CHUYÊN đề NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN ôn THI đại học

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC
A. NGUYÊN HÀM ( Tích phân bất định )
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng).
Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x) = f ( x) ,
với mọi x ∈ K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho
G(x) = F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , trong đó F ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.

2. Công thức
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp

Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp

∫ dx = x + C
∫

x α dx =

x α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

dx

∫ x = ln x + C ( x ≠ 0)
∫ e dx = e + C
x

x

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos xdx = sin x + C

∫
∫
∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ cos x dx = tan x + C
a x dx =

2

1

∫ sin

2

x

dx = − cot x + C

Nguyên hàm của những
hàm số hợp

∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C

∫ du = u + C

∫

∫

1

∫
∫
∫
∫
∫

∫

α +1
( ax + b ) dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1)

a α +1
dx
1
= ln ax + b + C ( x ≠ 0 )
ax + b a
1
e ax + b dx = e ax +b + C
a
1
cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C
a
1
sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C
a
1
1
dx = tan ( ax + b ) + C
2
a
cos ( ax + b )
1
1
dx = − cot ( ax + b ) + C
2
a
sin ( ax + b )
α

B. TÍCH PHÂN ( Tích phân xác định)
Trang 1

u α du =

u α +1
+ C ( α ≠ 1)
α +1

du

∫ u = ln u + C ( u ≠ 0)
∫ e du = e + C
u

u

au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a
cos udu = sin u + C

∫
∫
∫ sin udu = − cos u + C
1
∫ cos u du = tan u + C
a u dx =

2

1

∫ sin

2

u

du = − cot u + C


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

1. Định nghĩa. Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K.
Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân
b

∫ f ( x)dx . Trong trường hợp

của f ( x) từ a đến b và ký hiệu là

b

∫ f ( x)dx

a < b thì

a

tích phân của f trên [ a; b ] .

là

a

2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
a

• ∫ f ( x) dx = 0

•

a
b

c

a

a

b

• ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x) dx

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
b

b

a

a

• ∫ k . f ( x )dx = k ∫ f ( x)dx

c

b

b

b

a

a

a

• ∫ [ f ( x ) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx

3. Một số phương pháp tính tích phân
u (b )

b

• Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

∫
a

f [u ( x)]u '( x)dx =

∫

f (u ) du .

u (a )

Trong đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho
hàm hợp f [u ( x)] xác định trên J; a, b ∈ J .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u = u ( x) ( u là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ x = x(t ) ( x là một hàm số của t).

• Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u ( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số

b

b

a

a

b
thuộc K thì ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v ( x ) a − ∫ v( x)u '( x)dx

4. Ứng dụng của tích phân
4.1

Tính diện tích hình phẳng
1. Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
b

đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = ∫ f ( x) dx .
a

Trang 2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) và hai đường
thẳng x = a, x = b là
b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx
a

4.1

Tính thể tích vật thể.
Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a, b
b

là V = ∫ S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
a

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x ∈ [ a; b ] và S(x) là một hàm liên tục.
4.2 Tính thể tích khối tròn xoay.
Hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên [ a; b ] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một
b

2
khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V = π ∫ f ( x)dx .
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung và hai đường thẳng
y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công
d

2
thức V = π ∫ g ( y )dy .
c

TÍCH PHÂN HỮU TỶ

Trang 3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Bước 1 :

Xác định bậc của tử thức và mẫu thức nếu :
Tử ≥ mẫu  Ta thực hiện phép chia đa thức
Tử < mẫu  Ta thực hiện phép phân tích mẫu thức

Bước 2

Gọi hệ số α , β ( nếu cần ) rồi quy đồng mẫu thức thực hiện phép
Đồng nhất hệ số tìm α , β

Bước 3

Tách biểu thức thành các dạng cơ bản có trong bản nguyên hàm
hoặc sử dụng các phép đổi biến số để thực hiện tiếp yêu cầu

Ví dụ minh họa

2

Câu 1.

Dạng 1: Tách phân thức

x2

I =∫

dx
2
x
−
7
x
+
12
1

2

16
9 
2
−
• I = ∫  1+

÷dx = ( x + 16ln x − 4 − 9ln x − 3 ) 1 = 1+ 25ln2 − 16ln3.
x − 4 x − 3

1
2

Câu 2.

dx

I =∫

5

1x

• Ta có:

3

+ x3
1
2

x (x + 1)

=−

1 1
x

+
+
3
2
x x x +1


2
1 1
3
1
3
⇒I =  − ln x − 2 + ln(x2 + 1) = − ln2 + ln5+
2
2
8
2x 2

1
5

Câu 3.

I =∫

3x2 + 1
3

4x

I =∫

1

2

− 2x − 5x + 6

dx

•

2 4 13 7 14
I = − ln + ln + ln2
3 3 15 6 5

xdx

(x + 1)3
x
x + 1− 1
=
= (x + 1)−2 − (x + 1)−3 ⇒ I = ∫1(x + 1)−2 − (x + 1)−3dx = 1
• Ta có:
3
3
0
8
(x + 1)
(x + 1)

Câu 4.

0

Trang 4


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Ví dụ minh họa

Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.

(x − 1)2

I =∫

(2x + 1)4

( 7x − 1) 99

1

Câu 6.

dx

I =∫

101
0 ( 2x + 1)

• Ta có:

2
3
1  x − 1   x − 1 ′ ⇒ 1  x − 1 
f (x) = .
÷ .
÷ I= 
÷ +C
3  2x + 1  2x + 1
9  2x + 1

dx

99

1

99

 7x − 1
 7x − 1

dx
1 1 7x − 1
• I = ∫
=
d
÷

÷
÷
∫
 2x + 1 ( 2x + 1) 2 9 0 2x + 1
 2x + 1
0
100

1 1  7x − 1
= ×

÷
9 100  2x + 1
1

Câu 7.

