Giao trinh hinh hoc so cap phan 1

AO T A M

Giáo trình

HÌNH HOC Sơ CÁP

NHÀ XU T B N

I H C su PH M



PGS.TS

À O TAM

Giáo trình
HÌNH H

C Sơ C P

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI H Ọ C sư PHẠM


Mã s :01.02.253/411

H - 2005


M cL C
Lòi nói

u
Ph n t h nh t: Các h tiên
thông và th c hành ng d ng

Trang
5
ề xây d ng hình h c ph
7

Chương ì: Các h tiên ê xây d ng hình h c trư ng phô thông

7

§1. M t sô yêu c u cơ b n c a vi c xây d ng hình h c
b ng phương pháp tiên ề
§2.
§3.
§4.
§5.
§6.
Hư

H
H
H
M
H
ng

tiên ề Hinbe c a hình h c ơclit

tiên ề Pogorelov c a hình h c ơclit
tiên ề Waylơ c a hình h c ơclit
i quan h gia các h tiên ề
tiên ề xây d ng hình h c ph thông Vi t Nam
d n h c chương ì

Chương l i : S liên thu c gia các hình quan h
song, quan h vuông góc

song
4Q

§1. Các bài toán về s liên thu c gia các hình
§2. Quan h song song, phép chiêu song song
§3. Quan h vuông góc
§4. Seminar về ch
ề: Các bài toán aphin và x
v n d ng vào gi i bài toán hình h c sơ c p
Hư ng d n h c chương li

8
24
27
31
32
39

41
56
65

nh
70
80

3


P h n th

hai: H ì n h

Chương I U : Hình
§ 1 . Góc n h
§ 2 . Góc

a d i n , h ì n h l i. B i ế n h ì n h . D n g h ì n h
a di n và hình l i

81

d i n v à góc t a m d i n

81

a di n

§3. Hình

88

a di n

90

§4. H ì n h l i
Hư ng

d n

95

h c chương

IU

102

C h ư ơ n g IV: Các p h é p b i ế n h ì n h

108

§ Ì. Phép d i hình

108

§2. P h é p

142

ng d n g

§ 3 . Seminar: Tích các p h é p b i ế n h ì n h

154

Hư ng

157

d n

h c chương

TV

C h ư ơ n g V: D ng h ì n h
§1. Các tiên

165

c a h ì nh h c d ng hình

165

§ 2 . C á c p h é p d n g cơ b n

166

§ 3 . C á c n i d u n g cơ b n c a lí t h u y ế t d n g

168

§4. D ng h ì n h b n g p h ư ơ n g p h á p qu

177

§5. D ng hình b ng p h ư ơ n g p h á p
Hư ng

d n

Tài li u tham

4

81

h c chương
kh o

V

t í c h t ư ơ n g giao
i s

181
187
191

M J 'MÓI
Giáo t r ì n h h ì n h h c sơ c p, chi t i ế t hơn là các cơ s lý t h u y ê t
và th c h à n h h ì n h h c ph t h ô n g ư c biên so n d à n h cho sinh
viên khoa Toán T r ư ò n g
i h c s ư ph m.
M c

ích c a giao trình

nh m:

Trang b cho sinh viên các cơ s xây d ng h ì n h h c. V I m c
ích n à y c h ú n g tôi t r ì n h bày m t s tiên ề c a hình h c ơclit
và h tiên
xây d ng h ì n h h c phô thông. Thông qua phương
p h á p tiên
ê sinh viên n m
ư c các phương p h á p suy di n
ch ng minh trong h ì n h h c.
Cung c p cho sinh viên các phương p h áp khác nhau gi i
toán hình h c: p h ư ơ n g p h á p t ng h p, phương p h á p véctơ, s
d ng các phé p biên h ì n h
gi i toán.
Ngoài các cơ s lý t h u y ế t nh m giúp sinh viên nhìn nh n
các v n ề c a h ì n h h c phô thông, các tuyến kiên th c cơ b n
c a h ì n h h c phô t h ô n g sâu s c hơn, tông q u á t hơn, c h ú n g tôi
còn chú tr ng khai t h á c các con ư ng
nh hư ng gi i toán nhò
khai t h á c các b t biên các n h x trong hình h c.

Trong giáo t r ì n h này, m t s cơ s c a hình h c gi i tích
ư c v n d ng t h ò n g qua th c h à n h gi i toán và t r ì n h bày m t
sô vân ề lý t h u y ế t khác.

5


Giáo t r ì n h ư c chia làm hai ph n bao g m năm chương,
m t s chư ng có hư ng d n giúp cho h c sinh t h c, t nghiên
c u t t hơn và kèm theo m t s seminar d à n h cho sinh viên.
P h n ì: C á c h t i ê n
và th c h à n h
Ph n l i : Hình

xây d ng h ì n h h c p h ô t h ô n g
ng d ng.

a di n, hình l i, biên hình, d ng hình.

ê n â n g cao tay nghề sư ph m cho sinh viên, chún g tôi cho
r ng c n th c hi n giáo trình này k ế t n i v i các giáo trình
phương p h á p d y h c
i cương,
c bi t là phương p h á p d y
h c hình h c.

6


PH N TH

CÁC H
HÌNH H C PH

TIÊN

NH T
XÂY D

NG

THÔNG VÀ TH C HÀNH

NG D NG

CHƯƠNG ì

CÁC H

TIÊN

Ề XÂY D ÍNG HÌNH H C
PH THÔNG

TRƯ NG

§ 1 . M t sô y ê u c u cơ b n c a v i c x â y d n g h ì n h h c
b ng phương p h á p tiên ề
K h i xây d ng m t s lý thuyết hình h c ngư i ta c n ph i có
các khái ni m cơ b n (là nh ng k h á i n i m
u tiên k h ô n g

nh
nghĩa), và các tiên ề (là nh ng m nh ề xu t phát , ư c th a
nh n là úng). Tuy nhiên h th ng các tiên ê c n ph i ư c
m b o các iều k i n sau:
a.
iều ki n phi mâu thu n:
iêu k i n này có nghĩa là
nh ng iều nói trong các tiên
và nh ng k ế t qu suy ra t
c h ú n g k h ô n g có hai cái nào t r á i ngư c nhau.
b. iều ki n
c l p: m i tiên ê c a h p h i
c l p ( iv i
các tiên dề khác), nghĩa là không thê suy ra ư c nó t các tiên
ề còn l i .
c. iều ki n
y
b ng suy di n lôgíc.

: h

tiên

ề ph i

ê xây d ng môn h c

Trong hình h c, ng v i. m i h tiên
l i có m t k h ô n g
gian hình h c t r u tư ng, s dĩ g i là "tr u tư ng" vì các k h á i

7


ni m cơ b n trong h tiên ề k h ô n g ư c
nh nghĩa, do ó m i
t h u t ng ch m t khái ni m c b n, ta có thê hiếu là cái gì cũng
ư c mi n là h tiên ề ư c nghi m úng. M t t p h p nh ng
cái c t h ê như v y ư c g i là m t t h hi n ho c m t mô hình
c a h tiên ề y. n g v i m t tiên ê có th có n h i ề u mô hình
khác nhau.
§2. Hê t i ê n
A. Hè t i ê n

ề Hinbe c a h ì n h h c ơ c l í t
Hinbe trong khoa h c h ì n h h c

N h à toán h c Hinbe (ngư i
c, 1862 - 1943) l n
u tiên
công bô hình h c tiên ê (năm 1899) sau k h i phát hi n ra hình
h c phi Oclít Công trình này ư c gi i thư ng Lôbasepski năm
1930. Sau
ó, phương p h á p tiên ề th nh h à n h và xu t hi n
nhiều h tiên
khác. Nhiều công t r ì n h nghiên c u tiếp t c về
cơ s hình h c cũng ã b sung, t o ra nhiều h tiên ề tương
ương v i h tiên ề Hinbe.
ơ

ây, ta t r ì n h bày h tiên ề Hinbe có s a
i c h ú t ít. H
tiên ề Hinbe g m 20 tiên ê v i 6 k h á i ni m cơ b n.
S á u k h á i n i m cơ b n g m:
" i m", " ư ng th ng", "m t phang" (g i chung là các "
tư ng cơ b n").

i

'Thu c", " gi a ", "b ng" (g i chung là các "tương quan cơ b n").
Các t i ê n

c a Hinbe c h i a l à m n ă m n h ó m :

Nhóm ì ch a tám tiên

về "liên thu c".

Nhóm li ch a b n tiên

ê về "th

Nhóm IU ch a năm tiên
Nhóm IV ch
8

hai tiên

t ".

ề về "bang nhau".

ề về liên t c.


N h ó m V ch a m t tiên

v ề song song.

2.1. N h ó m ì - C á c t i ê n

về liên thu c

T ư ơ n g q u a n cơ b n t r o n g n h ó m n à y là t ư ơ n g q u a n "thu c",
có k h i g i là

i

qua.

C á c tiên

t r o n g n h ó m n à y là:

ì ] . Vói h a i

i m b t kỳ t n t i

I . V i hai
2

L. M

i

ư ng th ng

i m p h â n b i t có k h ô n g q u á m t

ư n g t h n g có í t n h t h a i

k h ô n g c ù n g thu c m t
l . Cho b t c

ba

phang a thu c m i
Ly Cho b t c
t h n g , k h ô n g bao
I . N ê u hai
6

i

ư ng t h n g

i qua.

i m . Có ít n h t ba

i m

ư ng th ng.
i m A, B, c n à o , bao gi

i m

ba

i qua.

cũng có m t m t

ó. M i m t phang thu c ít n h t m t

i m.

i m A, B, c n à o k h ô n g c ù n g thu c m t
có q u á m t m t phang thu c m i

i m A, B c ù n g thu c m t

th i c ù n g thu c m t m t phang a thì m i

i m

ư ng
ó.

ư n g t h n g a,

ng

iếm n à o k h á c thu c

ư n g t h n g a c ũ n g sẽ t h u c m t p h a n g a.
[7. N ê u h a i m t p h a n g c ù n g t h u c m t
c ù n g t h u c ít n h t m t
Ig. Có ít n h t b n
Sau

i m th

i ế m A t h ì c h ú n g sẽ

h a i B.

i m k h ô n g c ù n g thu c m t m t phang.

â y c h ú n g t a sẽ n ê u r a m t sô c á c

n h nghĩa v à

n h lý

có l i ê n q u a n t i " n h ó m ì ".
n h n g h ĩ a 1: N ê u m i
m t p h a n g a t h ì ta n ó i r n g
ho c m t p h a n g a thu c
C h ú ý: C h

gi a

i m c a

ư ng th ng a

ư n g t h n g a thu c

ề u thu c

m t p h a n g ơ.

ư n g t h n g ã.

có t ư ơ n g q u a n t h u c gi a

i m vói

ư ng th ng,

i m v i m t p h a n g là t ư ơ n g quan cơ b n (còn c á c t ư ơ n g

quan khá c

ều

ư c

n h nghĩa).

9


Các
i m

n h lý:

n h lý 1: Hai
chung.

ư ng th ng ph n

bi t có nhiều nh t là m t

Ch ng minh : Nêu hai ư ng t h n g p h â n bi t có hai iếm
chung t h ì theo tiên ề 2 c h ú n g p h i t r ù n g nhau nghĩa là chúng
k h ô n g p h i là hai ư ng t h n g p h â n bi t n a và iều này trái
v i gi t h i ế t .
n h lý 2: M t m t phang và m t ư ng th ng không
m t phang
ó có nhiều nh t là m t i m
chung.

thu c

Ch ng minh: Nêu ư ng t h n g và m t p h ă n g có hai i m
chung thì theo tiên
6, ư ng t h n g ó sẽ thu c m t phang.
iều n à y t r á i v i gi t h i ế t và do ó c h ú n g có nhiều nh t là m t

i m chung.
n h lý 3: Nếu hai m t phang phân bi t có m t
thì chúng có m t ư ng th ng chung ch a t t c các
c a hai m t
phăng.

i m
iếm

chung
chung

n h nghĩa 2:
- H a i ư ng t h n g g i là c t nhau n ế u hai ư ng th ng ch
có m t iếm chung, và i m chung ó g i là giao i m c a hai
ư ng t h n g ã cho.
ư ng t h n g và m t phang g i là c t nhau nêu
t h n g và m t phang ch có m t iếm chung. iếm chung
là giao i m c a ư ng t h n g và m t phang ã cho.

ư ng
ó g i

- Hai m t phang g i là c t nhau nêu hai m t phang ch có
m t ư ng t h n g chung và dư ng t h n g chung ó g i là giao
tuyến c a hai m t phang cho trư c.

10

n h lý 4:
Qua m t
ư ng th ng và m t
th ng
ó ho c qua hai ư ng thăng
m t m t phăng và ch m t mà thôi.

i m không thu c
ư ng
cát nhau bao gi c ng có

nh lý 5:
M i m t phăng

ch a ít nh t ba

2.2. N h ó m l i - C á c t i ê n
ơ

i m không th ng

ề về t h

hàng.

t

ây có t h ê m tương; quan cơ b n " i gi a".

l i , . Nếu i m B

gi a i m A và i m c thì A, B, c là ba
i m k h á c nhau c ù n g thu c m t ư ng t h n g và iếm B cũng
gi a c và A.
11 . Cho b t c hai i m A, c n à o bao gi cũng có ít n h t
m t i m B t r ê n ư ng t h n g AC sao cho c
gi a A và B.
2

11 . Trong b t c ba i m nào c ù n g thu c m t ư ng t h n g
k h ô n g bao gi có q u á m t iếm
gi a hai iếm kia.
3

n h nghĩa 3: M t c p i m A và B g i là m t
Ký hi u AB hay BA. Các i m
gi a A và B g i
trong c a AB hay thu c o n AB. Hai iếm A, B g
mút c a o n th ng ó. T t c các iếm còn l i c a
A B mà k h ô n g thu c o n A B và hai
u mút ư
i m ngoài c a o n A B .
li,. Tiên

o n
th ng.
là các
i m
i là hai
u
ương t h n g

c g i là các

ề Pát.

Cho ba i m A, B, c k h ô n g c ù n g thu c m t ư ng t h n g và
m t ư ng t h n g a thu c m t ph ng (ABC) n h ư n g k h ô n g thu c
b t c
i m nào trong ba i m A, B, c c . N ế u ư ng t h n g a có
m t iếm chung V I o n A B thì nó còn có m t diêm chung n a
ho c v i o n AC ho c v i o n BC.
l i


C h ú ý:
a) Tiên
l i , cho biết tương quan " gi a" ch
t ra ôi v i
ba i m khác nhau th ng h à n g và tương quan này không ph
thu c vào t h t c a hai
u mút.
b) Tiên ề l i . , cho biết bao gi cũng có m t i m B
ngoài
o n AC, nghĩa là m i o n th ng có ít ra là m t iếm
ngoài.
Do tiên ề này ta biêt thêm m i ư ng t h n g có ít ra là ba iếm.
c) Tiên ề li.) cho biết r ng trong ba i m t h n g hàng thì có
nhiều nh t là m t iếm gi a hai i m kia.
Các

i n h lý:

i n h lý 6: Bát kỳ m t
ít nh t m t

i m

o n th ng AB nào, bao gi

gi a hai

i m A và B

c ng có

ó.

Ch ng minh:
Theo tiên ê L CÓ m
Theo tiên ề H trên ư
gi a A và E. Cũng theo
i m F sao cho B gi a

t i m D không thu c ư ng th ng A B .
ng th ng AD có m t i m E sao cho D
tiên
IIv trên ư ng thang EB có m t
E và F.

Theo tiên
l i , (tiên ề Pát)

i v i ba
i m A, B, E không
th ng hàng, ư ng th ng FD có
iếm chung vói o n AE t i D
nên nó ph i có i m chung v i
o n AB ho c v i o n EB. Nêu
ư ng th ng FD có i m chung
v i
o n EB thì
ư ng th ng
FD và
ư ng th ng EF ph i
t r ù n g nhau theo tiên
i m khác nhau.
12

ê I và
2

ó là

iều vô lý. vì D và E là hai


V y ư ng t h n g FD ph i có m t iếm chung c v i o n
AB. Ta nói r n g FD c t A B t i c và như v y c
gi a A và B.
n h lý 7: Trong bát c ba i m A, B, c nào trên
ư ng th ng bao gi c ng có m t i m
gi a hai i m kia.

H

qu : V i các tiên

ề li2, II kết h p v i
3

m t

nh lý 6 và 7 ta có:

à). V i bát c
o n thăng AC nào bao gi trên ư ng
AC ta cũng có nh ng
iếm
trong và ngoài o n AC.

thăng

b). V i ba i m trên m t ư ng thăng
vá chì m t (tiêm ơgi a hai iếm kia.

bao gi

c ng có m t

n h lý 8: Nếu
thì các diêm B và c

iếm c

gi a B và D

thì

iếm B gi a A và c,
ều
gi a A và D.

n h lý 9: Nếu i m c
i m B gi a A và D và

gi a A và D, iếm B
iếm c gi a B và D.

gi a A và c

n h lý 10: Nếu B là m t iếm c a o n AC thi o n AB và
o n BC ều thu c
o n AC, nghĩa là môi i m c a o n AB
ho c c a o n BC ều thu c o n AC.
n h lý l i : Nếu B là m t i m c a o n AC thì môi
i m
c a o n AC khác v i B ph i thu c ho c là o n AB ho c là
o n Be.
n h lý 12: Nếu môi iếm B và c ều
i m c a o n BC ều thu c o n AO.
n h lý 13: Môi

ư ng thăng có vô sô

gi a A và D thi m i
iếm.

ĩ n h nghĩa 4: Cho ba i m 0, A, B cùng thu c m t ư ng
th ng. N ế u i m 0 k h ô n g gi a A và B thì ta nói r ng A và B
cùng phía
i v i 0. Nêu i m 0
gi a A và B thì ta nói r ng A
và. tí khác phía dôi v i 0 .

13


n h lý 14: M t iếm o c a ư ng th ng a chia tát c các
iếm còn l i c a ư ng thang
ó ra làm hai l p không rông sao
cho b t c hai diêm nào thu c cùng m t l p thì
cùng phía
ôi
v i o và bât c hai iếm nào khác l p thì
khác phía
ôi v i o.
r

n h nghĩa 5: M t i m 0 t r ê n ư ng thang a chia t p h p
các i m t r ê n ư ng t h n g n à y ra l à m hai l p (theo nh lý 14).
M i l p là m t n a ư ng th ng hay m t tia nh n o làm g c.
H a i n a ư ng t h n g hay hai tia g i là bù nhau nêu chúng có
chung g c và t o n ê n m t ư ng th ng.

n h nghĩa 6: T r ê n m t tia g c o,
i m B nê u A thu c o n OB.

i m A g i là

i trư c

n h nghĩa 7: Cho ba i m A. B, c k h ô n g cùng thu c
ương th ng. K h i ó ba o n t h n g AB, BC, CA t o nên
h ì n h g i là m t tam giác. Các iếm A, B, c g i là các nh
các o n A B , BC, CA g i là các c nh c a tam giác. Trong
tam giác, m t
nh và m t c nh k h ô n g thu c nhau g i là
nh và m t c nh ôi di n.
nh
các i m
i m , B
m t i m
cùng m t

m t
m t
và
m t
m t

lý 15: M i ư ng th ng a c a m t phang a chia t t c
không thu c a c a a ra hai l p không rông sao cho hai
b t kỳ thu c hai l p khác nhau nêu o n AB ch a
c a ư ng th ng a, còn hai i m A, A' b t kỳ thu c

l p nêu o n AA' không ch a iếm nào c a a c .

n h n g h ĩ a 8: M i l p c a m t phang a trong
nh lý 15 là
m t n a m t ph ng có ư ng biên là ư ng t h n g a. Hai i m
M j và M., thu c c ù n g m t n a m t phang g i là cùng phía
i
v i ư ng t h n g a. Hai i m M , N thu c hai n a m t ph ng
k h á c nhau g i là khác phía
ôi v i a.

14


n h nghĩa 9: M t c p tia h, k có c ù n g g c o g i là m ó t góc
và ư c ký hi u là (h,k).
i m 0 g i là ính và các tia h, k g i là c nh c a góc. N ế u
A, B là hai i m l n lư t l y t r ê n tia h, k thì ta có t h ê d ù n g ký
hi u góc AOB thay cho góc (h,k).
n h lý 16: Nếu A, B là hai i m năm trên hai c nh h, k
c a m t góc th m i tia xu t phát t g c o và thu c miền trong
c a góc ều c t o n AB. Ngư c l i, m i tia nôi
nh c a góc v i
m i i m b t kỳ cúc o n AB ều thu t miền ti'Oiig c a góc.
2.3. N h ó m ni - C á c t i ê n ề b ng n h a u
Tương quan cơ b n trong n h ó m n à y là tươn g quan "b ng"
c a m t o n thang v i m t o n t h n g k h á c và c a m t góc v i
m t góc khác.
Các t i ê n

:

H I , . Nêu cho m t o n t h n g A B t h ì t r ê n m t n a
ư ng
t h n g có g c A' bao gi cũng có m t i ế m B' sao cho o n t h n g
A'B' b ng o n t h n g A B và ư c ký h i u là A ' B ' = A B .
ôi v i m i

o n t h n g A B ta

u có A B = BA.

IU.,. N ế u A'B' = A B và A " B ' = A B thì A'B' • A"B".
H I ) . Cho ba i m A, B, c t h n g h à n g v i B
gi a A và
c và ba
i m A', B', c t h n g h à n g v i B'
gi a A' và
c.
N ế u AB
A ' B \ BC = B ' C t h ì AC = A ' C .

3

I I I . Cho m t góc (h,k) và m t n a m t phang xác
nh b i
ư ng th ng ch a tia h'. K h i ó trong n a m t phang nói t r ê n
bao gi cũng có m t và ch m t tia k' c ù n g g c v i t i h' sao cho
4

góc (h',k') b ng góc (h,k) và ư c kí hi u là (h'.k') (h,k).
m i góc (h,k) ta ều có (h,k) = (h,k) và (h,k) = (k,h).

i v i

15


I I I . Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C. Nêu AB a A'B\
AC • AT', và BÁC EE BVYC" thì bao giò ta cũng có ABC = A'B'C'
và ACB = A'C'B.
Các
nh lí:
nh lí 17:
lì. Nêu AB = A'5' f/ù AB = B'A\
2) . M i o n th ng AB
ều băng chính nó, nghĩa là
AB = .AB (ph n x ).
3) . Nếu AB — A'B' thì A'B' = AB ( i x ng).
4) . Nêu AB = A'S' và A'B' = A"B" thì AB = A"B" rò c c u;.
Ch ng minh:
1) . Theo gi thiết, AB = A B'. Theo tiên ề IU,, ta có B'A' = A'B'.
Do ó, theo tiên ề I I I , ta có AB = B'A'.
2) . Theo tiên
I U , , ta có AB = BA và áp dung ph n Ì nh
lý 17 ta có: AB s AB.
3) . Theo ph n 2 c a
nh lý 17 ta có A'B' = A'B' và theo gi
thiết ta có AB = A'B'. Do áp d ng tiên ề IIIv ta có A'B' = AB.
4) . Theo gi thiết A'B' = A"B" và theo ph n 3 c a

nh lí 17
ta có A"B" = A'B'. M t khác theo gi thiết ta có AB = A'B' và áp
d ng tiên ề IU., ta suy ra AB = A"B".
nh lí 18: Nếu cho m t o n thăng AB thi trên n a ư ng
th ng góc A' có duy nhát m t iếm B' sao cho A'B' = AB.
nh nghĩa 10: Tam giác ABC g i là b ng tam giác A'B'C
nếu AB = A'B', AC = A'C, BC = B'C và Â = Â', s B ' . C s C . Ta
kí hi u AABC = AA'B'C.
nh lý 19: Nếu hai tam giác ABC và AB'Ơ có AB = AB\
AC = AC và A = A' thì tam giác ABC b ng tam giác A'B'C.
5

16


(Ta thư ng kí h i u trư ng h p này là (c.g.c)).
n h lý 20: Nếu hai tam giác ABC

và ARC

A = A ' , B = tí thì tam giác ABC b ng tam giác

có AB = A'B',
A'B'C.

(Ta thư ng kí h i u trư ng h p này là (g.c.g)).
n h lý 21: Nếu tam giác ABC có AC = CB thi CAB = CBA
và CBA = CAB.
n h n g h ĩ a l i : Tam giác ABC có AC = CB g i là tam giác
cân tai c và theo

nh l i 21 trong tam giác n à y ta có hai góc B và
A b ng nhau. B và A g i là hai góc áy c a tam giai. cân ABC.
n h lý 22: Cho hai b ba tia (h,k,l) và (h\k\V), m i b
n m
trong m t m t phang và xu t phát t hai i m o và 0\ Nếu s
s p th
t c a các tia trong hai b giông nhau (chăng h n
thu c miền trong c a góc (h,k) và ' thu c miền trong c a góc
(h'.k'j, thì nếu (h,l) = (h',ư), (l,k) = d',k') ta suy ra (h,k) = (h',k').
n h lí 23: Nếu hai tam giác ABC và A'B'C có AB = A'B',
AC = AC, BC = B'ơ thì tam giác ABC b ng tam giác
A'B'C.
(Trư ng h p n à y ta thư ng kí h i u là (c.c.c)).
n h lí 24: Nếu

= (h",k")

thì

a) Hai góc có chung
nh và m t c nh, còn các c nh t h
là hai tia bù nhau g i là hai góc bù nhau.

hai

(K~K) =

ta có (h,k)

= (h',k'),

(h,k)

(h",k").

n h n g h ĩ a 12:

b) Hai góc có chung
nh còn các c nh c a c h ú n g là các tia
bù nhau g i là hai góc
i
nh.
c) M t góc b ng góc bù c a nó g i là góc
i n h lí 25: Nếu hai góc mà băng nhau
chúng c ng b ng nhau.

vuông.
thì các góc bù c a

17


n h lí 26: Hai góc
D i n h l i 27: T t c
i n h lí 28: M t
thành hai o n bang

ôi

nh b ng

các góc vuông
o n thang
nhau.

nhau.
ều băng

có m t

iếm

nhau.
duy nhát

chia nó

n h n g h ĩ a 13: Cho hai o n th ng AB và A'B'. Nêu trên
o n AI? ta có m t iếm c sao cho AC = A'B' thì ta nói r ng
o n AB l n hơn o n A'B' hay o n A'B' bé hơn o n AB.
Ta kí hi u AB > A'B' hay A'B' < AB.
i n h n g h ĩ a 14: Cho hai góc (h.k) và (h',k'). Nêu xu t phát
t góc 0 c a góc (h,k) ta có m t tia / n m trong góc ó sao cho
(hjl) = (h',k') thì nói r ng góc (h.k) l n hơn góc (h'.k') hay góc
(h',k') bé hơn góc (h,k). Kí hi u là (h,k) > (h'.k') hay fh'.k") < (h,k).
i n h lí 29: Góc ngoài c a m t tam giác
trong không k v i nó.

l n hơn mói góc

n h lý 30: Trong m t tam giác,
i di n v i c nh l n hơn có
góc l n hơn và ngư c l i ôi di n v i góc l n hơn có c nh l n hơn.
n h n g h ĩ a 15: Cho hai t p h p T và T . Nếu gi a các i m
c a hai t p h p ó có m t liên h Ì - Ì (song ánh) sao cho v i b t
c hai i m A, B nào c a T và hai i m tương ng A", B' c a T
ta cũng có AB = A'B', thì ta nói r ng có m t phép d i hình í biên
T t h à n h T (và phép d i h ì n h
o ngư c f
biên T t h à n h T).
2.4. N h ó m I V - T i ê n
1. T i ê n

liên t c

D ơ d ơ k i n hay t i ê n

rv

Nêu t t c các iếm c a m t
hai l p không r ng sao cho:

ư ng t h n g

- M i
mà thôi.

ều thu c m t l p và ch

18

i m c a

ư ng th ng

ư c chia t h à n h
m t


- M i
th

iếm c a l p th

nh t

êu

i trư c m i

iếm c a l p

hai.
Khi

ó có m t

i ế m l u ô n luôn

hai l p. Có t h ê coi

ho c là

i m

i ế m n à y là

g i a hai

iếm cu i c ù n g c a l p t h

u tiên c a l p th

ơ ơkin

2. C á c

i ế m p h â n chia t p h p c á c

ư n g t h n g t h à n h hai l p t r o n g t i ê n

là m t lát c t

c a

nh t

hai.

n h n g h ĩ a 16: N g ư i ta g i
i m trên m t

i ế m b t kỳ thu c

ê

ơ ơkin

ư ng thang.

n h lý:

D i n h l ý 31: Nêu
m t lát c t

ơ ơkin

t p

h p các

thì

iếm

i m

trên

ó là duy

m t

ư ng

th ng

LÓ

nh t.

Ch ng minh:
Gi

s

trên

hai l á t c t
th

c,

ư ng

và C

l y m t

. Khi

2

i m

C , ( V Theo t i ê n

t h a n g có

p

ó ta có

thu c

ề

C

|

p

ơ ơkin

i m p ch

có t h ê thu c m t v à ch
và C

gi a d

nh t

thu c l p t h

nên

p v a thu c l p t h

hai.

i ê u n à y trái v i gi

i n h l ý 32: Trên
dãy

vô

h n

-M i

các

o n

o n

sau

- Cho trư c
nhiên
m t

m t
ều

b t c

n

cho

o n

i m

c duy

nh t

ư ng

tháng

, A B ...

trong

o n

th ng

n

thu c

D i n h l ý 33: ( T i ê n

AB

c a dãy

2

a b t
N

o n

kỳ nêu
sao

N

trư c
nào

bé hơn

t t cá các

ó vì p

ng thòi l i v a

AB,

2

AB

thì khi

thiết.

th ng

năm

A B„

j

o n

m t l p m à t h ô i . N ê u có h a i l á t c t c,
và C

C

o n

ó

ta cũng
o n

AB

A,B, c a

ta có

m t

cho:

(AfiiCrAi-fii-i)
có m t
thì khi

sô t
ó có

dãy.

ề Acsimét)

19

Cho hai o n th ng AB và CD b t kỳ. K h i ó có m t s h u
h n các diêm Ai, A
A„ thu c ư ng t h n g AB s p xếp sao
cho A , gi a A và Ao , A , gi a A j và A
A _ , gi a An-2 và
A„, B gi a A _] và A„ và sao cho các o n A A j , A , A , .... A„_,A
êu b ng o n CD.
2

3

n

2.5. N h ó m V - T i ê n

n

2

n

về song song

n h nghĩa 17: Hai
ư ng t h n g p h á n bi t cùng n m
trong m t m t phang và không có i m chung g i là hai
ư ng
th ng song song v i nhau. Nếu a. b là hai ư ng th ng song

song v i nhau ta ký hi u a /7 b.
i n h lý 34: Cho a, b, c là ba ư ng th ng cùng năm
m t m t phăng và nêu c c t a. b t o nên hai góc so le trong
băng nhau thì a và b song song v i nhau.
H qu : Trong m t phang hai ư ng th ng
v i ư ng th ng th ba thi song song V I nhau.

cùng vuông góc

n h lý 35: Qua m t i m không thu c m t ư ng
cho trư c bao gi c ng có m t ư ng thăng song song v i
th ng cho trư c ó.
Tiên

V hay t i ê n

trong
trong

th ng
ư ng

ề về song song:

Cho m t ương, th ng a b t kỳ và m t i m A không thu c
a. K h i ó trong m t phang xác
nh b i i m A và dư ng t h n g
a có nhiều nh t là m t ư ng thang i qua A và không c t a.
C h ú : Tiên ề này ch nêu lên s duy nh t c a
ư ng

th ng i qua A và không c t a. Các
nh lý và h qu
ph n
trên ây tuy có ề c p t i khái ni m song song c a hai dư ng
th ng n h ư n g chưa c n dùng t i tiên ề về song song.
n h lý 36: Hai ư ng t h n g song song t o v i m t cát
tuyến hai góc so le trong b ng nhau.
20


Ch ng minh:
Gi

s

ư ng

th ng c c t

hai
ư n g t h ă n g song song a, b
l n l ư t t i A v à B.
The o
có

n h lý 35 qua

. /c
A /
Ý

/

a

i m B

b

B/

ư n g t h n g b' song song vói

a và t h e o

/

n h lý 34 t h ì c t o

b"

v i a v à b' c á c góc so le t r o n g
b ng n h a u . Tneo t i ê n

ề V t h ì b' t r ù n g v i b rà

n h lý

ư c

ch ng minh.

n h l ý 37: Trong môi tam giác t ng các góc băng hai góc
2.6.

o

a.

vuông.

