16 bai toan ve diem va duong tron p1 BG10(1)

Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

16. BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1: [ĐVH]. (Khối A – 2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 . Gọi I
là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d. Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A
và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Đ/s: M ( −3;1)
Ví dụ 2: [ĐVH]. (Khối B – 2006)
Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0, M (−3;1). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B
là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng AB.

Đ/s: AB : 2 x + y − 3 = 0
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 4)2 + y 2 = 4, N (4;1). Tìm điểm M trên Oy sao cho qua M kẻ hai
tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N.

Đ/s: M (0; 4)
Ví dụ 4: [Tham khảo]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0, d : x + 2 y − 12 = 0 . Tìm điểm M thuộc d
sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600

Lời giải:
Ta có ( C ) = ( x − 2 ) + ( y − 1) = 5 ⇒ ( C ) có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 5.
2

2

Gọi M ∈ d : x + 2 y − 12 = 0 ⇒ M ( 2t + 12; −t ) ⇒ IM = ( 2t + 10; −t − 1)

⇒ IM 2 = ( 2t + 10 ) + ( −t − 1) = 5t 2 + 42t + 101
2

2

 AMB = 600
Gọi A, B là hai tiếp điểm. Bài ra có 
 AMB = 1200
•

TH1. AMB = 600 ⇒ AMI = 300. Do đó sin AMI =

IA
5
1
=
= sin 300 = ⇒ IM 2 = 20
IM IM
2

t = −3 ⇒ M ( 6;3)

⇒ 5t 2 + 42t + 101 = 20 ⇔ 
27
 6 27 
t=− ⇒M ; 

5
5 5 
•

TH1. AMB = 1200 ⇒ AMI = 600. Do đó sin AMI =

⇒ 5t 2 + 42t + 101 =

IA
5
3
20
=
= sin 600 =
⇒ IM 2 =
IM IM
2
3

20
⇔ 15t 2 + 126t + 283 = 0.
3

Phương trình vô nghiệm vì ∆ ' = 632 − 15.283 = −276 < 0.
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 6 27 
Đ/s: M ( 6;3) hoặc M  ;  .

5 5 

Ví dụ 5: [Tham khảo]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y = 0, d : x − y + 1 = 0 . Tìm điểm M thuộc d
sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C), với các tiếp điểm là A, B đồng thời

AMB = 600.
Lời giải:
Từ giả thiết ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5 ⇒ ( C ) có tâm I ( −1; 2 ) và bán kính R = 5.
2

−1 − 2 + 1

Ta có d ( I ; d ) =

2

2

= 2 < R ⇒ d cắt ( C ) .

Góc AMB = 600 ⇒ AMI = 300 ⇒ sin AMI =

IA
5
1
=
= sin 300 = ⇒ IM = 2 5.
IM IM
2

Do M ∈ d : x − y + 1 = 0 ⇒ M ( t ; t + 1) ⇒ IM = ( t + 1; t − 1) ⇒ IM 2 = ( t + 1) + ( t − 1) = 2t 2 + 2
2

(

⇒ 2t 2 + 2 = 2 5

)

2

2

t = 3 ⇒ M ( 3; 4 )
⇔ 2t 2 = 18 ⇔ 
t = −3 ⇒ M ( −3; −2 )

Đ/s: M ( 3; 4 ) hoặc M ( −3; −2 ) .
Ví dụ 6: [Tham khảo]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 4, N (2;1). Tìm điểm M trên
d : x + y + 2 = 0 sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi
qua N.

Lời giải:

( C ) có tâm I (1; 2 ) và bán kính

R = 2. Do M ∈ d : x + y + 2 = 0 ⇒ M ( t ; −t − 2 ) ⇒ IM = ( t − 1; −t − 4 )

⇒ IM 2 = ( t − 1) + ( −t − 4 ) = 2t 2 + 6t + 17 = R 2 + MA2 = 22 + MA2 ⇒ MA2 = 2t 2 + 6t + 13.
2

2

Ta có MA = MB. Gọi (T ) là đường tròn tâm M bán kính R ' = MA = MB

⇒ (T ) : ( x − t ) + ( y + t + 2 ) = MA2 = 2t 2 + 6t + 13 ⇔ x 2 + y 2 − 2tx + 2 ( t + 2 ) y = 2t + 9.
2

2

( x − 1)2 + ( y − 2 )2 = 4
Tọa độ của A, B là nghiệm của hệ 
2
2
 x + y − 2tx + 2 ( t + 2 ) y = 2t + 9
⇒ x 2 + y 2 − 2tx + 2 ( t + 2 ) y − ( x − 1) − ( y − 2 ) = 2t + 9 − 4 ⇔ ( 2 − 2t ) x + ( 2t + 8 ) y − 2t − 10 = 0 (1)
2

2

Tọa độ của A, B thỏa mãn (1) ⇒ AB : ( 2 − 2t ) x + ( 2t + 8 ) y − 2t − 9 = 0.
AB qua N ( 2;1) ⇒ ( 2 − 2t ) .2 + ( 2t + 8 ) .1 − 2t − 10 = 0 ⇔ 4 − 4t + 2t + 8 − 2t − 10 = 0 ⇔ t =

1
1 5
⇒ M  ; − .
2
2 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 và đường tròn
(C ) : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 4 . Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d. Qua điểm M kẻ các tiếp
tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện
tích bằng 2 6.

Đ/s: M(3; 0).
Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – y + 2 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Gọi I là tâm
của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d. Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là
các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 6 2.

Đ/s: M ( 0; 2 ) , M ( −3; −1)

(C ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9
Bài 3: [ĐVH]. Cho đường tròn và đường thẳng 
.
d : x + y + m = 0
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là
các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông.

Đ/s: MI = R 2 ⇒ m = −5; m = 7
Bài 4: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 5 = 0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua có thể kẻ
được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600

(

) (

Đ/s: M 0; 7 , M 0; − 7

)

Bài 5: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 4,
giác MAB có diện tíc bằng

8

A 1; −  , B (3;0). Tìm điểm M trên đường tròn sao tam
3


20
.
3

 14 48 
Đ/s: M (−2; 0), M  − ; 
 25 75 

Bài 6: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 2)2 + ( y − 3) 2 = 10
Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn đã cho. Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết rằng cạnh AB đi qua
M (−3; −2) và điểm A có hoành độ dương.

Đ/s: A(6;1), C ( −2;5 )
Bài 7: [ĐVH]. (Khối D – 2007)

(C ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9
Cho đường tròn và đường thẳng 
. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ
d : 3x − 4 y + m = 0
đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Đ/s: MI = 2 R ⇒ m = 1; m = −41
Bài 8: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 2)2 + ( y − 4)2 = 8, d : x − y − 2 = 0 . Tìm điểm M trên d để qua M có

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán học cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác IAB có diện tích
max.
Đ/s: M ( 2; 0 ) , M ( 6; 4 )
Bài 9: [ĐVH]. Cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + ( y + 1) 2 = 1, M (2;0). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C)
(với A, B là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng AB.

Đ/s: AB : x + y − 1 = 0

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia!