Toán Hàm Số CHUYÊN đề hàm số 2

Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

CHUY
ÊN ĐỀ

Chuyên đề này gồm những
phần gì ?

Đây là chuyên đề xương sống trong giải tích 12 Là
tiền đề để học các phần còn lại ,nên hãy bắt đầu
tìm hiểu nó nhé ! ^_^

LET’S GO !!!

•

Khảo sát sự biến thiên & Vẽ đồ thị hàm số

1
Tính đơn điệu của hàm số

•

Cực trị của hàm số

•

Biến đổi đồ thị hàm số

•

Tiếp tuyến của hàm số

•

Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

•

2
3
4
5
6

 Với 6 phần học trong chuyên đề hàm số tương ứng với 2 điểm trong kì thi THPT Quốc gia

năm 2016 được phân bổ thành 2 câu trong đề thi. Từ năm 2015 trở đi 2 câu trong chuyên
đề hàm số được đánh giá là 2 câu ở mức độ cơ bản, các bạn học sinh chỉ cần nắm rõ sơ đồ
con đường các phần và rèn luyện tư duy qua các tính chất là có thể đạt điểm tối đa.
 Riêng phần Biến đổi đồ thị được sắp xếp vào bài đọc thêm vì đây là phần ít thi trong đề
thi THPT Quốc gia.
1


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

1

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Tuyên bố

Tôi là : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . Tôi

sẽ là người xuất sắc nhất chuyên đề này.

 Các bài khảo sát và vẽ đồ thị ra trong đề thi THPT Quốc gia thường rơi vào 3 dạng hàm

chính : Hàm bậc 3, hàm trùng phương , hàm bậc nhất / bậc nhất với đặc trưng và hình dạng đồ
thị các hàm được tổng quát như sơ đồ trên.

2


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG
KẾ HOẠCH RÈN LUYỆN CÁ NHÂN
STT
1

Hàm
Bậc 3

2

Trùng phương

3

Bậc nhất / bậc
nhất

Số bài tập rèn luyện

Thời gian rèn luyện

Ghi chú Bản thân

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của hàm số sau:
Bài giải
-

Tập xác định : D = R
Sự biến thiên
• Chiều biến thiên


 Hàm số đồng biến trên khoảng (
 Hàm số nghịch biến trên khoảng (
• Cực trị
 Hàm số đạt giá trị cực đại tại
3


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán

/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246
 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
•

=>

Giới hạn và tiệm cận

 Hàm số không có tiệm cận
• Bảng biến thiên của hàm số

+

0

0
0
-4

Vẽ đồ thị hàm số
• Đồ thị hàm số đi qua một số điểm

-

y

...
....
-2
•

Nhận xét : Đồ thị nhận điểm A ( -1 ; -2 )
làm điểm uốn.

-1

0
-1
-2
-3
-4

Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
Bài giải
-

Tập xác định : D = R
Sự biến thiên
• Chiều biến thiên

 Hàm số đồng biến trên khoảng (
4

1

x


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

 Hàm số nghịch biến trên khoàng (
•


•

Cực trị
Hàm số đạt giá trị cực đạt tại =>
Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại =>
Giới hạn

•

Bảng biến thiên của hàm số

0

-

Vẽ đồ thị hàm số
• Đồ thị hàm số đi qua một số điểm
...
•

Đồ thị hàm số
 Nhận xét : Đồ thị đối xứng
qua trục Oy


Lưu ý: Đối với hàm trùng phương khi

vẽ đồ thị phải đảm bảo tính dối xứng
qua trục 0y. Để đảm bảo như vậy chúng ta vẽ lần lượt các cạnh tương ứng đối xứng.
Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

5


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Bài giải
-

Tập xác định : D ={1}
Sự biến thiên
• Chiều biến thiên

•
•

với nên hàm số luôn nghịch biến trên miền xác định
Cực trị : hàm số không có cực trị
Giới hạn và tiệm cận
là đường tiệm cận đứng.

=> y = 1 là đường tiệm cận ngang.
•

•

Bảng biến thiên của hàm số

Đồ thị hàm số
Nhận xét : Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối
xứng

 Lưu ý : Khi vẽ hàm bậc nhất / bậc nhất

ta phải vẽ 2 đường tiệm cận trước để
đảm bảo tính đối xứng tâm. Sau đó tịnh
tiến đồ thị để xác định hệ trục tọa độ Ox
và Oy.



