơ

kết

liên

Không

gian

Oclit

à)

không

ƠCLIT

gian

kết

afin

sẽ

gọi

thường

là

chiếu

n

kết

được

gian

Oclit

nếu

bằng
kí

với

không

thông

không

gian

n.

hiêu

v ớ i n ó đ ư ợ c kí h i ệ u

Không

lif'n

chiếu.

v ớ i n ó có c h i ế u

Oclit

liên

Vỉ' du:

GIAN

nghĩa:

gian

véctơ

OCLIT

là

là

E.

không

gian

E.

thường

E

3

hoe

ờ

phổ

với

cáu

thõng.
bi
trúc

Mỗi

không

afin chính

gian

tác

véctơ

là m ộ t

Oclit

hữu

k h ô n g gian

chiếu

hạn

Oclit,

chảng

hạn

như

RA
c!
thành

Các

không

vô h ư ớ n g
đã

không
cho

phảng

Nếu
a

c
a

( t r o n g ã* x é t

78

Oclit

không

afin

thực

n chiểu

gian

chiều

n

bằng cách
liên

kết

Oclit

liên

véctơ

đểu
trang

có

thể

trở

bị m ộ t

tích

với k h ô n g

gian

afin

thi

mỗi

cho.
d)

E).

gian

gian

E

là
nó
tích

không
c
ng
vô

là

gian
không

hướng

cảm

gian
sinh

kết

Oclii
từ

với

liên
tích

vô

E
kết

v ớ i C?

hướng

c
a


2. Mục t i ê u trực
Múc
chiểu

dô

n

E

cuông

sờ

tiêu

trúc

độ của

trực

chuẩn

3.

ẽ\.

Gọi

c
sờ

£'

chuẩn
đối

=

múc

Dê các

trực

tiêu

trực

chuẩn.

trực

chuẩn:

ẽ^p}
trản

c

là

tiêu

của

chuyển

từ

trực chuẩn

C.C

với

tiêu

múc

rùng

hai

giữa

I

(ĩ)

Khoảng

Cho
cách

=

điếm

mót

4.

1

và

hai

điếm

N

đó,

cơ

trực

chuẩn

tọa

góc).

chiều

n

g ọ i là

E

n

luôn

luôn

có

(ì)

và

chuấn.

{ O ; ẽ^,

không
cơ sỏ

gian
£

=

(ÍT,

....

Oclit
[Ì?.

ẽ^}

n

n

chiêu

e,
?

E .

ẽ^}

sang
trực

t r ự c giao c ấ p

n.

Khi

đó

công

thức

=

Cx '

ma

giữa

M,

là

cơ sỏ

tiêu
hai

của
kí

+ a

trản
là

đ ố i với m ú c

điểm

n

là

X và x '

cách

E

các

là:

. a là

n

của

n

Đè

đều

X

t r o n g đó

đô

n

đó

n

trản

Oclit

C á c cơ sờ

... e ' } .

ma

tọa

ĩ' }

vuông

tiêu

tiêu

hệ

é-,,

tiêu

n h ữ n g mục

{e',. e

nên

dô

gian

<5ịj .

đối với mục
toa

không

(hay

ej,

Oclit

mục

ma

{

gian

ẽs,

ỉa

chuẩn

không

Đổi mục
hai

=

của

n

trúc

£

điếm
(hay

thấy

Cho
{O';

sờ

e)

• • • ì

là ẽ* ej =

ràng trong

tim

e->,

tiêu

cơ

chuẩn, t ứ c

Rõ

cơ

nếu

Toa

rhế

{ẽị,

afin

gói là múc

góc)

chuẩn.

cột

hai

tọa

ma

thứ

đô

trản

của
cót

nhất

và

gian

Oclit

gốc
tọa

thứ

0'

đối

độ

của

hai.

điểm.
không

hiệu

d(M,N),

được

n

E .
định

Khoảng
nghĩa

là

79


Từ
gian

các

tỉnh

véctơ

chất

Oclit

n

E

của

suy

ra

chuẩn

cùa

dễ d à n g

a)

d(M,N)

=

d(N,M)

b)

d(M,N)

ặ

0 và d(M,N)

c)

d(M,N)

+

d(N,P)

ặ

=

véc

của

tính

0 <=» M

d(M,P)

tơ

với

s

trong

chất

không

sau:

N

mọi

điếm

ba

bất

kỉ

M,N,P.
Nếu

d)
đoan

thảng

Thát

«

MP

vậy

X là

số

nhò

hơn

đoạn

khi

+

dương,
Điều

0.

MP!

Nếu

trong

y )

chuẩn

hay

này

E

n

của

NP

=

=

ra

đ ã ' cho
M

CỦA

80

li M P li

xảy

§13.

và

=

thì

điểm

+ d(N,P)

=

N

thuộc

d(M,P).

d(M,P)
=

li M N + N P li

- A N M , tục

khi

mục

và

chi

tiêu

(Xj, x .

khi

trực

x )

7

là

n

và

[P,M,N]

=

N

trong

nằm

chuẩn
của

N

và cho
=

-Ả

tọa

( y j , yo,

thì

n

Ì

biệt

khi d(M,N)

+ d(N,P)
=

phân

= AMN,

thực

trực

điểm

và chi

li N P li

thảng

e)

là ba

d(M,N)

li M N li

» N P

độ

M, N, p

-

Định

CÁC

Sự

TRỰC

PHÀNG

GIAO
TRONG

En

nghĩa.

Trong

không

gian

phàng

Ịi

phương

vói

Oclit
(ỉ.

E

n

Hai

cho

phảng

phảng

a

a
và

với
Ịi

phương

gọi

là

ã

trúc


giao kí hiệu a _L /3 nế u hai k h ô n g gian véctơ a v à / 3 trực
giao (tức mọi véctơ của ã*.trực giao với mọi véctơ của /3ỹ.
Hai phảng a và ộ gọi là bù
trưc giao trong E .

trục

n
ế u

giao

ã* và /3 hù

n

2. Đ ị n h
điểm chung.
duy
nhát.

lý: Hai phàng
Hai phảng
bù

trực giao có không
qua
một
trực giao có một điềm
chung

Chứng minh.
Giả sử hai phảng a và />' trực giao. Nế u
có hai điểm M,N G a n Ịi thì M N e ã* n ^
suy ra
MN.MN = 0. Theo tính chất xác định của tích vô hướng ta
có M = N .
Nếu « và /3 bù
a n /3 = 0 thì

trực giao thì

E

n

=

ã* © ịi\ do

dim(a + (ỉ) = đima + dim/3 - dim (ã* n

suv ra đim(a -ì- Ị3) chung duy nhất.

n+1

(vô

lý).

