Tài liệu tích phân ôn thi đh

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC
A. NGUYÊN HÀM ( Tích phân bất định )
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng).
Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x)  f ( x) ,
với mọi x  K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G( x)  F ( x)  C cũng là một nguyên hàm của f ( x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho
G(x) = F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là

 f ( x)dx  F ( x)  C , trong đó

F ( x) là một

nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.

2. Công thức
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số
thƣờng gặp

Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thƣờng gặp

 dx  x  C


x  dx 

x  1
 C   1
 1

 x  ln x  C x  0
 e dx  e  C
dx
x

x

ax
 C 0  a  1
ln a
cos xdx  sin x  C



 sin xdx   cos x  C
a x dx 

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

Nguyên hàm của những
hàm số hợp

 d ax  b  a ax  b  C

 du  u  C





1








dx  tan x  C



dx   cot x  C



ax  b dx  1 ax  b  C   1
a  1
dx
1
 ln ax  b  C x  0
ax  b a
1
e axb dx  e axb  C
a
1
cosax  b dx  sin ax  b   C
a
1
sin ax  b dx   cosax  b   C
a
1
1
dx  tanax  b   C
2

a
cos ax  b 
1
1
dx   cotax  b   C
2
a
sin ax  b 
 1



Trang 1

u  du 

u  1
 C   1
 1

 u  ln u  C u  0
 e du  e  C
du
u

u

au
 C 0  a  1
ln a

cos udu  sin u  C



 sin udu   cos u  C
a u dx 

1

 cos

2

u

1

 sin

2

u

du  tan u  C
du   cot u  C


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916

Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

B. TÍCH PHÂN ( Tích phân xác định)
1. Định nghĩa. Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K.
Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b)  F (a) được gọi là tích phân
b

b

của f ( x) từ a đến b và ký hiệu là

 f ( x)dx . Trong trường hợp

a  b thì

tích phân của f trên  a; b .

 f ( x)dx

là

a

a

2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
a

  f ( x)dx  0



a
b

c

a

a

b

  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

b

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx
b

b

a

a

  k . f ( x)dx  k  f ( x)dx

c

b

b

b

a

a

a

  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x) dx

3. Một số phƣơng pháp tính tích phân
 Phƣơng pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

u (b )

b



a

f [u ( x)]u '( x)dx 



f (u )du .

u(a)

Trong đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho
hàm hợp f [u( x)] xác định trên J; a, b  J .
Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x là một hàm số của t).

 Phƣơng pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số
b

b

thuộc K thì  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)  v( x)u '( x)dx
b
a

a

a

4. Ứng dụng của tích phân
4.1

Tính diện tích hình phẳng

Trang 2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
1. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên  a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi
b

đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b là S   f ( x) dx .
a

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) và hai đường
thẳng x  a, x  b là
b

S   f ( x)  g ( x) dx
a

4.1

Tính thể tích vật thể.
Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a, b

b

là V   S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
a

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x   a; b và S(x) là một hàm liên tục.
4.2

Tính thể tích khối tròn xoay.

Hàm số y  f ( x) liên tục và không âm trên  a; b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên một
b

khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V    f 2 ( x)dx .
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g ( y) , trục tung và hai đường thẳng
y  c, y  d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công
d

thức V    g 2 ( y )dy .
c

Trang 3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916

Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

TÍCH PHÂN HỮU TỶ

:

Xác định bậc của tử thức và mẫu thức nếu :
- Tử ≥ mẫu  Ta thực hiện phép chia đa thức
- Tử < mẫu  Ta thực hiện phép phân tích mẫu thức

Bƣớc 2

Gọi hệ số α , β ( nếu cần ) rồi quy đồng mẫu thức thực hiện
phép Đồng nhất hệ số tìm α , β

Bƣớc 3

Tách biểu thức thành các dạng cơ bản có trong bản
nguyên hàm hoặc sử dụng các phép đổi biến số để thực
hiện tiếp yêu cầu

Bƣớc 1

Dạng 1: Tách phân thức

Ví dụ minh họa

2

Câu 1.

x2

I 

dx
2
x

7
x

12
1

2
2

16
9 
 I   1

dx =  x  16ln x  4  9ln x  3  1 = 1 25ln2  16ln3.
x  4 x  3

1
2

Câu 2.

I 

1

dx
x  x3
1
5

1 1
x
 

3
2
x x
x ( x  1)
x 1

 Ta có:

3

2


2
1
1

3
1
3
 I   ln x  2  ln( x2  1)   ln2  ln5 
2
2
2
8
2x

1
5

Câu 3.