5x

I =∫

2

0 (x

1

2

+ 4)

x7

dx

• Đặt

dx

• Đặt

Câu 8.

I =∫

Câu 9.

I = ∫ x5(1− x3)6dx

0 (1+

x2)5

1  100 
1
=
2 − 1
0 900
t = x2 + 4

⇒

I=

1
8

2
3
⇒I = 1 (t − 1) dt = 1 . 1
t = 1+ x ⇒ dt = 2xdx
2 1∫ t5
4 25
2

1

0

11 6
1 t7 t8 
1
• Đặt t = 1− x ⇒ dt = −3x dx ⇒ dx = 2 ⇒ I = ∫ t (1− t)dt =  − ÷ =

30
3 7 8  168
3x
3

4

3

∫

Câu 10.

I=

Câu 11.

I =∫

Câu 12.

I =∫

1
2

1

dx
x(x4 + 1)

dx

10
2
1 x.(x + 1)
2

I=
Câu 13.

1− x7

dx
7
x
(1
+
x
)
1
3

∫

1

−dt

2

• Đặt

2

t= x
2

•I=
∫

⇒

I=

x4.dx

5 10
2
1 x .(x + 1)

1
2

3

1

t 

1

3

∫  t − t2 + 1÷dt = 4 ln 2

1



. Đặt



32

dt
⇒I = 1
t= x
∫
5 1 t(t2 + 1)2
5

2
7 6
1128 1− t
• I = (1− x ).x dx . Đặt
7 ⇒I =
t= x
∫ x7.(1+ x7)
∫ t(1+ t)dt

7
1
1

dx
x6(1+ x2)
Trang 5


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
3
3

1
• Đặt : x = ⇒ I = −
t

∫

1

t6

dt =
t +1
2

1

 4 2
1 
117 − 41 3 π
+
 t − t + 1− 2 ÷dt =
t
+
1
135
12


3

∫

3
2

Câu 14.

2001

x

I =∫

2 1002
1 (1+ x )

2

•

I =∫

2

x2004
3

2 1002

(1+ x )

1x

.dx

.dx = ∫

1

1 3

1002


x  2 + 1÷
x

1

.dx

. Đặt t =

1
2

x

+ 1 ⇒ dt = −

2
x3

dx .

11
x2000.2xdx
Cách 2: Ta có: I = ∫
. Đặt t = 1+ x2 ⇒ dt = 2xdx
2 0 (1+ x2)2000(1+ x2)2
1000

⇒I =

1 2 (t − 1)1000
1 2 1
dt = ∫  1− ÷
2 1∫ t1000t2
2 1 t 
2

Câu 15.

I =∫

1+ x2

1 1+

• Ta có:
3
2

x4
2

1+ x

1+ x4

 1
1
d  1− ÷ =

 t  2002.21001

dx
1+

=

1

x2 . Đặt t = x − 1 ⇒ dt =  1+ 1  dx

÷
1
x
x2 

x2 + 2
x
3
2

3
 2 − 1
1
t− 2
1

=
.ln
=

ln

÷
⇒I =
2
∫ t2 − 2 = 2 2 ∫  t − 2 − t + 2 ÷dt 2 2 t + 2 1 2 2  2 + 1÷

1
1
dt

2

Câu 16.

I =∫

1

1− x2

1 1+

x4

1

1

dx

1

2

−1

5


1
1
2
= x
• Ta có:
. Đặt t = x + ⇒ dt =  1− 2 ÷dx ⇒I = − dt .
4
1
x
∫ 2
1+ x
x 

x2 + 2
2t +2
x
du
5
5
Đặt t = 2tanu ⇒ dt = 2
; tanu = 2 ⇒ u1 = arctan2; tanu = ⇒ u2 = arctan

2
2
2
cos u
1− x

2

u


2 2
2
2
5
du =
(u2 − u1) =
⇒I =
 arctan − arctan2÷
∫
2 u
2
2 
2

1
2

Câu 17.

I =∫

2

1− x

dx
3
x
+
x
1

1

−1
• Ta có: I = x2 dx . Đặt t = x + 1 ⇒I = ln 4
∫1
x
5
1
+x
x
2

Trang 6


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội

Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
1 4

Câu 18.

x +1
dx
6
x
+
1
0

I =∫

x4 + 1 (x4 − x2 + 1) + x2
x4 − x2 + 1
x2
1
x2
=
=
+
=
+
x6 + 1
x6 + 1
(x2 + 1)(x4 − x2 + 1) x6 + 1 x2 + 1 x6 + 1

• Ta có:
1

1 1 d(x3)
π 1π π
dx + ∫
dx = + . =
2
3 0 (x3)2 + 1
4 3 4 3
0 x +1
1

⇒I = ∫

3
3

∫

I=

Câu 19.

0

•

I=

dx
x4 − 1

3
3

∫

0

2

x

(x2 − 1)(x2 + 1)
1

Câu 20.

xdx

I =∫

Câu 21. I =

x2

4

0x

1+ 5
2

∫

1

• Ta có:

dx =

1
2

3
3 

∫

0

1
1 
1
π
 2 + 2 ÷dx = ln(2 − 3) +
4
12

 x − 1 x + 1

1 1 dt
11
dt
π
I= ∫
= ∫
=
• Đặt
2
2
2 ⇒
2
20t + t+1 20
6 3
t= x
 1  3 
÷
t+ ÷ + 
 2  2 

.

2

+ x +1
x2 + 1

dx

x4 − x2 + 1
1+

x2 + 1
x4 − x2 + 1

=

1

x2 . Đặt t = x − 1 ⇒ dt =  1+ 1  dx

÷
1
x
x2 

x2 + 2 − 1
x
1

⇒I = ∫

dt

2
0t +1

. Đặt t = tanu ⇒ dt =

du
cos2 u

π
4

⇒I = du = π
∫
4
0

TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ

Chú ý

Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
Trang 7


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Dấu hiệu

Có thể chọn

a 2 − x2

π
π

 x =| a | sin t , − 2 ≤ t ≤ 2

 x =| a | cost , 0 ≤ t ≤ π

x2 − a2

|a| π
π

 x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 2 ; t ≠ 0

x = | a | , 0 ≤ t ≤ π ;t ≠ π

cost
2

x2 + a2

π
π

 x =| a | tan t , − 2 < t < 2

 x =| a | cott , 0 < t < π

a+x

hoặc
a−x

Đặt x = a cos 2t

a−x
a+x

Đặt x = a + (b − a )sin 2 t

( x − a)(b − x)

Ví dụ minh họa

Câu 22.

I =∫

x
2

Dạng 1: Đổi biến số dạng 1

dx

3x + 9x − 1
x
dx = ∫ x(3x − 9x2 − 1)dx = ∫ 3x2dx − ∫ x 9x2 − 1dx
• I =∫
3x + 9x2 − 1

3

+ I 1 = ∫ 3x2dx = x3 + C1 + I 2 = ∫ x 9x2 − 1dx = 1 9x2 − 1d(9x2 − 1) = 1 (9x2 − 1)2 + C
2
18 ∫
27
3

⇒I = 1 (9x2 − 1)2 + x3 + C
27
Trang 8


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 23.

•

∫

x2 + x

I =∫

dx

1+ x x

2

x + x
1+ x x

x2

dx = ∫

1+ x x

dx + ∫

x
1+ x x

dx .

x2

dx . Đặt t= 1+ x x ⇔ t2 − 1= x x ⇔ x3 = (t2 − 1)2 ⇔ x2dx = 4 t(t2 − 1)dt
3
1+ x x

+ I1 = ∫

(

)

3
4
4
4
⇒∫ (t2 − 1)dt = t3 − t + C = 4 1+ x x − 4 1+ x x + C
1
3
9
3
9
3
x
2 d(1+ x x)
4
dx = ∫
1+ x x + C2
+ I2 = ∫
=
3
3
1+ x x
1+ x x

Vậy: I = 4
9

(

1+ x x

4

2x + 1

)

Câu 24.

I =∫

Câu 25.

I =∫

Câu 26.

I = ∫ x3 1− x2dx

Câu 27.

I =∫

0 1+

2x + 1

6

3

+C

dx

dx

2 2x + 1+

• Đặt

t = 2x + 1

1+ x

0 1+

x

t2
.
∫ 1+ t dt =2 + ln2
1

3 1
.
t = 4x + 1 I = ln −
2 12

• Đặt:

1
⇒ I = ( t2 − t4 ) dt = 2 .
t = 1− x
∫
15
0

0

1

3

• Đặt
4x + 1

1

.I=

2

dx
1 3

1


t +t
2 
11
dt = 2∫  t2 − t + 2 −
− 4ln2.
÷dt =
t
+
1
1
+
t


3
0
0

• Đặt t = x ⇒ dx = 2t.dt . I = 2∫
3

Câu 28.

x− 3

I =∫

dx
3
x

+
1
+
x
+
3
0
2

2

2t3 − 8t

2

1
3
dt = ∫ (2t − 6)dt + 6∫
dt = −3+ 6ln
t+1
2
1 t + 3t + 2
1
1

• Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdu = dx ⇒I = ∫
Câu 29.

I=

0

3

∫ x.

2

x + 1dx

−1

1

 7 4
• Đặt t = x + 1 ⇒ t = x + 1⇒ dx = 3t dt ⇒ I = 3(t − 1)dt = 3 t − t ÷ = − 9
∫
28
 7 40
0
3

3

5

Câu 30.

I =∫

1x

x2 + 1
3x + 1

2

1

dx
Trang 9

3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
2

 t2 − 1

÷ +1
4 3 ÷
2tdt
2tdt

• Đặt t = 3x + 1 ⇒ dx =

⇒I = 
.
∫
3
3
t2 − 1
2
.t
3
4
4
2 1 3 
t −1
100
9
=  t − t ÷ + ln
=
+ ln .
9 3
t + 1 2 27
5
2

=

4
24 2
dt
(
t

−
1
)
dt
+
2
∫
∫
2
92
2t −1

3

2x2 + x − 1
I =∫
dx
Câu 31.
x+ 1
0

• Đặt

x + 1 = t ⇔ x = t2 − 1 ⇒dx = 2tdt
2

2
2
2
2

 5

⇒I = 2(t − 1) + (t − 1) − 12tdt = 2 (2t4 − 3t2)dt =  4t − 2t3 ÷ = 54
∫
∫
t
 5
1 5
1
1
2

1

Câu 32.

x2dx

I = 2∫

0 (x + 1)

x+ 1

• Đặt t = x + 1 ⇒ t2 = x + 1⇒ 2tdt = dx
2

(t2 − 1)2

∫

⇒I =

t3

1
4

Câu 33.

