3 dãy số lớp 11

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
TOÁN 11
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN



Chiến binh STA : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỤC TIÊU của TÔI khi học xong chuyên đề này là :
……………………………………………………………
……………………………………………………………
TÔI quyết tâm đạt được mục tiêu của TÔI !!!....

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
1


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
GIỚI THIỆU
TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Một lần nữa cảm ơn và chúc mừng các bạn đã ra nhập đại gia đình STA!
Để bắt đầu có thể cùng nhau trên hành trình leo núi tới đỉnh vinh quang STA mong muốn các bạn hiểu
thêm đôi điều về trung tâm:
“ STA ra đời dựa trên NIỀM ĐAM MÊ - SỰ KHÁT KHAO cống hiến cho cộng đông để mang lại
những giá trị vô cùng to lớn và thiết thực ”
Với lí do như vậy STA mang trên vai mình một TẦM NHÌN : “ Trở thành tập đoàn giáo dục và đào tạo số

1 Châu Á . STA khát vọng đồng hành cùng 10 triệu thanh thiếu niên thanh thiếu niên Việt Nam phát triển
toàn diện thái độ tư duy và kĩ năng, hướng tới xây dựng Việt Nam trở thành một cường quốc trên thế giới”.
Với SỨ MỆNH : “ Đào tạo thái độ tư duy và kĩ năng thành công cho các thế hệ thanh thiếu niên Việt Nam
. Hướng tới mục tiêu nâng tầm con người Việt.”
Với tầm nhìn và sứ mệnh đó chúng tôi luôn theo đuổi các giá trị cốt lõi của chúng tôi đó là:
3S : SÁNG TẠO - SAN SẺ - SẴN SÀNG
3T : TÂM - TẦM - TÀI
3A : ANH MINH - ANH DŨNG - ANH HÙNG
Hơn thế nữa thì chúng tôi mang tới sự khác biệt trong mô hình giáo dục:
+ Truyền cảm hứng học tập cho các bạn học sinh có 4 cấp độ người thầy
- Người thầy bình thường là người thầy nói được cho học sinh hiểu
- Người thầy giỏi là người thầy giải thích được vấn đề đó sâu hơn
- Người thầy xuất chúng là người thầy mình họa trực quan được vấn đề đó
- Người thầy vĩ đại là người thầy truyền cảm hứng cho học sinh học tập, khiến học sinh yêu thích và đam mê
việc học một cách tự nhiên

+ Cài đặt tư duy tự học cho các bạn học sinh( một khảo sát khoa học đã cho thấy hơn 80% các học sinh
xuất sắc đều tự học)
+ Áp dụng mô hình đào tạo tiên tiến bậc nhất thế giới là ĐÀO TẠO GIA TỐC
- Phát huy tối đa 2 bán cầu não: kết hợp massage não phải và tăng tốc logic cho não trái
- Kích thích giác quan đa chiều ( âm thanh, hình ảnh ..)=> tạo ra chuyển biến ngay tại lớp học
- Môi trường giàu năng lượng: hifive, nhắc lại, tuyên bố, và làm việc theo nhóm

CHỦ TỊCH
LÊ VĂN THÀNH

2


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA

Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
TÂM THƯ STA GỬI HỌC VIÊN
Chúng tôi hướng tới sự phát triển toàn diện cho các thế hệ học sinh Việt Nam cả về các môn văn
hóa lẫn kỹ năng sống, động lực và tinh thần trong cuộc sống! Một tuần học chuyên môn sẽ có một
buổi học động lực, kỹ năng vào cuối tuần sẽ luôn nạp thêm nhiều năng lượng và sự hứng khởi để
tập trung và kiên trì trong quá trình luyện tập các môn văn hóa. Khi có cả 2 chuyên môn văn hóa
và kỹ năng tinh thần, động lực nhất định các bạn sẽ thành công bền vững!
Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi có một đội ngũ giảng viên vô cùng trẻ trung nhiệt huyết, đam
mê và đặc biệt là tinh thần cống hiến, làm điều gì đó để truyền cảm hứng cho các thế hệ trẻ sau
mình. Họ đang là các sinh viên xuất sắc của các trương Bách Khoa, Giao Thông Vân Tải, Sư
Phạm, Kinh Tế Quốc Dân,… với điểm thi đại học thuộc hàng cao nhất Việt Nam từ 26 điểm trở
lên. Sẽ có những hoài nghi về khả năng sư phạm nhưng chúng tôi đã có quá trình đào tạo bài bản
và quan trọng hơn chúng tôi muốn phong cách giảng dạy phải thật gần gũi, vui vẻ, hài hước và
hiệu quả, kích thích được sự hào hứng, tò mò và say mê khám phá của các em học sinh.
Chúng tôi cũng muốn các em học sinh đa phần là các em học sinh Hà Nội có những tấm gương rất
gần gũi về ý chí, nghị lực, đam mê chính là các anh chị giảng viên để mình khao khát phấn đấu và
trân trọng hơn chính bản thân mình cũng như những điều mình đang có trong cuộc sống!
Ngoài các hoạt động chính về học tập, STA thường xuyên có các hoạt động ngoại khóa như Từ
thiện ở Chùa, Trại trẻ mồ côi, Người già neo đơn,... Thăm các danh lam thắng cảnh có ý nghĩa lịch
sử như Đền thờ Trạng trình Nguyễn Bỉnh Khiêm, Văn Miếu Quốc Tử Giám,... với mục đích giúp
các em vượt qua sự ích kỷ bản thân, hòa đồng, hướng tới cộng đồng và tăng cường tâm thánh thiện
trong mỗi học sinh!
Tất cả vì sự phát triển toàn diện của các học sinh STA hướng tới phục vụ và cống hiến đất nước
Việt Nam yêu dấu của chúng ta!

Trân trọng
Diễn giả - Tác giả - CEO
Lê Văn Thành

3


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
DÃY SỐ

CẤP SỐ
CỘNG

CẤP SỐ
NHÂN

4


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Chủ đề 1

là
là

mà

Cách cho 1 dãy số

Công thức của số
hạng tổng quát
un 

DÃY SỐ TĂNG

n2  n  1
n2  1

DÃY SỐ GIẢM

Dạng truy hồi

Dùng mệnh đề

u  2

mô tả

un  :  1

un1  2  un

DÃY SỐ BỊ CHẶN

5

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Như kiểu viết đoạn văn theo lối
QUY NẠP ý các đồng chí ak!

Example
Chứng minh rằng
12  32  52 

BƯỚC 1

BƯỚC 2

BƯỚC 3

  2n  1 
2

n(4n 2  1)
3

Kiểm tra biểu thức
đúng với n  1
Giả thiết biểu thức đúng với

n  k tuỳ ý
Chứng minh biểu thức cũng đúng với

n  k 1

6


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Bài tập trên lớp
Bài 1 : Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số  un  biết :
a) un 

 un  :
b)

n 1
n2  1

u1  15 , u2  9

un  2  un  un 1

.

Bài 2 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a) 1  2  3 

n

n(n  1)
2

7


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
b) 1.2  2.3  ...  n (n  1) 

n(n  1)(n  2)
3

c) 2n 3  3n  1 , n  8

Bài 3 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số  un  biết :
a) un 

2n  1
3n  2

un 
b)

2n
n

8

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
u1  1
un 1  un  5

c)  un  : 

Bài 4 : Xét tính bị chặn của các dãy số  un  biết :

un 

1
n( n  1)

Bài 1. Xét tính tăng , giảm của dãy số  un  biết :
n2  n  1
a) un 
n2  1

b) un  n  3  n

n  11
c) un 
n

u1  3


d)  un  : 
2un
un 1  u  3
n


Bài 2. Xét tính bị chặn của các dãy số  un  biết :
a) un  n2  4

b) un 

3n 2  2n  1
.
n2  2

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau :
n(4n 2  1)
2
2
2
2
  2n  1 
a) 1  3  5 
3
9


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366

Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
b) 22  42  62 

c)

2n  n  1 2n  1
;
3
n  n  3
1
;


n.  n  1 .  n  2  4  n  1 n  2 

  2n  

1
1
1



1.2.3 2.3.4 3.4.5

2

Các xếp làm bài tập vào phần
giấy trắng sau nhá !!!......

10


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
11


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
12


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Đặc điểm

Định nghĩa

Số hạng tổng
quát
Tính chất
Tổng n số

hạng đầu tiên

CẤP SỐ CỘNG

CẤP SỐ NHÂN

Dãy số  un  là cấp số cộng

Dãy số  un  là cấp số nhân

⟺ un+1 = un + d

⟺ un+1 = q. un

d : công sai của cấp số cộng

q : công bội của cấp số nhân

un = u1 + (n − 1). d

un = u1 . 𝑞 𝑛−1

un =

𝑢𝑛−1 +𝑢𝑛+1
2

𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛

=

(𝑢𝑛 +𝑢1 ).𝑛
2

𝑢𝑛 = √𝑢𝑛−1 . 𝑢𝑛+1
 Sn  u1  u2  ...  un  nu1

n
 S  u  u  ...  u  u1 (1  q )
1
2
n
 n
1 q

Ví dụ minh
họa

13

khi q  1
khi q  1


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Dạng 1
Chứng minh dãy số là CSC - CSN

Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh
 CSC : ta đi chứng minh un+1 − un = d = const
 CSN : ta đi chứng minh

un+1
un

= q = const

Ví dụ 1 : Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng , nếu phải hãy tìm công sai của cấp số cộng đó :
a) un 

n
1
2

;

c) un   1  2n
n

;