I 

4

3x2  1
x3  2x2  5x  6

dx

2 4 13 7 14
 I   ln  ln  ln2
3 3 15 6 5

Trang 4

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 4.

I 

xdx

1

( x  1)3
1
x
x  1 1
1
 Ta có:

 ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx 
0
8
( x  1)3 ( x  1)3
0

Ví dụ minh họa

Câu 5.

I 

( x  1)2
(2x  1)4

Câu 6.

I 

101
0  2x  1

 7x  1 
 I  

 2x  1 
0
1

99

1  x 1 
 Ta có: f ( x)  .

3  2x  1 

dx

 7x  199

1

5x

I 

2

0 (x

1

 4)

2

x7

1  100 
1

2  1
0 900

1
8

 Đặt t  x2  4  I 

dx

 Đặt t  1 x2  dt  2xdx  I 

I 

Câu 9.

I   x5(1  x3)6dx

x2 )5

99

dx

Câu 8.

0 (1 

3
 x  1 
1  x 1 
.
 C
 I  
9  2x  1 
 2x  1 

 7x  1 
1 1  7x  1 
 
d


 2x  12 9 0  2x  1   2x  1 
dx

100

Câu 7.

2

dx

1 1  7x  1 
 


9 100  2x  1 
1

Dạng 2: Đổi biến số

1 2 (t  1)3
1 1
dt  .


5
21 t
4 25

1

0

 Đặt t  1  x3  dt  3x2dx  dx 
4

Câu 10. I 

3



1

2

Câu 11. I  

1

1
x( x4  1)

dx

dx
x.( x10  1)2

dt
3x2

I 

11 6
1  t 7 t8 
1
t
(1

t
)
dt

  

30
3  7 8  168

 Đặt t  x2  I 

2

1
2

3

1

t



1

3

  t  t 2  1 dt  4 ln 2

1





1 32
dt
 I   5 10
. Đặt t  x  I  
2
2
5 1 t(t  1)2
1 x .( x  1)
x4.dx

Trang 5

5


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
2

Câu 12. I  

x(1  x7 )

1

Câu 13. I 

2

1  x7

3



1 128 1  t
 I  7

dx . Đặt t  x  I  
dt
7
7 1 t(1  t )
1 x .(1  x )

dx

(1  x7 ).x6

7

dx
x (1  x2 )
6

1

 Đặt : x 

1
 I 
t

3
3



1

t6

dt 
t2  1

 4 2
117  41 3 
1 

 t  t  1  2  dt =
135
12
t

1


3

1



3
2

x2001

Câu 14. I  

2 1002
1 (1  x )

2

2

x2004

 I 

.dx

3
2 1002
1 x (1  x )

.dx  

1
1002

1 3


1
x  2  1
x


.dx . Đặt t 

1
x2

 1  dt  

2
x3

dx .

11
x2000.2xdx
Cách 2: Ta có: I  
. Đặt t  1 x2  dt  2xdx
2
2000
2
2
2 0 (1  x )
(1  x )
1000

1 2 (t  1)1000
1 2  1
 I   1000 2 dt    1  
21 t
2 1 t 

t
2

Câu 15. I  

1  x2

1 1

 Ta có:

x4

1 x

2

1  x4

3
2

 1
1
d 1  
 t  2002.21001

dx
1



1

x2 . Đặt t  x  1  dt   1  1  dx


1
x
x2 

x2  2
x
3
2

3
 2 1

1
t 2
1
 I  2

.ln

ln


dt



2
t  2 t  2 
 2  1
2
2
t

2
2
2
2
2
t

2


1
1


1
dt

2

Câu 16. I  

1

1  x2

1 1

x4

1

1

dx
1

5
2

1

2

1
1
dt
 x
. Đặt t  x   dt   1   dx  I   
.
2
x

1  x 4 x2  1
t

2
 x2 
2
x2
5
5
du
Đặt t  2 tan u  dt  2
; tan u  2  u1  arctan2; tan u   u2  arctan
2
2
2
cos u

 Ta có:

1 x

2

Trang 6


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /

Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
u


2 2
2
2
5
 I
du 
(u2  u1) 
 arctan  arctan2 

2 u
2
2 
2

1
2

Câu 17. I  

1

1

Câu 18. I  

1 x

x  x3

x4  1

6
0 x 1

1

1

 I 

x2  1

0

3
3



I

0

I

0

dx 

1 1 d( x3)
 1  
dx   . 

