hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai TRAN SI TUNG

Học viện huấn luyện STA

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x – 3y + 2z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc
với mặt phẳng (P).
r
r
r
r uuu
• (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT n =  nP , AB = (0; −8; −12) ≠ 0
⇒ (Q) : 2y + 3z − 11= 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P ) : x + 2 y + 3z + 3 = 0 .
ĐS: (Q) : x − 2y + z − 2 = 0

Câu 1.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
 x = −1+ t

A(2;1;3), B(1; −2;1) và song song với đường thẳng d :  y = 2t
.
 z = −3− 2t
uur
r
• Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; −2) .
r uur
uur r
n

r
r
Gọi n là VTPT của (P) ⇒ r ⊥ BA
r ⇒chọn n =  BA,u = (−10;4; −1)
n ⊥ u
⇒Phương trình của (P): 10x − 4y + z − 19 = 0.

Câu 2.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:

Câu 3.

x − 1 y + 1 z− 2
x − 4 y− 1 z− 3
=
=
=
=
, (d2):
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1
2
3
1
6
9
3
) và (d2) .
(d1);

• Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x + y2 + z2 − 2x + 6y − 4z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
r
véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4y + z − 11= 0 và tiếp xúc với (S).
r
• (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (α ) là n = (1;4;1) .
r
r r
⇒VTPT của (P) là: nP = [ n, v] = (2; −1;2) ⇒PT của (P) có dạng: 2x − y + 2z + m= 0 .

Câu 4.

2

 m= −21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ,(P )) = 4 ⇔ 
.
 m= 3
Vậy: (P): 2x − y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x − y + 2z − 21= 0 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y+ 1 z
x y− 1 z− 4
(d1) : =
=
=
và (d2) : =
. Chứng minh rằng điểm M , d1, d2 cùng
1 −2 −3
1

2
5
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
r
r
• d1 qua M1(0; −1;0) và có u1 = (1; −2; −3) , d2 qua M2(0;1;4) và có u2 = (1;2;5) .
r uuuuuur
r r
r r uuuuuur
u1;u2  = (−4; −8;4) ≠ 0, M1M2 = (0;2;4) ⇒ u1;u2  .M1M2 = 0 ⇒d1, d2 đồng phẳng.
r
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2 ⇒(P) có VTPT n = (1;2; −1) và đi qua M1 nên có phương
trình x + 2y − z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M (1;–1;1) ∈ (P ) .

Câu 5.

Trang 1


PP toạ độ trong không gian
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
x − 3 y− 3 z
=
= và mặt cầu
2
2
1
2
2
2

(S): x + y + z − 2x − 2y − 4z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
• (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1) .
r r r
(P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT n = [ u, i ] = (0;1; −2) ⇒ PT của (P) có dạng: y − 2z + D = 0 .

Câu 6.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:

(P) tiếp xúc với (S) ⇔ d(I ,(P )) = R ⇔

⇒ (P): y − 2z + 3+ 2 5 = 0

hoặc


= 2 ⇔ D − 3 = 2 5 ⇔  D = 3+ 2 5
12 + 22
 D = 3− 2 5
(P): y − 2z + 3− 2 5 = 0.

1− 4 + D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x − 4y − 4 = 0 và
mặt phẳng (P): x + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; −1) vuông
góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
• (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1;0;1) .

Câu 7.

PT (Q) đi qua M có dạng: A(x − 3) + B(y − 1) + C(z + 1) = 0, A2 + B2 + C 2 ≠ 0
(Q) tiếp xúc với (S) ⇔d(I ,(Q)) = R ⇔ −4A + B + C = 3 A2 + B2 + C 2
r r
(Q) ⊥ (P ) ⇔ nQ.nP = 0 ⇔ A + C = 0 ⇔ C = − A
(**)

(*)

Từ (*), (**) ⇒B − 5A = 3 2A2 + B2 ⇔ 8B2 − 7A2 + 10AB = 0 ⇔A = 2B ∨ 7A = −4B
• Với A = 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 ⇒PT (Q): 2x + y − 2z − 9 = 0
• Với 7A = −4B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 ⇒PT (Q): 4x − 7y − 4z − 9 = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 4z + 5 = 0 , (P ) : 2x + y − 6z + 5 = 0, M (1;1;2) .
ĐS: (Q) : 2x + 2y + z − 6 = 0 hoặc (Q) :11x − 10y + 2z − 5 = 0 .
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r = 3.
• (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 ⇔ b = –2a (a ≠ 0) ⇒ (P): y – 2z = 0.

Câu 8.

Câu 9.

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 2z – 1= 0

x− y− 2 = 0
và đường thẳng d : 
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
2x − z − 6 = 0
(S) theo một đường tròn có bán kính r = 1.
• (S) có tâm I (−1;1; −1) , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) .
Chọn M (2;0; −2), N(3;1;0) ∈ d .

Trang 2


Học viện huấn luyện STA
 M ∈ (P )

 a = b,2c = −(a + b), d = −3a − b
(1)
Ta có:  N ∈ (P )
⇔
17
a
=
−
7
b
,2
c
=
−
(

a
+
b
),
d
=
−
3
a
−
b
(2)
d(I ,(P )) = R2 − r 2 

+ Với (1) ⇒(P): x + y − z − 4 = 0 + Với (2) ⇒(P): 7x − 17y + 5z − 4 = 0
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :

x y− 1 z
=
= ,
2 −1 1

x−1 y z
= =
và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 . Viết phương trình
−1 1 −1
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng ∆1 và ∆1.

∆2 :

• (P): y + z + 3+ 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3− 3 2 = 0
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − 11= 0 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng p = 6π .
• Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (β) là h =
Do đó

2.1+ 2(−2) − 3+ D

R2 − r 2 = 52 − 32 = 4

 D = −7
= 4 ⇔ −5+ D = 12 ⇔ 
 D = 17 (loaïi)

22 + 22 + (−1)2
Vậy (β) có phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) (S): x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z − 11= 0 , (a ):2x + y − 2z + 19 = 0, p = 8π .
ĐS: (b ) : 2x + y − 2z + 1= 0

Trang 3


PP toạ độ trong không gian
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông

góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng

2.

• PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B2 + C 2 ≠ 0 ).
• Vì (P) ⊥ (Q) nên: 1.A + 1.B + 1.C = 0 ⇔ C = − A − B (1)
A + 2B − C
= 2 ⇔ ( A + 2B − C )2 = 2(A2 + B2 + C 2)
• d(M ,(P )) = 2 ⇔
2
2
2
A + B +C
B = 0
(3)
Từ (1) và (2) ta được: 8AB + 5B2 = 0 ⇔ 
8A + 5B = 0 (4)
• Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P): x − z = 0
• Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P): 5x − 8y + 3z = 0 .

(2)

x − 1 y− 3 z
=
= và
1
1
4

điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
• Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 0 ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)
r
∆ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u = (1;1;4)

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

a + b + 4c = 0

∆ P (P )
a = 4c
a + 5b
⇔
Ta có: 
⇔
.
=
4
a = −2c
d(A;(P )) = d  2 2 2
 a +b +c
• Với a = 4c . Chọn a = 4,c = 1⇒ b = −8⇒Phương trình (P): 4x − 8y + z − 16 = 0 .
• Với a = −2c . Chọn a = 2,c = −1⇒ b = 2 ⇒Phương trình (P): 2x + 2y − z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
x y z− 1
; M (0;3; −2), d = 3.
a) Với ∆ : = =
1 1
4

ĐS: (P ) : 2x + 2y − z − 8 = 0 hoặc (P ) : 4x − 8y + z + 26 = 0 .
x = t

(
d
)
:
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
 y = −1+ 2t và điểm
 z = 1
A(−1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
r
r
• (d) đi qua điểm M(0; −1;1) và có VTCT u = (1;2;0) . Gọi n = (a; b;c) với a2 + b2 + c2 ≠ 0
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a(x − 0) + b(y + 1) + c(z − 1) = 0 ⇔ ax + by + cz + b − c = 0 (1).
rr
Do (P) chứa (d) nên: u.n = 0 ⇔ a + 2b = 0 ⇔ a = −2b (2)
−a + 3b + 2c
5b + 2c
d ( A,(P )) = 3 ⇔
= 3⇔
= 3 ⇔ 5b + 2c = 3 5b2 + c2
a2 + b2 + c2
5b2 + c2
⇔ 4b2 − 4bc + c2 = 0 ⇔ ( 2b − c) = 0 ⇔ c = 2b
2

(3)

Từ (2) và (3), chọn b = −1 ⇒a = 2,c = −2 ⇒PT mặt phẳng (P): 2x − y − 2z + 1= 0 .
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M (−1;1;0), N(0;0; −2), I (1;1;1) . Viết

Trang 4


Học viện huấn luyện STA
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng

3.

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) .
 M ∈ (P )

 a = −b,2c = a − b, d = a − b (1)
Ta có:  N ∈ (P )
⇔
.
d(I ,(P )) = 3 5a = 7b,2c = a − b, d = a − b (2)
+ Với (1) ⇒PT mặt phẳng (P): x − y + z + 2 = 0
+ Với (2) ⇒PT mặt phẳng (P): 7x + 5y + z + 2 = 0 .
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; −1;2) , B(1;3;0) ,

C(−3;4;1) , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) .
a − b + 2c + d = 0
 A ∈ (P )

a + 3b + d = 0

Ta có:  B ∈ (P )
⇔ −3a + 4b + c + d a + 2b + c + d
d(C,(P )) = d(D,(P )) 
=
 a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
 b = 2a,c = 4a, d = −7a
⇔
c = 2a, b = a, d = −4a
+ Với b = 2a,c = 4a, d = −7a ⇒(P): x + 2y + 4z − 7 = 0.
+ Với c = 2a, b = a, d = −4a ⇒(P): x + y + 2z − 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;1), B(−2;1;3),C(2; −1;1), D(0;3;1) .
ĐS: (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0 hoặc (P ) : 2x + 3z − 5 = 0.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3) , B(0; −1;2) ,

C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến (P ) bằng khoảng cách từ C đến (P ) .
• Vì O ∈(P) nên (P ) : ax + by + cz = 0, với a2 + b2 + c2 ≠ 0.
Do A ∈(P) ⇒a + 2b + 3c = 0
(1) và d(B,(P )) = d(C,(P )) ⇔ −b + 2c = a + b + c (2)
Từ (1) và (2) ⇒b = 0 hoặc c = 0.
• Với b = 0thì a = −3c ⇒(P ) :3x − z = 0• Với c = 0 thì a = −2b ⇒(P ) : 2x − y = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;0), B(0;4;0),C(0;0;3) .
ĐS: −6x + 3y + 4z = 0 hoặc 6x − 3y + 4z = 0 .
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; −1) , B(1;1;2) ,

C(−1;2; −2) và mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 1= 0 . Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC .
• PT (α ) có dạng: ax + by + cz + d = 0 , với a2 + b2 + c2 ≠ 0
Do A(1;1; −1) ∈ (α ) nên: a + b − c + d = 0 (1); (α ) ⊥ (P ) nên a − 2b + 2c = 0 (2)
IB = 2IC ⇒d(B,(α )) = 2d(C;(α )) ⇒

3a − 3b + 6c − d = 0
⇔
(3)
 −a + 5b − 2c + 3d = 0
Trang 5

a + b + 2c + d
a2 + b2 + c2

=2

−a + 2b − 2c + d
a2 + b2 + c2


PP toạ độ trong không gian
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
a + b − c + d = 0
−1
−3

⇔ b = a; c = −a; d =
a.
TH1 : a − 2b + 2c = 0

2
2
3a − 3b + 6c − d = 0
Chọn a = 2 ⇒ b = −1;c = −2; d = −3 ⇒(α ) : 2x − y − 2z − 3 = 0
a + b − c + d = 0
3
−3

⇔ b = a; c = a; d =
a.
TH2 : a − 2b + 2c = 0
2
2
−a + 5b − 2c + 3d = 0
Chọn a = 2 ⇒ b = 3; c = 2; d = −3 ⇒(α ) : 2x + 3y + 2z − 3 = 0
Vậy: (α ) : 2x − y − 2z − 3 = 0 hoặc (α ) : 2x + 3y + 2z − 3 = 0
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương

x − 2 y − 2 z− 3
x − 1 y − 2 z− 1
=
=
=
=
, d2 :
. Viết phương trình mặt phẳng cách
2
1
3
2

−1
4
đều hai đường thẳng d1, d2 .
r
r
• Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 đi qua B(1;2;1) và có ud2 = (2; −1;4) .
r
r r
Do (P) cách đều d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 ⇒nP = ud1,ud2  = (7; −2; −4)
⇒PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x − 2y − 4z + d = 0
Do (P) cách đều d1, d2 suy ra d(A,(P )) = d(B,(P ))
trình d1 :

7.2 − 2.2 − 4.3+ d 7.1− 2.2 − 4.1+ d
3
⇔
⇔ d − 2 = d −1 ⇔ d =
=
2
69
69
⇒Phương trình mặt phẳng (P): 14x − 4y − 8z + 3 = 0
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương

 x = 1+ t

x − 2 y − 1 z+ 1
d
:
=

=
trình 1  y = 2 − t , d2 :
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
1
−
2
2
 z = 1
với d1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P).
r
• Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u1 = (1; −1;0)
r
d2 đi qua B(2;1; −1) và có VTCP là u2 = (1; −2;2)
r
r r
r
Gọi n là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n = u1,u2  = (−2; −2; −1)
⇒Phương trìnht (P): 2x + 2y + z + m= 0 .
7+ m
5+ m
; d(d2,(P )) = d(B,(P )) =
d(d1,(P )) = d(A;(P )) =
3
3
 7 + m= 2(5+ m)
17
d(d1,(P )) = 2d(d2,(P )) ⇔ 7 + m = 2. 5+ m ⇔ 
⇔ m= −3; m= −
3
 7 + m= −2(5+ m)

17
17
+ Với m= −3 ⇒ (P ) : 2x + 2y + z – 3 = 0
+ Với m= − ⇒ (P ) : 2x + 2y + z − = 0
3
3
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(0; −1;2) , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 2 .

• (S) có tâm I (1;2; −1) , bán kính R = 2 .
Trang 6


Học viện huấn luyện STA
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0)
 A ∈ (P )

 a = −b,c = −a − b, d = 2a + 3b
Ta có:  B ∈ (P )
⇔
d(I ,(P )) = R 3a = −8b,c = −a − b, d = 2a + 3b
+ Với (1) ⇒Phương trình của (P): x − y − 1= 0
+ Với (2) ⇒Phương trình của (P): 8x − 3y − 5z + 7 = 0

(1)
(2)

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; −1;1) . Viết phương trình mặt

phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
• Ta có d(O,(P )) ≤ OA . Do đó d(O,(P ))max = OA xảy ra ⇔ OA ⊥ (P ) nên mặt phẳng (P)
uuu
r
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA = (2; −1;1)
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x − y + z − 6 = 0 ..
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có

x − 1 y z− 1
= =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
2
1
3
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
• Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có AH ≥ HI ⇒HI lớn nhất khi A ≡ I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và
uuur
nhận AH làm VTPT ⇒ (P): 7x + y − 5z − 77 = 0 .
phương trình:

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

{ x = −2+ t; y = −2t; z = 2+ 2t . Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)

và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
∆ và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆, thì (P ) P (d) hoặc (P ) ⊃ (d) . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IH ≤ IA và IH ⊥ AH .
d(d,(P )) = d(I ,(P )) = IH

Mặt khác 
 H ∈ (P )
Trong (P), IH ≤ IA ; do đó maxIH = IA ⇔ H ≡ A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ⊥ IA tại A.
r uu
r
r
n
=
IA
=
6;0;
−
3
v
Vectơ pháp tuyến của (P0) là
(
) , cùng phương với = ( 2;0; −1) .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x − 4) − 1.(z + 1) = 2x − z − 9 = 0 .

x − 1 y z− 2
= =
và điểm
2
1
2
A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) .
r
r
(P) có VTPT n = (a; b;c) , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u = (2;1;2) .
 M ∈ (P ) a + 2c + d = 0 2c = −(2a + b)
Vì (P) ⊃d nên  r r
⇒
⇒
. Xét 2 trường hợp:
. = 0 2a + b + 2c = 0 d = a + b
nu
TH1: Nếu b = 0 thì (P): x − z + 1= 0 . Khi đó: d(A,(P )) = 0.
TH2: Nếu b ≠ 0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2y − (2a + 1)z + 2a + 2 = 0.

Trang 7


PP toạ độ trong không gian

Khi đó:

d(A,(P )) =

9
8a2 + 4a + 5

9

=

2

≤3 2


1 3
2 2a + ÷ +

2 2
1
1
Vậy max d( A,(P )) = 3 2 ⇔2a + = 0 ⇔ a = − . Khi đó: (P): x − 4y + z − 3 = 0.
2
4
Câu hỏi tương tự:
x − 1 y+ 1 z− 2
=
=
, A(5;1;6) .
a) d :
ĐS: (P ) : 2x + y − z + 1= 0
2
1
5
x − 1 y+ 2 z
=
= , A(1;4;2) .
b) d :
ĐS: (P ) : 5x + 13y − 4z + 21= 0
−1

1
2
Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; −1;2) và N(−1;1;3) . Viết phương

trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.
• PT (P) có dạng: Ax + B(y + 1) + C(z − 2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + B − 2C = 0
( A2 + B2 + C 2 ≠ 0)
N(−1;1;3) ∈ (P ) ⇔ − A + B + 3C + B − 2C = 0 ⇔ A = 2B + C
⇒ (P ) :(2B + C )x + By + Cz + B − 2C = 0;

d(K ,(P )) =

• Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
• Nếu B ≠ 0 thì

d(K ,(P )) =

B

=

B
2
2
4B + 2C + 4BC

1

≤

1

2
2
C 
2 + 1÷ + 2
B 
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 .

4B2 + 2C 2 + 4BC

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (∆):

x−1 y
z
=
=
và tạo với mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z + 1= 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao
1
−1 −2
Trang 8


Học viện huấn luyện STA
điểm M của mặt phẳng (α) với trục Oz.
r
r′
• (∆) qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = (1; −1; −2) . (P) có VTPT n

= (2; −2; −1) .
uuuur
u
u
u
r
ur
r 
Giao điểm M (0;0; m) cho AM = (−1;0; m) . (α) có VTPT n
=  AM ,u  = (m; m− 2;1)
(α) và (P): 2x − 2y − z + 1= 0 tạo thành góc 600 nên :
1
1
1
r r
cos( n, n′ ) = ⇔
= ⇔ 2m2 − 4m+ 1= 0⇔ m= 2 − 2 hay m= 2 + 2
2
2m2 − 4m+ 5 2
Kết luận : M(0;0;2 − 2) hay M(0;0;2 + 2)
Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao

tuyến d của hai mặt phẳng (a ) : 2x – y – 1= 0 , (β ) : 2x – z = 0 và tạo với mặt phẳng
(Q) : x – 2y + 2z – 1= 0 một góc ϕ mà cosϕ = 2 2
9
• Lấy A(0;1;0), B(1;3;2)∈ d . (P) qua A ⇒PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = 0.
(P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = 0 ⇒ A = −(2B + 2C )
⇒(P ) : −(2B + 2C )x + By + Cz – B = 0

cosϕ =

−2B − 2C − 2B + 2C
3 (2B + 2C )2 + B2 + C 2

=

2 2
⇔ 13B2 + 8BC – 5C 2 = 0.
9

5
.
13
+ Với B = C = 1 ⇒(P ) : −4x + y + z – 1= 0
5
+ Với B = , C = 1 ⇒(P ) : −23x + 5y + 13z – 5 = 0 .
13
Chọn C = 1⇒ B = 1; B =

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1;2; −3), B(2; −1; −6) và mặt

phẳng (P ) : x + 2y + z − 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt
phẳng (P) một góc αthoả mãn cosα = 3 .
6

• PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) .
−a + 2b − 3c + d = 0
 A ∈ (Q)
2a − b − 6c + d = 0
 B ∈ (Q)


 a = −4b,c = −3b, d = −15b
Ta có: 
⇔
⇔
a + 2b + c
3  a = −b,c = 0, d = −b
cosα = 3 
=

6  a2 + b2 + c2 1+ 4 + 1 6
⇒Phương trình mp(Q): 4x − y + 3z + 15 = 0 hoặc (Q): x − y − 3 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
1
a) A(0;0;1), B(1;1;0) , (P ) ≡ (Oxy),cosα =
.
6
ĐS: (Q): 2x − y + z − 1= 0 hoặc (Q): x − 2y − z + 1= 0 .
 x + y + z− 3 = 0
. Viết
2x + y + z − 4 = 0
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
α = 600 .

Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 

• ĐS: (P ) : 2x + y + z − 2 − 2 = 0 hoặc (P ) : 2x − y − z − 2 + 2 = 0
Trang 9

PP toạ độ trong không gian
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : 5x − 2y + 5z − 1= 0 và

(Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a = 450 .

• Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) .
Ta có: (R) ⊥ (P ) ⇔ 5a − 2b + 5c = 0
(1);
· R),(Q)) = cos450 ⇔
cos((

a − 4b − 8c

=

2
(2)
2

9 a2 + b2 + c2
 a = −c
2
2
Từ (1) và (2) ⇒7a + 6ac − c = 0 ⇔ 
c = 7a
• Với a = −c : chọn a = 1, b = 0,c = −1 ⇒PT mặt phẳng (R) : x − z = 0
• Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20,c = 7 ⇒PT mặt phẳng (R) : x + 20y + 7z = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với (P ) : x − y − 2z = 0,(Q) ≡ (Oyz), M (2; −3;1),a = 450 .

ĐS: (R) : x + y + 1= 0 hoặc (R) : 5x − 3y + 4z − 23 = 0
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

x − 1 y + 1 z− 1
x y z
=
=
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và
và ∆2 : =
1
−1
3
1 −2 1
tạo với ∆2 một góc a = 300 .

∆1 :

• Đáp số: (P): 5x + 11y + 2z + 4 = 0 hoặc (P): 2x − y − z − 2 = 0.
Câu hỏi tương tự:
x y− 2 z
x − 2 y − 3 z+ 5
a) Với ∆1 : =
, a = 300 .
= , ∆2 :
=
=
1
−1 1
2
1

−1
ĐS: (P): x − 2y − 2z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2y + z − 4 = 0
x − 1 y z+ 1
x y− 2 z+ 1
= =
=
b) ∆1 :
, ∆2 : =
, a = 300 .
−2 1
1
1
−1
1
ĐS: (P): (18+ 114)x + 21y + (15+ 2 114)z − (3− 114) = 0
hoặc (P): (18− 114)x + 21y + (15− 2 114)z − (3+ 114) = 0
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450, 300 .
r
r
r
• Gọi n = (a; b;c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0;0), j = (0;1;0) .