Vậv

,51+1.

t í và /3 có

Hê quả: Nế u a v à /í) bù trực giao trong E
chúng l à E .

nế u

đó

n

điểm

thi tống

của

n

3- Đ ị n h l i : Nêu a trực giao ươi ịi va V bù
VÓI Ị3 thi a và V là hai các phang song
song.

true

giao

Chứng minh. G ọ i ó t ậ v à 7*1 ấn lượt l à phương của các
phảng a, 8 và 7. Vì í * t r ú c giao với /3' và 7*là phấn bù trực
giao của Ịị trong E nên ca suy ra ã* c v f vậy ù' song song
n

với

/.

Hê quả 1: Hai phang cùng bù trực giao ươi phảng
ba thi nong song vói nhau (và có cùng số chiêu).

thứ

Hẻ quả 2: Qua một điềm
dã cho có
phàng bù trực giao ươi một phảng dã cho.

mót

duy

nhát

81


§14.
Ì

-

trong

KHOÁNG
nghĩa.

Định

không

gian

CÁCH

Khoảng
n

Oclit

E ,

d(a,

GIỮA
cách

kí h i ệ u

li)

=

HAI

PHĂNG

giữa
địa,

h;ú

phảng

ị j ) là

a

và

ịi

số:

inf d(M,N)
Meo
NE/?

Rõ

ràng

2.

Dinh

chung
và

cat

3.
của

hai
cà

và

J'::o

Li:

•> là. ì

s

':ẩ

liu

,;)'; =

d'ĩ.

N

MN

=

Từ
_
JN

/3)

thẳng

A gọi

là

(ỉ n ế u

A trực

=

0.

dường

giao

với

vuông
cả

a

góc
v à /)'

Zà

a

và

[i,

A

vói

a

-ỉ)

.ninh:

Với

s

có.

p' t a
ĨJ

MI -

đó

•] M N

của
J

Gì'lúi: 2

thỉ

chung

nháng

va

(/'•/.

A

góc

điểm

và

0

d(a,

Đường

iVẽu

lý:

cái

/5 í

Ịi.

và

vuông
hai

n

phang a

a

Định

đường

a

nghĩa.

cua

A

nếu

là

+

mọi

ÌN.

ra

3UV
2

i! = li

M I + ĨJ

+

li =
Vì

ÌIMI + -ÌNH - +

ĩĩf . M I

lí M N li
Vậy

2

=

d(M,N)

=

0,

LJ . J N

li M I + ÌNH
:ĩ

d(I,J),

2

!|ĨJ||= +
=

+

tức

0,
li L Ĩ li

đìa,

2ĨJ(MÍ

+ -IN)

nên
2

li)

hay
=

li l ĩ k li d a ,

J)

ỉ*

il LJII


4. Định lý. Nếu hai phảng
a và. ộ không
có
điềm
chung
thi chúng
có đường
vuông

góc chung,
và
dường
vuông góc chung dó Là duy nhất khi uà chi khi
õ T l / f = {õT.
Chứng minh: xét tổng ã* + p*và gọi ỹ*là k h ô n g gian
bù trực giao với tống ã* + ff nghĩa là
ỹ*±

Cã*+ f i và E

n

= (õ*+ f ) Q

con

ỹ*

Lấv p e a, Q E /3, thì véctơ PQ p h â n tích m ộ t cách
duv nhất dưới dạng PQ = u + V , với u £ ã* + ộ, v e ỹT
Bây giờ giả sử ũ* =
ì v à J sao cho PI = X
ĨJ = ĨP .+ PQ + QJ =
Vậy IJ = v*e
nghĩa
có đ i ể m chung n ê n ì
thịng A đi qua ì và J
c á i phảng a và fi.

x* + _ £ X * e õf y G /3. L ấ y các đ i ể m
và JQ = y thì I £ a và J £ ộ. vì
-T+
PQ - ỹ * h a y P Q = T+ y + ĨJ.
là IJ X õf IJ _L Ịì, vì a và /3 k h ô n g
không t r ù n g với J, như vậy đường
là đường vuông góc chung của hai

Nếu ngoài A còn cổ đường vuông góc chung của
l à A' cát a, Ịỉ l ấ n lượt tại r và J' thi

a và Ị3

LĨ = r ĩ ' + (ĩ? + J*J)
lí u n

2

=

llfj'll-

+ ill? +

Theo định lý 3 thì d(a. /ỉ) =
do đó ĩ? +

Ki

Kill

2

li IJII

v à cũng b à n g

= õT tức LĨ = ì ? ' suy ra ĩ?
7

=

li r ĩ ' l i ;

JJ'.

Vây i r = JJ' E ã* n /T Từ đó suy ra A t r ù n g với À'
khi v à chi khi ã* n Ịi = {ôi. Dinh lí được hoàn t o à n chứng
minh.
Theo
phép chiếu
+ Ẹĩ ©

chứng minh đinh lí 4 thì
lên t h à n h phấn thứ hai của

IJ = p - , ( P Q ) ( p
khai t r i ể n E =

2

là
(ã*

-Ã* Vậy ta có công thức:

83


d ( a , (i) =

có

Từ

định

lí

4

Hê

quả

1:

Nếu

dường

dường

duy

trẽn

ỉ
Hệ

a.

ã* của

ỊTcùa
trúc

giao

díu,

ịij

=

5.
in

a

dó

da.

a

d(Ị,

dường

Định

thức

véctơ

U,

ki

bát

Gram.

I

ri-

và

gọi

là

dinh

không

lim,

lliuóc

tuyên

e

}

độ
k.
64

(a
i

=

th
c

E

một
a-,;,
Ì,

vuông

góc

uécta

phang

con

của

thảng
cùa

ịì

phương

di
a

và

qua

và

ì

và

ậ.