dài, di n tích, thê tích

dài
nh

duy n h

n g h ĩ a 18: V i m t

o n t h n g A B cho trư c t n t i

t m t h à m s f ( A B ) t h o a m ã n các

1) . V i m i
2) . N ế u h a i

i ê u k i n sau

ây:

o n t h n g A B ta có f ( A B ) > 0

o n t h n g A B v à A ' B ' b n g nhau t h ì f(AB) = f(A'B')

3) . N ê u có m t

iếm c

gi a hai

i ế m A và B thì

f(AC) + f(CB) = f(AB)
4) . C ó m t

o n O E sao cho f ( O E ) = Ì

H à m sô f ( A B ) g i là
là

ơn v

dài

h ay là

o n

dài

c a

th ng

o n th ng AB.

ơn

o n OE g i

v.

C h ú ý:
B n
tiên

ề về

iều ki n nêu trong
dài

N h ư v y là
dương xác

nh

nghĩa t r ê n t h c c h t là c á c

o n th ng.
ng v i m t

n h g i là

dài

o n t h n g A B ta có m t s
c a

o n th ng

th c

ó.
21


m t

n h lý 38: V i môi
dài duy nhát.

ơn v dài cho trư c, môi

o n th ng có

n h lý 39: V i b t c sô th c dương a cho trư c, bao gi
c ng có m t o n th ng có
dài băng a.
b. Toa

c a m t

ta

iếm

D a vào vi c o o n t h n g ta xây d ng ư c k h á i n i m
toa
trên m t
ư ng thang b ng cách ch n t r ê n
ó m t
iếm 0 làm g c và ch n m t trong hai tia ư c t o nên làm
tia dương, tia còn l i là tia â m . V i m i iếm A t r ê n
ư ng
t h n g ó k h á c v i 0 ta cho ng v i m t s th c a dương là
dài c a o n OA.
Ta l y d u c ng cho s a nêu i m \ thu c tia dương và l y
d u tr cho sô a nêu iếm A thu c tia âm. S a sau khi thêm
d u c ng ho c tr g i là toa
c a iếm A trên ư ng t h ă n g .
iếm 0 ư c ch n v i toa
b ng 0. Ngư c l i v i m t s th c b
(s âm hay dương) ta tìm ư c m t iềm B duy nh t trên ư ng
th ng ó. Như v y gi a t p h p các i m trên ư ng thang và
t p h p các s th c ta xây d ng ư c m t song ánh.
c. X â y d n g k h á i n i m toa
trong m t phang ho c
t r o n g k h ô n g g i a n ta c n t h i ế t l p song á n h gi a các t p h p
sau dây:
s

- T p h p các iếm c a m t m t phang vói t p h p các c p

th c s p th t có d ng (x,y).

- T p h p các i m c a không gian v i t p h p các b
th c s p th t có d ng (x, y, z).

22

ba s


t . Do góc
l n c a m t góc c ũ n g
c a m t

ư c xác

nh tương t

như

dài

o n t h n g , nghĩa là ta có:

nh

n g h ĩ a 19: Sô

thoa m ã n 4

o c a góc (h.k) là m t h à m s

i ề u k i n sau

cp (h.k)

ây:

1) V i m i góc (h.k) ta có (p(h.k) > 0.
2) N ế u h a i góc (h,k) v à (h',k') b n g n h a u t h ì (p(h,k) = cp(h',k').
3) N ê u có m t t i a

/

gi a hai t i a h . k c a

góc (h,k)

thì

(p(h,/)+ (/,k) = o(h,k).
4) Có m t góc (h„.k„) sao cho (p(ho,k ) = ] .
0

S

t n t i v à duy n h t c a s

l n c a
c a

góc c ũ n g

o c a góc hay còn g i là

ư c ch ng minh tương t

như

i v i

dài

o n th ng.
e. D i
inh

t t c

các

n t í c h c a c á c da g i á c
n g h ĩ a 20: G i
a giác

s

ơn trong m

có h à m s

f xác

t

phăng

nh trên t p

ơ n c a m t p h a ng sao cho c á c

iêu k i n

h p
sau

ư c thoa m ã n :
1) G i á t r

c a h à m f luôn dương.

2) N ế u h a i

a g i á c b n g n h a u t h i giá t r

c a f

ng v i c h ú n g

cũng b ng nhau.

3) N ế u p, I \ , P, là các

a giác m à p = P, + P

2

thì

f(P) = f(P,) + f ( P ) .
2

4) Ư n g v i h ì n h v u ô n g có c n h b n g
t h n g thì giá tr
Khi
f(P)

o

dài

o n

c a h à m f b n g 1.

ó giá t r

c a hàm í t i m i

ư c g i là di n

v u ô n g nói t r o n g

ơn v

tích

c a

i ê u k i n 4.

ì' theo

a g i á c ( ơn) p, t c là s
ơn v

d i n tích là

hình