2
sin(Ox,(P )) =

2 ⇔ a = 2 b
Ta có: 
c = b

sin(Oy,(P )) = 1

2
PT mặt phẳng (P):

2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0 hoặc − 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y − z + 5 = 0 và đường

x + 1 y + 1 z− 3
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo
2
1
1
với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
thẳng d :

Trang 10


Học viện huấn luyện STA
· P ),(Q)) .
• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) . Gọi a = ((
 M ∈ (P ) c = −a − b
⇒
Chọn hai điểm M (−1; −1;3), N(1;0;4) ∈ d . Ta có: 
 N ∈ (P ) d = 7a + 4b
3

a+ b
.
⇒(P): ax + by + (−2a − b)z + 7a + 4b = 0 ⇒cosα =
6 5a2 + 4ab + 2b2
TH1: Nếu a = 0 thì cosα =

TH2: Nếu a ≠ 0 thì cosα =

3
6
3
6

.

b
2b2

=

1+

.

3
0.
⇒
2 a = 30
b
a

2

b  b
5+ 4 + 2 ÷
a  a

. Đặt x =

b
và f (x) = cos2 α
a

9 x2 + 2x + 1
Xét hàm số f (x) = .
.
6 5+ 4x + 2x2
Dựa vào BBT, ta thấy min f (x) = 0 ⇔ cosα = 0 ⇔ a = 900 > 300
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1,c = 1, d = 4 .
Vậy: (P): y − z + 4 = 0.
Câu hỏi tương tự:
x−1 y+ 2 z
=
=
a) Với (Q): x + 2y + 2z – 3 = 0, d :
.
ĐS: (P ) : x + 2y + 5z +3 = 0 .
1
2
−1
x− 1 y+ 2 z

=
= .
b) Với (Q) ≡ (Oxy), d :
ĐS: (P ) : x − y + z − 3 = 0.
−1
1
2
 x = −t

c) Với (Q) : 2x − y − z − 2 = 0 , d :  y = −1+ 2t .
ĐS: (P ) : x + y + z − 3 = 0 .
 z = 2 + t
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (−1; −1;3), N(1;0;4) và mặt phẳng

(Q): x + 2y − z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc
nhỏ nhất.
• ĐS: (P ) : y − z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) M (1;2; −1), N(−1;1;2),(Q) ≡ (Oxy) .
ĐS: (P ) : 6x + 3y + 5z − 7 = 0 .

 x = 1− t

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = −2 + t . Viết phương
 z = 2t
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· P ),Oy) .
• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ≠ 0) . Gọi a = ((
 M ∈ (P ) 2c = a − b
⇒

Chọn hai điểm M (1; −2;0), N(0; −1;2) ∈ d . Ta có: 
 N ∈ (P ) d = −a + 2b
2b
a− b
⇒(P): ax + by +
.
z − a + 2b = 0 ⇒sinα =
2
5a2 + 5b2 − 2ab
TH1: Nếu b = 0 thì a = 00 .
Trang 11


PP toạ độ trong không gian
TH2: Nếu b ≠ 0 thì
Xét hàm số f (x) =

2

sinα =

a
2
2
 a
a . Đặt x = b và f (x) = sin a .
5 ÷ + 5− 2
b
 b

4

. Dựa vào BBT, ta được max f (x) =

2

5
1
⇔ x = ⇒a > 00 .
6
5

5x − 2x + 5
a 1
Vậy αlớn nhất khi = . Chọn a = 1, b = 5,c = −2, d = 9 ⇒(P): x + 5y − 2z + 9 = 0 .
b 5
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x − 1 y+ 2 z
=
=
và
1
2
−1

x+ 2 y−1 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng
2

−1 2
(P) và đường thẳng d2 là lớn nhất.
r
• d1 đi qua M(1; −2;0) và có VTCP u = (1;2; −1) .Vì d1 ⊂ (P ) nên M ∈ (P ) .
d2 :

PT mặt phẳng (P) có dạng: A(x − 1) + B(y + 2) + Cz = 0 ( A2 + B2 + C 2 ≠ 0)
rr
Ta có: d ⊂ (P ) ⇔ u.n = 0 ⇔ C = A + 2B .
· P ), d ) ⇒sina =
Gọi a = ((
2

1
(4A + 3B)2
= .
2
2
3. 2A2 + 4AB + 5B2 3 2A + 4AB + 5B

TH1: Với B = 0 thì sina =

2 2
3

TH2: Với B ≠ 0. Đặt t =
Xét hàm số f (t) =

4A + 3B

2
A
, ta được: sina = 1. (4t + 3)
B
3 2t2 + 4t + 5

(4t + 3)2
2

2t + 4t + 5
5 3
Khi đó sina = f (−7) =
.
9

. Dựa vào BBT ta có: max f (t) =

25
A
khi t = −7 ⇔ = −7
7
B

A
So sánh TH1 và TH2 ⇒αlớn nhất với sina = 5 3 khi = −7.
B
9
⇒Phương trình mặt phẳng (P) : 7x − y + 5z −9 = 0 .
x + 1 y − 2 z+ 1
=

=
và điểm
1
1
−1
A(2; −1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.
• ĐS: (P ) : x + y + 2z − 1= 0.

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x − y + z + 2 = 0 và điểm

A(1;1; −1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
• ĐS: (P ) : y + z = 0 hoặc (P ) : 2x + 5y + z − 6 = 0 .

Trang 12


Học viện huấn luyện STA
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
x y z
• Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ (P ) : + + = 1
a b c
4 5 6
uu

r
uur
 + + =1
77
77
77
IA
Ju
A
uur= (4 − a;5;6), u
r = (4;5− b;6) ⇒  a b c
⇒ a= ; b= ; c =
−
5
b
+
6
c
=
0
4
5
6
J K = (0; −b;c),
IK = (− a;0; c)

−4a + 6c = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x + 5y + 6z − 77 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1).

ĐS: (P): x − y − z + 3 = 0
Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi

qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh
rằng: b + c =

bc
. Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
2

x y z
1 1 1
bc
• PT mp (P) có dạng: + + = 1. Vì M ∈ (P ) nên + + = 1 ⇔b + c = .
2 b c
2 b c
2
uuu
r
uuur
Ta có AB(−2; b;0) , AC(−2;0; c). Khi đó S = b2 + c2 + (b + c)2 .
Vì b2 + c2 ≥ 2bc; (b + c)2 ≥ 4bc nên S ≥ 6bc .
Mà bc = 2(b + c) ≥ 4 bc ⇒ bc ≥ 16 . Do đó S ≥ 96 . Dấu "=" xảy ra ⇔b = c = 4 .
Vậy: minS = 96 khi b = c = 4 .
Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng (P ) : x + y + z + 4 = 0 .

Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B,
C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.
• Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = 0 (d ≠ 4) . Giả sử B = (Q) ∩ Ox, C = (Q) ∩ Oy
r uuur

1 uuu
⇒B(−d;0;0),C(0; −d;0) (d < 0) . SABC =  AB, AC  = 6 ⇔d = −2
2
⇒(Q) : x + y + z − 2 = 0.

Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0;0), B(1;2;1) . Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng

9
.
2

• ĐS: (P ) : x + 2y − 2z − 3 = 0 .
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
nhất.
• Giá sử A(a;0;0) ∈ Ox, B(0; b;0) ∈ Oy,C(0;0; c) ∈ Oz (a, b,c > 0) .
x y z
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1.
a b c
Trang 13


PP toạ độ trong không gian
9 1 1
Ta có: M (9;1;1) ∈ (P ) ⇒ + + = 1
a b c

(1);

VOABC =

1
abc (2)
6

(1) ⇔abc = 9bc + ac + ab ≥ 33 9(abc)2 ⇔(abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243
9bc = ac = ab a = 27
x y z

⇔ b = 3 ⇒(P):
Dấu "=" xảy ra ⇔ 9 1 1
+ + = 1.
27 3 3
c = 3
 a + b + c = 1
Câu hỏi tương tự:
x y z
=1
a) Với M(1;2;4) .
ĐS: (P ) : + +
3 6 12
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức

1

2

OA

+

1
2

OB

+

1
OC 2

có giá trị

nhỏ nhất.
• ĐS: (P ) : x + 2y + 3z − 14 = 0 .
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ
nhất.
x
y
z
+
+
= 1.

