29 bài toán toạ độ trong không gian

LUYỆN THI ĐẠI HỌC;TỌA ĐỘ HĨA KHƠNG GIAN
Bài 1:Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp(ABC),AC=AD=4,AB=3,BC=5.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 2:Cho tam diện vuông cân ABC có AB=AC=a , M là trung điểm cạnh BC. Trên các nửa
đường thẳng AA
1
,MM
1
vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía,lấy tương ứng các
điểm N,I sao cho 2MI=NA=a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh
rằng : AH
⊥
NI.
Bài 3:Cho tứ diện vuông OABC (vuông tại O).
a)Chứng minh rằng nếu có OC=OA+OB thì ttổng các góc phẳng ở đỉnh C bằng 90
0
b)Gọi
γβα
,,
lần lượt là các góc hợp bỡi OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh :

2coscoscos
222
=++
γβα
.
c)Gọi S,S
1
,S
2
,S

3
lần lượt là điện tích các tam giác ABC , OAB ,OBC ,OCA. Chứng minh :

SSSS =++
2
3
2
2
2
1
.
Bài 4:Cho tam diện vuông Oxyz,trên Ox,Oy,Oz lấy các điểm A,B,C.
a)Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng(ABC) theo OA=a,OB=b,OC=c.
b)Giả sử A cố đònh còn B,C thay đổi nhưng luôn thoả mãn OA=OB+OC.Hãy xác đònh vò trí của
B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất.
Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA=a
3
và vuông
góc với đáy.
a)Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b)Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD đến mặt phẳng(SBC).
c)Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 6:Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Dựng đoạn SA=a vuông góc
với mặt phẳng (P). Tính tang của góc nhọn giữa hai cạnh AB và SC.
Bài 7:Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a, SA=a và vuông
góc với đáy. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm AB và AC.
a)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và(SBC).
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng(SÈ) và(SBC).
Bài 8:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn
đường kính AB=2a ,SA=a

3
và vuông góc với đáy.
a)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
c)Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
d)Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
Bài 9 :(ĐH:Khối A :2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy
bằng a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SC .Tính theo a diện tích tam giác AMN
biết mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC .
1
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ HOÁ KHÔNG GIAN
LUYỆN THI ĐẠI HỌC;TỌA ĐỘ HĨA KHƠNG GIAN
Bài 10: (ĐH:Khối B :2002). Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a .
a) Tính theo a khoảng cách giữa A
1
B và B
1
D .
b) Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB
1
,CD,A
1

D
1
.Tính góc giữa MP và C
1
N.
* Đáp Số : a) (ĐS:
6
a
) ; b) (ĐS:
10
30
) .
Bài 11: (ĐH:Khối D :2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng
(ABC),AC=AD=4cm ,AB=3cm, BC=5cm . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) .
Bài 12: (ĐH:Khối A :2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Tính số đo của góc
phẳng nhò diện
[ ]
B,A 'C,D
.
Bài 13: (ĐH:Khối B :2003). Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a ,
·
0
BAD 60=
.Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng
minh rằng bốn điểm B’, M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng .Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a
để tứ giác B’MDN là hình vuông .
Bài 14: (ĐH:Khối D :2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau , có giao tuyến
là đường thẳng
( )

∆
.Trên
( )
∆
lấy hai điểm A,B với AB=a . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C ,
trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC và BD cùng vuông góc với
( )
∆
và AC=BD=AB .
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
theo a .
Bài 15: (ĐH:Khối A :2004). Trong không gian 0xyz cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là
hình thoi AC cắt BD tại gốc toạ độ O . Biết A(2;0;0) , B(0;1;0) , S(0;0;2
2
) . Gọi M là trung
điểm của cạnh SC .
a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA,BM .
b) Giả sử mặt phẳng (ABM ) cắt đường thẳng SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Bài 16: (ĐH:Khối B :2004). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng
0
; (0 90 )ϕ < ϕ <
. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo
ϕ
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và
ϕ
.
Bài 17: (ĐH:Khối D :2004). Trong không gian 0xyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1

B
1
C
1
. Biết
A(a;0;0) , B(-a;0;0) , C(0;1;0) , B
1
( -a;0;b) với a>0 ; b>0 .
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a và b .
b) Cho a , b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a+b=4 .Tìm a , b để khoảng cách giữa hai đường
thẳng B
1
C và AC
1
lớn nhất .
Bài 18: (ĐH:Khối B :2005). Trong không gian 0xyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
.
Biết A(0;-3;0) , B(4;0;0) , C(0;3;0) , B
1
( 4;0;4) .
a) Tìm toạ độ các đỉnh A

