Luận văn thạc sĩ Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THANH TÙNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ
ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THANH TÙNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ
ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Lời nói đầu

1

1 Tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm

3

1.1

1.2

Tam giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Tính chất của tam giác lưỡng tâm . . . . . . . .

3

1.1.2

Khoảng cách giữa tâm của đường tròn nội tiếp

và đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . .

8

Tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1

Tính chất của tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . .

16

1.2.2

Diện tích của tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . .

36

2 Đa giác lưỡng tâm và ứng dụng
2.1

2.2

39

Đa giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1.1

Tính chất của đa giác lưỡng tâm . . . . . . . .

39

2.1.2

Mối quan hệ giữa n-giác lưỡng tâm và 2n-giác
lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp . . . . . . .

41

Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.1

Bài toán của Fuss về tứ giác lưỡng tâm . . . . .

45

2.2.2

Định lý Poncelet về đa giác lưỡng tâm . . . . .

50

2.2.3

Một số bài tập ứng dụng trong chương trình phổ
thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57


ii

Kết luận

63

Tài liệu tham khảo

64


iii

Danh sách hình vẽ
1

Đa giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Tam giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
Tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1

1.1

Tam giác có đường tròn ngoại tiếp (O, R), các cạnh có độ
dài a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a. . . . . . . . . . . . . . . .
Tam giác ABC với các cạnh có độ dài c ≥ b ≥ a. . . . . .
Đường cao có độ dài h được kẻ từ C xuống cạnh AB . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
6
7
9
11
12
13
15
16
17
18
20
21
22
24
24
25
25
26
26
27
28
29

1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23


iv

1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
2.1
2.2
2.3

2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.

30
31
32
33
34
35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các tứ giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại tiếp
vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các lục giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại tiếp
vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các bát giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại
tiếp vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các thập giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại
tiếp vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bàn bi-a tròn với chướng ngại vật hình tròn ở giữa. . . . .
Bàn bi-a tròn với lỗ tròn ở giữa. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc của quả bi-a với đường tròn
lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
47
48
49
50
51
51
52
53
53
54
54
55
55
55
55
56
56
57
58
59

61


1

Lời nói đầu
Trong lĩnh vực hình học sơ cấp, các vấn đề về đa giác lưỡng tâm là
một trong những chủ đề hấp dẫn và nhắc đến thường xuyên. Một số bài
toán về đa giác lưỡng tâm đã được xếp trong lớp những bài toán kinh
điển về hình học, chẳng hạn như bài toán của Fuss hay các định lý của
Poncelet về đa giác lưỡng tâm. Khái niệm một đa giác lưỡng tâm P trong
không gian R2 được phát biểu như sau:
Đa giác P được gọi là một đa giác lưỡng tâm nếu tồn tại đồng thời
một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp ứng với P (xem
Hình 1).

(a) Tam giác lưỡng tâm

(b) Tứ giác lưỡng tâm

Hình 1: Đa giác lưỡng tâm

Trong luận văn này, mục tiêu của chúng tôi là trình bày lại một cách
có hệ thống các kết quả, cũng như một số tính chất thú vị về đa giác
lưỡng tâm. Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Trong chương thứ nhất, chúng tôi trình bày về khái niệm, tính chất
của tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm. Nội dung của chương chủ
yếu xoay quanh việc tìm hiểu các tính chất nếu lên mối quan hệ giữa bán
kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và khoảng cách
giữa hai tâm. Bên cạnh đó, một số công thức thú vị để tính diện tích của

2

tứ giác lưỡng tâm cũng được trình bày cụ thể.
Tiếp theo, trong chương thứ hai, chúng tôi trình bày các tính chất về
đa giác lưỡng tâm cùng với mối quan hệ giữa bán kính đường tròn nội
tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và khoảng cách giữa hai tâm. Ngoài
ra, chúng tôi có trình bày lại mối quan hệ giữa giữa n− giác lưỡng tâm
và 2n− giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp của chúng. Cuối cùng,
chúng tôi đề cập đến một số bài toán nổi tiếng về đa giác lưỡng tâm, đó
là các bài toán của Fuss và Poncelet.
Yên Bái, tháng 5 năm 2016
Tác giả

Bùi Thanh Tùng


3

Chương 1
Tam giác lưỡng tâm và tứ giác
lưỡng tâm
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm, một số tính chất, công
thức căn bản về tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm.

1.1

Tam giác lưỡng tâm

Từ những kiến thức ở hình học sơ cấp, chúng ta đã biết rằng mọi tam
giác T đều có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp
tương ứng với nó. Do đó, mọi đa giác là tam giác đều là tam giác lưỡng
tâm. Trong mục này, chúng tôi xin đưa ra các tính chất đẹp của tam giác
lưỡng tâm.

1.1.1

Tính chất của tam giác lưỡng tâm

Các tính chất thú vị về tam giác lưỡng tâm chủ yếu xoay quanh hai
đại lượng, đó là bán kính ngoại tiếp R và bán kính nội tiếp r, vì vậy
trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra các mối liên hệ, cách tính R và r.
Với trường hợp đường tròn ngoại tiếp tam giác T , có độ dài các cạnh lần
lượt là a, b, c, các công thức sin cho phép ta tính toán độ dài bán kính
R một cách thuận lợi. Ta có thể biểu diễn R là một hàm với các độ dài
a, b, c.
Mệnh đề 1.1.1. ([4, tr. 2-3]) Gọi T là tam giác có độ dài các cạnh lần
lượt là a, b, c (c ≥ b ≥ a). Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp R được


4

tính bởi công thức sau

R=

abc
.
4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )2

(1.1)

Chứng minh. Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác T thỏa mãn AB =
a, AC = b, BC = c, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác T , w là
góc hợp bởi cạnh BC và OC , e là góc hợp bởi BC và OB , d là góc hợp
bởi AC và OA, f là góc hợp bởi AB và OA (Hình 1.1). Ta có các công
thức sau

cos w =
w = e,

c
,
2R
(tính chất tam giác cân)

(1.2)
(1.3)

C + w = d,

(1.4)

d + f = A,

(1.5)

e + B = f.

(1.6)

Kết hợp (1.4) với (1.5) và biến đổi, ta thu được đẳng thức sau

C + w = A − f.

(1.7)

Kết hợp (1.3) với (1.6), ta có

w + B = f.

(1.8)

A
b

C
ω
R

d

f
a

c
e
O

B

Hình 1.1: Tam giác có đường tròn ngoại tiếp (O, R), các cạnh có độ dài a, b, c thỏa
mãn c ≥ b ≥ a.


5

Kết hợp (1.7) và (1.8), ta thu được

2w = A − C − B, hay w =

A−C −B
.
2

(1.9)

Mặt khác, do tổng của ba góc trong tam giác bằng 180◦ nên ta có

A + B + C = 180◦
Thay vào công thức (1.9) cho ta

w = A − 90◦ .
Sử dụng công thức (1.2), ta có

R=

c
2 cos(A − 90◦ )

.

(1.10)

Đẳng thức (1.10) tương đương với

R=

c
2 sin A

.

(1.11)

Để tính A, chúng ta sử dụng công thức sau:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos A.
Từ đó, ta có

A = arccos

a2 + b2 − c2
.
2xy

Nếu sử dụng công thức (1.11) thì

c

R=

2 sin arccos

a2 +b2 −c2
2ab

.

Sử dụng công thức lượng giác, ta có

sin[arccos σ] =

1 − σ2,

| σ |≤ 1.

Do đó, phương trình (1.12) trở thành

c

R=
2 1−

2
2 −c2
( a +b
)2
2ab

.

(1.12)


6

Biến đổi đẳng thức trên, ta thu được điều phải chứng minh

R=

abc
.
4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )2

Bán kính đường tròn nội tiếp thường được ký hiệu là r. Giống như
trường hợp đường tròn ngoại tiếp, ta tìm một công thức cho giá trị của
r qua độ dài a, b, c của tam giác T .
Mệnh đề 1.1.2. ([4, tr. 7-8]) Gọi T là tam giác với độ dài các cạnh thỏa
mãn c ≥ b ≥ a. Khi đó bán kính nội tiếp r được biểu diễn bởi công thức

r=

a+b−c
2

c2 − (a − b)2
.
(a + b)2 − c2

(1.13)

Công thức (1.13) được viết lại thành

r=

2S
,
a+b+c

với S là diện tích của tam giác T .
Chứng minh.
C
t
p

b

a

I
A

c

q

B

Hình 1.2: Tam giác ABC với các cạnh có độ dài c ≥ b ≥ a.