• ĐS: (P ) :
2 + 6 + 10 5+ 10 + 15 3+ 6 + 15

Trang 14


Học viện huấn luyện STA

TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
x + 1 y− 1 z− 2
=
=
và mặt
2
1
3
phẳng P : x − y − z − 1= 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;1; −2) , song song
với mặt phẳng (P ) và vuông góc với đường thẳng d .
uur uur
x − 1 y − 1 z+ 2
r
r
• u = ud; nP  = (2;5; −3) . ∆ nhận u làm VTCP ⇒ ∆ :
=
=
2
5
−3

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = −t ;

y = −1+ 2t ; z = 2 + t ( t ∈ R ) và mặt phẳng (P): 2x − y − 2z − 3 = 0 .Viết phương trình tham
số của đường thẳng ∆ nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
• Gọi A = d ∩ (P) ⇒ A(1; −3;1) .
Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: − x + 2y + z + 6 = 0

∆ là giao tuyến của (P) và (Q) ⇒ ∆: { x = 1+ t; y = −3; z = 1+ t

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆:

x − 1 y+ 1 z
. Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc
=
=
2
1
−1
với ∆.
uuuu
r
r
• u∆ = (2;1; −1) . Gọi H = d ∩ ∆. Giả sử H (1+ 2t; −1+ t; −t) ⇒ MH = (2t − 1;t − 2; −t) .
uuuu
r r
uuuu
r
2

r
MH ⊥ u∆ ⇔ 2(2t − 1) + (t − 2) − (−t) = 0 ⇔ t = ⇒ ud = 3MH = (1; −4; −2)
3
 x = 2+ t

⇒ d:  y = 1− 4t .
 z = 2t
Câu 50. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai

điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên (P).
• Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) ⇒(Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P) ∩ (Q) suy ra phương trình (D).
Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của

 x − 2z = 0
đường thẳng d : 
trên mặt phẳng P : x − 2y + z + 5 = 0 .
3x − 2y + z − 3 = 0
 x = 4t

r
3
• PTTS của d:  y = − + 7t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; −2;1) .
2

z
=
2
t


 11 


3 
3 
Gọi A = d ∩ (P ) ⇒A 4; ;2÷ . Ta có B  0; − ;0÷∈ d, B  0; − ;0÷∉ (P ) .
 2 

2 

2 
 4 7 4
Gọi H (x; y; z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H  − ; ; − ÷.
 3 6 3
Trang 15


PP toạ độ trong không gian
Gọi ∆là hình chiếu vuông góc của d trên (P) ⇒∆đi qua A và H
 x = 4 + 16t
u
u
u
r

11
r
⇒∆có VTCP u
= 3HA = (16;13;10) ⇒Phương trình của ∆:  y = + 13t .

2

 z = 2 + 10t
Câu hỏi tương tự:
 x = 1+ 23m

x + 1 y − 1 z− 2
=
=
a) Với d :
, (P ) : x − 3y + 2z − 5 = 0.
ĐS: ∆ :  y = 2 + 29m
2
1
3
 z = 5+ 32m
Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng

( P) :

6 x + 2 y + 3 z − 6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
• Ta có: (P ) ∩ Ox = A(1;0;0); (P ) ∩ Oy = B(0;3;0); (P ) ∩ Oz = C(0;0;2)
Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (α) là mặt phẳng trung
1 3 
trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = ∆ ∩ (a ) ⇒I  ; ;1÷.
2 2 
Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì IJ ⊥(ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ .

1

 x = 2 + 6t

⇒Phương trình đường thẳng d: 
.
3
y
=
+
2
t

2
 z = 1+ 3t

Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; −1), B(2;1;1);C(0;1;2) và

x − 1 y+ 1 z+ 2
=
=
. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của
2
−1
2
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d.
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
• Ta có AB = (1; −1;2), AC = (−1; −1;3) ⇒  AB, AC  = (−1; −5; −2)

⇒phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z − 9 = 0
Gọi trực tâm của tam giác ABC là H (a; b;c) , khi đó ta có hệ:
uuur uuur
 BH .AC = 0 a − b + 2c = 3
a = 2
r
 uuur uuu


CH .AB = 0 ⇔ a + b − 3c = 0 ⇔  b = 1 ⇒ H (2;1;1)
 H ∈ ( ABC )
a + 5b + 2c = 9 c = 1

Do đường thẳng ∆nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên:
r
r
u∆ ⊥ nABC
r
r
r
⇒ u∆ =  nABC ,ud  = (12;2; −11) .
r
r
u
 ∆ ⊥ ud
đường thẳng d :

Vậy phương trình đường thẳng ∆ :

x − 2 y− 1 z− 1

=
=
12
2
−11

Trang 16


Học viện huấn luyện STA
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương

x − 1 y+ 1 z
=
=
. Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M, cắt và
2
1
−1
vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua d.
trình d :

 x = 1+ 2t
r

• PTTS của d:  y = −1+ t . d có VTCP u = (2;1; −1) .
 z = −t
uuuu
r

Gọi H là hình chiếu của M trên d ⇒H (1+ 2t; −1+ t; −t) ⇒MH = (2t − 1; −2 + t; −t)
r 1
uuuu
rr
4
2
 7 1 2  uuuu
2
Ta có MH ⊥d ⇔MH .u
= 0 ⇔t = ⇒H  ; − ; − ÷, MH =  ; − ; − ÷
3
3
3
 3 3 3
3
x − 2 y− 1 z
Phương trình đường thẳng ∆:
.
=
=
1
−4 −2
 8 5 4
Gọi M′ là điểm đối xứng của M qua d ⇒H là trung điểm của MM′ ⇒M′  ; − ; − ÷ .
 3 3 3
Câu hỏi tương tự:
x +1 y z − 3
x + 3 y − 1 z+ 1
= =
=

=
a) M (−4; −2;4); d :
.
ĐS: ∆ :
3
2
−1
2
−1
4
Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x y− 1 z+ 1
=
=
và hai điểm A(1;1; −2) ,
1
2
−1

B(−1;0;2) . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách

từ B tới ∆là nhỏ nhất.
r
• d có VTCP ud = (1;2; −1) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng ∆đi qua A và H thỏa YCBT.
Ta có: (P): x + 2y − z − 5 = 0. Giả sử H (x; y; z) .
 H ∈ (P )
 1 8 2
Ta có:  uuur r

⇒H  ; ; ÷
ng phöông
 3 3 3
 BH ,ud cuø
uuur
x − 1 y− 1 z+ 2
r
⇒u∆ = 3AH = (−2;5;8) ⇒Phương trình ∆:
.
=
=
−2
5
8

x + 1 y z+ 1
= =
và hai điểm
2
3 −1
A(1;2; −1), B(3; −1; −5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng
∆ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất.
uuur
uuu
r
• Giả sử d cắt ∆ tại M ⇒ M (−1+ 2t;3t; −1− t) , AM = (−2 + 2t;3t − 2; −t), AB = (2; −3; −4)
Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d(B, d) = BH ≤ BA . Vậy d(B, d) lớn nhất bằng
BA
uuur uuu
r

⇔ H ≡ A ⇔ AM ⊥ AB ⇔ AM .AB = 0 ⇔ 2(−2 + 2t) − 3(3t − 2) + 4t = 0 ⇔ t = 2
x − 1 y− 2 z+ 1
⇒ M(3;6; −3) ⇒PT đường thẳng d :
.
=
=
1
2
−1

Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

Trang 17


PP toạ độ trong không gian
Câu 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
x+ 1 y− 1 z
thẳng ∆:
=
= . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng
2
−1 2

∆ tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.

 x = −1+ 2t

• Phương trình tham số của ∆:  y = 1− t . Điểm C ∈∆ nên C(−1+ 2t;1− t;2t) .
 z = 2t

uuur
uuu
r
uuur uuu
r
AC = (−2 + 2t; −4 − t;2t); AB = (2; −2;6) ;  AC, AB = (−24 − 2t;12 − 8t;12 − 2t)
r
uuur uuu
r
1 uuur uuu
⇒  AC, AB = 2 18t2 − 36t + 216 ⇒S =  AC, AB = 18(t − 1)2 + 198 ≥ 198
2
x − 3 y− 3 z− 6
Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2) ⇒Phương trình BC:
.
=
=
−2
−3
−4
x + 1 y − 2 z− 2
=
=
và mặt
3
−2
2
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng
(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).

Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :

 x = −1+ 3t
r

• Đường thẳng (d) có PTTS:  y = 2 − 2t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 3; 2)
 z = 2 + 2t
uuuu
r
Giả sử N(−1 + 3t ; 2 − 2t ; 2 + 2t) ∈ d ⇒ MN = (3t − 3; −2t;2t − 2)
uuuu
rr
Để MN // (P) thì MN.n = 0 ⇔ t = 7 ⇒ N(20; −12; 16)
x − 2 y− 2 z− 4
Phương trình đường thẳng ∆:
=
=
9
−7
6
Câu hỏi tương tự:
x y− 1 z− 2
x − 1 y − 3 z− 3
=
=
=
a) d : =
, (P ) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2;4) . ĐS: ∆ :
1
2

1
1
−1
1
x −1 y − 2 z +1
x − 2 y z+ 2
=
=
= =
b) d :
, (P ):2x + y − z + 1= 0, M(1;2;–1) . ĐS: ∆ :
2
−9
−5
1
3
2
x − 2 y+ 4 z− 1
x − 3 y + 2 z+ 4
=
=
=
=
c)
, (P ) :3x − 2y − 3z − 2 = 0 , M(3; −2; −4) . ĐS: ∆ :
3
−2
2
5
−6

9
Câu 59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) :3x − 2y + z − 29 = 0 và hai

điểm A(4;4;6) , B(2;9;3) . Gọi E, F là hình chiếu của A và B trên (α ) . Tính độ dài đoạn
EF . Tìm phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) đồng thời ∆ đi qua giao
điểm của AB với (α ) và ∆ vuông góc với AB.
uuu
r r
uuu
r
19
r
• AB = (−2;5; −3), na = (3; −2;1) , sin( AB,(α )) = cos( AB, na ) =
532
EF = AB.cos(AB,(α )) = AB 1− sin2( AB,(α )) = 38 1−

361
171
=
532
14

 x = 6+ t
uur
uuu
r uur



AB cắt (α ) tại K(6; −1;9) ; u∆ =  AB, nα  = (1;7;11) . Vậy ∆ :  y = −1+ 7t

 z = 9 + 11t
Trang 18


Học viện huấn luyện STA
Câu 60. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần

x − 1 y z− 1
= =
. Lập
2
1
1
phương trình đường thẳng ∆nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng
(d).
r
r
r r
• (P), (Q) lần lượt có VTPT là nP = (1; −2;1), nQ = (1; −3;3) ⇒  nP , nQ  = (−3; −2; −1)
PTTS của (d): x = 1+ 2t, y = t, z = 1+ t . Gọi A = (d) ∩(∆) ⇒A(1+ 2t; t;1+ t) .
Do A ⊂(P) nên: 1+ 2t − 2t + 1+ t = 0 ⇔ t = −2 ⇒A(−3; −2; −1)
r
r
u∆ ⊥ nP
r
r r
r
r ⇒ u∆ =  nP , nQ  = (−3; −2; −1)
Theo giả thiết ta có: u
 ∆ ⊥ nQ

x + 3 y + 2 z+ 1
=
=
Vậy phương trình đường thẳng (∆) :
.
3
2
1
lượt có phương trình: (P ) : x − 2y + z = 0, (Q) : x − 3y + 3z + 1= 0, (d) :

.

Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; −1), B(2;1;1),C(0;1;2) và

x − 1 y+ 1 z+ 2
=
=
. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua trực tâm của
2
−1
2
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
• Ta có AB = (1; −1;2), AC = (−1; −1;3) ⇒  AB, AC  = (−1; −5; −2)
đường thẳng (d) :

⇒phương trình (ABC): x + 5y + 2z − 9 = 0
uuur uuur
 BH .AC = 0 a − b + 2c = 3
a = 2
r
 uuur uuu


H
(
a
;
b
;
c
)
CH
.
AB
=
0
⇔
a
+
b
−
3
c
=
0

⇔
Gọi trực tâm của ∆ABC là


 b = 1 ⇒ H (2;1;1)
 H ∈ ( ABC )
a + 5b + 2c = 9 c = 1

r
r
u∆ ⊥ nABC
r
r
r
⇒ u∆ =  nABC , nd  = (12;2; −11)
Do (∆) ⊂(ABC) và vuông góc với (d) nên:  r
r
u∆ ⊥ ud
x − 2 y− 1 z− 1
⇒PT đường thẳng ∆ :
.
=
=
12
2
−11
Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y − z + 5 = 0, đường

x + 3 y + 1 z− 3
=

=
và điểm A(−2;3;4) . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm
2
1
1
trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên ∆ sao
cho khoảng cách AM ngắn nhất.
r
r
u∆ ⊥ nP
∆ ⊂ (P )
B(
−
1
;0;4)
• Gọi B = d ∩(P) ⇒
. Vì 
nên  r
r .
∆ ⊥ d
u∆ ⊥ ud
thẳng d :

1 r r
r
Do đó ta có thể chọn u∆ =  nP ,ud  = (1; −1; −1) ⇒PT của ∆:
3

 x = −1+ t


 y = −t .
 z = 4 − t
2

Giả sử M (−1+ t; −t;4 − t) ∈ ∆ ⇒AM = 3t2 + 8t + 10 = 3 t + 4 ÷ + 14 ≥ 14
3
3
 3
 7 4 16 
 7 4 16 
4
Dấu "=" xảy ra ⇔t = − ⇔M  − ; ; ÷. Vậy AM đạt GTNN khi M  − ; ; ÷.
3
 3 3 3
 3 3 3
Câu hỏi tương tự:
Trang 19


PP toạ độ trong không gian
x = t

ĐS: ∆ :  y = −1
z = 4 + t


 x = 1− t

(
P

)
:
2
x
+
y
−
2
z
+
9
=
0
d
:
a)
,
 y = −3+ 2t .
 z = 3+ t

Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A(3; −1;1) , đường thẳng

x y− 2 z
=
= , mặt phẳng (P ) : x – y + z −5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi
1
2
2

qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 450 .
r r
r
• Gọi ud , u∆ lần lươt là các VTCP của d và ∆ ; nP là VTPT của ( P).
r
r
r
Đặt ud = (a; b; c), (a2 + b2 + c2 ≠ 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : nP ⊥ ud

∆:

⇒a – b + c = 0 ⇔b = a + c 
Theo gt: (d, ∆) = 450 ⇔

( 1 ).
a + 2b + 2c

a2 + b2 + c2 .3

=

2
⇔ 2(a + 2b + c)2 = 9(a2 + b2 + c2)
2

(2)

15a
7
 x = 3+ t


+ Với c = 0: chọn a = b = 1 ⇒PTTS của d là :  y = −1– t
 z = 1
Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 + 30ac = 0 ⇔ c = 0; c = −

 x = 3+ 7t

15a
+ Với c = −
: chọn a = 7, c = −15, b = −8 ⇒
.PTTS của d là:  y = −1– 8t .
7
 z = 1– 15t
x − 3 y + 2 z+ 1
=
=
và mặt phẳng
2
1
−1
(P): x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng ∆
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới ∆ bằng 42 .

