Đề cương môn giải tích 1 – MI1112 GT1 2017

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62

Nhóm ngành 2

Mã số : MI 1112

1) Kiểm tra giữa kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút.
Nội dung: Chương 1, đến hết mục 1.8, Các định lý về hàm khả vi và
ứng dụng.
2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút.
Chương 1
Phép tính vi phân hàm một biến số
1.1-1.3. Dãy số, hàm số
1. Tìm tập xác định của các hàm số
a) y =

4

d) y = arccos (sin x)

log(tan x)

2x
b) y = arcsin
1+x
√
x

c) y =
sin πx

e) y = arcsin(sin x)
f) y = sin(arcsin x).

2. Chứng minh các đẳng thức sau
a) sinh(−x) = − sinh x,
b) cosh(−x) = − cosh(x),
c) cosh2 x − sinh2 x = 1,
d) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
e) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
f) sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
1


g) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x.
3. Tìm miền giá trị của hàm số
a) y = lg (1 − 2 cos x)

c) y = arctan(sin x)

b) y = arcsin lg

d) y = arctan(ex ).

x
10

4. Tìm f (x) biết

a) f

x+

1
x

= x2 +

1
x2

b) f

x
1+x

= x2 .

5. Tìm hàm ngược của hàm số
a) y = 2x + 3

b) y =

1−x
1+x

c) y =

1 x

(e − e−x ).
2

6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a) f (x) = ax + a−x (a > 0)
b) f (x) = ln x +

√

c) f (x) = sin x + cos x
d) f (x) = arcsin x.

1 + x2

7. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng
đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng
tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ.
8. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)
a) f (x) = A cos λx + B sin λx

d) f (x) = cos2 x

b) f (x) = sin(x2 )

√
e) f (x) = cos x + cos x 2

1
1
c) f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x

2
3

√
f) f (x) = sin x + sin x 2.

1.4-1.5. Giới hạn hàm số
9. Tìm giới hạn
2


x100 − 2x + 1
a) lim 50
x→1 x − 2x + 1

(xn − an ) − nan−1 (x − a)
,
b) lim
x→a
(x − a)2
n ∈ N.

10. Tìm giới hạn

a) lim

x→+∞

b) lim

x→+∞

x+
√

√
3

x+

√

√
m

√
1 + αx − n 1 + βx
c) lim
x→0
x
√
√
m
1 + αx n 1 + βx − 1
.
d) lim
x→0
x

x

x+1

x3 + x2 − 1 − x

11. Tìm giới hạn
√

√
cos x − 3 cos x
c) lim
x→0
sin2 x
1 − cos x cos 2x cos 3x
.
d) lim
x→0
1 − cos x

sin x − sin a
a) lim
x→a
x−a
√
√
b) lim sin x + 1 − sin x
x→+∞

12. Tìm giới hạn
x2 − 1

a) lim
x→∞ x2 + 1
√ 1
b) lim+ (cos x) x

c) lim [sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)]

x−1
x+1

x→∞

√
√
d) lim n2 ( n x − n+1 x) , x > 0.
n→∞

x→0

13. Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không?
α(x) =

x+

√

x và β(x) = esin x − cos x.

1.6. Hàm số liên tục
14. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0



 1 − cos x , nếu x = 0,
x2
a) f (x) =

a,
nếu x = 0.
3


b) g(x) =



ax2 + bx + 1,

nếu x ≥ 0,


a cos x + b sin x, nếu x < 0.

15. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a) y =

8
1 − 2cot x

b) y =

sin x1
1

ex + 1

eax − ebx
,
x
(a = b)

c) y =

1.7. Đạo hàm và vi phân
16. Tìm đạo hàm của hàm số



1 − x,
nếu x < 1,




f (x) = (1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2,





x − 2,

nếu x > 2.

17. Với điều kiện nào thì hàm số


xn sin 1 , nếu x = 0,
x
f (x) =

0,
nếu x = 0

(n ∈ Z)

a) Liên tục tại x = 0

b) Khả vi tại x = 0
c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0.
18. Chứng minh rằng hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một
hàm số liên tục và ϕ(a) = 0, không khả vi tại điểm x = a.
19. Tìm vi phân của hàm số
1
x
arctan , (a = 0)
a
a
x
b) y = arcsin , (a = 0)
a

x−a
1
ln
, (a = 0)
2a
x+a
√
d) y = ln x + x2 + a .

a) y =

c) y =

4


20. Tìm
a)

d
d(x2 )

sin x
x

b)

d(sin x)
d(cos x)

c)

d
x3 − 2x6 − x9 .
d(x3 )

21. Tính gần đúng giá trị của biểu thức
a) log 11

b)

7

2 − 0.02
.
2 + 0.02

22. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
x2
, tính y (8)
1−x
1+x
, tính y (100)
b) y = √
1−x

c) y =

a) y =

x2
, tính y (8)
1−x

d) y = x2 sin x, tính y (50) .

23. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
x
x2 − 1
1
b) y = 2
x − 3x + 2

c) y = √
3

a) y =

x
1+x

d) y = eax sin(bx + c).

1.8. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
24. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương
không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực
nếu n lẻ.
f (b) − f (a)
f ′ (c)
25. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng

= ′
không
g(b) − g(a)
g (c)
áp dụng được đối với các hàm số
f (x) = x2 ,

g(x) = x3 ,

−1 ≤ x ≤ 1

26.Chứng minh bất đẳng thức
a) |sin x − sin y| ≤ |x − y|

b)

a a−b
a−b
< ln <
, 0 < b < a.
a
b
b

27. Tìm giới hạn
5


a) lim

x+

b) lim

x
1
−
x − 1 ln x

x→+∞

x→1

x+

√

x−

√

e) lim tan

x

x→1

πx
ln(2 − x)
2

f) lim 1 − atan2 x

1
x sin x

x→0

1

c) lim

x→∞

e x − cos x1

1−

1−

tan π2 x
g) lim−
x→1 ln(1 − x)

1
x2

ex sin x − x(1 + x)
d) lim
x→0

x3

h) lim (1 − cos x)tan x .
x→0

28. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0
a
b
1
1
−
−
−
f (x) =
sin3 x x3 x2 x
29. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f ′′ (x) trên
(a, b). Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một
điểm c ∈ (a, b) sao cho

(x − a)(x − b) ′′
f (b) − f (a)
(x − a) =
f (c)
b−a
2
30. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
f (x) − f (a) −

b) y = arctan x − x

a) y = x3 + x
31. Chứng minh bất đẳng thức

a) 2x arctan x ≥ ln 1 + x2 với mọi x ∈ R

x2
≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0.
b) x −
2
32. Tìm cực trị của hàm số
3x2 + 4x + 4
a) y = 2
x +x+1

c) y =

b) y = x − ln(1 + x)

d) y = x 3 + (x − 2) 3 .

(1 − x)(x − 2)2

3

2

6

2

1.9. Giới thiệu các loại đường cong
34. Khảo sát hàm số
2t
1 − t2
e)
2

y= t
1+t

 x = 2t − t2
f)
 y = 3t − t3

2 − x2
a) y =
1 + x4
b) y =

√
3



x=

x3 − x2 − x + 1

x4 + 8

c) y = 3
x +1

g) r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b)

x−2
d) y = √
x2 + 1

h) r = √

7

a
, (a > 0) .
cos 3ϕ


Chương 2
Phép tính tích phân hàm một biến số
2.1 Tích phân bất định
1. Tính các tích phân
a)
b)
c)
d)

√
x xdx

e)

xdx
(x + 2)(x + 5)

|x2 − 3x + 2|dx

f)

dx
x x2 + 1
xdx

dx
(x + a)2 (x + b)2

g)

sin x sin(x + y)dx

h)

1 + sin x
dx.
sin2 x

e)

dx
(x2 + 2x + 5)2

f)

sinn−1 x sin(n + 1)xdx

g)

e−2x cos 3xdx

h)

arcsin2 xdx.