3 0 ( x3)2  1
4 3 4 3

dx

2

x

( x2  1)( x2  1)

Câu 20. I  

0

xdx
x  x 1
4

1 5
2



1

 Ta có:

dx

x4  1

1

Câu 21. I 

dx

x2

3
3



1
2
4
1
x
 Ta có: I  
dx . Đặt t  x   I  ln
1

5
x
1
x
x
2

x4  1 ( x4  x2  1)  x2
x4  x2  1
x2
1
x2





x6  1
x6  1
( x2  1)( x4  x2  1) x6  1 x2  1 x6  1

 Ta có:

Câu 19.

1

2

2

dx 



0

1
1 
1


dx  ln(2  3) 
 2

4
12
 x  1 x2  1 

1 1 dt
11
 Đặt t  x  I   2

2 0 t  t  1 2 0

.

x 4  x2  1

x 4  x2  1

1
2

dt

2

x2  1

x2  1

3
3 

2
 1  3 

t    
 2  2 

dx
1

1

x2
1



x2 

x2

. Đặt t  x 
1


1
1
 dt   1   dx
x
x2 



1

 I 

0t

dt
2

1

. Đặt t  tan u  dt 

du

2

cos u

Trang 7

4

 I   du 
0


4

2




6 3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ

Ta thƣờng đặt t là căn, mũ, mẫu.

Chú ý

Dấu hiệu

Có thể chọn

a2  x2




 x | a | sin t ,  2  t  2

 x | a | cost , 0  t  

x2  a2

|a| 


 x  sin t ,  2  t  2 ; t  0

x  | a | , 0  t   ;t  

cost
2

x2  a2




 x | a | tan t ,  2  t  2

 x | a | cott , 0  t  

ax
hoặc
ax

ax
ax

( x  a)(b  x)

Ví dụ minh họa

Đặt x  a cos 2t

Đặt x  a  (b  a)sin 2 t

Dạng 1: Đổi biến số dạng 1

Trang 8


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội

Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
x

Câu 22. I  

dx
3x  9x2  1
x
 I 
dx   x(3x  9x2  1)dx   3x2dx   x 9x2  1dx
2
3x  9x  1
3

+ I 1   3x dx  x  C1
2

3

1
1
+ I 2   x 9x  1dx   9x2  1 d(9x2  1)  (9x2  1) 2  C2
18
27
2

3

1
 I  (9x2  1) 2  x3  C
27
Câu 23. I  





dx

1 x x

x2  x
1 x x

+ I1  



x2  x

x2

dx  

1 x x

x

dx  

1 x x

dx .

x2

4
dx . Đặt t= 1 x x  t 2  1  x x  x3  (t 2  1)2  x2dx  t(t 2  1)dt
3
1 x x

4
4 2
4 3 4
 3 (t  1)dt  9 t  3 t  C = 9
x

+ I2  

1 x x

4
Vậy: I 
9



4

dx =

x

3

1 x

0 1

2x  1

6

2 2x  1 



3

dx

4x  1

1

t2
 Đặt t  2x  1 . I = 
dt 2  ln2 .

1 t
1
3 1
2 12

 Đặt t  4x  1 . I  ln 

1

 Đặt: t  1  x2  I    t 2  t 4  dt 

0

Câu 27. I  

4
1  x x  C1
3

C

Câu 26. I   x3 1  x2 dx

1



2 d(1  x x)
4
=

1  x x  C2

3
3
1 x x

dx

Câu 25. I  

1 x x

3

2x  1

Câu 24. I  



0

1 x

0 1

2
.
15

dx

x
1

t t
2 
11
dt = 2  t 2  t  2 
 4ln2 .
dt =
3
t 1
1 t 

0
0

1 3

 Đặt t  x  dx  2t.dt . I = 2
3

Câu 28. I  

x3

dx
3
x


1

x

3
0
Trang 9


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
2

2

2t 3  8t

2

1
3
dt   (2t  6)dt  6
dt  3  6ln
2
t 1
1 t  3t  2

1
1

 Đặt t  x  1  2tdu  dx  I  
0

 x.

Câu 29. I 

3

2

x  1dx

1

1

 t7 t4 
9
 Đặt t  x  1  t  x  1  dx  3t dt  I   3(t  1)dt  3    
28
 7 4 0
0
3

3

5

Câu 30. I  

1

x2  1
x 3x  1

1

2

3

dx
2

 t2  1

 1
4 3 
2tdt
2tdt
 Đặt t  3x  1  dx 
 I  2 
.
3
3
t 1

2
.t
3
4
4
2 1 3 
t 1
100
9
  t  t   ln

 ln .
9 3
t  1 2 27
5
2
3

Câu 31. I  

2x2  x  1
x 1

0

 Đặt



4

24 2
dt
(
t

1)
dt

2


2
92
2 t 1

dx

x  1  t  x  t 2  1  dx  2tdt
2

2(t 2  1)2  (t 2  1)  1
 I 
2tdt
t
1
1

2

 4t 5


54
 2 (2t 4  3t 2 )dt  
 2t 3  
 5
1 5
1
2

x2dx

Câu 32. I  2

0 ( x  1)