NHẬN XÉT PHẦN HỌC

6


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246
 Đây là câu 1 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 với lời giải chi tiết và trình bày

theo đáp án kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia của Bộ GD&ĐT. Đối với trình bày bài khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số có 2 cách trình bày theo 2 chương trình sách giáo khoa ban cơ bản
và nâng cao nên một số các em học sinh có thể trình bày theo cách còn lại vẫn được chấp
nhận điểm tuyệt đối nhé !
 Trong trình bày nên vẽ bằng nét chì trước để đảm bảo nét vẽ đúng sau đó tẩy đi và tô lại
bằng nét bút mức. Các bạn lưu ý là không được viết, vẽ bằng bút chì trong bài thi ( trừ

đường tròn) .


BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số sau:
3. y
4.

1.
2.

Bài 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau :.
1. y =

3. y =

2. y =

4. y =

Bài 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3.

1.
2.

4.

2

y=

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lời tuyên bố
Tôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . là học sinh lớp . . . . .
Tôi hứa sẽ quyết tâm học đạt điểm . . . . . . phần học này !

SƠ ĐỒ TỔNG
QUAN PHẦN
7


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Kế hoạch học tập
Số bài tập
rèn luyện

STT

Dạng bài

1

Xét tính đơn điệu trực tiếp

2

Tìm m để hàm số đơn điệu
trên ( khoảng, đoạn , D ,..)

Thời gian rèn
luyện

Ghi chú Bản thân

LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Định nghĩa

Điều kiện cần

Hàm số f đồng biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) >
f(x2)
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng D.
Nếu f đồng biến / D thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D
Nếu f nghịch biến / D thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D
8


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ D (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f
đồng biến /D
Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ D (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f

nghịch biến / D

Điều kiện đủ

Nếu khoảng D được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục

Dạng 1

Tập xác định

Xét trực tiếp tính đơn điệu của một hàm xác định

SƠ ĐỒ CON
ĐƯỜNG
Tính y’ = 0

Lập bẳng xét dấu và kết
luận

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số
Giải

SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

• Tập xác định : D = R

Bước 1 : Tập xác định
Bước 2 : Tính y ‘ = 0



- Tìm x

Hàm số đồng biến trên khoảng
kết luận

Bước 3 : Lập bảng xét dấu và
+

(

+
-2

-

0

Hàm số nghịch biến trên khoảng (
 Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến của hàm số sau y = 5
Bài giải

Sơ đồ con đường
Bước 1:
Bước 2:
Bước 3:

9

Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Dạng 2

Tìm m để hàm số luôn đơn điệu trên đoạn, khoảng , miền xác định

HÀM

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chuyển 1 vế là f(x)
vế còn lại là f(m)

SỐ

Xét điều kiện của
m

Xét hàm
f(x)
 Phương pháp 1: Xét hàm số

Ví dụ 1 :Cho hàm số: . Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng .
Bài giải

Sơ đồ con đường
Bước 1: Tính y’
• Hàm đồng biến : y’

Ta có : y’ = 3
• Hàm đồng biến trên
 với


Bước 2 : Chuyển x sang một
bên m sang một bên

 với
• Xét hàm số f(x) = trên khoảng (0;
 


Bước 3 : Xét hàm số f(x)

10


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Lập bảng biến thiên của hàm trên
0

+

2

+

Bước 4 : Xét điều kiện của m

Từ đó ta đi đến kết luận: 
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=:

m

đồng biến trên khoảng (1;3)
Bài giải

Ta có : y’ = 4
• Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) nên y’ với mọi x ( 1; 3)
 4 mọi x ( 1; 3)
 4x(

mọi x ( 1; 3)
• Xét hàm số f(x) = trên khoảng (1; 3)
f’(x) = 2x với mọi x ( 1; 3) nên hàm số luôn đồng biến
Suy ra Min f(x) = f(1)
Vậy m là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Sơ đồ con đường
Bước 1: Tính y’
• Hàm đồng biến nên y’
Bước 2 : Chuyển x sang một
bên và m sang một bên
Bước 3 : Xét hàm số f(x)
m