I =∫

0

x+ 1

( 1+

2

2
 t3
 1
1
16 − 11 2
.2tdt =2 ∫  t − ÷ dt = 2 − 2t − ÷ =
t1
3
 t
3

1
2

1+ 2x )

2

dx

• Đặt t = 1+ 1+ 2x ⇒ dt =

dx

2
⇒ dx = (t − 1)dt và x = t − 2t
1+ 2x
2

1 4 (t2 − 2t + 2)(t − 1)
1 4 t3 − 3t2 + 4t − 2
1 4
4 2
dt = ∫
dt = ∫  t − 3+ − ÷dt
Ta có: I = ∫
2
2
22
22
2 2

t t2 
t
t
1  t2
2
1
=  − 3t + 4ln t + ÷
= 2ln2 −
÷
2 2
t
4
Câu 34.

I=

8

∫

3

•I=

8



∫ 

x−1

dx
x2 + 1

x

2
3 x + 1

−



dx =  2
2
÷
÷
 x + 1 − ln x + x + 1 
x2 + 1 
1

(

)

8
3

(

= 1+ ln

3 + 2) − ln( 8 + 3)

1

Câu 35.

I = ∫ (x − 1)3 2x − x2dx
0

1

3

• I = ∫ (x − 1)
0

2

1

2x − x dx = ∫ (x2 − 2x + 1) 2x − x2 (x − 1)dx . Đặt t = 2x − x2 ⇒I = −
0

Trang 10

2
.

15


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
2

Câu 36.

2x3 − 3x2 + x
dx
2
0
x − x+1

I =∫
2

3
(x2 − x)(2x − 1)
dx . Đặt t = x2 − x + 1 ⇒ I = 2 ∫ (t2 − 1)dt = 4 .
3
0
x2 − x + 1
1

• I =∫

2

Câu 37.

x3dx

I =∫

3

0

4 + x2

32 4
3 8 3 
• Đặt t = 3 4 + x2 ⇒ x2 = t3 − 4 ⇒ 2xdx = 3t2dt ⇒I = ∫ (t − 4t)dt = −  + 4 2 ÷
23
2 5

4

Câu 38.

I=

1

dx

∫

x + 1+ x2

−11+

1

1
1+ x − 1+ x2
1 11 
1+ x2
• Ta có: I = ∫
dx = ∫
dx = ∫  + 1÷dx − ∫
dx
2
2
2x
2 −1 x 
2x
−1 (1+ x) − (1+ x )
−1
−1

+ I1 =

1

1+ x − 1+ x2

1 11 
1
1
 + 1÷dx =  ln x + x |−1= 1
∫
2 −1 x 
2
1

1+ x2
dx . Đặt t = 1+ x2 ⇒ t2 = 1+ x2 ⇒ 2tdt = 2xdx ⇒I2=
2x

∫

+ I2 =

−1

Vậy:  I = 1.
Cách 2: Đặt t = x + x2 + 1 .
1

Câu 39. I = ∫

(

x−

2
1

)

x4

1
3

I =∫
Câu 40.

1
3 3
x

3

Câu 41.

Câu 42.

I=

3

x

xdx . Đặt t =

4 − x2 ⇒ t2 = 4 − x2 ⇒ tdt = − xdx

0


2− 3 
t− 2 
÷
= −  3 + ln
= ∫
dt = ∫ (1+
)dt =  t + ln
÷
2
2
2

÷
t
+
2
2
+
3
4− t
t −4

 3



3t − 4
3

t(−tdt)

0

2 5

∫

2

I=

=0

• Ta có: I =  1 − 1 3 . 1 dx . Đặt t = 1 − 1 ⇒
.
I =6
∫  x2 ÷ x3
2

x
1

dx

2

1

∫

2
2 2(t − 1)

1

1

4− x2

• Ta có: I = ∫
⇒I =

∫

t2dt

4− x2
dx
x
2

0

2

27

∫

1

x

t2

dx
2
2
(x + 1) x + 5
x−2
3 2

x+ x

0

4

• Đặt

5
⇒I = dt = 1 ln15 .
t= x +5
∫ t2 − 4 4 7

3

dx

Trang 11

2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

3

3

2  5π
 2
2t
1 
dt = 5 ∫ 1− +
−
dt = 5 3 − 1+ ln ÷−

2
2
2

3  12

t t + 1 t + 1
t(t + 1)
1 

t3 − 2

• Đặt t = 6 x ⇒I = 5 ∫

1

1

Câu 43.

1

I =∫

2

x + x+ 1

0

dx

• Đặt t = x + x2 + x + 1⇒ I =
3

Câu 44.

1+ 3
1

2

x

I =∫

1+
2dt
= ln(2t + 1)
1
2t + 1

∫

2
2
0 (1+ 1+ x) (2 + 1+ x)

3

= ln

3+ 2 3
3

dx

4


42 36 
4
− ÷dt = −12 + 42ln
• Đặt 2 + 1+ x = t ⇒ I = ∫  2t − 16 +
2
t t 
3
3
Câu 45.

3

x2

0 2(x + 1) + 2

x + 1+ x x + 1

I =∫

2

• Đặt t = x + 1⇒I = ∫

2t(t2 − 1)2dt
t(t + 1)2

1

I=
Câu 46.

