42 bài tập TÍCH PHÂN LTĐH 2016 có đáp án

NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246

BÀI TẬP TỔNG HỢP TÍCH PHÂN
π
2

Bài 1: Tính tích phân sau: I = sin 2 x ( x 2 + cos 2008 x ) dx
∫
0



1
+ ln 2 x ÷dx
Bài 2: Tính tích phân sau: I = ∫ 
2
1  x 4 − ln x

e

π
3

Bài 3: Tính tích phân sau: I = ∫
π
4

tan x
cos x. 1 + cos 2 x

e

Bài 4: Tính tích phân sau: I = ∫

ln 2 x + e x ( e x + ln 2 x )
1 + ex

1

π
4
0
3 ln 2

∫

Bài 5: Tính tích phân: I =
Bài 6: Tính tích phân

.dx

( x + sin 2 2 x) cos 2 xdx

∫

I=

dx

0

2

dx
(3 e x + 2) 2

4 − x2
dx
x2

Bài 7: Tính tích phân: I = ∫
1

2

1 − x2
dx.
3
x
+
x
1

Bài 8: Tính tích phân sau : I = ∫
π
2

Bài 9: Tính tích phân: I = 3sin x − 2 cos x dx
∫0 (sin x + cos x)3
e

log 32 x

Bài 10: Tính tích phân: I = ∫

dx .
2
x
1
+
3ln
x
1
3
x −3
dx .
Bài 11: Tính tích phân ∫
3.
x
+
1
+
x
+
3
0
π
2
sin x − cosx + 1
Bài 12: Tính tích phân: I =

∫ sin x + 2cosx + 3 dx

0
π
3

cotx
dx
π

π
s inx.sin  x + ÷
6
4

dx

Bài 13: Tính tích phân I = ∫
1

Bài 14: Tính tích phân:

∫ 1+ x +

−1

Bài 15: Tính tích phân: I =

π
4

∫
0

1+ x2

tan x.ln(cos x)
dx
cos x

Trang 1


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
π /4

sin x

∫

Bài 16: Tính tích phân: I =

1+ x + x
2

−π /4

π
tan( x − )
4 dx

I =∫
c
os2x
0
π
6

Bài 17: Tính tích phân :
1

Bài 18: Tính tích phân

dx

2
3
∫ ( x sin x +
0

Bài 19: Tìm nguyên hàm I = ∫

x
)dx
1+ x

dx
sin x. cos 5 x
3

Bài 20: Tìm nguyên hàm F ( x ) =

sin 2 xdx

∫ 3 + 4 sin x − cos 2 x

ln x 3 2 + ln 2 x
Bài 21: Tính tích phân: I = ∫
dx .
x
1
e

1

∫e

Bài 22: Tính tích phân: I =

3 x +1

dx

0

2

Bài 23: Tính: A =

2

∫
0

x2
1− x2
e

dx



ln x

+ ln 2 x ÷dx

1  x 1 + ln x

Bài 24: Tính tích phân: I = ∫ 
e



ln x
+ 3x2 ln xdx
Bài 25: Tính tích phân I = ∫ 

1  x 1+ ln x
3
ln x
∫1 (x + 1)2 dx

Bài 26: Tính tích phân: I =
Bài 27: Tính tích phân I =

π
3

x sin x
dx.
2
x

∫ cos

−π
3

4

Bài 28: Tính tích phân: I = ∫
0

(1 +

π
4
0

∫

Bài 29: Tính tích phân: I =

x +1
1 + 2x

)

2

dx .

( x + sin 2 2 x) cos 2 xdx .
π

dx
I
=
∫
Bài 30: Tính tích phân sau:
π 2 + 3 s inx-cosx
3

π
2

2
I = ∫ sin x × sin x +

Bài 31: Tính tích phân:

Bài 32: Tính tích phân: I =

π
6

π
3

∫
0

1
2

dx

x + sin 2 x
dx
cos 2 x
Trang 2


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
π
2

Bài 33: Tính tích phân sau:

2

I = ∫ esin x.sin x.cos3 x. dx

0

4

Bài 34: Tính I = ∫

2x + 1

0 1+ 2x + 1

dx

π
2

Bài 35: Tính tích phân: I = (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x)dx .
∫
0

1

 1− x



− 2 x ln ( 1 + x ) ÷
Bài 36: Tính tích phân sau: I = ∫ 
÷dx
1
+

x

0
π
4


ex
−x 
e
2
x
+
∫0  1 + tan 2 x ÷ dx

Bài 37: Tính tích phân: I =

4

Bài 38: Tính tích phân:

3

∫ x( x

I=

1
4

1

Bài 39: Tính tích phân

π
2

∫
0

+ 1)

dx

sin xdx

( sin x +

3 cos x )

3

1

I = ∫ x ln( x 2 + x + 1)dx

Bài 40: Tính tích phân:

0

5

dx
4x + 1
3 2x + 1 +

Bài 41: Tính tích phân: I = ∫

3 ln 2

Bài 42: Tính tích phân

∫

I=

( e + 2) 2

0

5

Bài 43: Tính tích phân I = ∫
1

dx
3

x

x2 +1
x 3x + 1

dx .
1

2

1 x+ x
(
x
+
1
−
)e dx
Bài 44: Tính tích phân: I = ∫1
.
x
2

ln 5

Bài 45: Tính tích phân: I =

∫

ln 2

Bài 46: Tính tích phân I =

ln 3

∫

ln 2

Bài 47: Tìm nguyên hàm I =

e2x
e x −1
e 2x dx

dx

ex − 1 + ex − 2

∫

ln(1 + x 2 ) x + 2011x
ln[(ex + e)
2

x2 +1

]

dx

2

ln(x + 1)
dx .
x3
1

Bài 48: Tính tích phân : I = ∫
0

( x 2 − 1)
dx .
Bài 49: Tính tích phân: I = ∫ 2
2
−1 ( x + 1)

Trang 3


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
Bài 50: Tính tích phân: I =

π
2

 (1 + cosx)1+ sinx 
∫0 ln  1 + sinx  dx

ĐÁP ÁN 50 BÀI TÍCH PHÂN TỔNG HỢP
π
2

Bài 1: Tính tích phân sau: I = sin 2 x ( x 2 + cos 2008 x ) dx
∫
0

π
2

π
2

π
2

0

0

0

I = ∫ sin 2 x ( x 2 + cos 2008 x ) dx = ∫ x 2 .sin 2 x.dx + ∫ sin 2 x.cos 2008 x.dx = I1 + I2
du = 2 x.dx
u = x 2

⇒
(+) I1 = x .sin 2 x.dx Đặt: 

1
∫0
 dv = sin 2 x.dx v = − cos 2 x


2
π
π
π 2
2
2
− x 2 .cos 2 x
π
⇒ I1 =
2 + ∫ x.cos 2 x.dx =
+ ∫ x.cos 2 x.dx
2
8 0
0 0
 du = dx
u = x

⇒
Đặt: 
1
 du = cos 2 x.dx v = .sin 2 x

2
π
π
π
2
π2 1
π2 1
π2 1

π
x.sin x
12
+ cos 2 x 2 =
+ (−1 − 1) =
−
Ta có: I1 = +
2 − ∫ sin 2 x.dx =
8 4
8 4
8 2
8
2
20
0
0
π
2

2

π
cos 2010 x
1
2=
(+) I2 = −2 cos 2009 x.d (cos x) = −2.
∫0
2010
1005
0

π
2

π2 1
1
π 2 1003
− +
=
−
8 2 1005 8 2010
e
e
e



1
1
2 
2
+ ln x ÷dx = ∫ 
Bài 2: I = ∫ 
÷dx + ∫ ln x.dx
2
2
1  x 4 − ln x

1  x 4 − ln x 
1
e



1
* Ta tính tích phân I1 = ∫ 
÷.dx
2
1  x 4 − ln x 

Vậy: I =

Trang 4


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
dx
Đặt u = lnx => du =
x
Khi x = 1 thì u = 0; Khi x = e thì u = 1
1
du
⇒ I1 = ∫
4 − u2
0
Đặt u = 2sint => du = 2costdt
π
6

π
Khi u = 0 thì t = 0; u = 1 thì t =
6

⇒ I1 = ∫
0

π
π
2.cos t
.dt = ∫
dt = ∫ dt = x 6 = 6
2.cos t
4 − 4sin 2 t
0
0
0
2.cos t

π
6

π
6

e

2
* Ta tính tích phân I 2 = ∫ ln x.dx
1

dx


e e
e e
u = ln 2 x
dx
du = 2.ln x.
2
⇔
= x.ln 2 x − ∫ 2.ln x.dx
x ⇒ I 2 = x.ln x − ∫ x.2 ln x.
Đặt 
1 1
1 1
x
 dv = du
v = x
dx

e
e e dx
e
e
e
u = ln x
du =
2
⇔
= x.ln 2 x − 2 x ln x + 2 x
x ⇒ I 2 = x.ln x − 2 x.ln x + ∫ 2 x
Đặt 
1