Bước 4 : Xét điều kiện của m

Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số sau : y = đồng biến trên khoảng [1; +
Bài giải
Ta có : y’ = ( x
Hàm số đồng biến trên khoảng [1; + 


 m<1
Vậy m < 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 4 : Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến trên R:
Bài giải

11

Sơ đồ con đường
Bước 1: Tính y’
• Hàm đồng biến nên
Chú ý : Điều kiện x
Bước 2: Xét điều kiện của m
Sơ đồ con đường


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Bước 1: Tính y’
+) Hàm số đồng biến nên y’
Bước 2 : Chuyển f(x) và f(m)
độc lập
• Trường hợp 1 : mẫu số

• Trường hợp 2 : mẫu số
Bước 3: Xét hàm số f (x)

Bước 4 : Tìm điều kiện của m

 Phương pháp 2 : Sử dụng tam thức bậc 2
1) Nếu thì:
2

1




2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :

• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
)
• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)
khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai với số 0:

P
•

Trong quá trình ghi nhớ các bạn học sinh sẽ luôn thắc mắc làm thế nào để ghi nhớ
12

Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

một cách chính xác các công thức và sau đây là phương pháp giúp các bạn làm điều
đó :
 Xét với 0 rồi chuyển về so sánh với 0.
4) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) bằng d thì ta thực
hiện các bước sau:
• Tính y′.
• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1)
• Biến đổi thành (2)
• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng.
Bài giải
Tập xác định: D = R.
y’ = . Ta có
 Nếu thì
 y’ với
 Hàm số đồng biến trên R

Bước 2 : Xét và a
•
thì y’
(do a )
•
mà a nên
ngoài khoảng ( hàm số ĐB
Bước 3: Xét điều kiện với

trường hợp so sánh nghiệm.

Từ đó suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 phương trình y’
có 2 nghiệm phân biệt
Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
   (VN)
Vậy:
 Nếu thì

Ví dụ 2 :Tìm m để hàm số

nghịch biến trong ( - 1; 1)
Sơ đồ con đường
Bước 1 : Tính y’( bậc 2)
Bước 2 : Xét và a
• Trong khoảng (
y’ ngược dấu với a.

Bài giải
•

y’ =
Ta có : ( a 3 > 0 )
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)

Sơ đồ con đường
Bước 1 : Tính y’ ( tam thức
bậc 2 )

và

Bước 3: Xét điều kiện so sánh
nghiệm

13


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Vậy:
thì hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1).
Ví dụ 3: Cho hàm số (1),(m là tham số).Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Bài giải
Sơ đồ con đường
Ta có có
• Nếu m ≥ 3 thì thì hàm số đồng biến trên R
 m ≥ 3 không thoả mãn.
• Nếu m < 3 thì có 2 nghiệm phân biệt .
Hàm số nghịch biến trên đoạn với độ dài I.
Ta có:
YCBT



.





4
Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y = đồng biến trên khoảng (2 ; )
Bài giải

Sơ đồ con đường
Bước 1 : Tính y’( bậc 2)
Bước 2 : Xét và a
• a = 3 =>
g(x) cùng dấu a 
Bước 3: Xét điều kiện so sánh
nghiệm
 Hệ thức

Viet


CÂU HỎI TƯ DUY
?1: Nếu a ở dạng tham số m thì ?

14


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246
 Biện luận trường hợp > 0 ( hoặc < 0 ) với a tương ứng trường hợp với
 Biện luận đồng thời điều kiện của và a theo mục 2 định lí về dấu của tam thức bậc 2

Bài tập đề xuất :Tìm m để các hàm số
đồng biến trên khoảng
?2 : Với phương pháp hàm số khi chuyển x sang 1 bên và m sang 1 bên mà hàm số f(m) là một
hàm bậc 2, bậc 3,.. thì phải làm thế nào?
 Coi f(m) = k biện luận nghiệm theo k với f(k) = k là hàm hằng
 Giải bất phương trình tìm m đối với điều kiện k vừa tìm được.
Bài tập đề xuất: Tìm m để hàm số y= đồng biến trên ( 2;+

Các bạn đọc có thể trong quá trình giải toán còn xuất hiện thêm các trường hợp khác cần
bàn luận thì vui lòng truy cập vào trang facebook :
để cùng nhau giải đáp nhé !
 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số:
1.
2.
3. y =

Bài 2 : Tìm m để các hàm số sau
1.

nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

2. đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.

