Toán Hàm Số CHUYÊN đề hàm số 1

Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Chuyên đề này gồm
những phần gì ?

1

Đây là chuyên đề xƣơng sống trong giải tích 12
Là tiền đề để học các phần còn lại ,nên hãy bắt
đầu tìm hiểu nó nhé ! ^_^

• Khảo sát sự biến thiên & Vẽ đồ thị hàm số

2

• Tính đơn điệu của hàm số

3

• Cực trị của hàm số

4

• Biến đổi đồ thị hàm số

5

• Tiếp tuyến của hàm số

6

• Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

 Với 6 phần học trong chuyên đề hàm số tương ứng với 2 điểm trong kì thi THPT Quốc gia
năm 2016 được phân bổ thành 2 câu trong đề thi. Từ năm 2015 trở đi 2 câu trong chuyên
đề hàm số được đánh giá là 2 câu ở mức độ cơ bản, các bạn học sinh chỉ cần nắm rõ sơ đồ
con đƣờng các phần và rèn luyện tƣ duy qua các tính chất là có thể đạt điểm tối đa.
 Riêng phần Biến đổi đồ thị được sắp xếp vào bài đọc thêm vì đây là phần ít thi trong đề
thi THPT Quốc gia.

1


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1
Tôi là : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tuyên bố
.......

Tôi sẽ là ngƣời xuất sắc nhất chuyên đề này.

 Các bài khảo sát và vẽ đồ thị ra trong đề thi THPT Quốc gia thường rơi vào 3 dạng hàm chính
: Hàm bậc 3, hàm trùng phương , hàm bậc nhất / bậc nhất với đặc trưng và hình dạng đồ thị
các hàm được tổng quát như sơ đồ trên.

2


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

SƠ ĐỒ CON ĐƢỜNG
KẾ HOẠCH RÈN LUYỆN CÁ NHÂN
STT
1

Hàm
Bậc 3

2

Trùng phương

3

Bậc nhất / bậc
nhất

Số bài tập rèn luyện

Thời gian rèn luyện

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của hàm số sau:
Bài giải
-

Tập xác định : D = R
Sự biến thiên
 Chiều biến thiên

*
 Hàm số đồng biến trên khoảng (
 Hàm số nghịch biến trên khoảng (
 Cực trị

3

Ghi chú Bản thân


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

 Hàm số đạt giá trị cực đại tại
 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
 Giới hạn và tiệm cận

=>

 Hàm số không có tiệm cận
 Bảng biến thiên của hàm số
+

0

0
0

-4

Vẽ đồ thị hàm số
 Đồ thị hàm số đi qua một số điểm

-

y

...
....
-2



Nhận xét : Đồ thị nhận điểm A ( -1 ; -2 )
làm điểm uốn.

-1

0
-1
-2
-3
-4

Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

Bài giải
-

Tập xác định : D = R
Sự biến thiên
 Chiều biến thiên

4

1

x


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

[
 Hàm số đồng biến trên khoảng (
 Hàm số nghịch biến trên khoàng (
 Cực trị
 Hàm số đạt giá trị cực đạt tại
 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
 Giới hạn



=>
=>

Bảng biến thiên của hàm số

0

-

Vẽ đồ thị hàm số
 Đồ thị hàm số đi qua một số điểm
...

Đồ thị hàm số
 Nhận xét : Đồ thị đối xứng
qua trục Oy

 Lƣu ý: Đối với hàm trùng phương khi
vẽ đồ thị phải đảm bảo tính dối xứng
qua trục 0y. Để đảm bảo như vậy chúng
ta vẽ lần lượt các cạnh tương ứng đối xứng.
Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

5


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

x 1
x 1
Bài giải
y

-

Tập xác định : D = {1}
Sự biến thiên
 Chiều biến thiên
2
nên hàm số luôn nghịch biến trên miền xác định
y' 
 0 với
( x  1) 2
 Cực trị : hàm số không có cực trị
 Giới hạn và tiệm cận
lim y   x  1 là đường tiệm cận đứng.
x 1

lim y  1

x 





=> y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên của hàm số

Đồ thị hàm số
Nhận xét : Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối

xứng

 Lƣu ý : Khi vẽ hàm bậc nhất / bậc nhất
ta phải vẽ 2 đường tiệm cận trước để
đảm bảo tính đối xứng tâm. Sau đó tịnh
tiến đồ thị để xác định hệ trục tọa độ Ox
và Oy.