Vậy

không

gian

vectơ

Oclit

E

n

hiêu.

Ui.Un

u-,.u

n

cùa

hệ

Gram
không

uécta

của
khi

oà

(u,,

hệ

in

chi

khi

ÚT,

li

uécta

luôn

kẽ

vécto

}.
luôn
dó

phu

tinh.
minh:

l p

Gram

L ' à bàng

cua
là

thác

Dinh

Ch
ng
chiếu

cùa

u,

dề.

Bố

ì

J

điếm

nới

chung

U-vU,
1

qua

ã*

G

Kí

m

thi

chiểu

song

góc

Trong

u .

giao

a, dường

vuông

a

J).

gian

thuộc

a;
kinh

song

không

ươi ì

ươi

Ị3J

là

là

d(I,

a

phảng

cất

gọi

s

sau:

thuộc
và

=

ohẳng

sẽ

(ỉ,

a)

a, Q

quà

không

phảng

oái

Ẹ> thi

với

ì

e

hệ

góc

phảng

phảng

các

vuông

Nếu

2.

ra

điềm

Khi

quả

ohưang

cho

dó

p

2

suy

nhất

tháng

cùa

ta

llp PQ|Ị,

2,

n

Gói
chứa

cơ

sờ
a

V

là

(u.,

u ,

...,m.

)

chuẩn

đối

Khi

đó

với

gian

u j

2

trực

m i

không

và

m

của
cơ

sờ

V.
£

véctơ
gọi

Giả
và

€

sù
A

Oclit

là

con
ỉ|,

véctơ
ma

e,
2

Uj c ó
trân

m

tọa
l ak i ' '


x

ID

Gr

=

íũ^,

ũ^,

ũ^)

det(A'.A)

=

1

=

(ũ*

đét

(detA )

=

up

. (detA)

=

đ é t

a

(detA)

Vây định thức Gram Gr ( U Ị , U ,

k r

a

k j )

=

2

u )

2

-

luôn luôn không

m

âm.
Hệ

véctơ

{Uj,

u ,

u }

2

chi detA = 0, hay

phụ

m

(detA)

2

=

thuộc tuyến

tính

0, tức Gr(ũ^, ũb,

khi

và

ũ^,) =

0.

Bố đ ế đ ã được chứng minh.
Từ

bổ

đẽ

trên

dễ

dàng

suy

ra: hệ

véctơ

{ U ] , u-,,

dóc lập tuyến tính k h i v à chỉ k h i Gr ( U j , I U .
6. K h o ả n g

cách

t ừ một

Cho một đ i ể m ì
phương ã* = ( U j , u ,
7

của

í xuông a

SI); do SI =

thì

u

u )

}

> 0.

m

đ i ể m đ ế n một

m

m-phẳng.

và m-phảng a qua đ i ể m s và có
u ) . Gọi J là hình chiếu vuông góc

m

d(I, a)

=

SJ + J I và SJ

d(I,J).
là một

Xét

G r i u j , U n , .... u ,
tuyến

tố hợp

tinh

của

íũỊ,ũ^,..., ũ^} (vì SJ e ã) nên:
GrtũỊ, ũ^,
=

ũ^, SI) = G n u , ,

Gr(ũ^, ũ* ,
2

ũ ^ , J ĩ) =

ũ^,

=

m

2

| | J Í | | G r ( ũ ^ ũt,

(vi J I trấc giao với các véctơ U j ,

ảHl,a)

u . SJ + J ì) =

ù?

ũ^)

u ) . Vậy
m

Gr(a[, ũ £ , ...
^
u
r

Gr(Uj,

u ,
2

Ví dụ 1. a là đường t h ả n g tức m =
thuộc Ịi thì

1. Lấy véctơ e & 0

85


Nếu

trong

mục tiêu
x

a

cho đ i ế m

và

Sib],

b->,

ì

b

~

1

l

trực chuẩn
x

_

~

:
a

l

b

2

cho a

_

a

a )

n

n

n

co' t h ế l ấ y

n ê n có c ô n g

n

n

thức:

n

at. ỵ (xp - bj)2 -

1=1

-,

CHI. a)

b

xịp t h ì t a

b ) v à e = ( a j , a-1,

ỵ

~

n

2

có t ọ a đ ộ (xỹ, x^,

n

x

_

có phương, trinh

(Sa^'-bi))

1=1

1

=

2

= 1

—
2 af
i =

ị

Ì

I

J , '

ị

d-a, a) =

T

,

. _

h(xf-b,)

>

v

J

-aYxp-b,)

F

Xi

i

_

1=1

•

Với

n =

khoáng

cách

phổ

i

2 hay n
từ

— 3, ta có t r ờ v ê c á c c ô n g
đến một đường

một điểm

thảng

Lhức

tinh

đ ã học ờ

r.hông t r u n g học.
Vi

du

2.

a

là

2-phảng,

tức

ni

=

2.

Láy

m ó t cơ sà

G r ( U j , U n , SI)

(ù,,
1

U ^ Ị c
a
:

ã* t h i

Theo c h ứ n g
(ũ^, ũt, S I ) ) "
c
a
86

E

3

và E

d ( I , a)

minh

(trong
3

2

=

„

— » — —

Gr(Uj,

bổ đ ề ở t r ê n

một

cơ

sở

trực

u )
2

thì

Gr(Uj,

chuẩn

£

c h ứ a các véc t ơ U ị , u-,, S I ) . V à y

u-,, SI)
=

=

'dety

(ẽ^, ẽT, ẽ^)


4etj.(ũ^ũt, SI))'
2

d (I,a)

=
uf.uj - ( u , . u ỵ
:

Do đ ó

khi., n

một đ i ế m

từ

=

đến

3 ta

một

trờ

vẽ

công

thức

phang đã

mật

học

í inh

khoảng

cách

ở phổ

thông

trung

học.

c á c h giữa hai

7. K h o ả n g
Cho
thứ
ũ-

điếm

hai

tự thuộc
và

n

Ocìít

E ,

s

qua

hai

t r o ng

fi

T

là

góc

của

R

RT

trực

giao

fs

G

RTI
u

m

g ian

=

/ì

ã* +

RT

7

+

TS

đìa,

li)

Từ

nếu

Uị,

GriũT, I U ,
lu,,

RS)

m

.... ũ * ,
u

UY,

m >

/

mà

=
llìt.h

RS

(ì

fi t h ì

ỹ*= ã*

cơ cở của
u ,

Í T

thì
ã* +

ỹ* n ê n
là m ộ t

và

vuông

v ớ i ỹ* =

đó

đi

phảng

phảng

lên

Gri.ũỊ", ú t , . . . ,

Gr

k h ô ng

chiếu

hình

RS

theo
phang

ỹ* =

với

s

các

gọi ỵ là

gọi

/ T và

R,

phảng.

=
+ TS)

RT)

=

:

n RTB

2 Gr(u„

u ,
2

....

u )
m

Vây
.... u , R S )

Gr(ũ^,
2

d (a,

du

2.

Nếu

ã* = ịi v à

m

=

Vi

Ì,

a
ta

P)

Gr(ũ^,

v à /í là
trờ

m

hai

Ũ ^ . . . , Ũ Ị J

đường

l ạ i ví d u

thẳng

Ì ở phãr,

song s o n g

thì

6,

87


ví

du

2.

song-

lấy

các

a

Nếu
véctơ

và

chỉ

Ị3

là

hai

phương

đường

Uj c ủ a

thảng

a

Gr(^,

và

không

IU của

P

song

thì

SR)

G r ( U i , uó)
Khi
vé

n

công

nhau

ở

8.
Giả

=

3.

thức
phổ

a,

tính

đối

là

trung

cách

với

hai

khoảng

thông

Khoáng

sử

/3

mục

cách

thẳng

giữa

chéo

hai

nhau.

đường

ta

thảng

trờ
chéo

học.

từ
tiêu

đường

một

điểm

trực

đến

chuẩn

một

siêu

phảng:

siêu

phảng

a

có

phương

trình:
ajX,

Ta
ơiao

xét

với

điểm
đó

+

véctơ

ã*

n

Thát

=

+

a

2

Ui,

vây,

M ( x j , X-,,

ta

a-,x

a ,

x ),

sư

a

õf

thấy

khi

...,y )

2

0

Ta

n

G

=

o

a ).

u

N(yj, y ,

n

+

n

....

2

giả

x

n

sao

n

rằng

n

tốn

tại

đó

cho

MN

trực
hai

ũ*

=

Do

có:
n

n

ỵ

a

+ a

j X j

=

0

0

và

1= 1

a

2

iY,

+

a

o

=

0

;

1 = 1.

n

nên

y

aj(y, -

Xj)

0,

-

tức

là

M N

-L

n.

hay

n

X

u

với

mọi

1=1

ũ* £

ã*

siêu

phảng

Vậy

Bây
của

ì

bàng

giờ

độ,
=

±

ã* (rí

thường

gọi

là

véctơ

cho

siêu

dài
I.XỴ +

điểm

KxỴ,

phảng

véctơ

IJ.

ajt,

xí,',

a.

Khi

Do

IJ

xị}). G ọ i
đó

khoảng

_L c f , n ê n

+ a t,

n

2(x?
1

88

=1

+a t)a +a
i

i

0

=

0

J

là

cách
u

xo + a t ) .

2

n

hay

tuyến

pháp

của

a).

trên

vậy J

Ti

=

vỉ

chiếu

hình
từ
tri

J G

ì

đến

(t

e

X

nên

a
R);


2 a f +a
jX

+ (2 af ) t = '0

0

1=1

Suy

1=1

ra
n
ỵ

ajXp +

a

0

i= l
t

=

•

;
n

2

a?

i=l
Từ

I J = t n , ta suy r a
n

(Ea
LJ2

=

t

2ĩ?

hay

ĨJ2 =

t 2 ^ af

=

i X

?+a )2
0

—

ỉ"?
1=1

Vây
•n

I Sa
1 =

d(I,

a)

i X

P+a |
0

1
Ị T - ^

=

a

Ì ị'
' i=l
vi
công

du.
thức

Khi n
tính

=

2 hoặc

khoảng

t h ả n g (hoặc t ừ m ộ t đ i ể m
thông

cách

n

=

từ

3, d ễ t h ấ y
một điếm

ta
đến

đ ế n m ộ t m ặ t phảng,

trở l ạ i các
một

đường

đ ã học ờ p h ổ

t r u n g học.

89


§15.

Ì

-

Góc

giữa

GÓC T R O N G

hai

véctơ

u,

E

n

V khác

n

0 trong

E ,

đó

là

số tì m à
0
Rõ r à n g
Nếu

Thật

$

ớ í

K v à cosớ =

là:
thuộc tuyến

l i . V phụ

vậy t ừ

V = Au ta

c o s ỡ

-

N ế u ũ* _L v * t h ì

-

Đ ố i v ớ i ba
BC

trong
giữa

đó
hai

và

ta

vậy.

2.

Góc

E

n

chọn

đường

thấy
các

t h ả n g a,b,
-

2

2

=
hai

với

0

Dễ

=

ÌÃÌW
=

2

+ AC

±

bất
2

MN

véctơ

(ÁC 2AB

-

1

kì t a
2AB.

để

< e

chì

có c ô n g

thức.

ACcosA
d ( M , N ' ) , góc

A là

góc

phương

*

ị

Ãc

thẳng:
lần

2

+ AB

2

-

2ÃB.ÃC

=

lượt

Cho

hai

đường

là

<ũ>

và

thảng

<v>

a

Góc

mà
v à cos* =

nghĩa

diện

=

ACcosA.

đường

định
đại

ÃB)2

.

đ ó là số 0

rằng

của

đó

-Jf^

không

các

song song v ớ i b t h ì ớ =

phu

phương

và

Nếu a

hoặc tì = , T .

2

A, B, c

AB

thì ( 9 = 0

ra

kí h i ê u

giữa

trong
hai

=

BC

AC- + A B

b

ỡ

tính

AB v à AC.

=

giữa

90

2

suy

=

điểm

dùĩìỆ

véctơ

Thật

- V -^r
II u i . | | v | |

0

v T

thuộc
của

vào

hai

việc

đường


Tí

-

Nếu a Ì

b thì ớ =

^

3. G ó c giữa hai s i ê u phảng: Cho hai siêu phảng a và
ịi, lấy hai đường thẳng a, b l ẩ n lượt trực giao với a và ộ.
Khi đó góc giữa hai siêu phảng a và p được định nghĩa
là góc giữa hai đường t h ả n g a và b.
Rõ r à n g định nghĩa t r ê n k h ô n g phụ thuộc vào việc chọn
hai đường thảng a và b l ầ n lượt trực giao với a và Ịì.
4. Góc giữa đ ư ờ n g t h ẳ n g

và siêu

phảng.

Cho đường thẳng a và siêu phảng ịi.
Nếu a trực giao với siêu phảng /3 thi ta nói góc giữa a
và ịi là góc vuông.
Nêu a không trực giao với /3, thì ta lấy đường thẳng a'
trực giao với 'ộ và xác định được góc ớ' giữa hai đường
thẳng a và a'. K h i đó góc giữa a và Ị3 được xác định là
góc tì mà tì > 0 và ớ = ^ - ớ'
Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho p h ư ơ n g của a là (u)
và véctơ pháp tuyến của ịì là n thì:
•X
,\

sin# = sin (77 - ớ
••2
/

= cosớ

,

=

ĩu.ĩĩĩ
-s> :p=g
liu l i . li nil

Ị - (u.nỵ
cosớ =

\|

§16. THẾ TÍCH TRONG E

n

1. T h ể tích c ủ a h ộ p .
Xét m-hộp H xác định bời m + Ì đ i ể m độc lập P ,
p . Ta đật p j , = ^ , i = Ì, 2,
m
0

P(,

m

91


Thể

tích

của

m-hộp

H

được

kỉ

hiệu

V(H)

và

được

định

l à độ d à i

đoạn

nghía
V(H)
Khi

m

=

Ì, hộp

H

trong trường

...Xm)

ũ£

là đ o ạ n

thẳng P Pi,

=

Ịl^ll

=

hợp

này

thế

V(H)
Vậy

{Õĩ^ĩ,

=

khi

0

d(P

đó

O I

tích

chính

thảng.

Khi

m

Trong

=

2, t h ể

m-hộp

định

bởi

(P ,

cách

từ

đinh

cao

cùa

Thề

tích

của
H'

ũ!

(m

lý:

Chứng
chua

tới

m

tích

tuông

là

g ọ i -là diện
xét

(m

đáy

l)-phẳng

-

của

chứa

tích
l)-hộp

hộp
H'

của
H'

H.
gọi

nó.
xác

Khoảng
là

chiều

H'

bằng

dày

uà

ứng.
Gọi

tr ẽ n

m

gọi

-

hộp

hóp

minh:
P

m

m

với đáy

thề

P ),

P _i),

ứng

cao

chiếu

P

2-hộp còn

Pj,

0

hộp

của

chiểu

(P ,

Pị,

()

Định
tích

tích

ì

là

hình

(m-l)-phẳng

'

thì

=

p~p_

=

p ì +

IP

Váy

Grtu[,

Ũ^I =

=

Gr ^ ,

n,

=

Gr ( ^ ,

^,

=

Gr ( ^ ,

u,

Từ

.... u* , ĩ y

2

đó suy

m

....

m

=

(vi p j x u * ,

í^.n*

ra
V(H)

92

m

ĨP )

^ ị ,

2

+ ĨP )

=

V(H'). d(I,

p )
m

Vi =

1,2,....m-l)


2. T h ể t í c h c ủ a d ơ n

hình.

Cho m-đơn hình s với các đinh P

OI

Gọi H là m - h ô p xác định bởi P ,
m-đơn

hình s,

V(S)

=

P .

t

m

Pj,

0

T h ể tích của
nghĩa là:

P,
P

m

kí hiệu V(S) và được định

-^V(H)
m!

Khi n = 2 hay n = 3, ta trở vé các
diện tích, thể tích ở phổ thông t r u n g học.

công

thức

tính

§17. Á N H X Ạ ĐẤNG C Ự
CỦA

CÁC

KHÔNG

GIAN

ƠCLIT

- Đ ị n h nghĩ a: Ánh xạ f: E -» E' của các không
gian ơclit E và E ' gọi là ánh xạ đảng cư nếu f là một á n h
xa afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết f: E —» E ' là một
ánh xạ tuyến tính trực giao của E và E'.
Ì

Từ đinh
M . N thuộc
có d(M,N)
tốn khoảng

nghĩ a đó dễ d à n g suy ra đối với mọi cặp đ i ể m
E và ảnh của chúng M ' = f ( M ) , N ' = f(N) ta
= d(M', N'). Nói cách khác phép đảng cự bảo
cách giữa hai đ i ế m bất kì.

Ngươc l ạ i :
2- Định lý: Mọi ánh xạ f: E —» E' giữa các không
ơclit bào tòn khoảng cách giũa hai diêm bát ki là một
xa đấng cự.
Chứng

minh:
Lấy ì £ E
f: E -» E' xác định như sau:

và

r

=

f ( I ) . Xét

ánh

gian
ánh
xạ

93


Nếu u £ E, ta lấy M £ E sao cho [M = u, và đát
ffu) = I ' M ' , với M ' = f ( M ) . Ta chứng minh r k h ô n g thaỵ
đổi tích vô hướng của hai véctơ. Giả sử có thêm V * E E,
lấy N s E sao cho I M = ^*và f ( v T = Ỹĩí' với N ' = f(N').
Vì f bảo tổn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) =
d(M'.N'). Suy ra MIP
= IVTN- « . ( I N - I M ) = d ' N ' - I ' N ' )
« . ĨN2 + IM2 - 2IN . I M = F N
+ I ' M ' - 21'N" . I ' M ' =>

IN . I M = F N ' . I'M' tức là ũ*. v * = f f u ) . rtvỹ. Vì T h ả o
tổn tích vô hướng nên f là á n h xạ tuyến tí nh trực giao và
rõ ràng f là liên kết của f. Vậy f là phép đảng cư.
2

1 2

Hê
nhằng,
phàng,
phàng.

2

2

quả: Ánh xạ dằng
cự bào tòn sỏ chiêu của
tinh trúc giao của các phảng,
khoảng cách giữa
thề tích của hộp của dan hình
rà góc giữa

3 - Biên d ổ i dẳng

các
các
các

cự.