3

2 2

∫

x − x3 + 2011x
x4

1

• Ta có:

I=

2 2

3

∫

1

M=

2 2

3

∫

1

N=

dx
2

2 2
2
= 2∫ (t − 1)2dt = (t − 1)3 =
3
1
3
1

dx

1

−1
2 2

2011
x2
dx + ∫
dx = M + N
3
x3
x
1

1

−1
. Đặt t =
x2
dx
x3

3

1

− 1 ⇒M = − 3
x
2

−

3

7

2

∫

2

0

2 2

2 2

2 2
 2011
2011
dx = ∫ 2011x−3dx =  −

3
x
 2x2  1
1

∫

1

t3dt = −

=

14077
16

3
⇒I = 14077 − 21 7 .
16
128
1

Câu 47.

dx

I =∫

0 (1+

3

x3). 1+ x3
3

• Đặt t = 1+ x3 ⇒I =
3

2

∫

3

t2

1 4

2

t .(t3 − 1)3

dt =

2

∫

dt

1 2

2

t .(t3 − 1)3

Trang 12

213 7
128


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS

Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

−

3

=

2

∫

3

dt
2

1

1

 
1  3
t2. t3  1− 3 ÷
  t 

Đặt u = 1−

I=

Câu 48.

1
3

t

2 2

∫

3

2

∫

=

⇒ du =

3dt
4

t

dt

2


1 3
t4  1− 3 ÷
 t 
1
2
−
2u 3

⇒I =
∫

3

0

2


1 3
3
2  1− 3 ÷
= ∫  t  dt
t4
1

du =

1
2
12 −3
u du =

3∫

0

1
1
 2
1 u3 ÷

 ÷
3 1 ÷
 ÷
 3 0

1
12
= u3

=

1
3

0

2

x4
dx

1 2
 x− x÷ x + 1



• Đặt t = x2 + 1
3

⇒I = ∫

3
3
t − 2t2 + 1
1
19
2  4+ 2 
2
dt = ∫ t dt + ∫
dt = +
ln
dt = ∫
÷
2
3
4  4 − 2 ÷

t2 − 2
t2 − 2
2
2
2t −2

3 4

(t2 − 1)2

2

Dạng 2: Đổi biến số dạng 2

Ví dụ minh họa

1

1− x

I
=
−
2
x
ln
1
+
x
( ) ÷÷dx

∫  1+ x
Câu 49.

0
1

• Tính H = ∫

0

1− x
1+ x

dx . Đặt

 π
π
x = cost; t ∈  0;  ⇒ H = 2 −
2
 2

1
u = ln(1+ x)
1
• Tính K = ∫ 2xln(1+ x)dx . Đặt 
⇒K =
2
 dv = 2xdx
0

Câu 50.

•I=

I=

2

5

∫ (x

+ x2) 4 − x2dx

−2
2

5

∫ (x

2

+ x ) 4 − x dx =

−2

2

5

∫x

5

∫x

−2
2

+ Tính A =

2

2

4 − x dx +

2

2

∫x

4 − x2dx = A + B.

−2

4 − x2dx . Đặt t = − x . Tính được: A = 0.

−2

Trang 13


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
2

+ Tính B =

2

4 − x2dx . Đặt x = 2sint . Tính được: B = 2π .

∫x

−2

Vậy: I = 2π .
2

Câu 51. I = ∫

( 3−

)

4 − x2 dx
2x4

1
2

• Ta có: I = ∫

2

3

4
1 2x

2

3

+ Tính I 1 = ∫

4
1 2x
2

+ Tính I 2 = ∫

⇒I 2 =

π
6

Vậy: I =
Câu 52.

4 − x2
2x4

4

sin t

2x4

1

=

dx .

3 2 −4
7
x dx = .
∫
21
16

dx =

1
π
1 2 cos2 tdt

8∫

4 − x2

dx − ∫

dx . Đặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt .

π
12

2

cot
8∫
π
6

π
12

 1 
3
t
dt = − ∫ cot2 t.d(cott) =
2 ÷

8π
8
 sin t 
6

1(
7 − 2 3) .
16

1

x2dx

0

4 − x6

I =∫

1 1 dt
• Đặt t = x3 ⇒ dt = 3x2dx ⇒I = ∫
.
3 0 4 − t2
π

 π
6
Đặt t = 2sinu, u∈  0;  ⇒ dt = 2cosudu ⇒I = 1 dt = π .
 2
3 ∫0

18
2

π
2

Câu 53.

I =∫

2− x
dx
x+ 2

1

x2dx

Câu 54.

I =∫

0

3+ 2x − x2

0

1

x2dx

0

22 − (x − 1)2

• Ta có: I = ∫

⇒I = −

π
2

∫

2π
3

• Đặt x = 2cost ⇒ dx = −2sintdt ⇒
.
t
I = 4∫ sin2 dt = π − 2
2
0

2

(1+ 2cost) 2sint
2

4 − (2cost)

. Đặt x − 1= 2cost .

dt =

2π
3

∫ ( 3+ 4cost + 2cos2t) dt =

π
2

Trang 14

π 3 3
+
−4
2
2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
1
2

Câu 55.

∫

π

• Đặt x = sint ⇒ 6
π
3 1
I = ∫ (cost − sint)costdt = +
−
12
8
8
0

1− 2x 1− x2 dx

0

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

. dx

. dx

Đặt

Đặt

b

b

∫ f ( x)dx = ∫ udv = uv
a

a

Chú ý

Câu 56.

I=

3

∫

b
a

b

−∫ vdu
a

Trong các lần tích phân từng phần
ta phải thống nhất được cách đặt

x2 − 1dx

2

Trang 15


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

x
u = x2 − 1 du =
dx
2
⇒
• Đặt 
x
−
1
dv = dx
v = x

3

⇒ I = x x2 − 1
= 5 2−

2

3

−

3

∫

x.

2

x2 − 1dx −

∫

2

x
x2 − 1
3

∫

2

dx = 5 2 −

dx
x2 − 1

 2
 x − 1+

2

3

∫


 dx
2
x − 1
1

= 5 2 − I − ln x + x2 − 1

3
2

⇒I = 5 2 − ln( 2 + 1) + 1 ln2
2
4
Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x =

π

2

1
vì  2;3 ∉ [ −1;1]
cost

e

b) J = ∫ x ln xdx

a) I = x sin xdx
∫

1

0

Lời giải
π
2

a) I = x sin xdx
∫
0

u = x
du = dx
⇒

 dv = sin xdx v = − cos x

π
2

π
2
0

π

 I = − x cos x + ∫ cos xdx = 0 − 0 + sinx 02 = 1
0

e

b) J = ∫ x ln xdx
1

1

du
=
dx

u = ln x
x
⇒

  dv = xdx 
x2
v=


2
e

e

e

e

x2
x
x2
x2
e2 + 1
J = ln x − ∫ dx = ln x −
=

2
2
2
4 1
4
1
1
1
1

c) K = ∫ xe x dx
0

Trang 16

1

c) K = ∫ xe x dx
0


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

u = x
 du = dx
⇒

  dv = e x dx v = e x


Câu 57.

K = xe

I=

x 1

π
3

∫

−π
3

0

1

1

− ∫ e x dx = e − e x = 1
0

0

xsin x .
dx
cos2 x

• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:
I=

π
3

∫

−

π
3

π
3

 1 
x
xd
−
÷=
 cos x  cos x − π
3

π
3

∫

−

π
3

dx
4π
=

− J , với J =
cos x 3

Để tính J ta đặt t = sin x. Khi đó J =

π
3

∫

−

Vậy I =

Câu 58. I =

π
3

3
2

dx
=
cos x
−

2

x

∫  1+ cosx ÷.e dx

0



x
x
1+ sin x 1+ 2sin 2 cos 2
1
x
=
=
+ tan
• Ta có:
x
x
1+ cos x
2
2cos2
2cos2
2
2

⇒I =

π
2

x

e dx

π
2

π
x
+ ∫ ex tan dx = 2
e
x 0
2
0 2cos2
2

∫

Câu 59. I =

π
4

∫

0

xcos2x

( 1+ sin2x)

2

∫

−

π
3

dx
cos x
3

1 t−1 2
2− 3
∫ 1− t2 = − 2 ln t + 1 3 = − ln 2 + 3
−
3

4π
2− 3
− ln
.
3
2+ 3
π
2  1+ sin x 

π

3

dx

u = x
du = dx


cos2
x
⇒
• Đặt dv =
1
dx v = −
2


(1+ sin2x)
1+ sin2x



Trang 17

dt

2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS

Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

π

π

π
 1

1
14
1
π 14 1
1
+
dx
=
−
+ ∫
.
dx
⇒I = x. − .
÷4
∫
16 2 0 2
π
2

 2 1+ sin2x  0 2 0 1+ sin2x
cos  x − ÷
4

π

π 1 1
π
π 1 2
2 π
=− + .
tan x − ÷ 4 = − + .
0 + 1) =
−
(
16 2 2
4
16 2 2
4 16

0

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Trang 18


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246

Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 60. I = ∫

8cos2 x − sin2x − 3
dx
sin x − cos x
2

• I = ∫ (sin x − cos x) + 4cos2x dx = ∫ ( sin x − cosx − 4(sin x + cos x) dx


sin x − cos x
= 3cosx − 5sin x + C .
cot x − tan x − 2tan2x
I =∫
dx
Câu 61.
sin4x
2cot2x − 2tan2x
2cot4x
cos4x
1
dx = ∫
dx = 2∫
dx = −
+C
• Ta có: I = ∫
sin4x

sin4x
2sin4x
sin2 4x

π
cos2  x + ÷
8

Câu 62. I = ∫
dx
sin2x + cos2x + 2

π
1+ cos 2x + ÷
1

4  dx
• Ta có: I =
∫

π
2 2 1+ sin 2x + 

÷

4


 cos 2x + π 
÷


÷
1 
dx
÷

4

=
dx + ∫
∫
÷
2
2 2  1+ sin 2x + π 
 

π
π  ÷

÷
sin x + ÷+ cos x + ÷ ÷

4

8
8  

 





π
cos 2x + ÷

÷
1 
dx

4  dx + 1
÷
=
∫
∫
2
3π  ÷
2 2  1+ sin 2x + π 
2
sin  x +

÷
÷÷


4
8 





1 
π
3π  
=
 ln 1+ sin 2x + ÷ − cot  x +
÷÷ + C

4
8 ÷

4 2 

Câu 63.

•

I=

I=

π

∫ 2+

π
3
π

dx
3sin x − cos x

dx
1π
dx
1
I= ∫
=
.

4π
π=
2 x π 
1− cos x + ÷
2sin  + ÷ 4 3
3
3
3

 2 6

1
2 π∫

Câu 64. I =

π
6

1

∫ 2sin x −

0

• Ta có: I =

π
6

1
2 0∫

dx
3
1

π
sin x − sin
3

dx =

π
6

∫

1
2

0 sin x − sin

π
3

dx

Trang 19


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
 x π   x π 
cos  + ÷−  − ÷÷
  2 6   2 6   dx
=∫
dx = ∫
π




0 sin x − sin
0 2cos x + π .sin x − π

÷


÷
3
 2 6
 2 6
π
6

cos

π
6

π
3

x π
π
cos − ÷
6
2 6

x π
sin + ÷
1
x π

dx + 1
 2 6  dx
= ∫
= ln sin − ÷

∫
20
x π
20
x π
 2 6
sin − ÷
cos + ÷
 2 6
 2 6
π
2

4

∫ (sin

Câu 65. I =

π
6

x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x)dx

π
6
0

x π
− ln cos + ÷

 2 6

π
6
0

.

0

• Ta có: (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x) =
π
2

4

∫ cos2x(sin

Câu 66. I =

33 7
3
33
+ cos4x + cos8x ⇒ I =
π.
64 16
64
128

x + cos4 x)dx

0

π
2

π
1 2

1 2 
• I = cos2x 1− 1 sin2 2x dx =

÷
 1− sin 2x÷d(sin2x) = 0
∫
∫
2 0 2
 2


0
π
2

3

∫ (cos

Câu 67. I =

x − 1)cos2 x.dx

0

•A =

π
2

5

∫ cos

0

B=

π
2

π
2

8

2
xdx = ∫ ( 1− sin2 x) d(sin x) = 15
0
π
12

π
=
. = ∫ (1+ cos2x).dx
∫ cos xdx
4
2
2

0

Vậy I =

Câu 68. I =

0

8 π
– .
15 4
π
2

∫ cos

2

x cos 2 xdx

0

π
2

• I = cos2 xcos2xdx =
∫
0

π
12

2 0∫

(1+ cos2x)cos2xdx =
π

2
1
1
π
= (x + sin2x + sin4x) =
4
4
8
0

Trang 20

π
12

4 0∫

(1+ 2cos2x + cos4x)dx

= .....


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
π
3
2 4sin x dx
0 1+ cos x

Câu 69. I = ∫

•

4sin3 x 4sin3 x(1− cos x)
=
= 4sin x − 4sin xcos x = 4sin x − 2sin2x
1+ cos x
sin2 x
π
2 (4sin x − 2sin2x)dx = 2
0

2π

⇒I =∫
Câu 70.

I=

∫

1+ sin xdx

0

•I=

2
2π
2π

x
x
x
x = 2 sin x + π  dx
∫  2 4 ÷
 sin + cos ÷ dx = ∫ sin + cos dx

2
2
2
2

0
0

2π

∫

0

 3π

2π
2
x π
x π 
= 2  ∫ sin + ÷dx − ∫ sin + ÷dx = 4 2
 2 4
 2 4 
0
3π


2
Câu 71. I =

π
4

∫

0

dx
cos6 x

• Ta có:

π
4

I = ∫ (1+ 2tan2 x + tan4 x)d(tan x) =
0

28 .
15

sin2xdx
3+ 4sin x − cos2x
2sin xcos x
1
dx . Đặt t = sin x ⇒I = ln sin x + 1 +
• Ta có: I = ∫
+C
2
sin x + 1
2sin x + 4sin x + 2
dx
I =∫
Câu 73.
sin3 x.cos5 x

dx
dx
= 8∫ 3
• I=∫ 3
3
2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x
 3
3 −3 
1 4
3 2
1
+C
Đặt t = tan x . I = ∫  t + 3t + + t ÷dt = tan x + tan x + 3ln tan x −
t
4
2


2tan2 x
2t
Chú ý: sin2x =
.
1+ t2
dx
I =∫
Câu 74.
sin x.cos3 x
dx

dx
dx
2t
= 2∫
t = tan x ⇒ dt =
; sin2x =
• I =∫
.
Đặt
sin x.cos x.cos2 x
sin2x.cos2 x
cos2 x
1+ t2
dt
t2 + 1
⇒ I = 2∫
=∫
dt
1
t2
tan2 x
2t
= ∫ (t + )dt = + ln t + C =
+ ln tan x + C
t
t
2
2
2
1+ t

Câu 72.

I =∫

Trang 21


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 75. I = ∫

2011

sin2011 x − sin2009 x
sin5 x
1

20111−

• Ta có:

cot xdx

sin2 x cot xdx =
∫
sin4 x

I =∫

2011

− cot2 x

sin4 x

2

cot xdx

4024

8046

Đặt t = cot x ⇒I = t2011(1+ t2)tdt = 2011t 2011 + 2011t2011 + C
∫
4024
8046
4024

8046

= 2011 cot 2011 x + 2011cot2011 x + C
4024
8046
Câu 76. I =

π
2 sin2x.cos x

∫

0

1+ cos x

dx

π
2 sin x.cos2 x

• Ta có: I = 2
∫

0

Câu 77. I =

π
3

2

∫ sin

1+ cos x

2

(t − 1)2
dt = 2ln2 − 1
t
1

dx . Đặt t = 1+ cos x ⇒I = 2∫

x tan xdx

0

π
3

π
3

2
• Ta có: I = sin2 x. sin x dx = (1− cos x)sin x dx . Đặt t = cosx
∫
∫
cos x
cos x
0
0
1
2 1− u2

⇒I = −
∫

u

1

du = ln2 −

3
8

π

Câu 78.

I = ∫ sin2 x(2 − 1+ cos2x)dx
π
2

• Ta có:

+

+

π

π

π
2

π
2

I = ∫ 2sin2 xdx − ∫ sin2 x 1+ cos2xdx = H + K

π

π

π
2
π

π
2

H = ∫ 2sin2 xdx = ∫ (1− cos2x)dx = π −

π
2

2

π

π

K = ∫ sin x 2cos x = − 2 ∫ sin xcos xdx = − 2 ∫ sin2 xd(sin x) =

⇒I =

2

π π
=
2 2

2

π
2

π
2

π
2
−
2 3
Trang 22

2
3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội

Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 79.

I=

π
3

dx

∫ sin2 x.cos4 x

π
4
π
3

dx

• I = 4.∫

2

π sin
4

I=

3

∫

2

2x.cos x

(1+ t2)2dt
t2

1

Câu 80. I =

π
2

dx

. Đặt t = tan x ⇒dt =

cos2 x

.