NHẬN XÉT PHẦN HỌC
6


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

 Đây là câu 1 điểm trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016 với lời giải chi tiết và trình bày
theo đáp án kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia của Bộ GD&ĐT. Đối với trình bày bài khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số có 2 cách trình bày theo 2 chƣơng trình sách giáo khoa ban cơ bản
và nâng cao nên một số các em học sinh có thể trình bày theo cách còn lại vẫn được chấp
nhận điểm tuyệt đối nhé !
 Trong trình bày nên vẽ bằng nét chì trước để đảm bảo nét vẽ đúng sau đó tẩy đi và tô lại
bằng nét bút mức. Các bạn lưu ý là không được viết, vẽ bằng bút chì trong bài thi ( trừ
đường tròn) .

 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số sau:
1.

3. y

2.

4.

Bài 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau :.
1. y =

3. y =

2. y =

4.

y=

Bài 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1.

3.

2.

4.

2

y=

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lời tuyên bố
Tôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . là học sinh lớp . . . . .
Tôi hứa sẽ quyết tâm học đạt điểm . . . . . . phần học này !

7


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Kế hoạch học tập
Số bài tập
rèn luyện

STT

Dạng bài

1

Xét tính đơn điệu trực tiếp

2

Tìm m để hàm số đơn điệu
trên ( khoảng, đoạn , D ,..)

Thời gian rèn

luyện

Ghi chú Bản thân

LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Định nghĩa

Điều kiện cần

Hàm số f đồng biến / D  (x1, x2  D, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến / D  (x1, x2  D, x1 < x2  f(x1) >
f(x2)
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng D.
Nếu f đồng biến / D thì f(x)  0, x  D
Nếu f nghịch biến / D thì f(x)  0, x  D
8


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Nếu f (x)  0, x  D (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng
biến /D
Nếu f (x)  0, x  D (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f
nghịch biến / D

Điều kiện đủ

Nếu khoảng D được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục

Dạng 1

Xét trực tiếp tính đơn điệu của một hàm xác định

Tập xác định

Tính y’ = 0

Lập bẳng xét dấu
và kết luận

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số
SƠ ĐỒ CON ĐƢỜNG

Giải
 Tập xác định : D = R

Bước 1 : Tập xác định
Bước 2 : Tính y ‘ = 0



*

- Tìm x

Hàm số đồng biến trên khoảng
kết luận

Bước 3 : Lập bảng xét dấu và
+

(

+
-2

-

0

Hàm số nghịch biến trên khoảng (
 Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến của hàm số sau y =

5

Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1:
Bƣớc 2:

Bài giải

Bƣớc 3:

9


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Dạng 2

Tìm m để hàm số luôn đơn điệu trên đoạn, khoảng , miền xác định

𝒇 𝒎
𝑴𝒂𝒙 𝒇 𝒙
𝒇 𝒎 ≤ 𝑴𝒊𝒏 𝒇 𝒙

BẤT PHƢƠNG
TRÌNH

Xét điều kiện
của m

Chuyển 1 vế là f(x)
vế còn lại là f(m)

Xét hàm
f(x)
 Phƣơng pháp 1: Xét hàm số
. Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng

Ví dụ 1 :Cho hàm số:
.

Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tính y’
 Hàm đồng biến : y’

Bài giải
Ta có : y’ = 3
 Hàm đồng biến trên




với

với

 Xét hàm số f(x) =


Bƣớc 3 : Xét hàm số f(x)
trên khoảng (0;



Lập bảng biến thiên của hàm

Bƣớc 2 : Chuyển x sang một
bên m sang một bên

trên
10


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

0

+

2

+
Bƣớc 4 : Xét điều kiện của m

Từ đó ta đi đến kết luận:

( )



m ≤ 𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝑥

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=:

đồng biến trên khoảng (1;3)
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tính y’
 Hàm đồng biến nên y’
với mọi x ( 1; 3)

Bài giải
Ta có : y’ = 4
 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) nên y’

4
mọi x ( 1; 3)
 4x(

mọi x ( 1; 3)
 Xét hàm số f(x) =
trên khoảng (1; 3)
f’(x) = 2x
với mọi x ( 1; 3) nên hàm số luôn đồng biến
Suy ra Min f(x) = f(1)
Vậy m ≤ là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán
m≤
Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số sau : y =

{

Bƣớc 4 : Xét điều kiện của m

Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tính y’
 Hàm đồng biến nên

(x
{

Hàm số đồng biến trên khoảng [1; +
{

Bƣớc 3 : Xét hàm số f(x)

đồng biến trên khoảng [1; +

Bài giải
Ta có : y’ =

Bƣớc 2 : Chuyển x sang một
bên và m sang một bên



m<1

Chú ý : Điều kiện x
Bƣớc 2: Xét điều kiện của m

Vậy m < 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 4 : Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến trên R:
Bài giải

11

Sơ đồ con đƣờng


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Bƣớc 1: Tính y’
+) Hàm số đồng biến nên y’
Bƣớc 2 : Chuyển f(x) và f(m)

độc lập
 Trường hợp 1 : mẫu số


Trường hợp 2 : mẫu số
≤

Bƣớc 3: Xét hàm số f (x)

Bƣớc 4 : Tìm điều kiện của m

 Phƣơng pháp 2 : Sử dụng tam thức bậc 2
1) Nếu

thì:
2

1
𝒚

𝟎, 𝒙

𝑹

𝒂
{

𝒃 𝟎
𝒄 𝟎
𝒂 𝟎

{
∆≤ 𝟎

𝒚 ≤ 𝟎, 𝒙

𝑹

2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai

𝒂
{

𝒃 𝟎
𝒄≤𝟎
𝒂 𝟎
{
∆≤ 𝟎

:

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

)

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x)
khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai

với số 0:
𝑥
P

12

𝑥


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Trong quá trình ghi nhớ các bạn học sinh sẽ luôn thắc mắc làm thế nào để ghi nhớ
một cách chính xác các công thức và sau đây là phương pháp giúp các bạn làm điều
đó :
 Xét {

với 0 rồi chuyển về so sánh {

với 0.

4) Để hàm số
có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1;
x2) bằng d thì ta thực hiện các bƣớc sau:
 Tính y.
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
(1)
 Biến đổi
thành
(2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Ví dụ 1: Cho hàm số
Bài giải

. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
.
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1 : Tính y’ ( tam thức
bậc 2 )

Tập xác định: D = R.
y’ =
. Ta có ∆
 Nếu ≤
thì   0  y’
với
 Hàm số đồng biến trên R
Từ đó suy ra
≤
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Nếu
thì   0  phương trình y’
có 2 nghiệm phân biệt
,
Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng
,
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
∆
 ≤

≤
{
{
(VN)
Vậy:

≤

Bƣớc 2 : Xét ∆ và a
 ∆ ≤ thì y’
(do a
)
 ∆
mà a
nên
ngoài khoảng (
hàm số
ĐB
Bƣớc 3: Xét điều kiện với
trường hợp so sánh nghiệm.

Ví dụ 2 :Tìm m để hàm số y  x 3  3x 2  (m  1) x  4m nghịch biến trong ( - 1; 1)
Bài giải
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1 : Tính y’( bậc 2)
 y’ =
Bƣớc 2 : Xét ∆ và a
Ta có :∆
(a 3>0)
 Trong khoảng (

Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)  y' 0 và x1  1  1  x2
y’ ngược dấu với a.
af (1)  0

Bƣớc 3: Xét điều kiện so sánh
af (1)  0
nghiệm
3(3  6  m  1)  0
m  4
 m  8


3(3  6  m  1)  0
m  8
Vậy: m  8 thì hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1).

13


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

(1),(m là tham số).Tìm m để hàm số (1) nghịch biến

Ví dụ 3: Cho hàm số
trên đoạn có độ dài bằng 1.