1 1
1
1
1
x
 dv = 2dx
v = 2 x
= e - 2e + 2e - 2 = e - 2
π
Vậy: I = I1 + I 2 = + e − 2 .
6
π
3

Bài 3: Ta viết lại : I = ∫

tan x.dx

π
3

=∫

tan x.dx

2
1
π cos x 2 + tan x
cos 2 x 4
tan x.dx

Đặt t = 2 + tan 2 x thì dt =
.
2
cos x 2 + tan 2 x
π
π
Khi x = ⇒ t = 3 ; khi x = ⇒ t = 5
4
3

π
4

cos 2 x 1 +

2

5

Từ đó : I =

∫ dt =

5− 3.

3

Bài 4:
e

ln 2 x + e x (e x + ln 2 x)
dx
1 + ex
1

Tính tích phân: I = ∫

e
 2
ln 2 x + e 2 x + e x .ln 2 x
e2 x
.
dx
=
ln
x
+
∫1 
1 + ex
1+ ex
1
e

Ta có: I = ∫

e
e

e2 x
2

dx
=
ln
x
.
dx
+
÷
∫1
∫1 e x + 1 .dx


dx

u = ln 2 x du = 2 ln x.
⇒
x
* Tính I1 = ∫ ln x.dx đặt: 
 dv = dx
1
v = x
e
e e
⇒ I1 = ( x ln 2 x) − ∫ 2 ln x.dx = e − ∫ 2 ln x.dx
1 1
1
e

2

Trang 5


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
2dx

u = 2 ln x du =
⇒
x
Đặt: 
 dv = dx
v = x


e e
⇒ I1 = e −  2 x.ln x − ∫ 2.dx  = e − 2
1 1


e
2x
e
I2 = ∫ x
dx Đặt: y = ex + 1 => ex = u – 1 và ex.dx = du
e
+
1
1
Khi: x= 1 => u = e + 1
x = e => u = ee + 1

ee +1
ee +1
ee + 1
 u −1 
 1
⇒ I2 = ∫ 
du
=
1
−
du
=
(
u
−
ln
u
)
÷
∫  u ÷
u 
e +1
e +1 
e +1 
e
e
= e + 1 – ln(e +1) – (e + 1 – ln(e + 1))
 e +1 
= ee – e + ln  e ÷
 e +1

 e +1 
 e +1 
Vậy: I = I1 + I2 = e – 2 + ee – e + ln  e ÷ = ee – 2 + ln  e ÷
 e +1
 e +1
Bài 5:
π
4

π
4

∫

π
4

∫

∫

I = ( x + sin 2 2 x)cos 2 xdx = xcos 2 xdx + sin 2 2 xcos 2 xdx = I + I
1
2
0

0

0

Tính I1
π

π
 du = dx
 u = x
x
14

⇒ 1
⇒ I1 = sin 2 x 4 − ∫ sin 2 xdx
Đặt 
v
=
cos
2
xdx
2
20
v
=
sin
2
x
 2
 ∫
0
π
π 1
π 1

= + cos 2 x 4 = −
8 4
8 4
0
Tính I2
π
4

π
1
1 3 4 1
2
I 2 = ∫ sin 2 xd (sin 2 x) = sin 2 x =
20
6
6
0
Vậy I=

π 1 1 π 1
− + = −
8 4 6 8 12

Bài 6:
x
3

3 ln 2

Ta có I =

∫

e dx
x
3

x

e (e 3 + 2) 2

0

x

x

Đặt u= e 3 ⇒ 3du = e 3 dx ; x = 0 ⇒ u = 1; x = 3 ln 2 ⇒ u = 2
Trang 6


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
2
2
 1
1
1
3du
 −
−

I=∫
Ta được:
=3
∫
2
4u 4(u + 2) 2(u + 2) 2
1
1 u (u + 2)


du


2

1

1
1

=3  ln u − ln u + 2 +
4
2(u + 2)  1
4
3 3 1
= ln( ) −
4 2 8
3 3 1
Vậy I = ln( ) −
4 2 8

Bài 7: Đặt x = 2 sin t thì dx = 2 cos tdt , khi x = 1 thì t =
2

I =∫
1

π
2

π
2

π
π
, khi x = 2 thì t =
, vậy:
6
2

π
2

π
4− x
cos t
 1

dx = ∫
dt = ∫  2 − 1dt = − ∫ d (cot t ) − t π2 =

2
x2
sin
t

π
π  sin t
π
6
2

2

6

6

3−

π
3

6

2

Bài 8:

1 − x2
dx.

1. Tính tích phân sau : I = ∫
x + x3
1

2

1 − x2
I =∫
dx. =
3
x
+
x
1

2

∫
1

1
1
−1
2 d (x + )
2
1 2
4
x
x
dx = − ∫

ln( x + ) 1 = …. = ln
=
1
1
x
5
1
+x
+x
x
x

2

2
1 − x2
2x 
1
dx. = ∫  − 2 ÷dx =……)
( Hoặc I = ∫
3
x x +1 
x+x
1
1

Bài 9: Đặt x =

π
π

π
− t ⇒ dx = − dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0.
2
2
2

π
2

π
2

π
2

Suy ra: I = 3sin x − 2 cos x dx = 3cos t − 2sin t dt = 3cos x − 2sin x dx (Do tích phân không phụ thuộc vào kí
∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (cos t + sin t )3 ∫0 (cos x + sin x)3
hiệu cảu biến số).
π
2

π

π

2
2
1
Suy ra: 2 I = I + I = 3sin x − 2 cos x dx + 3cos x − 2sin x dx =
∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (cos x + sin x)3 ∫0 (sin x + cos x) 2 dx =

π
2

π
2

1
1
1
π 1
π  π2


1
dx
=
d
x
−
=
tan
x
−

÷

÷ = 1 . KL: Vậy I = .
=∫
∫

π
π
2
4
2
4







0
0 2 cos 2 x −
0 cos 2 x −
2

÷

÷
4
4




Bài 10:
3
 ln x 

e
e
e

÷
log 32 x
1
ln 2 x.
ln xdx
ln 2 
I =∫
dx = ∫ 
dx = 3 ∫
.
2
2
ln 2 1 1 + 3ln 2 x
x
1 x 1 + 3ln x
1 x 1 + 3ln x
1 2
dx 1
2
2
Đặt 1 + 3ln x = t ⇒ ln x = (t − 1) ⇒ ln x. = tdt . Đổi cận …
3
x 3

Trang 7

NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
1 2
2
2
( t − 1) 1
1
1
Suy ra I =
3
dx
=
.
tdt
=
t 2 − 1) dt
(
3
3
∫1 x 1 + 3ln 2 x
∫
∫
ln 2 1
t
3
9 ln 2 1
e

log 32 x

2

1 1 3 
4
=
 t −t÷ =
3
3
9 ln 2  3
 1 27 ln 2
Bài 11:
x = 0 ⇒ u = 1
x + 1 ⇒ u 2 − 1 = x ⇒ 2udu = dx ; đổi cận: 
x = 3 ⇒ u = 2

Đặt u =
3

2

2

2

x−3
2u 3 − 8u
1
dx = ∫ 2
du = ∫ (2u − 6)du + 6∫
du

Ta có: ∫
u + 3u + 2
u +1
0 3 x +1 + x + 3
1
1
1

(

= u 2 − 6u

2

) 1 + 6 ln u + 1 1 = −3 + 6 ln 32
2

π
2

π
2

π
2

dx
Bài 12: Vậy I = − 1 dx − 3 d ( sin x + 2cosx + 3 ) + 8
∫
∫

∫
50
5 0 sin x + 2cosx + 3
5 0 sin x + 2cosx + 3
π
1 π 3
8
I = − x 02 − ln ( sin x + 2cosx + 3 )  2 + J
0
5
5
5
π 3
8
I = − − ( ln 4 − ln 5 ) + J
10 5
5
π
2

1 2 x 
2tdt
x
dx
. Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1÷⇒ dx = 2
∫0 sin x + 2cosx + 3
2
2 
t +1
2

π
Đổi cận : Khi x =
thì t = 1
2
Khi x = 0 thì t = 0
2dt
1
1
1
2
dt
dt
t
+
1
= 2∫ 2
= 2∫
Vậy J = ∫
2
2
2
2t
1− t
t + 2t + 5
0
0
0 ( t + 1) + 2
+
2
+

3
t2 +1
t2 +1
Đặt t + 1 = 2 tan u . suy ra dt = 2 ( tan2u + 1)du
π
Đổi cận khi t = 1 thì u =
4
1
Khi t = 0 thì u = α với tan α =
2
Tính J =