x 1

 Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx
I 

2



(t 2  1)2
t3

1

4

Câu 33. I  

0

x 1

1

2

2
 t3
 1
1
16  11 2
.2tdt 2   t   dt  2   2t   
t 1
3
 t
3
1

2
1  2x 

2

dx

t 2  2t
 dx  (t  1)dt và x 
 Đặt t  1  1  2x  dt 
2
1  2x
dx

Ta có: I =

1 4 (t 2  2t  2)(t  1)
1 4 t 3  3t 2  4t  2
1 4
4 2
dt

dt

t  3   dt




22
22
2 2
t t2 
t2
t2

=

1  t2
2
1
  3t  4ln t   = 2ln2 
2  2
t 
4
Trang 10


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
8

x 1



Câu 34. I 

dx
x 1
2

3





 x
1 


I 

dx =  x2  1  ln x  x2  1 

 2

x2  1 
3 x 1
8

8
3

= 1 ln



3  2  ln  8  3

1

Câu 35. I   ( x  1)3 2x  x2 dx

0

1

1

0

0

 I   ( x  1)3 2x  x2 dx   ( x2  2x  1) 2x  x2 ( x  1)dx . Đặt t  2x  x2  I  
2

Câu 36. I  

2x3  3x2  x
x  x 1
2

0
2

 I 

( x2  x)(2x  1)
x2  x  1

0
2

Câu 37. I  

0

2
.
15

dx
3

dx . Đặt t  x2  x  1  I  2  (t 2  1)dt 
1

4
.
3

3

x dx
3

4  x2

 Đặt t  3 4  x2  x2  t 3  4  2xdx  3t 2dt  I 


3 2 4
3 8

(t  4t )dt     43 2 

23
2 5

4

Câu 38. I 

1

dx



11 

x  1  x2

1
1 11 
1  x  1  x2
1  x2
 Ta có: I  
dx  
dx
dx     1 dx  
2
2
2 1 x 

2x
2x
1 (1  x)  (1  x )
1
1
1

+ I1 
+ I2 

1  x  1  x2

1

1 11 
1
1
  1 dx   ln x  x  |1 1

2 1 x 
2
1



1

1  x2
dx . Đặt t  1 x2  t 2  1 x2  2tdt  2xdx  I2=
2x

2



t 2dt

2
2 2(t  1)

0

Vậy: I  1 .
Cách 2: Đặt t  x  x2  1 .
1

Câu 39. I  

1
3

2

Câu 40. I  

1

1
3 3
x

x  
x4

dx

1

 1
3 1
1
 Ta có: I    2  1 . 3 dx . Đặt t  2  1  I  6 .
x
 x
1 x
1

3

4  x2
dx
x

Trang 11


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /

Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
2

4  x2

 Ta có: I  

x

1

0

I=

t(tdt )



4  t2

3

Câu 41. I 




t 2 
 

dt   (1 
)dt   t  ln

2
t2 
t2  4

3t 4
3
0

t2

( x2  1) x2  5
x 2

1

x  x2

 Đặt t  x2  5  I  

dx

3t

dt
2

4

2

1

1
x2  x  1

3

t3  2

 Đặt t  x  I  5 

0


2 3 

=   3  ln


2

3
3



dx

 Đặt t  x  x  x  1  I 
2

1 3

1
2dt
 ln(2t  1)
1
2t  1



1

3

x2

Câu 44. I  

2
2
0 (1  1  x ) (2  1  x )

3

 ln

3 2 3
3

dx

4

42 36 
4
 Đặt 2  1 x  t  I    2t  16   2  dt  12  42ln
t
3
t 
3
3

x2

0 2( x  1)  2

x 1 x x 1

Câu 45. I  

2

 Đặt t  x  1  I  

1

Câu 46. I 

3

2 2



 Ta có: I 

3



1

M



1

N

2 2



1

t(t  1)2

1

3

2

2011
3

x

2

2 2
2
 2 (t  1)2 dt  (t  1)3 
1
3
3
1

1

1
2 2
2011
x2
dx  

dx  M  N
3
x
x3
1

1

x
x3

dx

dx

x4

1

2 2

2t(t 2  1)2 dt

x  x3  2011x

2 2



1 15

ln .
4 7


 2
2  5
2t
1 
dt  5  1  

dt  5 3  1  ln  

2
2
3  12
t t  1 t  1

t(t  1)
1 

3

6

Câu 43. I  

0

dx

3

1

4

5

x

27



4  x2  t 2  4  x2  tdt   xdx

xdx . Đặt t =

0

2 5
2

Câu 42. I 

2



dx . Đặt t 

dx 

2 2



1

3

1
x2

1  M  

3
2

2 2

 2011
2011x dx   

 2x2  1
3

Trang 12



3

7
2



t 3dt  

0

14077
16

213 7
128


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

 I

14077 213 7
.