Để chứng minh cho công thức trên, chúng ta chia T thành tổng của
các phần nhỏ (xem Hình 1.2). Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác thỏa
mãn AB = c, AC = b, BC = a, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam
giác T và p, t, q theo thứ tự là tiếp điểm ứng với ba cạnh a, b, c. Nối tâm
của đường tròn nội tiếp với các đỉnh của tam giác T , ta thu được ba tam


7

giác AIB, AIC và CIB . Đặt S [T ] = S [ABC] là diện tích của tam giác
T . Khi đó, ta có

S [ABC] = S [AIB] + S [AIC] + S [BIC]
(Iq)(AB) (It)(AC) (Ip)(BC)
+
+
=
2
2
2
rc rb ra
=
+ +
2
2
2
r(a + b + c)
=

.
2
Gọi K là hình chiếu của C trên AB, khi đó ta có

AK = AC cos A = b

b2 + c2 − a2
b2 + c2 − a2
=
2bc
2c

Do đó, ta có độ dài của đường cao h như sau

h=

b2

−

2

c 2 + b 2 − a2
2c

.

C
t
p

b
I
c

A

h

a
B

q K

Hình 1.3: Đường cao có độ dài h được kẻ từ C xuống cạnh AB.

Suy ra, ta có

ch
c
S [T ] =
=
2
2

b2

−

c 2 + b 2 − a2

2c

2

.

Do vậy, ta có

c
c
r(a + b + c)
= h=
2
2
2

b2

−

c2 + b2 − a2
2c

2

.


8

Biến đổi ta thu được,

c+b−a
r=
2

a2 − (c − b)2
.
(c + b)2 − a2

Công thức để tính bán kính nội tiếp r ở trên có thể được biểu diễn
một cách đơn giản hơn khi chúng ta giới hạn T trong một số trường hợp
đặc biệt, chẳng hạn như tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông.

• Trường hợp T là tam giác cân thỏa mãn a = c. Ta có
r=

b
2

2S − b
,
2S + b

với S là diện tích tam giác T .

• Trường hợp tam giác T là tam giác đều. Khi đó, đặt a là độ dài của
một cạnh, thì
√
a 3

r=
.
6
• Trường hợp tam giác T là tam giác vuông thỏa mãn a2 + b2 = c2 . Khi
đó,
r=
1.1.2

a+b−c
.
2

Khoảng cách giữa tâm của đường tròn nội tiếp và
đường tròn ngoại tiếp

Trong phần này, chúng ta quan tâm đến những mối liên hệ cơ bản,
được nảy sinh một cách tự nhiên giữa tam giác T với đường tròn ngoại
tiếp và nội tiếp ứng với nó.
Định nghĩa 1.1.3. Gọi C0 và C1 là hai đường tròn lồng nhau có bán
kính lần lượt là R và r. Giả sử C1 nằm trọn vẹn trong C0 , khi đó khoảng
cách tâm, ký hiệu bởi d, được định nghĩa là khoảng cách giữa hai tâm
của hai đường tròn C0 và C1 .


9

Định lý 1.1.4. ([4, tr. 11-16]) Giả sử C0 và C1 là hai đường tròn lồng
nhau, có bán kính lần lượt là R và r thỏa mãn r ≤ 21 R. Khi đó, tồn tại
một tam giác cân T (có độ dài các cạnh a, b, c trong đó a = c) với bán
kính ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r, khi và chỉ khi

d2 = R2 − 2Rr.
Chứng minh. Giả sử rằng, tồn tại một tam giác cân T với bán kính
ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Khi đó, ta chia tam giác cân T
thành hai tam giác vuông như Hình 1.4, ta có

b
2

2

(r + R + d) +

2

= a2 .

R
a

c
O
d

C0

I
r

C1

b

Hình 1.4

Biến đổi đẳng thức trên, ta thu được

−2(r + R) +
d=
2

√

4a2 − b2

.

Với điều kiện cả hai vế đều dương, bình phương hai vế, ta có

d2 =

4a2 − b2
−
4

4a2 − b2 (r + R) + (r + R)2 .

Thay thế R và r bởi các biểu thức phụ thuộc vào a và b ở vế phải của
đẳng thức trên, ta có

b2

b2 2a − b
ab2
a4
d = − ab +
+
+
.
4
4 2a + b 2a + b 4a2 − b2
2


10

Nhân cả hai vế với 4(4a2 − b2 ) rồi biến đổi, ta có
2

d =
=
=
=

a4 − 2ba3 + b2 a2
4a2 − b2
a4
ba2 (2a − b)
−
4a2 − b2 (2a − b)(2a + b)
√
ba2 2a − b

a4
√
−√
4a2 − b2
4a2 − b2 2a + b
b 2a − b
a4
2a2
−√
.
2
2
4a − b
4a2 − b2 2 2a + b

Viết lại đẳng thức trên bằng cách thay các biểu thức với các biến a và b
trong công thức trên lần lượt bởi R và r, ta thu được

d2 = R2 − 2Rr.
Bây giờ ta xác định một tam giác cân T như sau: Lấy T có đáy b
và cạnh bên a = c thỏa mãn,

b = 2 r(2R − r − 2d)
a =

2R(R + r − d)

Do R > d với 0 < r < 12 R, cả b và a hoàn toàn xác định. Đặt ξ = R − d,
thì b và a trở thành

b = 2 r(2ξ − r),

a =

ξ

r(2ξ − r)
.
ξ−r

Ta giả sử rằng T có bán kính ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r .
Khi đó, R = R và r = r. Do đó, tồn tại tam giác cân có bán kính nội
tiếp và bán kính ngoại tiếp lần lượt là R và r, như trong Hình 1.5.


11

R
a

c
O
d

C0

I
r

C1

b

Hình 1.5

Để chứng minh R = R, ta có công thức cho R như sau:

a2
R =√
.
4a 2 − b 2
Thay thế a và b trong đẳng thức trên, ta thu được

R =

2R(R + r + d)
.
4(2R(R + r + d)) − 4r(2R − r − d)

Mặt khác, ta lại có d = R2 − 2Rr, do đó, R có thể được viết lại thành

R =

R(R + r + d)
.
(R + r + d)(R + r + d)

Đơn giản hóa đẳng thức trên, ta thu được kết quả

R = R.
Bây giờ, ta đi chứng minh r = r. Bình phương hai vế cho công thức

bán kính nội tiếp của tam giác T , ta có

b2
r =
4
2

2a − b
2a + b

.

Thay thế a và b trong đẳng thức trên, ta thu được
 √

2ξ r(2ξ−r)
− 2 r(2ξ − r) 
4(r(2ξ − r)) 
ξ−r
√
r2 =


2ξ r(2ξ−r)
4
+ 2 r(2ξ − r)
ξ−r


12

2 r(2ξ − r)(ξ − ξ + r)
2 r(2ξ − r)(ξ + ξ − r)
r
.
= r(2ξ − r)
2ξ − r

= r(2ξ − r)

Do đó, ta có

r = r.
Vậy, ta đã chứng minh R = R và r = r.
Định lý 1.1.5. ([4, tr. 18-20] Gọi T là tam giác có bán kính ngoại tiếp
và nội tiếp theo thứ tự là R và r. Khi đó,

d2 = R2 − 2Rr.
Chứng minh. Chứng minh của Định lý 1.1.5 hoàn toàn tương tự như
chứng minh Định lý 1.1.4. Với T là tùy ý, xem Hình 1.6.

R

d
r

T

Hình 1.6

Ta mong muốn chứng minh rằng, tồn tại tam giác cân T với bán kính
ngoại tiếp và nội tiếp theo thứ tự là R và r , thỏa mãn R = R và r = r
(Hình 1.7).


13

T

R
d
r

Hình 1.7

Ta định nghĩa T như sau: Gọi T là tam giác cân có đáy b và cạnh
bên có độ dài a , thỏa mãn

b = 2 r(2R − r − 2 R(2R − r)),
a =

r(2R − r − 2 R(2R − r))(R −
R−r−

R(R − 2r)

R(R − 2r))

.

Để chứng minh bán kính ngoại tiếp R = R, ta đặt

Φ = r + 2 R(R − 2r).
Khi đó, b và a có thể được viết lại thành

b = 2 r(2R − Φ),
a =

r(2R − Φ)(2R + r − Φ)
.
2R − r − Φ

Thế b và a vào công thức tính R trong trường hợp tam giác cân và biến
đổi, ta thu được,

R =√

a2
(2R − Φ + r)2
=
.
4(2R − φ − r)
4S 2 − b 2

Thay ngược trở lại φ = r + 2 R(R − 2r), ta có điều cần phải chứng
minh:
R = R.


14

Tiếp theo, ta đi chứng minh r = r. Bình phương hai vế của công thức
tính r , ta thu được

b 2 2a − b
·
.
r =
4 2a + b
2

Đặt

ϕ=R−

R(R − 2R),

thì b và a được viết lại thành

b = 2 r(ϕ − r)
a =

ϕ r(2ϕ − r)
.
ϕ−r

Thế b và a vào công thức trên, ta có

r2 =

4r(2ϕ − r)
4

= r(2ϕ − r)
= r2.

2ϕ r(2ϕ − r) − 2 r(2ϕ − r)
2ϕ r(2ϕ − r) + 2 r(2ϕ − r)

2 r(2ϕ − r)(ϕ − ϕ + r)
2 r(2ϕ − r)(ϕ + ϕ − r)

Suy ra, theo Định lý 1.1.4, tồn tại tam giác cân với bán kính ngoại tiếp
và nội tiếp lần lượt là R và r, thỏa mãn

d2 = R2 − 2Rr.
Vậy ta thu được điều phải chứng minh.
Ngoài ra, ta có cách chứng minh định lí trên một cách đơn giản hơn như
sau:
Giả sử O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội
tiếp của tam giác ABC ; DP là đường kính của đường tròn (O) và vuông
góc với cạnh BC ; IL là đường vuông góc hạ từ I xuống DP và M là
trung điểm cạnh BC (xem hình 1.8).
Ta có, DIC bằng nửa tổng số đo các cung AE và DC . Mặt khác, ta
có

AE=BE và DC=BD .


15

P

A

I
B

O
L

M

C

D
Hình 1.8

Do đó DIC bằng nửa tổng số đo các cung BE và BD, tức là nửa số đo
cung DE . Suy ra DIC = ICD hay DIC là tam giác cân tại D. Do đó
DC = DI.
Theo hệ thức Pythagoras, ta có

DC 2 = DM.DP hay DC 2 = 2R.DM.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác OID, ta có

d2 = OD2 + DI 2 − 2OD.DL
= R2 + DC 2 − 2R.DL

= R2 + 2R.DM − 2R.DL

= R2 + 2R(DM − DL)

= R2 − 2Rr.

Hệ quả 1.1.6. Trong một tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp không
bé hơn đường kính của đường tròn nội tiếp.
Chứng minh. Từ Định lí 1.1.5 và vì d ≥ 0 nên ta có

R2 ≥ 2Rr ⇔ R ≥ 2r.


16

1.2

Tứ giác lưỡng tâm

Trong nội dung này, chúng tôi xin trình bày khái niệm cũng như các
tính chất về tứ giác lưỡng tâm. Bên cạnh đó, một số công thức để tính
diện tích của tứ giác lưỡng tâm cũng được trình bày cụ thể.

1.2.1

Tính chất của tứ giác lưỡng tâm

Một tứ giác lưỡng tâm là một tứ giác lồi thỏa mãn cả hai tính chất
ngoại tiếp và nội tiếp đường tròn. Để tiện theo dõi chúng ta quy ước
đường tròn nội tiếp tứ giác là (I, r), đường tròn ngoại tiếp tứ giác là
(O, R), khoảng cách tâm Dc = OI = d.