π
4

J=∫
α

2 ( tan 2 u + 1) du
4 ( tan u + 1)
2

Do vậy : I =

π

= u α4 =

π
−α

4

3π 3 5 8
+ ln − α
10 5 4 5

Bài 13: Tính

Trang 8


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
π
3

π
3

cot x
cot x
dx = 2 ∫
dx
π

π
π s inx ( s inx + cos x )
sin x sin  x + ÷
6
6
4



I=∫

π
3

= 2∫
π
6

cot x
dx
s in x ( 1 + cot x )
2

1
dx = −dt
sin 2 x
π
π
3 +1
Khi x = ⇔ t = 1 + 3; x = ⇔ t =
6
3
3

Đặt 1+cotx=t ⇒

3 +1

t −1
∫ t dt = 2 ( t − ln t )
3 +1

I= 2

Vậy

3 +1
3 +1
3

 2

= 2
− ln 3 ÷
 3


3
1

∫ 1+ x +

Bài 14: Ta có :

−1
1

=

1

dx
1+ x2

=∫

−1

1+ x − 1+ x2

( 1+ x )

2

Nên I = 1
1+ x − 1+ x2
dx =
2x
−1
1

− ( 1+ x2 )

dx = ∫

1

1 1 
1+ x2
+
1
dx
−

÷
∫−1 2x dx
2 −∫1  x 
1

•

I1 =

•

I2 =

1 1 
1
1
 + 1÷dx = ln x + x  |−1 = 1
∫
2 −1  x 
2
1

1+ x2

dx . Đặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2xdx
2x

∫

−1

t = 2
x = 1
⇒
Đổi cận : 
 x = −1  t = 2
2

Vậy I2=

t 2 dt
∫ 2 ( t 2 − 1) = 0
2

Bài 15: Đặt t=cosx
Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , x =
1
2

Từ đó I = − ∫
1

ln t
dt =

t2

1

∫

1
2

1
π
thì t =
2
4

ln t
dt
t2

1
1
1
dt ⇒ du = dt; v = −
2
t
t
t
1
1
1

1
1
2
1
ln 2 − 1
Suy ra I = − ln t 1 + ∫ 2 dt = −
t
2
t
1 t
2 2
2

*Đặt u = ln t;dv =

*Kết quả

I = 2 −1−

2
ln 2
2

Bài 16:
Trang 9


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246

I=

π /4

sin x

∫

1 + x2 + x

−π /4

dx =

π /4

∫

1 + x sin xdx +
2

−π /4

π /4

∫

x sin xdx = I1 + I 2

−π /4

Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì I1 = 0 , tích phân từng phần I 2 được kết quả.
Bài 17:

π
π
tan( x − )
2
6
4 dx = − tan x + 1 dx
I=∫
∫0 (t anx+1)2
cos2x
0
π
6

t = t anx ⇒ dt=

Đặt

x=0⇒t =0
π
1
x= ⇒t =
6
3
1
3

Suy ra

I =−∫
0

1
dx = (tan 2 x + 1)dx
cos 2 x

1

dt
1 3 1− 3 .
=
=
2
(t + 1)
t + 10
2

Bài 18:
1

1

x
dx
1+ x
0

I = ∫ x 2 sin x3 dx + ∫

0

1

Ta tính I1 =

∫x

2

sin x3 dx đặt t = x3 ta tính được I1 = -1/3(cos1 - sin1)

0
1

x
dx đặt t =
Ta tính I2 = ∫
1+ x
0

1

x ta tính được I2 = 2 ∫ (1 −

Từ đó ta có I = I1 + I2 = -1/3(cos1 - 1)+ 2 −

0

1

π
π
)dt = 2(1 − ) = 2 −
2
1+ t
4
2

π
2

Bài 19:
dx
dx
= 8∫ 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
Đặt tanx = t
dx
2t
⇒ dt =
; sin 2 x =
2
cos x
1+ t2
dt
(t 2 + 1) 3
⇒ I = 8∫

=
dt
2t 3 ∫ t 3
(
)
1+ t2
t 6 + 3t 4 + 3t 2 + 1
=∫
dt
t3
3
1
3
1
= ∫ (t 3 + 3t + + t −3 ) dt = tan 4 x + tan 2 x + 3 ln tan x −
+C
t
4
2
2 tan 2 x
I=∫

3

Trang 10


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
Bài 20:

sin 2 xdx
2 sin x cos xdx
=∫
2
3 + 4 sin x − (1 − 2 sin x)
2 sin 2 x + 4 sin x + 2
Đặt u = sinx ⇒ du = cos xdx

Ta có F ( x ) = ∫

Ta có

F ( x) = G (u ) = ∫
= ln u + 1 +

udu

( u + 1)

2

=∫

du
du
−∫
u +1
(u + 1) 2

1

+c
u +1

Vậy F ( x) = ln sinx + 1 +

1
+c
sin x + 1

Bài 21:

Tính tích phân (1,00 điểm)
e
1
ln x 3 2 + ln 2 x
1e
2
3
I =∫
dx = ∫ ln x 2 + ln xd ( ln x ) = ∫ ( 2 + ln 2 x ) 3 d ( 2 + ln 2 x )
x
21
1
1
e

1 3
= .
2

3

( 2 + ln x )
2

4

e

3
=  3 34 − 3 2 4 

8

4
1
1

Bài 22: Tính: I= ∫ e

3 x +1

dx

0

x = 0 → t = 1
2
2
3x + 1 = t ; t ≥ 0 → 3 x + 1 = t → dx = t.dt ; 

3
x = 1 → t = 2
2
u = t → du = dt
2 t
Vậy
I= ∫ te dt
Đặt
.
31
dv = et dt → v = et
Đặt

2

2 t
2 2
t
Ta có I = (te − ∫ e dt ) = e
3
3
1
Bài 23:
Đặt t = sinx => 1 − x 2 = cos t , dx = cos tdt
π
4

(

)

A = ∫ sin 2 t dt = A =
0

π −2
8

Bài 24:
e

 ln x

I = ∫
+ ln 2 x ÷dx

1  x 1 + ln x
e

I1 = ∫

1
e

ln x
dx , Đặt t =
x 1 + ln x

(

1 + ln x ,… Tính được I1 =

4 2 2
−
3
3

)

I 2 = ∫ ln 2 x dx , lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e - 2
1

Trang 11


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
2 2 2
I = I1 + I2 = e − −
3
3

Bài 25:
e

e

lnx
dx+ 3∫ x2 lnxdx
x
1
+

ln
x
1
1

I=∫

e

+) Tính I 1 = ∫
1

ln x
x 1 + ln x

dx . Đặt t = 1+ lnx ⇒ t2 = 1+ lnx; 2tdt=

Đổi cận: x = 1⇒ t = 1;x = e ⇒ t = 2
I1 =

2

∫

(t

1

2

)

(

2

1
dx
x

)

2
 t3 
−1
2 2− 2
2
.2tdt= 2 ∫ t − 1 dt = 2 − t =
t
3
 3 1
1

(

)

dx

du=


u = lnx

x
2
⇒
+) Tính I 2 = ∫ x lnxdx. Đặt 
2
3
dv= x dx v = x
1

3
e
3
3
3
3
3
x
1
e 1 x
e e 1 2e3 + 1
I 2 = .lnx 1e − ∫ x2dx = − . 1e = − + =
3
31
3 3 3
3 9 9
9
e

3
I = I 1 + 3I 2 = 5− 2 2 + 2e
3
3

Bài 26: I =

ln x

∫ (x + 1)

2

dx

1

dx
1
−
. Đặt u = lnx ⇒ du = x ; dv = (x + 1)-2dx ⇒ v = x + 1

3
3
x + 1) − x
(
ln x
1
1 

1
−
+∫
dx = − ln 3 + ∫  −
÷dx
4
x x +1 
1
I = x + 1 1 1 x(x + 1)
3
1

x 
1
3
− ln 3 +  ln

− ln 3 + ln
4
x
+
1

1 = 4
2
=
3

Bài 27:
Tính tích phân I =

π
3

x sin x
dx.
2
x

∫ cos

−π
3

• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
I=

π
3

 1 

x

∫ xd  cosx ÷ = cosx

−

π
3

π
3
−

π
3

π
3

−∫
−

π
3

dx
4π
=
− J , với J =
cosx
3

π
3

−

π

3

• Để tính J ta đặt t = sin x. Khi đó
J=

π
3

∫

−

π
3

dx
=
cosx

3
2

−

dt
1 t −1
∫3 1 − t 2 = − 2 ln t + 1
2

Trang 12

3
2
−

3
2

= − ln

dx

∫ cosx

2− 3
.
2+ 3


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
• Vậy I =

4π
2− 3
− ln
.
3
2+ 3

Bài 28:

4

=
I ∫
0

x +1

(1 +

1 + 2x

)

2

dx .

dx
t 2 − 2t
t
=
1
+
1
+
2
x
⇒
dt

=
⇒
dx
=
(
t
−
1
)
dt
x
=
•Đặt
và
1 + 2x
2
Đổi cận
x
0
t
2

4

4
4

4

4

1 (t 2 − 2t + 2)(t − 1)
1 t 3 − 3t 2 + 4t − 2
1 
4 2
dt
=
dt = ∫  t − 3 + − 2
•Ta có I = 2 ∫
2
2
∫
22
2 2
t t
t
t
2
2
1t
2
= 2  2 − 3t + 4 ln t + t 