Nếu f: E - * E là á n h xạ đẳng cự từ không gian ơclit
vào chính nó thì vì f là đơn á n h nên nó là một sóng ánh
(do E hữu han chiếu). K h i đó ta gọi nó là mót biến dổi
dằng cư của không gian ơclit E. Ánh xạ r*liên kết với nó
là một biến đ ố i tuyến tinh trực giao của E.
Rõ ràng tập hơp các phép biến đối đ ầ n £ cự của E làm
thành một nhóm con của n h ó m A f ( E ) , nó được kí hiệu là
Isora ( E ) .
n

n

n

Các phép tịnh tiến h i ế n nhiên là phép đẳng cự, chúng
làm thành nhóm T ( E ) là n h ó m con của nhóm IsomiE").
n

chiếu.

4. P h é p dời h ì n h và p h é p phản
Cho phép biến đối a f i n f: E
đối với một múc tiêu trực chuẩn
n

x'

94

—» E có biếu thức tọa độ
{ 0 ; e,, e ,
ẽ*}.

= Ax + b

n

:


tuyến

Khi đó A củng là ma t r ậ n của phép đẳng cáu
Lính ĩ^đối với cơ sở trực chuấn {ép e ,
í' }.
2

n

Bởi vây biến đối aim f là biến đổi đẳng cư khi và chỉ
khi A là ma t r ậ n trực giao tức A A = I . vỉ A là ma t r ậ n
trực giao nên đét A = ± 1 .
Nếu A là ma t r ậ n trực giao và detA = Ì thì f gọi là
một phép dài hình (hoặc phép
dời).
Nếu A là ma t r ậ n trực giao và đét A = - Ì thỉ f gọi là
một phép phàn chiếu (hay phản. dời
hinhj.
Rõ ràng táp hợp các phép dời của không gian ơclit E

làm thành một nhóm, kí hiệu I s o m ( E ) .
l

n

n

+

ó. P h é p đối xứng qua

m -

n

phảng

Ta nhác l ạ i : moi phép biến đ ổ i afin f: E -» E nếu có
tính j h á t đối hợp (tức ỉ
- Idp) thì hoặc f là phép đổng
n

n

2

nhất

hoặc f là

phép

đ ố i xứng

xiên

qua

m-phảng

a

theo

n

phương T[ã*@ Ẹ* = E )
Bây giờ nếu phép f như t h ế là phép hiến đối đẳng cư
thỉ í"là biến đổi tuyến tính trực giao. do đó nếu lấv : 5 õT
và V * s (ỉ thì ffuT = ũ? f ( v j = - V nên do tính t r ú c giao của
f

ca

có:
ũ*

V*-

f fu T f f v ) =

-ũ*.

v*=>

ũ*.

v*=

0

ũ* X

vT

\'áy ã* L /3

Phép biến đ ố i đẳng cự
qua oliẩns a.

f như

t h ế gọi là phép

dối

xứng

Vây ta có:
Moi phép biến dổi dằng cư dối hóp của E" nếu

không
nhài
là. ohép dỏng nhát
thì là một phép dối xứng
qua
in-nhằng.
Dề tháy rằng phép đ ổ i xứng qua m-phẳng (.0 5 m í
n - 1 1 của E là phép dời hình nếu n - m chần và là phép
phàn chiếu nếu n - m l ẻ . Đác biệt phép đổi xứng qua siêu
phảng của E là phép phản chiếu.
n

n

95


vi

dụ

1.

moi

điểm

hay

là

hiến

của

»'éctơ

một

phép

đối

tuyến

đổi
cùa

biến

Mọi

a

đổi

phảng

siêu

xứng

tính

nên

qua

trực

nổ

đẳng
a

bất

vi

dụ

2:

điểm

của

xứng

qua

bất
đét

một

nen
giá

dời

phảng

nên

=

Ì

nó

>

0,

phải

riêng

đêu

có
Ì

bất

phép

hai

và

fỉ

(n

5= 2 )

a

D

/3.

đó

detfl

không

động

đối

đối xứng

qua

với

phép

f:

nếu

í' b i ế n

n-2)-phẩng

P

Ta

lấv

điểm

qua

,3

L!Ì

phang
thảng
điếm
với
mọi

p.

trung
PP'

PP'

đường

MP',

do

-phảng

là

2

P'

siêu

của

đoan

qua

trung

thằng

PP').

Với

M

Ịi

G

suy

đó
/3 v à
t

và

và

góc

M

a

đi

;i

các

n

ra

ta

có

MP

=

CL-, c h ứ a
như
à,

vậy:
=

(ì.

(n-2)

bất

động

đống

nhất

vậy

khi • đó

bất

động

mọi

bất

động

mọi

là

E

n

giữ

phải

Ị5

f

là

một

phép

đối

vùv,

khi

dó

giữ

X

ĩ

mặt

khác

riêng

mót

chiếu

là

phản

chứa

dời

-

dinựJ =2

0;

a

f

đ é t (ĩị^Ị

mà

phảng

siêu

phảng

—»

vuông

điểm
=

Ệ

a

trúc

(tức

của

f(M)

96

và

p

E

n

dời

đổi

giữ

Thật

?1

f và

siêu

giữ

Thật

n

E

động.

6. P h é p quay quanh ( n - 2 )
Một

của

gian

có

a.

tức

f

bất

- 1 ; vậy

tí-,

n

biên

—* E

hình

giữ

do

là

E

(±id£t).

í)

tri

một

siêu

]T

151

điếm

phản

n

E

động

t.n-2)-phầng

mót

đông

í Id

Mọi

của

phang

f:

f = Id-e

f

phải

siêu

giao

giữ

cự

(i

hình

ứng

với

mà

mọi

nên

f

là

a.

-phảng.
n

gọi

điếm

của

là
ịi

phép
thành

quay
chính

quanh
nó.