Câu 64. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:

 x = 3+ 2t
r
r

• PTTS d:  y = −2 + t ⇒ M(1; −3;0) . (P) có VTPT nP = (1;1;1) , d có VTCP ud = (2;1; −1)

 z = −1− t
r
r r
Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u∆ =  ud , nP  = (2; −3;1)
uuuu
r
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó MN = (x − 1; y + 3; z) .
uuuu
r r
 MN ⊥ u
 x + y + z+ 2 = 0
∆


Ta có  N ∈ (P )
⇔2x − 3y + z − 11= 0
⇒N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5)
 MN = 42 (x − 1)2 + (y + 3)2 + z2 = 42


x − 5 y + 2 z+ 5
=
=
2
−3
1
x + 3 y + 4 z− 5
• Với N(–3; – 4; 5) ⇒Phương trình của ∆ :
.
=

=
2
−3
1

• Với N(5; –2; –5) ⇒Phương trình của ∆ :

Câu 65. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ): x + y − z − 1= 0 , hai đường

thẳng (∆):

x−1 y z
x y z+ 1
. Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong
=
= , (∆′):
= =
−1 −1 1
1 1
3
Trang 20


Học viện huấn luyện STA
mặt phẳng ( α ) và cắt (∆′); (d) và (∆) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng

6.
2

r

r
• (α) có VTPT n = (1;1; −1) , (∆) có VTCP u∆ = (−1; −1;1) ⇒(∆) ⊥(α).
uuu
r
Gọi A = (∆′) ∩ (a ) ⇒A(0;0; −1) ; B = (∆) ∩ (a ) ⇒B(1;0;0) ⇒AB = (1;0;1)
Vì (d) ⊂(α) và (d) cắt (∆′) nên (d) đi qua A và (∆) ⊥(α) nên mọi đường thẳng nằm trong ( α) và
không đi qua B đều chéo với (∆).
r
r r
Gọi ud = (a; b; c) là VTCP của (d) ⇒ud.n = a + b − c = 0 (1)
uuu
r
r
và ud không cùng phương với AB (2)
uuu
r r
 AB,u

2b2 + (a − c)2
6
Ta có: d(d, ∆) = d(B, d) ⇒ r d  = 6 ⇔
(3)
=
2
2
2
2
2
ud
a +b +c

a = 0
Từ (1) và (3) ⇒ac = 0 ⇔
.
c = 0
x = 0
r

u
=
(0;1
;1
)
• Với a = 0 . Chọn b = c = 1 ⇒ d
⇒d :  y = t
 z = −1+ t
x = t
r

• Với c = 0. Chọn a = −b = 1 ⇒ud = (1; −1;0) ⇒d :  y = −t .
 z = −1

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
Trang 21


PP toạ độ trong không gian
Câu 66. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai

 x = 3+ 7t


x − 7 y − 3 z− 9
=
=
đường thẳng: ∆1 :
và ∆2 :  y = 1− 2t .
1
2
−1
 z = 1− 3t
 x = 7+ t'

∆
• Phương trình tham số của 1 :  y = 3+ 2t'
 z = 9 − t'
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với ∆1 và ∆2
⇒ M(7 + t′ ;3 + 2t′ ;9 – t′ ) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t)
r
r
VTCP lần lượt của ∆1 và ∆2 là a = (1; 2; –1) và b = (–7;2;3)
uuuu
r r
uuuu
rr
 MN ⊥ a  MN.a = 0
r r ⇔  uuuu
rr
Ta có:  uuuu
. Từ đây tìm được t và t′ ⇒ Toạ độ của M, N.
 MN ⊥ b  MN.b = 0
Đường vuông góc chung ∆chính là đường thẳng MN.

Câu hỏi tương tự:
 x = 3+ t
 x = −2 + 2 t'


2x – y + 10z – 47 = 0
a) Với (∆1) :  y = −1+ 2t , (∆2) :  y = 2 t'
.
ĐS: ∆ : 
  x + 3y – 2z + 6 = 0
 z = 4
 z = 2 + 4t'
Câu 67. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

2x + 3y + 11= 0
x − 2 y + 1 z− 1
M ( −4; −5;3) và cắt cả hai đường thẳng: d1 : 
=
=
và d2 :
.
2
3
−5
 y − 2z + 7 = 0
 x = 5− 3t1
 x = 2 + 2t2


d2 :  y = −1+ 3t2 .

• Viết lại phương trình các đường thẳng: d1 :  y = −7 + 2t1 ,
z = t
 z = 1− 5t

1

2
Gọi A = d ∩ d1, B = d ∩ d2 ⇒A(5− 3t1; −7 + 2t1; t1) , B(2 + 2t2; −1+ 3t2;1− 5t2) .
uuur
uuur
MA = (−3t1 + 9;2t1 − 2; t1 − 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4; −5t2 − 2)
uuur uuur
 MA, MB = (−13t t − 8t + 13t + 16; −13t t + 39t ; −13t t − 24t + 31t + 48)
12
1
2
12
2
12
1
2
uuur uuur
uuur uuur
r t = 2
M, A, B thẳng hàng ⇔MA, MB cùng phương ⇔ MA, MB = 0 ⇔ 1
t2 = 0
uuu
r
⇒A(−1; −3;2), B(2; −1;1) ⇒AB = (3;2; −1)
 x = −4 + 3t

uuu
r

Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB = (3;2; −1) ⇒d :  y = −5+ 2t
 z = 3− t
Câu hỏi tương tự:
x = t

x y− 2 z
=
a) M(1;5;0), d1 : =
, d2 :  y = 4 − t .
ĐS:
1
−3 −3
 z = −1+ 2t
x − 2 y + 1 z+ 3
x − 3 y− 7 z− 1
=
=
=
=
b) M(3; 10; 1) , d1 :
, d2 :
3
1
2
1
−2
−1

 x = 3+ 2t

ĐS: d :  y = 10 − 10t
 z = 1− 2t

Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 và mặt phẳng ( α ) có

Trang 22


Học viện huấn luyện STA
 x = 2+ t
x− 1 y+ 1 z+ 2

=
=
, (α ) : x − y + z + 2 = 0 . Viết phương
phương trình là ∆1 :  y = 5+ 3t, ∆2 :
1
1
2
 z = t
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của ∆1 với ( α ) đồng thời cắt ∆2 và vuông góc với trục
Oy.
 x = 2+ t
t = −1
 y = 5+ 3t
 x = 1
⇔

⇒ A(1;2; −1)
• Toạ độ giao điểm A của ( α ) và ∆1 thoả mãn hệ 
z
=
t
y
=
2


 x − y + z + 2 = 0  z = −1
r
Trục Oy có VTCP là j = (0;1;0) . Gọi d là đường thẳng qua A cắt ∆2 tại
uuu
r
uuu
rr
uuu
r
B(1+ t; −1+ t; −2 + 2t) . AB = (t; t − 3;2t − 1); d ⊥ Oy ⇔ AB j = 0 ⇔ t = 3 ⇒ AB = (3;0;5)
uuu
r
Đường thẳng d đi qua A nhận AB = (3;0;5) làm VTCP có phương trình là

 x = 1+ 3u

.
y = 2
 z = −1+ 5u

 x = 1+ t

Câu 69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d1 :  y = 1+ 2t , đường thẳng d2
 z = 1+ 2t


là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1= 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 . Gọi I là giao
điểm của d1, d2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai
đường thẳng d1, d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.

• PTTS của d2 : { x = t'; y = −1+ 2t'; z = 3− 2t' . I = d1 ∩ d2 ⇒I (1;1;1) .

Giả sử: B(1+ t;1+ 2t;1+ 2t) ∈ d1, C(t'; −1+ 2t';3− 2t') ∈ d2 (t ≠ 0, t' ≠ 1)
 IB = IC
t = 1
∆BIC cân đỉnh I ⇔ uuur uuur ur ⇔
⇒Phương trình d3 : { x = 2; y = 3; z = 1+ 2t
[AB , AC ] = 0 t' = 2
Câu 70. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = 0 và hai

x
y− 3
z+ 1 x − 4
y
z− 3
=
=
,
=
=

. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo
−1
2
3
1
1
2
nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P), đồng thời ∆ cắt cả d1 và d2.
• Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)
x + 2 y− 7 z− 5
Phương trình đường thẳng ∆:
.
=
=
5
−8
−4
đường thẳng d1:

Câu 71. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương

trình (P): 3x + 12y − 3z − 5 = 0 và (Q): 3x − 4y + 9z + 7 = 0 , (d1):

x + 5 y − 3 z+ 1
=
=
, (d2):
2
−4
3

x − 3 y + 1 z− 2
=
=
. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P),
−2
3
4
(Q) và cắt (d1), (d2).
r
r
• (P) có VTPT nP = (1; 4; − 1) , (Q) có pháp vectơ nQ = (3; − 4; 9)
r
r
(d1) có VTCP u1 = (2; − 4; 3) , (d2) có VTCP u2 = (−2; 3; 4)
Trang 23


PP toạ độ trong không gian
(∆1) = (P ) ∩ (Q)
(P ) ⊃ (d ),(P ) P (P )
 1
1
1
Gọi: (Q ) ⊃ (d ),(Q ) P (Q) ⇒ (∆) = (P1) ∩ (Q1) và (∆) // (∆1)
2
1
r 1 r
u
=

u

∆1
r 1 r r
(∆) có vectơ chỉ phương u = [nP ; nQ ] = (8; − 3; − 4)
4
r
r
r r
r
(P1) có cặp VTCP u1 và u nên có VTPT: nP1 = [u1; u] = (25; 32; 26)
Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 ⇔ 25x + 32y + 26z + 55 = 0
r
r r
r
r
(Q1) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT: nQ1 = [u2; u] = (0; 24; − 18)
Phương trình mp (Q1): 0(x − 3) + 24(y + 1) − 18(z − 2) = 0 ⇔ 4y − 3x + 10 = 0
25x + 32y + 26z + 55 = 0
Ta có: (∆) = (P1) ∩ (Q1) ⇒ phương trình đường thẳng (∆) : 
4y − 3z + 10 = 0
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và hai

x − 4 y− 1 z
x + 3 y + 5 z− 7
=
=
=
=
và

.
2
2
−1
2
3
−2
Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1) và (d2) tại A và
B sao cho AB = 3.
• A ∈ (d1) ⇒ A(4 + 2t;1+ 2t; −t) ; B ∈ (d2) ⇒ B(−3+ 2t′; −5+ 3t′;7 − 2t′)
uuu
r
r
AB = (−7+ 2t′ − 2t; −6 + 3t′ − 2t;7 − 2t′ + t) , nP = (2; −1;2) .
uuu
rr
uuu
r
 AB.n
t′ = 2
P = 0 ⇔
Từ giả thiết ta có: 
⇒A(2; −1;1), AB = (−1;2;2) .
t = −1
 AB = 3
đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình

⇒Phương trình đường thẳng (∆):

x − 2 y+ 1 z− 1

.
=
=
−1
2
2

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x − y + z + 1= 0 và hai

x − 1 y+ 2 z− 3
x + 1 y− 1 z− 2
=
=
=
=
, d2 :
. Viết phương trình đường
2
1
3
2
3
2
thẳng ∆song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3.
r
r
r
• d1 có VTCP u1 = (2;1;3) , d2 có VTCP u2 = (2;3;2) , (P) có VTPT n = (2; −1;1) .
r
Giả sử ∆có VTCP u = (a; b;c) , E ∈ d2 có xE = 3 ⇒E(3; −1;6) .

rr
∆ P (P ) u.n = 0 2a − b + c = 0
r
 a = −c
⇔ r r
Ta có: 
⇔
⇔
⇒
Chọn u = (1;1; −1)


u.u1 = 0 2a + b + 3c = 0 b = −c
∆ ⊥ d1
⇒PT đường thẳng ∆: { x = 3+ t; y = −1+ t; z = 6 − t .
đường thẳng d1 :

Câu 74. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) và mặt phẳng (P) có phương

x+ 1 y+ 2 z
x − 2 y− 1 z− 1
=
= , (d2) :
=
=
; (P ) : x + y − 2z + 5 = 0 . Lập phương
1
2
1
2

1
1
trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1),(d2) lần lượt tại A, B sao cho
độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
uuu
r
• Đặt A(−1+ a; −2 + 2a; a), B(2 + 2b;1+ b;1+ b) ⇒AB = (− a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1)
trình: (d1) :

Trang 24


Học viện huấn luyện STA
uuu
r r
uuu
r
Do AB // (P) nên: AB ⊥ nP = (1;1; −2) ⇔ b = a − 4. Suy ra: AB = (a − 5; −a − 1; −3)
AB = (a − 5)2 + (−a − 1)2 + (−3)2 = 2a2 − 8a + 35 = 2(a − 2)2 + 27 ≥ 3 3
uuu
r
a = 2
Suy ra: min AB = 3 3 ⇔ 
, A(1;2;2) , AB = (−3; −3; −3) .
 b = −2
Vậy d :

x − 1 y− 2 z− 2
=
=

.
1
1
1
x+ 8

Câu 75. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :
=
2

y − 6 z − 10
=
1
−1

x = t

và (d2) :  y = 2 − t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1)
 z = −4+ 2t
tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB.
• Giả sử: A(−8+ 2t1;6 + t1;10 − t1) ∈ d1, B(t2;2 − t2; −4 + 2t2) ∈ d2.
uuu
r
⇒ AB = (t2 − 2t1 + 8; −t2 − t1 − 4);2t2 + t1 − 14) .
uuu
r r
−t − t − 4 = 0
t = −22
AB, i = (1;0;0) cùng phương ⇔ 2t2 + t1 − 14 = 0 ⇔ t1 = 18
 2 1

2
A
(
−
52;
−
16;32),
B
(18
;
−
16;32)
⇒
.
⇒ Phương trình đường thẳng d: { x = −52 + t; y = −16; z = 32 .
 x = −23+ 8t

Câu 76. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):  y = −10 + 4t và (d2):
 z = t
x− 3 y+ 2 z
=
= . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai
2
−2 1
đường thẳng (d1), (d2).
• Giả sử A(−23+ 8t1; −10 + 4t1; t1) ∈ d1, B(3+ 2t2; −2 − 2t2; t2) ∈ d2.
uuu
r
⇒ AB = (2t2 − 8t1 + 26; −2t2 − 4t1 + 8;t2 − t1)


17
uuu
r r
t1 = 6
2t2 − 8t1 + 26 = 0
 1 4 17 
AB // Oz ⇔ AB, k cuø
⇒ A − ; ; ÷
ng phöông ⇔ −2t − 4t + 8 = 0 ⇔ 
5
 3 3 6
 2
1
t = −
2
3


1
4
17
⇒ Phương trình đường thẳng AB:  x = − ; y = ; z = + t
3
3
6

Câu 77. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và

6x − 3y + 2z = 0
đường thẳng (d): 

. Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) và cắt các
6x + 3y + 2z − 24 = 0
đường thẳng AB, OC.
• Phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song d: (α): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
Phương trình mặt phẳng (β) chứa OC và song song d: (β): 3x – 3y + z = 0
6x + 3y + 2z − 12 = 0
∆ là giao tuyến của (α) và (β) ⇒ ∆: 
3x − 3y + z = 0
Trang 25