1
= 2 ln 2 −
4
Bài 29:
π
4

π
4

∫

π
4

∫

∫

I = ( x + sin 2 2 x)cos 2 xdx = xcos 2 xdx + sin 2 2 xcos 2 xdx = I + I
1
2
0

0

0

TÝnh I1
π

π
 du = dx
 u = x
x
14


⇒ 1
⇒ I1 = sin 2 x 4 − ∫ sin 2 xdx
®Æt 
v
=
cos
2
xdx
2
20
v
=
sin
2
x
 2
 ∫
0
π
π 1
π 1
= + cos 2 x 4 = −
8 4
8 4
0

TÝnh I2
π
4

π
1
1
1
I 2 = ∫ sin 2 2 xd (sin 2 x) = sin 3 2 x 4 =
20
6
6
0

VËy I=

π 1 1 π 1
− + = −
8 4 6 8 12

Trang 13


dt



NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
x π
Bài 30: I =

d + ÷
3

 2 6
+) I = −
x
π


4
cos2  + ÷
3
 2 6

π

1
8 π∫

Bài 31: Đặt t = cosx. I =

3
16

( π + 2)

Bài 32:
1

1 t
1
e (1 − t )dt = e
∫

20
2

Bài 33: Đặt t = sin2x ⇒ I=

3

Bài 34: Đặt t = 2x + 1 . I =

∫
1

t2
dt = 2 + ln2
1+ t

Bài 35: (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x) =
1

1− x
dx . Đặt
1+ x

Bài 36: Tính H = ∫
0

33 7
3
33
+ cos4x + cos8x ⇒ I =

π
64 16
64
128

π
 π
x = cos t ; t ∈  0;  ⇒ H = 2 −
2
 2
u = ln(1 + x)
1
⇒K=
2
 dv = 2 xdx

1

• Tính K = ∫ 2 x ln ( 1 + x ) dx . Đặt 
0

π
4

π
4

Bài 37: I = 2 xe − x dx + cos 2 xdx = I1 + I2
∫
∫

0

0

Tính: I1 =

π
4

u = 2 x

Đặt 

−x
∫ 2 xe dx

−x

 dv = e dx

0

π
2

⇒ I1 = − e

−

π

4

π

– 2 e− 4 + 2

π
1
1

π 1
1
+
cos
2
x
x
+
sin
2
x
4= +
I2 =
= 
÷
dx
∫0 2
2
2
8 4

0
π
4

3

1 1
1 
3 −1 1
−
Bài 38: Đặt t = x ⇒ I = ∫  2 − 2 ÷dt = ... =
2 1 t
t +1
2 3 2
π

Bài 39: Ta có: sinx + 3 cosx = 2cos  x − ÷,
6

2



π π

3



π 1



3

∫t

dt
3 −1 π
−
=
+1
2 3 24

2

1

π

sin  x − ÷+ cos  x − ÷
sinx = sin   x − ÷+ ÷ =
6 6
2
6 2
6




π

π
sin  x − ÷dx
3
1 2
dx
6

3
+
I=
=
∫
∫
π  16 0
π
16 0


6
cos3  x − ÷
cos 2  x − ÷
6
6




π

2

u = ln( x 2 + x + 1)
3
π
2+
Bài 40: Đặt 
⇒I=
4
12 3
 dv = xdx
3 1
2 12

Bài 41: Đặt t = 4 x + 1 . I = ln −

Trang 14


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
1
1
1
2
2
x+
1 x+ x
1 x+ x
x
(

x
+
1
−
)
e
dx
=
e
dx
+
(
x
−
)
e
∫1
∫ x dx = I1 + I 2
Bài 42: ∫
x
1
2

2

3 ln 2

Tính tích phân I =

∫

0

dx
(3 e x + 2) 2

x
3 ln 2

Ta c ó I =

∫

e 3 dx
x
3

x
3

=

e (e + 2)

0

x

2
x

Đặt u= e 3 ⇒ 3du = e 3 dx ; x = 0 ⇒ u = 1; x = 3 ln 2 ⇒ u = 2
2
2
 1
1
1
3du
I
=
Ta được:
∫1 u (u + 2) 2 =3 ∫1  4u − 4(u + 2) − 2(u + 2) 2


du


2

1

1
1

=3  ln u − ln u + 2 +
4
2(u + 2)  1
4
3 3 1
= ln( ) −
4 2 8

3 3 1
Vậy I = ln( ) −
4 2 8
Bài 43:
3dx

§Æt t = 3x + 1 ⇒ dt =

⇒ dx =

2 3x + 1
Khi x = 1 th× t = 2, vµ khi x = 5 th× t = 4.