Gọi

gị,

thành

7

là

f, g " g i
bởi

2-phẳng

y) n ê n
Tóm

xem

là

cát

7.
biên

Cho

f:

đối

xứng

qua

chính

f(M)

=

hai

Nhưng
=

nó

a ị và

«1

biến

và

đ

ổ

s

đối
đố

p

Invơ)

=

ỉnvT=
Định

n

không
ì)

gian

Cho
OcLit

Nếu

f

=

p*-

được

xác

>

(ỏ đ â y

0,
ì

=

g2°ểi-

nhiều

là m ộ t

IP

hai

xứng

ỹ*=

detf|_^

phảng ộ

qua

qua

bất

đểu

siêu

cách

phép

véctơ

Điểm
ũ*gọi

{M G
{u*e

lí:

a

(n-2)

đối

phang p

M . Véctơ

hiệu:

r

y

toàn

ràng
=

thì

có

thể

phảng

(có

khác

nhau).

siêu

phảng

hai

quay q u a n h
động

Ịỉ.

của

phép

cự.
—»• E

ki

u

xứng

M
là

Tĩu)
Ta

hoàn

rõ

bằng

và

với ịi

g ^ l ^ I P )

phép

dộng

giao

chúng

quanh

phép

của

trục

và

ừ

quay

(n-2)-

n

T

phảng

bất

E

biến

0

hai

đẳng

và

fjjIP)

phép

tích

Điểm

p

ấ2 ểi 1 ^

siêu

theo

đổi

và

của

hai

lai,

qua

7

f[_» =

tích

nhau

nếu

phép

fi " t h à n h

(g2»gi)l -

0

lại mọi

chọn

Ngược

và
>

2

thế

các
của

giữ 7 bất

fI „

det(g ~J,|_J
n

là

điếm

mọi

đểu

2

định

/j

lượt

P'

Gọi
và

lần

2

biến

gọogị

thì

g

E

E
f:

n

n

|

I

ỉnu(f)

—» E"

Khi

là

véctơ
=

điểm

bất

động

đ ộ n g của

bất

của

f

r*nếu

ù"

=

M}

ũ]

ffu) =

E"

É".

f(M)

gọi

là

=
mót

Ker
biến

ị}"*- I đ ^ n ]
dổi

dàng

cư

cùa

phương

là

dó

0

thi

nó

Là

{ õ)

thi

f có

cái

phảng

có

Invĩ.
li)
úi)
hình

Nếu

Inuf*=

Nếu
hay

phản

Inv(ĩ)
chiếu

có

số
tùy

điềm

chiều
theo

bàng
n-q

bát
q

Là chẵn

dòng
thi.

duy
f

hay

là

nhát.
phé p

dài

lẻ.
97


Chứng
sao
=

cho

minh.
f(I) =

ĩnvf.

Khi

VM

G

li)

Invf
=

Invf

Giả

đàng

cự

điếm

bát

Gọi a

«

f(M)

IM »
=

sử

f:

ì.

E

ĩ n v i ĩ ĩ nếu
thì

đối

i

với

—» E

n

n

cùa

=

múc

tiêu

các

phảng

qua

e

«=» I f ( M ) =

InvõT

mục

chứng

ffuT

=

giải

0,

trực

có

điếm

ì

và

có

ì

£

E

s

=

IM

biến

đổi

a

sao

trực

chuẩn

tọa

phương
I )x

=

n

det(A

trực

I )
n

cho

=

I )
nên

ma

Ax

ma

trận

0.

Thật

&

õ* N ế u

*

n

giao,

đó,
+

b.

Tìm

b.
-

-

=

X

trinh

Idf7n)('ũĩ

det(A

độ:

nào

Inviff

u

G

=

{õT

được

một

0.
chế

có

trận

vậv.

của

f

tìm
đức

của

0

có

dang:
ì

'

Ì
- Ì

COSI^Ị
SÌTVp

—

ị

sintpị
cosip

Ị

cos
Khi

Nếu
98

đo

n

ã*

phương

I M ca, f ( I ) f ( M )

M

thức

('ĩ*-

tức

đổi

chuẩn

-

minh

ũ*hay

*

tiêu

biểu

f là

f là-biến

iii ) Vỉ

thi

M

i

có

cán

IdT^n)

detif-

0

a,

động

chi

7t

là

(A
Ta

Inv(f)

đó

<=o f f t M )
Vậy

Nếu

i)

đét

n-q

là

A

=

chần

(-)n-q-2k
thì

detA

(-i)n-q

=

=

1.

suy

Từ
ra

đó
í

là

suy
phép

-^íin<£> ì
k

ra:
dời.


Nếu

n - q l à l ẻ t h ì detA

=

- Ì , suy r a

f là phép

phản

cự f: E
—» E" của không
cách duy nhát
dưới
dạng:

eian

chiếu.
n

Định lí: Mọi phép
đẵng
OcLit E" luôn
viết dược một
ĩ

biến
theo

Trong
dó g là phép
còn tụ* là phép
tịnh
tiến
Ngoài

r a tụ3g

Chứng

minh:

=

nên

đổi đảng
cự co điềm
bất
uecta

v*mà
fTvT = V *

T a đ ặ t ã* =

với m ọ i x*e

/ i ta

có

n

Inv(f)

b ù trực

= ã * © /3.

f(x) G

ỊTvà

suy b i ế n ,

xạ đó là k h ô n g

do

đó

vì d ể t h á y

Ker(f*-Icij?) I
Điểu

đó có nghía

có v e c t ơ
Bây

là

f(xT -

x * £ (ổf

giờ h ã v l ấ v rnột

Ta phân
trên

tích
đã

lấv đ i ể m

PP' -

n ó i , có

X

điểm

rằng

= {Ôi

v ớ i b ấ t k i vectơ

X G Ịi sao cho f ( x ) -

Như

Ta

v à Ịi là p h á n

có á n h x ạ

Anh

ft pÌ

dộng,

gotụ?

giao c ủ a a*, t ứ c 0 * 1 (3 v à E

Vì

tợ>g

=

-7* G

j

luôn

= V.

tùy ý p

6

E

n

'."à g ọ i P' =

v~* + w! t r o n g đ ó r * E '37* và
vectơ

luôn

X* e

ọ

sao

cho

ftxT -

Q sao cho PQ = X v à g ọ i Q' :=

f(Q).

vv E ỊT
x*=-cũ*

Khi đó
QQ'

Bây
En

và

Khi

=

QP

=

V

+

+
w

PP'
—

giờ n ế u x é t g
g(Q)

-

đó f =

+
w

P"Q'
=

=

(t^-i.,f(Q)

=

PP'

-

X* + fTxT

V,
-

(tụ) 'of
=

tụ*o g l à c á c h

l

t h i g là p h é p

( t ộ - (Q')

viết

=

đàng

cự của

Q

cấn tim.
99


Ta

nhận

thấy

1

goítụỷng

và n ó b i ế n Q t h à n h

I dpi)

gntụsg-'

Bây

g i ờ g i ả sư

ta

là

Q'

=

fcjrhay

=

bất

i:hú ý rằng

t^og

động

ỉnvigi.

của

Chú
trực

=

=

=

f(P)

ự*=

PQ

ý ràng

giao của

=

v* =

§18.

1. P h é p

cho

dường

dối

xứng

không

phép

đói

1

Invig ")

đó

V * , hay
=

PHÂN

^

g

E

đối

với

và

phép

tịnh

tiến

V* e

ã*

Tích

của
xứng

trưat.

Hiến

nhiên

đối

xứng

ưươt

là

'vi

lích

phép

biến

đổi

hai

phép

của

CUI. N g o à i

ra:

tụ* =

+
PQ

QQ'

Ì điếm

p

của
=

PQ +

p

v\

cự

QT'

+ Q'P'

t— v à do

TRONG

E

đảng

cự

thuộc
đó

2

biến đối

XI

a

Ví'

lên
thì:

2

ơclit

dối

100

=

cho

và

LOẠI

gọi là phèo

đảng

v u ô n g góc

động

g'-

tụog,

là

bất

= "Inv<,ff! L ấ y

chiếu

chung

phép

có đ i ế m

cự

trượt.

gian

xứng

;háng a

trr . t r o n g

đẳng

BIẾN ĐỔI ĐẲNG

PHÉP

=

ng'

V* V* E ã* = Inv(Õ* c ò n

g

Trong

tụi

+ QQ' + Q T '

cụ su V ra

1

g.itựíg

tích

là đ i ế m sao

và Q'

(.vị

tựtg.

phân

g và g ọ i Q là h ì n h

Gói P'
PP'

InvigT

tiiVn

gnt— =

cách

t r o n g đó g, g' là n h ữ n g p h é p
V * G InvtgT,
G Invíg*).
Ta

tịnh

nên

có hai
f

phép

.VI'

bù


f
Ta

chú

phép đổi
2 dối

Định

thì

Nếu
là

phải

thẳng

a.

lý.

2

là

một

Invf

Invĩ^cd

Nếu

Phép

Tích

của

xứng

phép
trưat

là

đều

phản chiếu

trong

phép

thi

số

cách

phân

tích
nằm

cự

mà

điểm

bất

động

g là p h é p

đôi

xứng

qua

a.

phép

dời

sử

Khi

đó

E

hoặc

là

một

một

phép

phép

quay.

f:

phải

2

cùa

E

2

• —» E

2

là

b ằ n g 2 hoặc bằne 0. Ta

= t

7

dời,

khi

có

., g

chiêu

bằng

2

có

số

chiều

bằng

0,thi

V =

0.

Suy

ra

§19.

PHÂN

Invf

Ì -

và

nên

E

xúng).

phép

số

PHÉP

a

một

l à

thì

g

=

Id|._\

Vậy

f

là

tiến.

nhất ì và

duy

trượt

1

cùa
dối

là

Ì,

phép

Giả

của

phép tịnh
-

2

đảng

f
Nếu

là phép

bằng

Vậy

chiếu

—» E

phép

Mọi

minh.

đ ó số c h i ề u

mót

xứng

đ ố i

trượt.

hoặc

Chứng

-

p h é p

phản

biêt

f: E

g

Định

tiến,

tinh

dặc

phải

f là đôi x ứ n g
-

= . gofer

of

=

phép

Imv(f)

đường

3

V *

Mọi

(hoặc

minh:

của

trên

lý:

trượt

Chứng
f = tụng,

k h i

t^ag

xứng.

xúng

chiếu

ràng

ý

=

BIẾN

một
tịnh

của

phép
tiến

một

có

điểm

bất

đông

p h é p quay q u a n h

ì.

LOAI

ĐỐI OANG

xứng

đôi

í là

g

cự

TRONG

E

3

trượt.

đối xứng
với

g: E

V G

3

-» E

a* được

;

qua
gọi

mặt

là phép

phảng
dối

E-*.

loi


Hiển
và

nhiên

phép

phép
=

đối

một

tụ*.. g

xứng

phép

thành

=

chiếu.

phàn

0.

f

trượt
Đặc

đồi

gutụĩ

là

một

biêt

xứng

khi

V

trờ

qua

mật

phảng.

M

2
Phép
đường thảng.
Từ
suv

M

V

trượt

đối xứng

phép

=

tinh

quay

chất

của

hai

phép

quanh

phép

quay

quanh

một

(n-2)-phảng

mác

phảng

ta

ra:

Tích

nhau

của

cheo đ ư ờ n g

đối xứng

thảng

d

qua

là phép

hai
quay

quanh

a.

Ịi

dưỡng

cát

thảng

á.
Gói
n

/')

Níu

g và

=

di
dối

Xêu
mót

và

phép

cùa

Quay

9/1x7; dõi

là

đối xứng

g',g.

Rõ

trực

dường

mật

phàng

của

qua

ràng

giao

qua

cự

phép

Phép
Tích

a

xưng

đằng

'.nót

phép

f" =

gọi "

phép

!'! " là

là

phang

mat

lá oiw.p

g'

với

mặt

Inv(f)
mặt

thảng

=

phảng

phảng
d

và

ịì

thị

Invf

{a

=

d.

f còn

gọi

d.

vuông"gdc

•/ có

điểm

bất

quay q u a n h

điếm

ĩ.

với
ĩ

đông

nhát

duy

một

q

phép

đối xứng

quanh' đường

thảng

g qua
d

mát

thì

vuông

phảng
góc

quav.

f|..

là

ì

nên


một

quay

iỊiiunh

với

<-••.

gọi

.

Pháp

ỉ 02

v à ịi

dối xứng quay

xứng

/'/if/I

a

clirờm;

ti

li ri ì

vifnv

quay

là