Định lý 1.2.1. (Định lí Pitot) i) Một tứ giác lồi nội tiếp đường tròn thì
tổng hai góc đối bằng 180◦ .
ii)Một tứ giác ngoại tiếp đường tròn thì tổng của hai cặp cạnh đối bằng
nhau.
Chứng minh. i) Tính chất này dễ dàng được chứng minh nhờ tính chất
của góc nội tiếp. Từ Hình 1.9, ta thấy số đo của góc A cộng số đo của
góc C bằng nửa số đo đường tròn, do vậy

A + C = 1800 .
Tương tự cho cặp góc B + D.
B
A

C

D

Hình 1.9


17

ii) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta kí hiệu các độ
dài như Hình 1.10. Khi đó, ta có

AB + CD = a + b + c + d = AD + BC.

a

A

a

B

b

b

c

d

D

c

d

C

Hình 1.10

Từ tính chất trên, ta dễ dàng suy ra một tứ giác lưỡng tâm có đầy đủ
cả hai tính chất: Tổng của hai góc đối diện bằng 180◦ và tổng của hai
cặp cạnh đối là bằng nhau.
Tính chất 1.2.2. ([1, tr. 2-3]) Giữa đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tứ
giác lưỡng tâm ABCD có các hệ thức sau

1
1

1
+
=
(Định lý Fuss)
(R + d)2 (R − d)2
r2
(R2 − d2 )2 = 2r2 (R + d)2

(R + r + d)(R + r − d)(R − r + d)(R − r − d) = r4
R+d
r

2

−1

R−d
r

√
d2 = R2 + r2 − r r2 + 4R2
R=

1
4

(1.14)
(1.15)
(1.16)

2

−1

=1

(1.17)
(1.18)

(ac + bd)(ad + bc)(ab + cd)
(1.19)
abcd
(Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp).


18

Hình 1.11

Chứng minh. Trước tiên chúng ta chứng minh hệ thức (1.14), hay còn
gọi là định lý Fuss.
Cho tứ giác ABCD có đường tròn nội tiếp (I, r) và đường tròn ngoại
tiếp (O, R). Kéo dài BI, DI cắt (O) lần lượt tại M, N (xem Hình 1.11).
Ta có
1
M N C + N M C = IBC + IDC = (ADC + ABC) = 90◦ .
2
Suy ra O là trung điểm của M N . Áp dụng công thức tính đường trung
tuyến trong tam giác IM N ta có

OI 2 =

IM 2 IN 2 M N 2
IM 2 IN 2
+
−
=
+
− R2 .
2
2
4
2
2

Do đó, ta có

1
1
2(R2 + d2 ) IM 2 + IN 2
+
=
=
(R + d)2 (R − d)2
(R2 − d2 )2
(PI /(O))2
IM 2
IN 2
=
+

IM 2 .IB 2 IN 2 .ID2
1
1
=
+
IB 2 ID2
sin2 B2
sin2 D2
1
=
+
=
.
r2
r2
r2
Dễ thấy, các hệ thức còn lại dễ dàng được suy ra từ hệ thức (1.14).


19

Nhận xét 1.2.3. Từ định lý Fuss, ta có

1
1
1
2
2
+
=

≥
≥
.
(R + d)2 (R − d)2
r2
R2 − d2
R2
√
Suy ra, ta có R ≥ 2r.
Tính chất 1.2.4. ([1, tr. 3-4]) Trong mọi tứ giác lưỡng tâm ABCD, ta
có các đẳng thức sau:

AB
CD
2R
=
= 2
IA.IB
IC.ID
R − D2
AC
BD
2R
=
= 2
IA.IC
IB.ID
R − d2
1
1

1
1
+
=
+
IA2 IC 2
IB 2 ID2
AC 2
BD2
=
IA2 + IC 2
IB 2 + ID2
1
1
8Rr
+
= AB + BC + CD + DA
AC BD
8R2 r2
AC.BD = 2
R − d2
IA.IB.IC.ID = 2r2 (R2 − d2 )
AB + BC + CD + DA R2 − d2
=
AC + BD
Rr
2
4R
pq
−

=1
2
4r
pq
xz = yt,
p x+z
=
.
q
y+t

(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)

Với p, q lần lượt là độ dài hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD và
x, y, z, t lần lượt là độ dài của bốn đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác với tiếp
điểm đường tròn nội tiếp.
Định lý 1.2.5. ([8, tr. 6-7]) Cho tứ giác lồi ABCD không phải là một
hình thang, phần mở rộng của các cạnh đối cắt nhau lần lượt tại E và
F . Nếu chính xác một trong các hình tam giác AEF và CEF nằm ngoài
của tứ giác ABCD, khi đó nó là một tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi

AE + CF = AF + CE.