12 PP dat an phu giai he pt p1 BG

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
3
 x − 2 − y − 1 = 27 − x
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
4
( x − 2 ) + 1 = y
Hướng dẫn giải:
x ≥ 2
4
2
ĐK 
từ phương trình (2) ta có ( x − 2 ) = y − 1 ⇒ y − 1 = ( x − 2 ) thay vào phương trình
y ≥1

(1) ta được

x − 2 = 27 − x 3 + x 2 − 4 x + 4 ⇔ x − 2 + x3 − x 2 + 4 x − 31 = 0 (*)

Xét hàm số f ( x ) = x − 2 + x 3 − x 2 + 4 x − 31, với mọi x ≥ 2
⇒ f ' ( x) =

1
+ 3 x 2 − 2 x + 4 > 0 ∀x > 2
2 x−2

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) mặt khác f ( 3) = 0 ⇒ x = 3 là nghiệm duy nhất của (*) thay vào

Phương trình (2) ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 3; y = 2

 x 2 + y 2 + x + y = 18
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 xy ( x + 1)( y + 1) = 72
Phân tích. Đây là hệ đối xứng loại I
Hướng 1. Biểu diễn từng phương trình theo tổng x + y và tích xy
Hướng 2. Biểu diễn từng phương trình theo x 2 + x và y 2 + y . Rõ ràng hướng này tốt hơn.
Hướng dẫn giải:
1
 2
x
+
x
=
a
,
a
≥
−
2
2

a + b = 18
 a = 6, b = 12
( x + x) + ( y + y ) = 18
4
. Đặt 
ta được 
Hệ ⇔  2

⇔
2
( x + x)( y + y ) = 72
ab = 72
 a = 12, b = 6
 y 2 + y = b, b ≥ − 1

4
2
a = 6
 x = 2, x = −3
 x + x = 6
TH 1. 
⇒ 2
⇔
b = 12  y + y = 12
 y = 3, y = −4
 x = 3, x = −4
TH 2. Đổi vai trò của a và b ta được 
.
 y = 2, y = −3
Vậy tập nghiệm của hệ là S = {(2;3); (2; −4); (−3;3); (−3; −4); (3; 2); (−4; 2); (3; −3); (−4; −3)}
Nhận xét. Bài toán trên được hình thành theo cách sau
a + b = 18
Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản 
(I)
ab = 72
1) Thay a = x 2 + x, b = y 2 + y vào hệ (I) ta được hệ

 x 2 + y 2 + x + y = 18

(1) 
đó chính là ví dụ 2
 xy ( x + 1)( y + 1) = 72
2) Thay a = x 2 + xy, b = y 2 − xy vào hệ (I) ta được hệ
 x 2 + y 2 = 18
(2) 
2
2
 xy ( x − y ) = 72
3) Thay a = x 2 + 2 x, b = 2 x + y vào hệ (I) ta được hệ

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 x 2 + 4 x + y = 18
(3) 
 x( x + 2)(2 x + y ) = 72
1
1
4) Thay a = x + , b = y + vào hệ (I) ta được hệ
x
y
( x + y ) xy + x + y = 18 xy
(4)  2
2
( x + 1)( y + 1) = 72 xy

5) Thay a = x 2 + 2 xy, b = y 2 − xy vào hệ (I) ta được hệ

 x 2 + y 2 + xy = 18
(5) 
…
 xy ( x + 2 y )( y − x) = 72
- Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới.
a + b = 7
và làm tương tự như trên ta lại thu
- Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II)  2 2
a − b = 21
được các hệ mới khác. Chẳng hạn
6) Thay a = x 2 + y 2 , b = xy vào hệ (II) ta được hệ

7) Thay

8) Thay

9) Thay

10) Thay

 x 2 + y 2 + xy = 7
(6)  4
4
2 2
 x + y + x y = 21
1
1
a = x + , b = y + vào hệ (II) ta được hệ

x
y
1 1

x + y + x + y = 7

(7) 
 x 2 − y 2 + 1 − 1 = 21

x2 y2
1
x
a = x + , b = vào hệ (II) ta được hệ
y
y
 xy + x + 1 = 7 y
(8) 
2
2
2
( xy + 1) + x = 21y
1
a = x + y, b = vào hệ (II) ta được hệ
y
( x + y ) y + 1 = 9 y
(9) 
2 2
2
( x + y − 2) y − 21 y = 1
a = x 2 + 2 x, b = y 2 + 2 x vào hệ (II) ta được hệ

 x 2 + y 2 + 4 x = 7
(10)  4
...
4
2
2
 x − y + 4 x( x − y ) = 21
Như vậy, nếu chúng ta biết cách tạo ra bài toán thì chúng ta có thể nghĩ ra cách giải của những bài toán
khác.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các hệ PT sau
 x( x + y + 1) − 3 = 0

a) 
5
2
( x + y ) − x 2 + 1 = 0

5
 2
3
2
x
+
y
+
x
y
+

xy
+
xy
=
−

4
b) 
5
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = −

4

 x + y − xy = 3
c) 
 x + 1 + y + 1 = 4

 x 2 + y 2 + 2( x + y ) = 7
d) 
 y ( y − 2 x) − 2 x = 10
Hướng dẫn giải:

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1


 x + y + 1 − 3. x = 0
1

a) ĐK. x ≠ 0 . Hệ ⇔ 
Đặt x + y = a, = b ta được hệ
2
x
( x + y ) 2 − 5.  1  + 1 = 0



 x
 a = 2, b = 1
x = y = 1
a + 1 − 3b = 0
a = 3b − 1


⇔
⇔
⇒
 2

1
1
3
2
2
2



a
b
x = 2, y = −
=
,
=
a
−
b
+
=
b
−
−
b
+
=
5
1
0
(3
1)
5
1
0





2
2
2
5
 2
2
( x + y ) + xy ( x + y + 1) = − 4
b) Hệ ⇔ 
. Đặt x 2 + y = a, xy = b ta được
5
( x 2 + y ) 2 + xy = −

4
5
5


a 2 − a − ab = 0
a = 0, b = −
a + b(a + 1) = − 4


4
⇔
⇔

5
2
a = − 1 , b = − 3

a 2 + b = − 5
b = − − a

4


4
2
2

5
x2 + y = 0
a = 0
x = 3
4



TH1. 
5⇒
5 ⇔
b = − 4  xy = −
 y = − 3 25

4

16
1
1
1

 2 3

 2
x = 1
 x − 2 x = − 2
a = − 2  x + y = − 2

TH2. 
⇒
⇔
⇔
3
b = − 3
 xy = − 3
y = − 3
 y = − 2



2
2
2x

3  5
25  
Vậy tập nghiệm của hệ pt là S = 1; −  ;  3 ; − 3

2  4
16  


c) ĐK: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ 0

 x + y − xy = 3
 x + y − xy = 3
Hệ ⇔ 
⇔
 x + y + 2 + 2 ( x + 1)( y + 1) = 16
 x + y + 2 x + y + xy + 1 = 14
Đặt x + y = a,

xy = b . a ≥ −2, b ≥ 0, a 2 ≥ 4b 2 ta được hệ phương trình

a = 3 + b
b = 3  x = 3
a − b = 3
a = 3 + b
⇔
⇒
(thỏa mãn đk)
⇔
⇔



2
2
2
a = 6  y = 3
3b + 26b − 105 = 0
a + 2 a + b + 1 = 14

2 b + b + 4 = 11 − b
( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 = 9
d) Hệ ⇔ 
.
2
2
( y − x) − ( x + 1) = 9
a 2 + b 2 = 9
Đặt a = x + 1, b = y + 1 ⇒ b − a = y − x ta được hệ 
2
2
(b − a ) − a = 9
⇒ a 2 + b 2 = (b − a ) 2 − a 2 ⇔ a 2 = −2ab ⇔ a = 0 hoặc a = −2b

+) Với a = 0 ⇒ b = ±3 ⇒ x = −1, y = 2 hoặc x = −1, y = −4
+) Với a = −2b ⇒ 5b 2 = 9 ⇔ b = ±
⇒ x = −1 −

3
6
⇒a=∓
5
5

6
3
6
3
, y = −1 +
hoặc x = −1 +

, y = −1 −
5
5
5
5

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Kết luận. Hệ có 4 nghiệm như trên nhé!
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
 x ( x + 2 )( 2 x + y ) = 9
a)  2
 x + 4 x + y = 6

 x ( 3 x + 2 y )( x + 1) = 12
b)  2
 x + 2 y + 4 x − 8 = 0

2
( x + 2 x ) ( 3x + y ) = 18
c) 
2
 x + 5 x + y − 9 = 0

 x 2 + y 2 − 3 x + 4 y = 1

d) 
2
2
3 x − 2 y − 9 x − 8 y = 3

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình


1 
( x + y ) 1 +  = 5

 xy 
a) 
 x 2 + y 2 1 + 1  = 49
)  x2 y 2 
(




2
2
 y + xy = 6 x
b) 
2 2
2
1 + x y = 5 x

3 3
3

1 + x y = 19 x
c) 
2
2
 y + xy = −6 x

 x + y − 3x + 2 y = −1
d) 
 x + y + x − y = 0

Hướng dẫn: Đặt u = x + y ; v = 3x + 2 y

(u ≥ 0, v ≥ 0)

2
u − v = −1
 x + y = u
⇒
⇒ x − y = 2v 2 − 5u 2 . Ta có hệ: 
2
2
2
3 x + 2 y = v
u + 2v − 5u = v

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1
 x+ + x + y −3 = 3
y


Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 x + y + 1 = 8

y
 x 2 + y 2 + x + y = 4
Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2
1 1

x + y + x + y = 4

Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x2 + y 2 + 1 + 1 = 4

x2 y2
 x 2 + xy + x + y = 4
Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x + y + xy ( x + y ) = 4
 x 2 + 1 + y ( y + x ) = 4 y
Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
 x + 1 ( y + x − 2 ) = y
( x + y )(1 + xy ) = 18 xy
Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
2 2
2 2
( x + y )(1 + x y ) = 208 x y
 8 x 3 y 3 + 27 = 18 y 3
Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2

2
4 x y + 6 x = y

(

)

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 xy + x + 1 = 7 y
Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 2
2
 x y + xy + 1 = 13 y
 x + y + x + y = 2
Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2
 x + y = 25
 3 x − y = x − y
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x + y = x + y + 2
1 1

x + y + x + y = 4


Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
x + y =2
 y x
 x + y + x 2 y 2 = 3xy

Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  1 1
 x + y − xy = 1

Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 16: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 17: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 18: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

 x 2 − 2 xy − 6 y = 0

x

x − 2 y + y = 6

 x 2 + xy − y = 0

x


x + y + y = 4

4
3
2 2
 x − x y + x y = 1
 3
2
 x y − x + xy = 1
1
 2
2 x + x − y = 2

 y − y 2 x − 2 y 2 = −2

 x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy

2
2
 x + x y + xy = xy + y + 1
 x 2 − 2 xy + x + y = 0
 4
2
2
2
 x − 4 x y + 3 x + y = 0

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!