7  3n
;
2
u1  3
d) 
un 1  1  un ,  n  1

b) un 

Giải

14


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />Ví dụ 2 : Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm công bội của cấp số nhân đó :
a) un 

5
2n

c) un  n  3

;

b) un  (1)n .33n1 ;

;

u1  1

d) 
2
un 1  un  5 un ,  n  1

Giải

Dạng 2

Tìm

u1 ; d ; q ; Sn

Ví dụ 1 . Tìm u1 , d của các cấp số cộng biết :
u1  u5  u3  10
a) 
u1  u6  7

15

của cấp số


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
u7  u3  8
b) 
u2 .u7  75

u3  u5  14
c) 
 S12  129

Ví dụ 2 : Tìm u1 , q biết  u1  0  của các cấp số nhân biết :
u1.u5  25
a) 
u2  u3  u4  31

16


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
u1  u2  u3  14
b) 
 u1.u2 .u3  64

.

Ví dụ 3 :
a) Tìm công sai của cấp số cộng biết 5 số hạng liên tiếp có tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là
165
Giải

Ví dụ 4 :
Tìm công bội của cấp số nhân biết 2 số hạng liên tiếp có tổng của là 2 và tổng các bình phương của chúng
là 10.
Giải

17

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Dạng 3
Các bài toán ứng dụng tính chất của cấp số
Cấp số cộng
Tính chất

un =

Cấp số nhân

𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛+1
2

𝑢𝑛 = √𝑢𝑛−1 . 𝑢𝑛+1

Chú ý : Ta có thể dễ dàng chứng minh được :



Nếu a , b , c lập thành cấp số cộng  a  c  2 b .
Nếu a , b , c lập thành cấp số nhân  a . c  b2 .

Ví dụ 1. Cho ba số a , b , c lập thành cấp số cộng . Chứng minh các hệ thức sau:

a) a 2  2bc  c 2  2ab

b) a 2  8bc   2b  c  .
2

18


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />Ví dụ 2. Cho ba số a , b , c lập thành cấp số nhân .Chứng minh các hệ thức sau:

a) (a 2  b2 ).(b2  c 2 )  (ab  bc)2

b) a 2  4c 2  4ab  8bc  (a  2b  2c)2 .

Ví dụ 3. Tìm các số dương a và b sao cho 2a  1 , 2a  b , 2b  1 lập thành một cấp số cộng và

 b  3

2

, ab  4 ,  a  1 lập thành một cấp số nhân.
2

Giải

19


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA

Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Dạng 4
Tính tổng hữu hạn



 un 

lập thành cấp số cộng thì :
n(u1  un ) n  2u1  (n  1) d 

.
2
2
lập thành cấp số nhân thì :
S n  u1  u2  ...  un 



 un 

 Sn  u1  u2  ...  un  nu1

n
 S  u  u  ...  u  u1 (1  q )
1
2
n

 n
1 q

khi q  1
khi q  1

Ví dụ 1 : Tính các tổng sau :
a) A  15  20  25 

b) A  27  81  243 

 7515

 531441

c) A  1  2.2  3.22  ...  100.299

20

.


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Dạng 5
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
u1  1 , u2  2
Bài 1. Cho dãy số  un  : 

.
un1  3un  2un1 ,  n  2 
Xét dãy số  vn  biết : vn  un1  un ,  n  1
a) Chứng minh dãy số  vn  là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  .

u1  2
Bài 2. Cho dãy số  un  : 
un1  un  3n  2 ,  n  1
Xét dãy số  vn  biết : vn  un1  un ,  n  1
a) Chứng minh dãy số  vn  là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và công sai của nó.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số  un  .

21


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
Bài 1. Bốn số a , b , c , d lập thành cấp số nhân . Chứng minh :
a)  b  c    c  a    d  b    a  d  ;
2

2

2

2

b)  ab  bc  cd    a 2  b2  c 2  b2  c 2  d 2  .
2

Bài 2 . Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là

148
, đồng thời, theo thứ
9

tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Bài 3 . Tìm các số x , y sao cho x  3 y , 5x  2 y , x  3 y lập thành một cấp số cộng và

 x  1

, xy  3 ,  y  2  lập thành một cấp số nhân .
Bài 4. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
2

2

u1  u5  u3  10
a) 
u2  u5  7


 u2  u4  5
; b)  2
2
u1  u5  25

Bài 5 . Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất.
Tìm số đo các góc đó.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số a , b , c lập thành một cấp số cộng thì :

3  a 2  b2  c 2   6  a  b    a  b  c  .
2

2

Các sếp làm bài tập vào phần giấy trắng
bên dưới nhé!!!....

22


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
23


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA
Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
24


TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA

Website : />Hotline : 0985.828.366
Trụ sở : số 5 ngõ 199 Trường Chinh – Đống Đa - Hà Nội
Faceook : />
25