Sơ đồ con đƣờng

Bài giải

Ta có
có ∆
 Nếu m ≥ 3 thì
,
thì hàm số đồng biến trên R
 m ≥ 3 không thoả mãn.
 Nếu m < 3 thì
có 2 nghiệm phân biệt ,
.
Hàm số nghịch biến trên đoạn
,
với độ dài I
Ta có: x1  x2  2; x1x2 

.

m
.
3

YCBT  l  1  x1  x2  1  ( x1  x2 )2  4 x1x2  1

Vậy m =

4

là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y =

đồng biến trên khoảng (2 ;
)
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1 : Tính y’( bậc 2)
Bƣớc 2 : Xét ∆ và a
 a=3
=>
g(x) cùng dấu a 
∆≤
Bƣớc 3: Xét điều kiện so sánh
nghiệm x1  x2  2
 Hệ thức Viet

Bài giải

{

?1: Nếu a ở dạng tham số m thì ?
 Biện luận trường hợp > 0 ( hoặc
< 0 ) với a tƣơng ứng trường
hợp với ∆

14


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

 Biện luận đồng thời điều kiện của ∆ và a theo mục 2 định lí về dấu của tam thức bậc 2
Bài tập đề xuất :Tìm m để các hàm số

đồng biến trên khoảng

?2 : Với phương pháp hàm số khi chuyển x sang 1 bên và m sang 1 bên mà hàm số f(m) là một
hàm bậc 2, bậc 3,.. thì phải làm thế nào?
 Coi f(m) = k biện luận nghiệm theo k với f(k) = k là hàm hằng
 Giải bất phương trình tìm m đối với điều kiện k vừa tìm được.
Bài tập đề xuất: Tìm m để hàm số y=

đồng biến trên ( 2;+

Các bạn đọc có thể trong quá trình giải toán còn xuất hiện thêm các trường hợp khác cần
bàn luận thì vui lòng truy cập vào trang facebook :
để cùng nhau giải đáp nhé !
 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số:
1.
2.
3. y =
Bài 2 : Tìm m để các hàm số sau
1. y  x 3  3x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.

2.

3. y  mx  2 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x  m 3

luôn đồng biến trên R

4.

5. y  x 4  2mx 2  3m  1 (1), đồng biến trên khoảng (1; 2).
1
3

6. y  (m  1) x 3  (2m  1) x 2  3(2m  1) x  1 (m  1) , luôn đồng biến trên khoảng K  (1; ) .
Bài 3: Chứng minh hàm số

√

nghịch biến trên đoạn

15


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

 Đây là câu hỏi thuộc phần hàm số và là câu 1 diểm trong kì thi THPT Quốc gia. Mức độ câu
hỏi tương đối dễ trong đề thi các năm gần đây nên đây là câu mà các bạn phải nắm chắc chắn
được số điểm. Các bạn hãy bắt tay ngay vào rèn luyện đi nhé ! Chúc các bạn thành công !

Tôi đã xuất sắc hoàn thành được .......điểm phần học này

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

3
Mục tiêu của Tôi

SƠ ĐỒ TỔNG QUAN PHẦN HỌC

16


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

KẾ HOẠCH HỌC TẬP

STT
1

2

Dạng bài
Tìm Cực đại,
Cực tiểu
Tìm m để hàm
số có CĐ, CT
và thỏa mãn 1
tính chất

Số bài tập rèn luyện Thời gian rèn luyện

Thành công là không ngừng nỗ lực học
tập và rèn luyện

Hàm số có cực đại tại x0:
𝑦 ′ 𝑥 =0

{𝒚′đổ𝒊𝑜 𝒅ấ𝒖 𝒕ừ

𝒔𝒂𝒏𝒈 𝒒𝒖𝒂 𝒙𝒐

hoặc

17

Ghi chú Bản thân


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Điều kiện để
cực trị tồn
tại

Hàm số có cực tịểu tại x0:
𝑦 ′ 𝑥 =0

{𝒚′đổ𝒊𝑜 𝒅ấ𝒖 𝒕ừ

𝒔𝒂𝒏𝒈 𝒒𝒖𝒂 𝒙𝒐

hoặc

Dạng 1: Tìm Min, Max / GTLN, GTNN của hàm số

Tính y’ = 0

Cách
1

Lập bảng
biến thiên

( Tìm x )

Tính y’ = 0

Cách
2

Sử dụng
Quy tắc 2

( Tìm x )

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số y 

1 3 1 2
x  x  2x  2 .
3
2

Bài giải
Cách 1: Lập bảng biến thiên và tìm cực trị


Tập xác định:R.

 x  1
Ta có: y '  x 2  x  2; y '  0  
.
x  2


x



Bảng biến thiên:
–1



2

18


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

y’

+

0

–

0

+
+

y

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ  y  1 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT  y  2  

19
6

4
.
3

Cách 2. (Sử dụng quy tắc 2)


Tập xác định:R

 x  1
Ta có: y '  x 2  x  2; y '  0  
.
x  2



y ''  2 x  1, y ''  1  3  0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

yCĐ  y  1  19
6



y ''  2   3  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu .

Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: y  x 4  2 x 2  5 với
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tập xác định
Bƣớc 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bài giải



Tập xác định : D
y'  4 x 3  4 x

x  0
Cho y'  0  4 x( x 2  1)  0  
 x  1

y(0)  5; y(1)  4; y(1)  4; y(2)  13; y(3)  68.

Vậy: Max y  68  x  3 và Min y  4  x  1

x[ 2;3]

x[ 2;3]

Ví dụ 3 :Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

19

Bƣớc 3 : Sử dụng phương
pháp
=> Quy tắc 2 ( tính y” )


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

a)

trên [-1;5]
Bài giải

Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tập xác định
Bƣớc 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Bƣớc 3 : Sử dụng phương
pháp

b)

trên [-3;2]
Sơ đồ con đƣờng

Bài giải
Ví dụ 4: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau:
a) y = x.√
b) y = cosx +

c) y =
Sơ đồ con đƣờng

Bài giải
a) y = x.√
 Tập xác định : D


y’ =

Bƣớc 1: Tập xác định
Bƣớc 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

( với -1 < x < 1 )

√

y’ = 0  1 - 2



x=

Bảng biến thiên của hàm số:
x
√
-1
f’(x)
f(x)

-

0

+

√

hoặc x =

√

0

√

1
-

0

0

20

Bƣớc 3 : Sử dụng phương
pháp
 Lập bảng biến thiên


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Vậy hàm số đạt GTLN là
hàm số đạt GTNN là

tại x =

√

tại x =

√

b) y = cosx +
 Tập xác định : D = R
 y’ = - sinx – sin2x = -sinx ( 1+ 2cosx )
y’ = 0  [

Bƣớc 1: Tập xác định
Bƣớc 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

 [

(k



Ta có :y” = -cosx – 2cos2x
+ y”(
= - cos
– 2cos2
=
+ y”(
= -cos – 2cos
Vậy hàm số đạt GTLN tại x =
hàm số đạt GTNN là tại x =

= >0

Bƣớc 3 : Sử dụng phương
pháp
 Quy tắc 2

(k

c) y =
Bƣớc 1: Tập xác định
 phá dấu trị tuyệt đối
Bƣớc 2 : Tính
= 0 => Tìm x
= 0 => Tìm x

Bƣớc 3 : Sử dụng phương
pháp
 Quy tắc 2
 Hoặc Bảng biến thiên

Dạng 2 : Tìm m để hàm số có Cực Đại , Cực Tiểu và thỏa mãn một tính chất

21


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x3  3(m  1) x 2  9 x  m , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã
cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1  x2  2 .
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tính y’
Bƣớc 2 : Tìm Đk để PT có 2
nghiệm ∆

Bài giải


Ta có y ‘ = 3
 Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu x1, x2
 Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.
 x 2  2(m  1) x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2
  '  (m  1)2  3  0  m  1  3  m  1  3
(1)
 Mặt khác :

≤ 
≤ (*)
Theo định lý Viet ta có :
(*)  4
≤ 
≤
 -3 ≤ ≤
(2)
Từ (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm là: 3  m  1  3 hoặc
1  3  m  1.
Ví dụ 2 :Cho hàm số

(2)
22

Bƣớc 3 : Xử lí tính chất
- Định lí Viet ( dấu| |
,Tổng,Tích)
=> Bình phương mất | |


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1  2 x2  1
Bài giải
 Ta có:
Hàm số (2) có 2 diểm cực đại và cực tiểu
 Phương trình
có 2 nghiệm phân biệt , (

 Khi đó ta có:  x1  x2  2(m  1)
 x1x2  3(m  2)


 x2  3  2m
 
(luôn đúng với m)
 x2 1  2 x2   3(m  2)