1
và C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCC
1
B
1
) .
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,M va
øsong song với BC
1
.Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N.Tính độ dài đoạn MN.
2
LUYỆN THI ĐẠI HỌC;TỌA ĐỘ HĨA KHƠNG GIAN
Bài 19: (ĐH:Khối A :2006). Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz , cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0) , D(0;1;0) , A’(0;0;1) . Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD .
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN .
b) Viết phương trình mp chứa A’C và tạo với mặt phẳng 0xy một góc
α
,biết

1
cos
6
α
=
.
Bài 20: (ĐH:Khối B :2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB=a , AD=
a 2
, SA=a và SA
⊥
(ABCD) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I
là giao điểm của BM và AC .Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mp(SMB) . Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB .
Bài 21: (ĐHSP TP:HCM : 2002) . Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
, cạnh bằng a Gọi
M,N Theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD,CD .Lấy điểm P thuộc BB
1
sao cho BP=3PB
1

.Tính diện tích thiết diện do mp (MNP) cắt hình lập phương .
(ĐS:

16
67
2
a
S =
) .
Bài 22:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.có AB=a,AD=2a,AA
1
=a.
a) Tính khoảng cách giữa AD
1
và B
1
C theo a .
b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỷ số
3=
MD
AM
.Hãy tính d(M; (AB
1
C) )
c) Tính thể tích tứ diện AB

1
D
1
C .
* ĐS : a) a ; b)
2
a
; c) V=
3
2
3
a

Bài 23: (ĐHSPI.Khối A:2000) .Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia
0x, 0y,0z vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB=
2a
, OC=c (
ca,
>0) .Gọi D là
đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm BC .mp (P) đi qua A,M và
cắt mp(OCD) theo một đường thẳng vuông góc AM .
a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC . Tính độ dài đoạn OE .
b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện tạo thành , khi cắt khối chóp C.AOBD bỡi (P) .
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(P) .
* ĐS: a) OE=
3
c
; b)
3
1

; c)
( )
22
66
4
ca
ac
+
Bài 24: (ĐHBK HN Khối D:2001) . Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a , trên các
đường thẳng vuông góc với mp(P) tại B và C lần lượt lấy các điểm D,E nằm về cùng phía với
(P) sao cho BD=
2
3a
, CE=
3a
.
a)Tính độ dài các cạnh AD,AE ,DE .
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCE .
* ĐS : a) AD=
2
7a
, AE=2a , DE=
2
7a
; b) O(
a a 3 a 3 a 39
, , ) ; R
2 6 2 6
=

3
LUYỆN THI ĐẠI HỌC;TỌA ĐỘ HĨA KHƠNG GIAN
Bài 25: (ĐHNT TP:HCM :2001) .Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a .Gọi
M,N là trung điểm BC và DD
1
.
a) CMR: MN// (A
1
BD).
b) Tính khoảng cách giữa BD và MN theo a . (ĐS:
6
3a
).
Bài 26: (ĐHGTVT: 2000) . Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng 1 . Lấy M,N,P

theo thứ tự thuộc BB
1
,CD,A
1
D
1
sao cho B
1
M=CN=D
1
P=a , (0<a<1) .CMR:
a)
( )
→→→→
−++−=
1
1. AAaADABaMN
. b)
→
1
AC
vuông góc mp(MNP) .
Bài 27: (ĐHXD: 1998) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1.

Gọi

H,K theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của A và C
1
xuống mp(CB
1
D
1
) . CMR:
→→
=
1
2 KCAH
.
Bài 28: (ĐHSP Vinh Khối A: 2000) . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1,
có ba kích
thước AB=a,AD=b , AA
1
=c , (0<a<b<c ) .Gọi I,J theo thứ tự là trung điểm AB, C
1
D
1

. các điểm
M,N thoả mãn :
( )
10,;
1
≤≤==
→
→→→
kBBkBNADkAM
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(A
1
BD) .
b) CMR : M,N,I,J đồng phẳng và hãy tìm giá trò của k để MN vuông góc IJ .
c) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABDA
1
và xác đònh tâm H của
đường tròn là giao của mặt cầu (S) với mặt phẳng (A
1
BD) .
Bài 29: (ĐH GTVT:2001) . Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC=a , M là trung điểm
cạnh BC . Trên các nửa đường thẳng AA
1
, MM
1
vuông góc với mp(ABC) về cùng một phía
,Lấy tương ứng các điểm N,I sao cho 2MI=NA=a . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A
xuống NB . CMR: AH vuông góc NI .
4