Chuyên đề toántích phân

CHUYÊN ĐỀ

TÍCH PHÂN


Là gì?
Để làm gì?

TÍCH
PHÂN

Như thế nào?


Tích phân là gì?

Tích
Phân

 

Tập hợp (
Các phân tử
(phần tử) – hạt vô cùng nhỏ

 

Tích phân


Tích phân

để làm gì?

Trong mặt phẳng

Tính diện tích

Trong không gian

Tính thể tích


y

b

 

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

O

x
 
 


 

y

 

b

V = π ∫ f 2 ( x) dx
a

 

O

x


Học như thế nào?

Phải học bắt đầu
từ đâu?

Nên học những gì?


TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

TÍCH PHÂN CÓ CẬN XÁC ĐỊNH


 

 

 

 

ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI

Hàm số f(x) liên tục trên


 

Kí hiệu

 

 

Vi phân  Đạo hàm

Hàm

Đa thức

Hữu tỉ

Đổi biến số

Vô tỉ

Lượng giác

Hàm mũ và logarit

Tích phân
từng phần



Sử dụng bảng nguyên hàm  Bảng cửu chương

Học
thuộc
lòng

Đa thức


MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
.

 

Cho các hàm số liên tục trên R và a,b,c là ba số thuộc R

a

• ∫ f ( x)dx = 0

b

a

a

b

• ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

a

b

c

b

a

a

c

• ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

b

b

a

a

• ∫ k . f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx

b

b

b

a

a

a

• ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx


CÔNG THỨC

 

NGUYÊN HÀM

 

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

= F(b) – F( a)


 

 
Bài tập ví dụ:

a.

 

b.


 

Hữu tỉ
1
 

 

Bậc

 

Bản chất

2

Bậc
Biến đổi

 
 
 

Lấy

Nhẩm 2

chia

ng
Nhẩm đc 1

Biến

Nhẩm đc 1ng

đổi

K nhẩm đc ng

ng
 
 

 

Biến

Biến

g(x)

Biến

đổi

đổi

 

 
 

đổi

 

g(x)

 
 

Đa thức

2

Đặt theo hàm
Đồng nhất hệ số

lượng giác


SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG

 
BẢN CHẤT

=

Xác định bậc của tử thức và mẫu thức nếu :

Bước 1 :

-Tử ≥ mẫu  Ta thực hiện phép chia đa thức
- Tử < mẫu  Ta thực hiện phép phân tích mẫu thức

Bước 2

Gọi hệ số α , β ( nếu cần ) rồi quy đồng mẫu thức thực hiện phép Đồng nhất hệ số tìm α , β

Tách biểu thức thành các dạng cơ bản có trong bản nguyên hàm hoặc sử dụng các phép đổi biến số để

Bước 3

thực hiện tiếp yêu cầu


 

2

I =∫

Hữu tỷ

DẠNG

x2

dx
1 x − 7x + 12
2

 I =

F(x) = G(x)

Bậc

=> Chia đa thức

 Ta có =

 

Tìm

Đồng nhất hệ số

2


16
9 
I = ∫  1+
−
÷dx
x
−
4
x
−
3


1
 

I = ( x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 )
Vậy

I = 1 + 25ln 2 − 16 ln 3

2
1


VÔ TỶ


Ta thường ưu tiên đặt căn mũ mẫu bằng ẩn mới

Chú ý

π
π

 x =| a | sin t , − 2 ≤ t ≤ 2

 x =| a | cost , 0 ≤ t ≤ π

a2 − x2

|a|
π
π

x

=
,
−
≤
t
≤
;t ≠ 0

sin t
2
2

x = | a | , 0 ≤ t ≤ π ;t ≠ π

cost
2

x2 − a2

( x − a )(b − x)
a+x
a−x

Hoặc

Đặt

a−x
a+x

x = a + (b − a ) sin 2 t

Đặt

x = a cos 2t

x2 + a2

π
π

x
=
|
a
|
tan
t
,
−
<
t
<

2
2

 x =| a | cott , 0 < t < π

Bài tập ví dụ

4

I =∫

0 1+

2x + 1
2x + 1

3

I =∫

x− 3

dx
0 3 x + 1+ x + 3

dx

t = x + 1 ⇒ 2tdu = dx

Đặt
 Đặt
 Đổi cận :

I =

Đổi cận:

2

2

2t3 − 8t

2

1
dt
=
(2
t
−
6)
dt
+
6
∫ t2 + 3t + 2
∫
∫ t + 1dt
1
1
1

 

dt

= −3+ 6ln

3
2



Tích phân
từng phần

 

 Sinx

 
 

Cosx

lnx
arcsinx

Tanx

arccosx

Cotx

arctanx

arccotx
….

….

 

CHÚ Ý
Trong quá trình tính nhiều lần từng phần ta phải
thống nhất giữa các lần đặt với nhau

 


Nhất logrit

1

2

Nhì Đa thức

3

Tam Lượng

Thứ tự ưu tiên hàm
khi lấy tích phân
từng phần

4

Tứ mũ


 

Ví dụ 1 : Tính

 Đặt
 

 Đặt

Khi đó: