BT hinh hoc giai tich trong KG

TRUNG TM O TO T HC WTS
a ch: Tng 3 s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H
NiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

BI TP MINH HA
Bi 1: Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 3 im A(3;1;1), B(0;1;4), C(1;3;1). Lp phng trỡnh
ca mt cu (S) i qua A, B, C v cú tõm nm trờn mt phng (P): x + y 2z + 4 = 0.
Bi 2: Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 4 im A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(1;3;1). Chng
t A, B, C, D l 4 nh ca mt t din v tỡm trc tõm ca tam giỏc ABC.
x 1 2t

Bi 3 Trong khụng gian Oxyz cho mt phng (P): x- 3y + 2z 5 = 0 v ng thng : y 1 t
z 2 3t

Lp phng trỡnh ng thng ' l hỡnh chiu vuụng gúc ca ng thng trờn mt phng (P)
Bi 4 : Trong khụng gian vi h ta Oxyz, hóy xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip
tam giỏc ABC, bit A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Bi 5 : Trong khụng gian vi h ta Oxyz, Cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Vit phng trỡnh
mt phng (ABC) v tỡm im M thuc mt phng 2x + 2y + z 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Bi 6:Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): 3x y 2 z 1 0 , ng thng

x 5 t
d : y 2 3t . Lp phng trỡnh ng thng nm trong mt phng (P), ct v vuụng gúc vi
z 1 t

ng thng (d).
Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng d và d lần l-ợt có ph-ơng trình :
x2
y2

z 5
d: x
.
y 3
z và d :
2
1
1
Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d một góc 300

x 1 2t

x y z
Bi 8: Trong khụng gian oxyz cho hai ng thng d1 : ; d2 y t
v im M(1;2;3).
1 1 2
z 1 t

1.Vit phng trỡnh mt phng cha M v d1 ; Tỡm M i xng vi M qua d2.
2.Tỡm A d1; B d2 sao cho AB ngn nht .

Bi 9: Trong khụng gian vi h ta vuụng gúc Oxyz, cho mt cu (S) : (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 64
v mt phng (P) : 2x y 2z 13 0 ct nhau theo giao tuyn l ng trũn (C). Xỏc nh tõm v bỏn
kớnh ca ng trũn ú.
x 1 y z 2
Bi 10: Trong khụng gian Oxyz cho ng thng d:
v mt phng

2
1

3
( P) : 2 x y z 1 0 .Tỡm ta giao im A ca ng thng d vi mt phng (P) . Vit phng trỡnh
ca ng thng i qua im A vuụng gúc vi d v nm trong (P) .


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Bài 11: Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và
x2
y
z4
đường thẳng (d):
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I  (d) và tiếp xúc với hai mặt


1
2
3
phẳng (P1), (P2).
Bài 12: Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x 2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x 2y + 2z - 3 = 0. Tìm những điểm M  (S), N  (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
x  2 y z 1
Bài 13:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng d1  :
 
3
1 2
và vuông góc với đường thẳng d 2  : x  2  2t; y  5t; z  2  t ( t  R ).
Bài 14: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt cả hai

x 1 y 1 z

 và d 2  : x  1  t; y  1; z  t , với t  R .
đường thẳng d1  :
2
1 1
Bài 15: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2).
Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC
GIẢI:
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình
của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0.
Bài 1: PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B:
2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I  (P): a + b – 2c + 4 = 0
Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3
Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1). Chứng
tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC.
1
2

Bài 2 Ta có AB  (3;1;4); a  AC  (1;1;1)
PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – 6 = 0  D  ( ABC )  đpcm
x  3  t


qua A(3;0;0)

 AA ' :  y 
t,
Đường cao AA ' : 
vtcp
BC

(1;1;

2)


 z  2t

 x  t '

quaB(0;1; 4)

 BB ' :  y  1  t '
Đường cao BB ' 

vtcp AC  (1;1;1)
z  4  t '

H  AA' BB '  t  1; t '  2  H (2; 1;2)


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS

Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

 x  1  2t

Bài 3 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng  :  y  1  t
 z  2  3t

'
phương trình đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của đường thẳng  trên mặt phẳng (P)

Lập

Bài 3 : Mặt phẳng P và đường thẳng  không song song hoặc không trùng nhau   cắt P . Phương trình
 x  1  2t

tham số của   y  1  t  A  P   1  2t  3  3t  4  6t  5  0
 z  2  3t

5t-5= 0  t= 1  A(1, 2, 5)
Chọn B (-1, 1, 2)   . Lập phương trình đường thẳng d qua B và d vuông góc( P )
 x  1  t '



 U d  n p (1, 3, 2)  d  y  1  3t '
 z  2  2t '


9 1 38
5
C là giao điểm của d và (P)  -1 +t’-3+9t’+4+4t’ – 5 =0  t’=
 C( ; ; )
14 14 14
14

23 29 32
Đường thẳng AC là đường thẳng cần tìm: AC  (
;
;
)
14 14 14
 x  1  23t1


 ' :  y  2  29t1
cùng phương với véc tơ U (23,29,32)
=>
 z  5  32t
1

Bài 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Bài 4: Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2;2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là:
x  y  z  1  0, y  z  3  0.
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là n   AB, AC   (8; 4; 4). Suy ra (ABC): 2 x  y  z  1  0 .

 x  y  z 1  0
x  0



Giải hệ:  y  z  3  0   y  2 . Suy ra tâm đường tròn là I (0; 2;1).
2 x  y  z  1  0  z  1


Bán kính là R  IA  (1  0)2  (0  2)2  ài 14: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt cả hai
x 1 y 1 z

 và d 2  : x  1  t; y  1; z  t , với t  R .
đường thẳng d1  :
2
1 1
Bài 14: Điểm M  d1  , nên toạ độ của M  1  2t1 ;1  t1 ; t1 

điểm N  d 2  , nên toạ độ của N   1  t;1;t  Suy ra MN  t  2t1  2; t1 ;t  t1 

Với M , N  d  và mặt phẳng (P) có 1 VTPT là n  1;1;1 . Suy ra:

d   mpP  MN  k.n; k  R*  t  2t1  2  t1  t  t1


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

4


 t5
1 3 2
Giải ra ta được 
, do đó M   ; ; 
2
5 5 5
t1 
5

1
3
2
Vậy phuơng trình đường thẳng (d) là: x   y   z 
5
5
5
Bài 15: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Bài 15: Mp(P) có vtpt n P = (1;1;-2).
(S) có tâm I(1;-2;-1)
* IA = (2;1;2). Gọi vtcp của đường thẳng  là u 
 tiếp xúc với (S) tại A  u   IA
Vì  // (P)  u   n P
* Chọn u 0 = [ IA , n P ] = (-4;6;1)

 x  3  4t

* Phương trình tham số của đường thẳng  :  y  1  6t
z  1 t


Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2).
Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC
Bài 16: Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của  ABC
 d là giao tuyến của (ABC) với (  ) qua A và vuông góc với BC.
* Ta có: AB = (1;3;-3), AC = (-1;1;-5) , BC = (-2;-2;-2)
[ AB , AC ] = (18;8;2)
1
mp(ABC) có vtpt n = [ AB , AC ] = (-3;2;1).
4
1
mp(  ) có vtpt n ' = - BC = (1;1;1)
2
* Đường thẳng d có vtcp u =[ n , n ' ] = (1;4;-5).

x  1 t

* Phương trình đường thẳng d:  y  2  4t
 z  3  5t

BÀI TẬP YÊU CẦU

Dạng 1: Tìm tọa độ vecto, tìm tọa độ điểm
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho a  (1; 2;1) , b  (2;1;1) , c  3i  2 j  k . Tìm tọa độ các
véctơ sau:

a) u  3a  2b

b) v  c  3b

c) w  a  b  2c

3
2

d) x  a  b  2c


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho a  (1; 1;0) , b  (1;1; 2) , c  i  2 j  k , d  i
a) xác định k để véctơ u  (2; 2k  1;0) cùng phương với a
b) xác định các số thực m, n, p để d  ma  nb  pc
c) Tính a , b , a  2b
Bài 3: Cho A  2; 5; 3 , B  3;7; 4  , C  x; y; 6 
a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz. Tính độ dài đoạn AB
c) Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA  MB nhỏ nhất.
1
4
a) Tính các tích vô hướng a.b , c.b . Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào

Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho a  (1; 2; ) , b  (2;1;1) , c  3i  2 j  4k
vuông góc
b) Tính cos(a,b) , cos(a,i)

Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A 1; 1;1 , B  2; 3;2  , C  4; 2;2  , D 3;0;1 , E 1;2;3
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó.
b) Tính cos các góc của tam giác ABC
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A, B
d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA  MB  2MC  0
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A 1; 1;1 , B  2; 3;2  , C  4; 2;2 .
a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB
b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d) Tìm tọa độ điểm E để B là trọng tâm của tam giác ACE

Dạng 2: Ứng dụng tích có hướng của hai vecto
Bài 1: Trong không gian Oxyz , tính tích có hướng u, v  biết rằng:
a) u  (1; 2;1) , v  (2;1;1)

b) u  (1;3;1) , v  (0;1;1)

c) u  4i  j , v  i  2 j  k

Bài 2: Trong không gian Oxyz , tính tích u, v  .w và kết luận sự đồng phẳng của các véc
tơ, biết rằng:
a) u  (1; 2;1) , v  (0;1;0) , w  (1;2; 1)
b) u  (1; 1;1) , v  (0;0; 2) , w  (1; 2; 1)
c) u  4i  j , v  i  2 j  k , w  (5;1; 1)
Bài 3: Trong không gian Oxyz , Cho A 1; 1;1 , B  2; 3;2  , C  4; 2;2  , D 1;2;3
a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng.
b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS

Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

c) Tính diện tích tam giác ABC.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có:
A  2; 1;1 , B  2; 3;2 , C  4; 2;2  , D 1;2; 1 , S  0;0;7 
a) Tính diện tích tam giác SAB
b) Tính diện tích tứ giác ABCD
c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến
mp(ABCD)
d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)