3.

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

4. luôn đồng biến trên R

5.

(1), đồng biến trên khoảng (1; 2).

6.

, luôn đồng biến trên khoảng

Bài 3: Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn

15

.


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246
 Đây là câu hỏi thuộc phần hàm số và là câu 1 diểm trong kì thi THPT Quốc gia. Mức độ câu

hỏi tương đối dễ trong đề thi các năm gần đây nên đây là câu mà các bạn phải nắm chắc chắn
được số điểm. Các bạn hãy bắt tay ngay vào rèn luyện đi nhé ! Chúc các bạn thành công !
TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU
CHÂN CỦA NHỮNG KẺ LƯỜI BIẾNG

Tôi đã xuất sắc hoàn thành được .......điểm phần học này

3

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Mục tiêu của Tôi

ĐIỂM SỐ
SƠ ĐỒ TỔNG QUAN PHẦN HỌC

16


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

KẾ HOẠCH HỌC TẬP

STT
1
2

Dạng bài
Tìm Cực đại,
Cực tiểu
Tìm m để hàm
số có CĐ, CT
và thỏa mãn 1
tính chất

Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện

Thành công là không ngừng nỗ lực học
tập và rèn luyện

17

Ghi chú Bản thân


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Hàm số có cực đại tại x0:

hoặc

y'(x0 ) = 0

y''(x0 ) < 0

Điều kiện để cực
trị tồn tại

Hàm số có cực tịểu tại x0:

hoặc

y'(x0 ) = 0

y''(x0 ) > 0

Dạng 1: Tìm Min, Max / GTLN, GTNN của hàm số

Cách 1

Cách 2

Tính y’ = 0
( Tìm x )

Lập bảng biến
thiên

Tính y’ = 0

Sử dụng Quy tắc 2

CON

( Tìm x )

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số

.
Bài giải

Cách 1: Lập bảng biến thiên và tìm cực trị
•

Tập xác định:

R.

 x = −1

y ' = x 2 − x − 2; y ' = 0 ⇔ 
x = 2 .
Ta có:
•

SƠ ĐỒ

Bảng biến thiên:
18

ĐƯỜNG


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

x

−∞

y
’

y

–1
+

0

+∞

2
–

0

+

+

-

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT

.

Cách 2. (Sử dụng quy tắc 2)
•

Tập xác định:R

 x = −1
y ' = x 2 − x − 2; y ' = 0 ⇔ 
x = 2 .
Ta có:
•

nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

yCĐ
•

nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu .

Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số:

với
19


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Bài giải
•

Sơ đồ con đường
Bước 1: Tập xác định

Tập xác định : D

Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

•

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

=> Quy tắc 2 ( tính y” )

Cho

Vậy:
và
Ví dụ 3 :Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) trên [-1;5]
Bài giải

Sơ đồ con đường
Bước 1: Tập xác định
Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x
Bước 3 : Sử dụng phương pháp

b) trên [-3;2]
Bài giải

Sơ đồ con đường

Ví dụ 4: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau:
a) y = x.
c) y =
b) y = cosx +
Bài giải
a) y = x.
• Tập xác định : D
• y’ = ( với -1 < x < 1 )
y’ = 0  1 - 2  x = hoặc x =

Sơ đồ con đường
Bước 1: Tập xác định
Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

20


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

•

Bảng biến thiên của hàm số:
x
-1
f’(x)
0
+
f(x) 0

1
0

Bước 3 : Sử dụng phương pháp
 Lập bảng biến thiên

-

0
Vậy hàm số đạt GTLN là

tại x =

hàm số đạt GTNN là tại x =
b) y = cosx +
• Tập xác định : D= R
• y’ = - sinx – sin2x = -sinx ( 1+ 2cosx )
y’ = 0   ( k
• Ta có :y” = -cosx – 2cos2x
+ y”( = - cos – 2cos2 =
+ y”( = -cos – 2cos = > 0
Vậy hàm số đạt GTLN tại x =
hàm số đạt GTNN là tại x =