16
128
1

dx

Câu 47. I  

0 (1 

3

x3). 1  x3
3

 Đặt t  1  x  I 
3

3



dt



1



2
 3

 
1
t 2. t 3  1  3  
  t 

1

Đặt u  1 

t

Câu 48. I 

2 2



3

3

2

4


1

t 4 1 3 
 t 

0

3

dt



2

t .(t

3


1
3
2 1 3 
   t 
t4
1

2
3

 I 

2

1

1
2

2
u 3

3dt
t

dt 

dt



1

 du 

3

t2

2
1 4 3
t .(t  1) 3

3

2

2



3

du 

2
 1) 3


2
3

dt

1
2
1 2 3
u du 

3

0

 1
1  u3

1
2


 
3 1 
 
 3 0

1
1 2
 u3
0



1
3

2

x4
dx

1 2
 x  x  x 1




 Đặt t  x2  1
3

 I 

2

(t 2  1)2
t2  2

3 4

dt =



2

t  2t 2  1
t2  2

3

dt   t dt  
2

2

2t

1
2

2

dt 

19
2  4 2 

ln 

3
4  4  2 

Dạng 2: Đổi biến số dạng 2

Ví dụ minh họa

1

3



2
x

ln
1

x
   dx
 1 x

0

Câu 49. I   

1 x

1

 Tính H  

0

1 x
1 x

dx . Đặt

 

x  cost; t   0;   H  2 
2
 2

Trang 13


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
u  ln(1  x)

1

 Tính K   2x ln(1  x)dx . Đặt 

 dv  2xdx

0
2

 (x

Câu 50. I 

5

 K

1
2

 x2 ) 4  x2 dx

2

I=

2



( x5  x2 ) 4  x2 dx =

2

2



+ Tính A =

2

4  x2 dx = A + B.

x

5

4  x2 dx . Đặt t   x . Tính được: A = 0.

x

2

4  x2 dx . Đặt x  2sin t . Tính được: B = 2 .

2
2

+ Tính B =

x

2

2
2

2

x5 4  x2 dx +

2

Vậy: I  2 .
2

Câu 51. I  

3 



4  x2 dx
2x 4

1
2

 Ta có: I  

1 2x
2

+ Tính I 1 = 

+ Tính I 2  

1

4

3

1 2x
2

2

3

4

dx =

4  x2
2x4

2x 4

1

dx .

3 2 4
7
x dx  .

21
16
dx . Đặt x  2sin t  dx  2costdt .



 I2 

4  x2

dx  





 1 
1 2 cos tdt 1 2
12
3
  cot 2 t 
dt    cot 2 t.d(cot t ) 


4
2
8  sin t
8
8
8
 sin t 
2

6

Vậy: I 

1
7  2 3 .
16

1

x2dx

0

4  x6

Câu 52. I  

6

6

 Đặt t  x3  dt  3x2dx  I 

1 1 dt
.
3 0 4  t 2


 
16

Đặt t  2sin u, u  0;   dt  2cosudu  I   dt  .
 2
30
18

2

Câu 53. I  

0

2 x
dx
x2

2

t
2

 Đặt x  2cost  dx  2sin tdt  I  4  sin2 dt    2 .
0

Trang 14


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
1

Câu 54. I  

0

x2dx
3  2 x  x2
1

x2dx

0

2  ( x  1)

 Ta có: I  

2

2

. Đặt x  1  2cost .
2
3



 I 

2



2
3

1
2



Câu 55.

(1  2cost ) 2sin t
2

4  (2cost )2

dt =

  3  4cost  2cos2t  dt =




2



3 3
4
2

2



6

 Đặt x  sin t  I   (cost  sin t ) costdt 

1  2x 1  x2 dx

0

0


12



TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

.

dx

.

dx

Đặt
Đặt

b

b

b

 f ( x)dx   udv  uv  vdu
b

a

a

a

Trang 15

a

3 1

8 8


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Trong các lần tích phân từng phần
ta phải thống nhất đƣợc cách đặt

Chú ý

Câu 56. I 

3



x2  1dx

2


x

dx
u  x2  1 du 
2
 Đặt 

x

1

dv  dx
v  x

3

 I  x x 1
2

5 2

2

3





3



2

x2  1dx 

2

 I

x.

x
x2  1
3



2

dx  5 2 

dx
x2  1

 2
 x 1 

2

3




 dx
x2  1 
1

 5 2  I  ln x  x2  1

3
2

5 2

1
 ln  2  1  ln2
2
4

Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x 

1
vì  2;3   1;1
cost


2

a) I   x sin xdx
0

e

b) J   x ln xdx
1

0

Lời giải

2

a) I   x sin xdx
0

u  x
du  dx
 

dv  sin xdx v   cos x



2

1

c) K   xe x dx



 I   x cos x 02   cos xdx  0  0  sinx 02  1
0
e

b) J   x ln xdx
1

Trang 16


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916

Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
1

du  dx

u  ln x

x
 

2
dv  xdx v  x

2
e

e

e

x2
x
x2
x2
e2  1
 J  ln x   dx  ln x 

2
2

2
4 1
4
1
1
1
e

1

c) K   xe x dx
0

u  x
du  dx

 

x
x
dv  e dx v  e
1

 K  xe x   e x dx  e  e x  1
1

1

0

0

0



Câu 57. I 

3




3

x sin x
cos2 x

dx .

 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:


I

3







 1 
x 3
xd 


 cos x  cos x  
3

3







3







dx
4


 J, với J 
cos x 3

3



Để tính J ta đặt t  sin x. Khi đó J 

3





Vậy I 


3

3
2

dx

cos x


2

4
2 3
 ln
.
3
2 3
2

1  sin x 

0



  1  cos x .e dx
x

x
x
1

2sin
cos
1  sin x
1
x
2
2

 tan

 Ta có:
x
x
1  cos x
2
2cos2
2cos2
2
2

Trang 17







dx
cos x

3
3

1 t 1 2
2 3
 1  t 2   2 ln t  1 3   ln 2  3

3



Câu 58. I 

3

dt

2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

2


x

e dx



2

x
 I

  e tan dx = e2
x 0
2
0 2cos2
2
x



Câu 59. I 

4



0

x cos2x

1 sin2x

2

dx

u  x
du  dx


cos2x

 Đặt 

1
dv 
dx v  
2


1  sin2x
(1  sin2x)









 1

1
1
1
 14 1
 I  x.  .

dx




.
 4
2 0 1  sin2x
16 2 0 2
 2 1  sin2x 
4

0



1
2

cos  x  
4





1 1

 1 2
2 
  .
tan  x   4    .
0  1 



16 2 2
4
16 2 2
4 16

0

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Trang 18



dx


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

Câu 60. I  

8cos2 x  sin2x  3
dx
sin x  cos x

(sin x  cos x)2  4cos2x

 I 
dx    sin x  cos x  4(sin x  cos x dx
sin x  cos x
 3cosx  5sin x  C .
cot x  tan x  2tan2x
Câu 61. I  
dx
sin4x
2cot 2x  2tan2x
2cot 4x
cos4x
1
 Ta có: I  
dx  
dx  2
dx  
C
sin4x
sin4x
2sin4x
sin2 4x


cos2  x  
8

Câu 62. I  
dx
sin2x  cos2x  2



1  cos 2x  
1

4  dx
 Ta có: I 



2 2 1  sin 2x  



4


 cos 2x   



1 
dx


4


dx  



2
2 2  1  sin  2x   











sin  x    cos x    

4

8
8  

 





cos 2x  

1 
1

dx

4  dx 



2 2
3  
2 2  1  sin  2x   
sin  x 





4
8 




1 

3  

 ln 1  sin  2x    cot  x 
  C

4
8  


4 2 
Câu 63. I 



 2



dx
3sin x  cos x

3

Trang 19


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
1
I 
2

1
1
dx

dx
= I 
=
.
4


4
3
2 x  
1  cos x  
2sin   
3
3
3
2 6


6

1

 2sin x 

Câu 64. I 

dx
3

0





6

1
 Ta có: I  
20




cos

6



1
sin x  sin



3

dx 

6





dx 

1
2

6





dx

sin x  sin
3
3
 x    x  
cos        
 2 6   2 6 
0

dx
x 
x 
sin x  sin

2cos   .sin   
3
2 6
2 6
x 
x 


cos  
sin   
6
6
1
 2 6 dx  1
 2 6  dx  ln sin  x   
 



2 6
20
x 
20
x 

sin   
cos  
2 6
2 6



0

0


6
0

x 
 ln cos  
2 6


6
0


2

 (sin

Câu 65. I 

4

x  cos4 x)(sin6 x  cos6 x)dx .