1−

1
x2

√

(x2

− 1)

3/2

2. Tính các tích phân
a)

arctan xdx

b)

√

c)
d)

x+2
dx
x2 − 5x + 6

xdx
x2 + x + 2
√
x −x2 + 3x − 2dx
√

3. Lập công thức truy hồi tính In
a) In =

xn ex dx

b) In =

dx
.
cosn x

2.2. Tích phân xác định

4. Tính các đạo hàm
a)

d y t2
e dt
dx x

b)

d
dy

y

3

2

et dt
x

8

dt
d x
√
.
c)
dx x2 1 + t4

5. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn
a) lim

n→∞

1
1
1
1
, (α, β > 0)
+
+
+ ··· +
nα nα + β nα + 2β
nα + (n − 1)β

1
n→∞ n

b) lim

1+

1
+
n

1+

2
+ ··· +
n

1+

n
.
n

6. Tính các giới hạn
sin x √

a) lim+
x→0

x

tan tdt

0
tan x √

b) lim

0

x→+∞

sin tdt

(arctan t)2 dt
√
x2 + 1

0

7. Tính các tích phân sau
e

a)
1
e

e

b)

|ln x| (x + 1) dx

d)

(x ln x)2 dx

e)

1

3

sin2 x cos x

0

(1 + tan2 x)

3

arcsin
0

3π/2

c)
0

2 dx

x
dx
1+x

π/2

dx
2 + cos x

cosn x cos nxdx.

f)

0

8. Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì
π/2

a)

π

π/2

f (sin x)dx =
0

b)

f (cos x)dx

π

xf (sin x)dx =
0

0

0

π
f (sin x)dx.
2

9. Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Khi đó f 2 (x), g 2 (x) và
f (x).g(x) cũng khả tích trên [a, b]. Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)
2

b

f (x)g(x)dx
a

b

≤

2

b

f (x)dx
a

g 2 (x)dx

a

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz)
2.3. Tích phân suy rộng
10. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau
9

0

a)

c)

x

xe dx

−∞

−∞

b)

+∞

+∞

d)

cos xdx

1
0

0

dx
(x2 + 1)2
dx
x(1 − x)

.

11. Xét sự hội tụ của các tích phân sau
a)

1
0

b)

1
0

c)

1
0

dx
tan x − x
√
xdx
sin
e x−1
√

xdx
√
1 − x4

12. Nếu

+∞
0

Xét ví dụ

d)

+∞ ln (1
1

e)

+∞
1

f)

+∞
0

√

+ x) dx
x

dx
x + x3

x2 dx
.
x4 − x2 + 1

f (x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) → 0 khi x → +∞ không?

+∞

sin x2 dx.

0

13. Cho hàm f (x) liên tục trên [a, +∞) và lim f (x) = A = 0. Hỏi
x→+∞

+∞

f (x)dx có hội tụ không.

a

2.4. Ứng dụng của tích phân xác định
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0
b) Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)
c) Đường tròn x2 + y 2 = 2x và parabol y 2 = x, (y 2 ≤ x)

d) Đường y 2 = x2 − x4 .
15. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y 2 ≤ a2
và y 2 + z 2 ≤ a2 , (a > 0).
16. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y 2 , các mặt
10


phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a = 0).
17. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các
đường y = 2x − x2 và y = 0
a) Quanh trục 0x một vòng

b) Quanh trục 0y một vòng.

18.Tính độ dài đường cong
ex + 1
a) y = ln x
khi x biến thiên từ 1 đến 2.
e −1


 x = a cos t + ln tan t
π
π
2
khi t biến thiên từ đến
b)

3
2

 y = a sin t

(a > 0).

19. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau
a) y = sin x, 0 ≤ x ≤

π
quay quanh trục 0x
2

1
b) y = (1 − x)3 , 0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x.
3

11