2tdt
.
3

2

 t2 −1

 +1
4 
3 
2tdt

Suy ra I =
∫2 t 2 − 1 . 3
.t
3

4

4

2
dt
= ∫ (t 2 − 1)dt + 2∫ 2
92
2 t −1

4
4
21 3 
t −1
100
9
=  t − t  + ln
=
+ ln .
93
t +1
27
5

2
2
Bài 44:
1

2

2

1

1

x+
1 x+ x
1 x+ x
x
I = ∫1 ( x + 1 − x )e dx = ∫1 e dx + ∫ ( x − x )e dx = I1 + I 2 .
2

2

Tính I1 theo phương pháp từng phần I1 = xe

x+

1 2
x
1
2

2

2

5
2

3
e .
2
Bài 47:
⇒I=

1

5

1 x+
3
− ∫ ( x − )e x dx = e 2 − I 2
x
2
1

Trang 15


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
ln(1 + x 2 ) x + 2011x
x[ln(x 2 +1)+2011]
dx
=
∫ ln[e x2 +1 ( x 2 + 1) x2 +1 ] ∫ ( x 2 + 1)[ln(x 2 +1)+1] dx
Đặt t = ln(x2 + 1) + 1 ⇒ dt =

2x
dx
x +1
2

1 t + 2010
1
dt vậy I = t + 1005ln t + C =
∫
2
t
2
1
1
ln( x 2 + 1) + + 1005ln(ln( x 2 + 1) + 1) + C
2
2

Khi đí I =

Bài 48:
2
ln(x + 1)
I=∫
dx
x3
1

Đặt

u = ln(x + 1),dv =
2

I=

dx
x3

2

lấy

du =

2

2

2

dx
−1
−1
1
1
, v = 2 ⇒ I = 2 ln(x + 1) + ∫ 2
x +1
2x
2x

2 1 x (x + 1)
1
2

−1
1
1
−1
1  1 1
1 
ln(x + 1) + ∫ 2
dx = 2 ln(x + 1) + ∫  2 − +
dx
2
2x
2 1 x (x + 1)
2x
2 1x
x x +1 ÷

1
1
2

2

−1
1  −1
x +1
ln(x + 1) +  + ln

2
2x
2 x
x ÷
1
1
−1
3
1
= ln 2 + ln 3 +
2
8
4

=

0

( x 2 − 1)
dx .
Bài 49: Tính tích phân: I = ∫ 2
2
(
x
+
1
)
−1
π π
dt

π
Đặt: x = tant với t ∈ (− ; ) . Ta có: dx =
; Đổi cận: x = -1 thì t = − ; x =0 thì t =0.
2
2 2
4
cos t
0
0
0
2
tan t − 1 dt
.
= ∫ cos 2 t (tan 2 t − 1) dt = − ∫ cos 2t.dt − 1 sin 2t |0 = − 1
2
∫
I= π
=
.
π
1
cos t
π
π
−
2
2
−
−
−

4
4
4
4
4
cos t
Bài 50:

Trang 16


NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246
π
2

π
2

π
2

0

0

0

Ta có I = ln(1 + cos x)dx + sin x ln(1 + cos x)dx − ln(1 + sin x)dx
∫
∫

∫
(I)1
Chứng minh: I1 = I3
Đặt: x =

( I2)

π
− t ⇒ dx = dt
2

π
2

π
2

0

0

(I3)

Đổi cận

π

 x = 0 ⇒ t = 2

x = π ⇒ t = 0


2

⇒ I1 = ∫ ln(1 + sin t ) dt = ∫ ln(1 + sin x)dx . Suy ra I1 - I3 = 0
π
2

Tính: I = sin x ln(1 + cos x)dx
2
∫
0

Đặt: t = 1 + cos x ⇒ dt = − sin xdx :

Đổi cận

u = ln t
Khi đó: I 2 = ∫ ln tdt Đặt: 
dv = dt
1

1

du = dt
t

v = t

2

x = 0 ⇒ t = 2


π
 x = 2 ⇒ t = 1

2

⇒ I 2 = t ln t − ∫ dt = (t ln t − t ) 12 = 2 ln 2 − 1
2
1

Vậy:

I = 2ln 2 − 1

1

Trang 17