Dạng 3: Phương trình mặt cầu
Bài 1: Trong không gian Oxyz , tìm tâm và bán kính mặt cầu
a) ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  2)2  9

b) 2 x 2  2 y 2  2 z 2  8x  10 y  6 z 

25
0
2

Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho A 1;3; 7  , B  5; 1;1 .
a) Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c) Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho A 1;1;1 , B 1;2;1 , C 1;1;2  , D  2;2;1

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp  Oxy  ,  Oyz 

Bài 4: Trong không gian Oxyz , hãy lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm: A 1;2; 4  ,

B 1; 3;1 , C  2;2;3 và có tâm nằm trên mp Oxy

Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho A  2; 1;6 , B  3; 1; 4 , C  5; 1;0  , D 1;2;1
a) Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Dạng 4: Phương trình mặt phẳng

Bài 1: Trong không gian Oxyz , cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n(1; 1;5) làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm
trong mp đó là a  (1;2; 1), b  (2; 1;3)
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz , cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp  P  : 2 x  y  3z  2  0
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
Q : 2x  y  2z  2  0
d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, song song với trục Oy và vuông góc với
mặt phẳng  R  : 3x  y  3z  1  0
e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz.
Bài 3: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox,
Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho: OA = OB = OC.
Bài 4: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,
Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 5: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,
Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng
tâm tam giác ABC.
Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD, biết rằng: A  2; 1;6  , B  3; 1; 4  ,

C  5; 1;0  , D 1;2;1 .
a) Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)
b) Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.

Dạng 5: Phương trình đường thẳng

Bài 1: Trong không gian Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua A(1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương là a  (1; 2;1)
b) Đi qua hai điểm I(-1; 2; 1), J(1; -4; 3).

Bài 2: Trong không gian Oxyz , tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:
 x  1  2t

a) Qua điểm A  3; 1;2  và song song với đường thẳng  y  3  t
 z  t



b) Qua A  3; 1;2  và song song với hai mặt phẳng x  2 z  4  0; x  y  z  3  0
c) Qua điểm M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng:


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

 x  1  2t
x 1 y  2 z  1

(d1):  y  3  t và (d2):


2
1
3
 z  t


Bài 3: Cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai
đường thẳng AB, CD.
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):

x 1 y  2 z  1


2
1
3

lên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 5: Trong không gian Oxyz , viết phương trình hình chiếu (vuông góc) của đường
 x  1  2t

thẳng (d):  y  3  t lên mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0
 z  t


Bài 6: Trong không gian Oxyz , viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
  : 2x  y  2z 1  0,    : x  2 y  z 1  0
Dạng 6: Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng, góc
và khoảng cách
Bài 7: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

x  6 y 1 z  2
x 1 y  7 z  3
và (d’)




2
3

2
1
1
4
x 1 y  2 z
x
y 8 z 4
b) (d)



 và (d’)
2
2
3
2
1
1
x7 y 2 z
x  2 y z 1
c) (d)
và (d’)




6
4
6 8
9

12

a) (d)

Bài 8: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Tìm tọa độ giao điểm của
chúng nếu có:
a) (d)

x  12 y  9 z  1
và   : 3x  5 y  z  2  0


4
3
1

Bài 9: Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
x 1

2
x 1

b) (d)
2

a) (d)

y 7 z 3
x  6 y 1 z  2




và (d’)
1
4
3
2
1
y2 z
x
y 8 z 4
 và (d’)


2
1
2
3
1

Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng ở bài 9 (nếu chúng chéo nhau hoặc


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà
NộiHotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

song song nhau)

Bài 11: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

x  12 y  9 z  1
và   : 3x  5 y  z  2  0


4
3
1
x 1 y  3 z
b) (d)

 và   : 3x  3 y  2 z  5  0
2
4
3

a) (d)

Bài 12: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng:
x  12 y  9 z  1


4
3
1
 x  1  2t

b) (d2):  y  3  t
 z  t



a) (d1):

c) (d3) là giao tuyến của 2 mặt phẳng   : 2 x  3 y  3z  9  0,    : x  2 y  z  3  0
Bài 13: Cho đường thẳng (d)

x 1 y 1 z  3
và   : x  2 y  4 z  1  0 .


1
2
1

a) Tìm giao điểm giữa (d) và  

b) Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với   một góc có số đo lớn nhất
c) Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với   một góc có số đo nhỏ nhất
Bài 14: Trong không gian cho bốn đường thẳng

x 1 y  2 z
x2 y2 z
, (d2):




1
2

2
2
4
4
x  2 y z 1
x y z 1
(d3):  
,
(d4) :
 
2 1
2
2
1
1

(d1):

a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình
tổng quát của mặt phẳng đó
b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c) Tính côsin góc giữa (d1) và (d3)
Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2) và mp   : x  y  z  2  0
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b) Tìm trên mp   điểm cách đều 3 điểm A, B, C
c) Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp  
Bài 16: Cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c) Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)