Bước 1: Tập xác định
Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x
Bước 3 : Sử dụng phương pháp
 Quy tắc 2

(k

c) y =

Bước 1: Tập xác định
 phá dấu trị tuyệt đối
Bước 2 : Tính = 0 => Tìm x
= 0 => Tìm x
Bước 3 : Sử dụng phương pháp
 Quy tắc 2
 Hoặc Bảng biến thiên

Dạng 2 : Tìm m để hàm số có Cực Đại , Cực Tiểu và thỏa mãn một tính chất

21


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Ví dụ 1: Cho hàm số:
cho đạt cực trị tại
•

, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã
sao cho
Bài giải

.
Sơ đồ con đường
Bước 1: Tính y’
Bước 2 : Tìm Đk để PT có 2
nghiệm

Ta có y ‘ = 3
 Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu x1, x2

 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.


có hai nghiệm phân biệt là



(1)
Mặt khác :  (*)
Theo định lý Viet ta có :
(*)  4 
 -3
(2)

•

Bước 3 : Xử lí tính chất
- Định lí Viet ( dấu| |
,Tổng,Tích)
=> Bình phương mất | |

22


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

hoặc

Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là:

Ví dụ 2 :Cho hàm số

(2)

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại
Bài giải
• Ta có:
Hàm số (2) có 2 diểm cực đại và cực tiểu
⇔ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt (

sao cho
Sơ đồ con đường
Bước 1: Tính y’ = 0
Bước 2: Xét
Có 2 điểm  2 nghiệm nên
Bước 3 : Xử lí tính chất
Tổng => Hệ thức Viet

⇔ Khi đó ta có:

⇔

(luôn đúng với ∀m)

.
Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. Cho hàm số
(m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các
điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài giải

Sơ đồ con đường

23


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246
Bước 1 : Tính y’ = 0

Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = 0 ⇔
Để hàm số
có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)
2
nghiệm
⇒
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là
vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường
thẳng y = x

Bước 2 : Tìm ĐK để PT có 2
nghiệm
Bước 3 : Xử lí tinh chất
 Tính chất hình học

A
y=x

AB

I
B

•

Giải hệ phương trình ta được

1 ẩn m => 1 phương trình
vg  . = 0
Gọi Ithế I vào AB

;m=0

Kết hợp với điều kiện ta có:
Ví dụ 4. Cho hàm số

(1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng

thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
lần khoảng cách từ
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
Bài giải
Sơ đồ con đường
Ta có: y’ = 4 = 4x(
Bước 1: Tính y’ = 0
 => m (* )
Tìm ĐK m có 3 điểm cực trị
Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị
Bước 2: Tìm điểm cực trị
Gọi ba điểm cực trị là:

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC
là tam giác cân, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là
vuông, thì AB vuông góc với AC.

Bước 3: Xử lí tính chất
=> Tính chất hình học
( Vẽ hình ta thấy)
- Cạnh :AB=AC ;AB vuông

Tam giác ABC vuông khi:

24


Bí mật tư duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

AC
- Góc : ( AB, BC ) = 45

Vậy với

và thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5 :Cho hàm số (1). Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài giải
Sơ đồ con đường
Ta có : y’ =
y = y’ ( + 2x –
Bươc 1: Tính y’


= (+2–
PTĐT nối cực đại cực tiểu là
Bước 2 : Lấy được phần dư
y = ax + b ( ax + b là phần dư)

= 2 – ( do
Vậy phương trình đường
thẳng nối cự đại cực tiểu
là y = 2x –
đạt cực tiểu tại x = -2.
Sơ đồ con đường
Bước 1 : Tính y’ = 0

Ví dụ 6: Tìm m để hàm số:
Bài giải

+) PT có 1 nghiệm ( CT)
+) PT có 2 nghiệm
Bước 2 : Xử lí tính chất

Ví dụ 7 :Cho hàm số : (1).Tìm m để hàm số có hai cực trị
Bài giải
• Tập xác định D = R.
Ta có : .
Đặt ta được

thoả mãn
Sơ đồ con đường

(1) có hai cực trị thoả mãn

 g(t) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
 
Vậy
thoả mãn

thì hàm số (1) có hai cực trị
.

Ví dụ 8. Cho hàm số

(1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm
25