0

 Ta có: (sin4 x  cos4 x)(sin6 x  cos6 x) 

33 7
33
3
 cos4x  cos8x  I 
.
64 16
128
64


2

 cos2x(sin

Câu 66. I 

4

x  cos4 x)dx

0





2



0



1



1 2



0



1

 I   cos2x 1  sin2 2x  dx    1  sin2 2x  d(sin2x)  0
2
2
2




Câu 67. I 

2

 (cos

3

x  1) cos2 x.dx

0

A =





2

2

5
 cos xdx 

0

0


2

 cos x.dx 

0

Vậy I =

=

8
15



2

B=

2
2 

1

sin
x
d(sin x)



12
(1  cos2x).dx =


20
4

8

– .
15 4
Trang 20

 .....


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn

2

 cos

Câu 68. I 

2

x cos 2 xdx

0





2

 I   cos2 x cos2xdx 
0



12
12
(1

cos2
x
)
cos2
xdx

(1  2cos2x  cos4x)dx
2 0
4 0


2
1
1


 ( x  sin2x  sin4x) 
4
4
8
0



3
2 4sin x dx
0 1  cos x

Câu 69. I  



4sin3 x 4sin3 x(1  cos x)

 4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin2x
1  cos x
sin2 x


 I   2 (4sin x  2sin2x)dx  2
0
2

Câu 70. I 



1  sin xdx

0

I

2

2
2

x 
x
x
x
x
 sin  cos  dx   sin  cos dx  2  sin    dx
2 4

2
2
2
2
0
0

2



0

 3

2
2
x 
x  
 2   sin   dx   sin    dx   4 2
2 4
2 4 
0
3


2




Câu 71. I 

4



0

dx
cos6 x

4

 Ta có: I   (1  2tan2 x  tan4 x)d(tan x) 
0

28
.
15

sin2xdx
3  4sin x  cos2x
1
2sin x cos x
 Ta có: I  
C
dx . Đặt t  sin x  I  ln sin x  1 
2
sin x  1
2sin x  4sin x  2
dx
Câu 73. I  
sin3 x.cos5 x
dx
dx
 8 3
 I  3
3

2
sin x. cos x. cos x
sin 2 x. cos 2 x


3
1
3
1
C
Đặt t  tan x . I    t 3  3t   t 3  dt  tan4 x  tan2 x  3ln tan x 
t
4
2


2tan2 x
Câu 72. I  

Trang 21


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn
Chú ý: sin2x 
Câu 74. I  

 I 

2t

.

1 t2
dx

sin x.cos3 x
dx
2

sin x.cos x.cos x

 I  2

dt
2t



 2

dx
2

dx

. Đặt t  tan x  dt 

2

; sin2x 

cos x

sin2x.cos x

t2  1
1
t2
tan2 x
dt   (t  )dt   ln t  C 
 ln tan x  C
t
t
2
2

1 t2
Câu 75. I  

2011

sin2011 x  sin2009 x
sin5 x

cot xdx

1

2011 1 

sin2 x cot xdx 

sin4 x

 Ta có: I  

Đặt t  cot x  I  

2
t 2011(1  t 2 )tdt

4024

2011

 cot 2 x

sin4 x

cot xdx

4024

8046

2011 2011 2011 2011


t

t
C
4024
8046

8046

2011
2011 2011
=
cot 2011 x 
cot
xC
4024
8046


Câu 76. I 

2

sin2x.cos x
dx
1  cos x
0




2
(t  1)2
sin x.cos2 x
 Ta có: I  2 
dt  2ln2  1
dx . Đặt t  1 cos x  I  2
t
1  cos x
1
0

2



Câu 77. I 

3

 sin

2

x tan xdx

0



3



sin x
 Ta có: I   sin x.
dx 
cos x
0
2

(1  cos2 x)sin x
dx . Đặt t  cosx

cos x
0

3

1
2

1  u2
3
 I  
du  ln2 
u
8
1
Câu 78. I 



 sin

2

x(2  1  cos2x )dx



2









2

2

 Ta có: I   2sin2 xdx   sin2 x 1  cos2xdx  H  K
Trang 22

2t
1 t2

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn










2

2

2

+ H   2sin xdx   (1  cos2x)dx   
2




2













2

2

2

+ K   sin2 x 2cos2 x   2  sin2 x cos xdx   2  sin2 xd(sin x) 

I 



2
3



2



Câu 79. I 

3

dx

 sin2 x.cos4 x



4


3

 I  4. 


dx
2

. Đặt t  tan x  dt 

2

sin 2x.cos x

dx
cos2 x

.