 8m2  16m  9  0  m 
Vậy m =

√

Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1: Tính y’ = 0
Bƣớc 2: Xét ∆
Có 2 điểm  2 nghiệm nên
∆
Bƣớc 3 : Xử lí tính chất
Tổng => Hệ thức Viet

4  34
.
4

là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. Cho hàm số y  x3  3mx 2  4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các
điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Sơ đồ con đƣờng

Bài giải

x  0
 x  2m

Ta có: y’ = 3x2  6mx = 0  

Để

hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)
nghiệm

2

Bƣớc 1 : Tính y’ = 0
Bƣớc 2 : Tìm ĐK để PT có 2
nghiệm
Bƣớc 3 : Xử lí tinh chất
 Tính chất hình học

 AB  (2m; 4m3 ) Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là
vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường
thẳng y = x

A

AB

I

3

 2m  4m  0
 3

 2m  m

B

2
;m=0
2
2
Kết hợp với điều kiện ta có: m  
2

Giải hệ phương trình ta được m  

Ví dụ 4. Cho hàm số



y  x3  3mx2  3(m2  1) x  m3  m

1 ẩn m => 1 phương trình
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vg ⃗⃗⃗⃗∆  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗∆ = 0

Gọi I ∆ thế I vào AB

(1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng

thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

23

2 lần khoảng cách từ


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Sơ đồ con đƣờng

Bài giải
Ta có: y’ = 4
*

Bƣớc 1: Tính y’ = 0
Tìm ĐK m có 3 điểm cực trị

= 4x(
=> m

(* )

Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị

Gọi ba điểm cực trị là: A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m
4

4

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC
là tam giác cân, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là
vuông, thì AB vuông góc với AC.
 AB   m; m4  ; AC   m; m4  ; BC   2m;0 
Tam giác ABC vuông khi:
BC 2  AB 2  AC 2  4m2  m2  m8   m2  m8 



Bƣớc 2: Tìm điểm cực trị
Bƣớc 3: Xử lí tính chất
=> Tính chất hình học
( Vẽ hình ta thấy)
- Cạnh :AB=AC ;AB vuông
AC
- Góc : ( AB, BC ) = 45

 2m2  m4  1  0;  m4  1  m  1

Vậy với

và

thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

(1). Viết phương trình đường thẳng

Ví dụ 5 :Cho hàm số
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài giải
Ta có : y’ =
y = y’ (
+ 2x –

Sơ đồ con đƣờng
Bƣơc 1: Tính y’
Bƣớc 2 : Lấy được phần dư

y = ax + b ( ax + b là phần dư)
=
(
+2
–
PTĐT nối cực đại cực tiểu là

=2
–
( do
Vậy phương trình đường thẳng nối cự đại cực tiểu
là y = 2x –
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số: y  1 x3   m2  m  2  x 2   3m2  1 x  m  5 đạt cực tiểu tại x  -2.
3
Bài giải
Sơ đồ con đƣờng
Bƣớc 1 : Tính y’ = 0



+) PT có 1 nghiệm ( CT)
+) PT có 2 nghiệm
Bƣớc 2 : Xử lí tính chất

(1).Tìm m để hàm số có hai cực trị x1, x2

Ví dụ 7 :Cho hàm số :
thoả mãn 1  x1  x2
24


Bí mật tƣ duy điểm 10 môn Toán
/>Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn – 0986.035.246

Sơ đồ con đƣờng

Bài giải
 Tập xác định D = R.
Ta có :
Đặt

.
ta được

(1) có hai cực trị ,
thoả mãn
 g(t) = 0 có hai nghiệm , thỏa mãn
∆

{
{

Vậy m  2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1, x2
thoả mãn 1  x1  x2 .
Ví dụ 8. Cho hàm số y  x 4  2m2 x 2  1 (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm
cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
Bài giải
Sơ đồ con đƣờng

CÂU HỎI TƢ DUY
Hãy sáng tạo ra các tính chất có thể có từ 2 yếu tố
&
xoay quanh 2 cách xử lí dùng hệ thức Viet ( chuyển về tổng & tích ) và Hình học ( cạnh &
góc )

25