3

 1

1

t3 
8 3− 4
= ∫  + 2 + t2 ÷dt =  − + 2t + ÷ =
2
3 1
3
 t

1 t
3

sin 2 x

∫ ( 2 + sin x )

2

dx

0

• Ta có: I =

π
2

π
2

sin2x

0
3

⇒I = 2∫

2

Câu 81. I =

t− 2
t2
π
6

sin x cos x

∫ (2 + sin x)2dx = 2∫ (2 + sin x)2 dx

. Đặt t = 2 + sin x .

0

3

3

3 2

1 2 

2
dt = 2∫  − ÷dt = 2 lnt + ÷ = 2ln −
2
2 3
t t 
t2

2

sin x

∫ cos2x dx

0

•I=

π
6

π
6

sin x

sin x

∫ cos2x dx = ∫ 2cos2 x − 1dx

0

0

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =

Ta được I = −

3
2

∫

1

Câu 82. I =

. Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx

π
2

sin2 x

∫e

1

π

3
⇒ t=
6
2
1

2t − 2

1

dt =
ln
2 2 2t + 2
2t2 − 1

3

.sin x.cos x. dx

0

π
2
1
I = ∫ sin x × sin2 x + dx
Câu 83.
2
π
6

• Đặt

=
3
2

1
2 2

ln

3− 2 2
5− 2 6

1
⇒ I = 1 et(1− t)dt = 1
.
e− 1
t = sin x
∫
20
2
2

3
• Đặt t = cosx .
I = (π + 2)
16

Trang 23

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 84. I =

π
4

sin4x

∫

6

sin x + cos x

0

•I=

π
4

dx

6

1

sin4x

1

4
2
dx . Đặt t = 1− 3 sin2 2x ⇒I = 4  2 1  =
t1= .
−
dt
3
∫ 3 t÷ 3
4
3
1− sin2 2x
4

1
4

∫

0

Câu 85. I =

π
2

∫

0

sin x

( sin x+

)

3cos x

dx

3


π
• Ta có: sin x + 3cos x = 2cos x − ÷;
6


π π
3 
π 1 
π
sin x = sin  x − ÷+ ÷=

sin x − ÷+ cos x − ÷
6 6
2
6 2
6




π
π
sin x − ÷dx
2
6
3

dx
 + 1
= 3
∫


16


π
6
0 cos2 x − π
cos3  x − ÷


÷
6
6




16 ∫

⇒I =

0

Câu 86.

I=

∫

sin x 1− cos2 x
cos2 x

π
−
3

• I=

=−

π
4

π
4

∫

∫

−

sin x
2

π cos
−
3

0

2

sin x
2

π cos
3
π
6

Câu 87. I =

x

x

dx

1− cos2 x.dx =
π
4

dx + ∫

∫ sin x +

0

π
2

sin2 x
2

0 cos

x

dx =

π
4

∫

sin x
2

π cos
−
3

x

sin x dx =

0

∫

sin x
2

π cos
−
3

x

sin x dx +

π
4

7π
− 3 − 1.
12

1

dx
3cos x
π
6

π
6

1



π
π
2 1
1
Đặt t = cos x + ÷ ⇒ dt = − sin x + ÷dx ⇒I = 1
dt = ln3
∫

3
3


2 0 1− t2
4
Trang 24

sin x

2
−0 cos x


π
sin x + ÷
1
1
1
3  dx

1
dx = ∫
•I=
=
.
20

∫ sin x + 3cos xdx 2 ∫0 sin x + π 
π

2
1− cos  x + ÷

÷
0
3

3

π
6

∫

sin x dx


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0986.035.246
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
π
2

1− 3sin2x + 2cos2 xdx

∫

Câu 88. I =

0

•I=

π
2

3cos x dx = I =

∫ sin x −

π
3

0

π
2

∫ sin x −

3cos x dx +

π
2

∫ sin x −

π

3

0

3cos x dx = 3− 3

sin xdx

∫ (sin x + cosx)3

Câu 89. I =

0

π
• Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I =
2
π
2

π
2

π
2

costdt

cos xdx

∫ (sint + cost)3 = ∫ (sin x + cosx)3

0

π
12

0

π

1
π 4
1
= ∫
= − cot(x + ) = 1 ⇒ I =
⇒ 2I = ∫
2
π
20 2
2
4 0
2
0 (sin x + cos x)
sin (x + )
4
Câu 90. I =

dx

dx

π
2 7sin x − 5cos x

∫ (sin x + cosx)3 dx

0

• Xét: I =
1
Đặt x =

π
2

∫

0

sin xdx

( sin x + cosx)

I2 =

;

∫

0

cosxdx

( sin x + cosx)

3

.

π
− t . Ta chứng minh được I1 = I2
2

Tính I1 + I2 =

π
2

∫

0

⇒ I1 = I 2 =
Câu 91. I =

3

π
2

dx

( sin x + cosx)

2

=

π
2

dx

∫

π
0 2cos2(x −

4

=
)

1
π π
tan(x − ) 2 = 1
2
4 0

1 ⇒
I = 7I 1 – 5I 2 = 1.
2

π
2 3sin x − 2cos x

∫

3
0 (sin x + cos x)

dx
π

π

π
2
2
• Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒I = 3cost − 2sintdt = 3cos x − 2sin xdx
∫
∫
2
3
3
0 (cost + sint)
0 (cos x + sin x)
⇒2I = I + I =

π
2 3sin x − 2cos x

π
2 3cos x − 2sin x

0

0

∫ (sin x + cosx)3

dx +

∫ (cosx + sin x)3
Trang 25

dx =

π
2

1
⇒I = .
dx
=
1
∫
2
2

0 (sin x + cos x)
1