4

I

3



(1  t 2 )2 dt
t2

1

3





1

3

 1

1
t3 
8 34
2

2

t
dt



2
t


 
 2

3 1
3
 t
t




Câu 80. I 

2

sin 2 x

  2  sin x  dx
2

0



 Ta có: I 



2

sin2x

 (2  sin x)2

2

dx  2 

0

3

 I  2

2

t 2
t2

0

sin x cos x
(2  sin x)2

dx . Đặt t  2  sin x .
3

1 2 

2
3 2
dt  2    dt  2  ln t    2ln 
2 3
t t2 
t 2

2
3



Câu 81. I 

6

sin x

 cos2x dx

0

I





6

6

sin x
 cos2x dx 
0

sin x

 2cos2 x  1 dx . Đặt t  cosx  dt   sin xdx

0

Đổi cận: x  0  t  1; x 

Ta được I  

3
2



1

1
2t  1
2

dt 


6

t 

1
2 2

ln

3
2
2t  2
2t  2

1

=
3
2

Trang 23

1
2 2

ln

3 2 2
5 2 6

2
3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn


Câu 82. I 

2

2

 Đặt t  sin2 x  I =

sin x
3
 e .sin x.cos x. dx

0

11 t
1
e (1  t )dt = e  1.

20
2


2

Câu 83. I   sin x  sin2 x 



1
dx
2

 Đặt t  cosx . I 

3
(  2)
16

6


Câu 84. I 

4

sin4x



sin6 x  cos6 x

0

dx


4

I

1
4

sin4x



3
1  sin2 2x
4

0

3
2 1
dx . Đặt t  1  sin2 2x  I =   
4
3 t
1


4
t
dt =
3


1
1
4



2

.
3



Câu 85. I 

2

sin x



sin x 

0



3

3 cos x

dx



 Ta có: sin x  3 cos x  2cos x 



;
6


 
3 
 1 

sin x  sin   x     =
sin  x    cos x  
6 6
2
6 2
6







sin  x   dx
2
6
3
3
1 2
dx


I=
=



6
16 0


  16 0

cos3  x  
cos2  x  
6
6




Câu 86. I 

4

sin x 1  cos2 x



cos2 x





I

dx

3





4

4







sin x
2

1  cos2 x .dx 

cos x





3





sin x
2

sin x dx 

cos x

3



= 

0







2

sin x
2

cos x

4

dx  

0

sin2 x
2

dx 

cos x

7
 3  1.
12

3



Câu 87. I 

6

 sin x 

0

1

dx
3 cos x

Trang 24

0






3

sin x
2

cos x

sin x dx 

4



sin x

2
0 cos x

sin x dx


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội
Hottline: 0973.332.916
Email: /
Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn


sin  x  
1
1
1
1
3  dx .

I
dx = 
dx = 
20


20



0 sin x  3 cos x
sin  x  
1  cos2  x  
3
3








6

6

6

1
2






1
1
1
Đặt t  cos x    dt   sin  x   dx  I  
dt  ln3
2
3
3
2 0 1 t
4



2



Câu 88. I 

1  3sin2x  2cos2 xdx

0

I





2

3



sin x  3 cos x dx = I 

0





sin x  3 cos x dx 

2

 sin x 

3 cos x dx  3  3



0

3



Câu 89. I 

2

sin xdx

 (sin x  cos x)3

0



 Đặt x 


2

 t  dx  dt  I 



2

costdt

0



2

cos xdx

 (sin t  cost )3  (sin x  cos x)3


0





12
dx
1
 4
1
 2I  
 
  cot( x  )  1  I 
2

20 2
2
4 0
2
0 (sin x  cos x)
sin ( x  )
4
2

dx



Câu 90. I 

2

7sin x  5cos x

 (sin x  cos x)3 dx

0



 Xét: I 1 

2



0

Đặt x 


2



sin xdx

 sin x  cos x

3

I2 

;

2



0

cos xdx

sin x  cos x 

2

Tính I1 + I2 =



0

 I1  I 2 



dx

 sin x  cos x

2



1
 

tan(
x

) 1


2
4 02
0 2cos2 ( x  )
4

2

dx

1
 I  7I 1 – 5I 2  1.
2


2

.

 t . Ta chứng minh được I1 = I2


Câu 91. I 

3

3sin x  2cos x

 (sin x  cos x)3 dx

0

Trang 25