BÀI TOÁN VỀ PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (311.6 KB, 20 trang )
D. PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
A. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và bằng phép
Tính
a.
2
2
y x
y x
b.
2
2 1
y x
y x
c.
2
2
y x
y x
d.
2
4
y x
y
B. Sử dụng tổng tích của PT hoành độ giao điểm:
1. (P)
2
y x
và (d)
2( 1) 4
y m x m
(m ≠ -1)
a. Tính m? để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B.
b. CM:
(1 ) (1 )
E xA xB xB xA
không phụ thuộc m.
2. (P)
2
y x
và (d)
2
y mx
(m ≠ 0) gọi A, B là giao điểm của (P)
2
y x
và (d). Tính
m? sao cho:
A 2( ) 1
y yB xA xB
3. (P)
2
y x
và (d)
2
3
y x m
a. CM: (d) và (P)
2
y x
luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
b.
1
y
,
2
y
là tung độ các giao điểm (P)
2
y x
và (d). Tính m? để
1 2 1 2
11 .
y y y y
4. (P)
2
y x
và (d)
1
y mx
. CM: (d) cắt (P)
2
y x
tại 2 điểm phân biệt A và B và
ΔAOB vuông.
5. (P)
2
2
y x
và (d) 3
y x m
. Tính tổng bình phương hoành độ giao điểm (d) và (P)
2
2
y x
theo m?
6. (P)
2
2
y x
và (d) 2
y x m
a. Cho m >
1
2
thì CM: (d) cắt (P)
2
2
y x
tại 2 điểm phân biệt.
b. Chứng tỏ:
2 2
1 2 2
4 6 4 4
x x x x m
(m >
1
2
)
7. (P)
2
y x
, A(0;2) viết PTĐT (d) qua A có hệ số góc là m, ĐT(d) cắt (P)
2
y x
tại 2
điểm P và Q, gọi P
1
, Q
1
là hình chiếu của P, Q lên trục hoành. CM: OP
1
. OQ
1
=
OA.
8. Trong mặt phẳng
xoy
cho (P)
2
y x
và ĐT (d
1
)
2 8
y x
, (d
2
)
6
y x
. Chứng tỏ:
(d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm thuộc (P)
2
y x
C. (P) và (d) giao nhau có liên quan đến dấu của hoành độ giao điểm:
1. (P)
2
y x
và (d)
y x m
. Tính m để:
a. (d) và (P)
2
y x
cắt nhau tại 2 điểm không có điểm nằm trên trục tung.
b. (d) và (P)
2
y x
cắt nhau tại 2 điểm, trong đó có 1 điểm là đỉnh của (P). Tính tọa
độ của giao điểm còn lại.
c. (d) và (P)
2
y x
cắt nhau tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.
d. (d) và (P)
2
y x
cắt nhau tại 2 điểm nằm bên phải trục tung được không? Tại sao?
e. (d) và (P)
2
y x
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nằm 2 bên trục tung?
- Gọi A là điểm bên trái, B là giao điểm bên phải. A
1
, B
1
là hình chiếu của A, B
lên trục hoành. So sánh:
1
OA
và
1
OB
2. (P)
2
y ax
(a > 0), (d)
2
2
y x a
(0 < a < 1)
a. Tính a? để (P)
2
y ax
và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B
b. CM: A và B cùng nằm bên phải trục tung.
3. (P)
2
2
y x
và (d)
2
1
y x m
a. Chứng tỏ (d) và (P)
2
2
y x
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi m.
b. CM: A, B nằm 2 bên trục tung.
D. Bài tập khác:
1. Cho (P)
2
2
y x
. Tìm trên đồ thị điểm có tổng tung độ và hoành độ là -1
2. (P)
2
1
2
y x
. Tìm trên đồ thị những điểm có tung độ gấp đôi hoành độ
3. (P)
2
2
y x
a. Tìm trên (P)
2
2
y x
các điểm cách đều 2 trục tọa độ.
Tìm trên (P)
2
2
y x
các điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng
√
5
4. Cho HPT:
(1)
x 1(2)
x y m
m y
. Tính m? để 2 ĐT có PT (1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm
thuộc (P)
2
2
y x
5. (P)
2
3
y x
và ĐT (d)
y x m
. Tính m? để (d) cắt (P)
2
3
y x
tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho OA ┴ OB.
E. Chứng minh: Đường thẳng và Parabol qua điểm cố định:
1. CM: ĐT luôn qua điểm cố định với mọi m:
a.
( 1) 2 1
m x y
b.
( 1) 1
y m x m
2.
2
( 3) 1 6
y mx m x m
. CM: Đồ thị luôn qua 2 điểm cố định với mọi m.
3. (P)
2
1
2
y x
. CM: ĐT
2 2
y mx n
luôn qua điểm cố định thuộc (P)
4. (P)
2
1
4
y x
và (d)
2 1
y mx m
. Chứng tỏ (d) luôn qua một điểm cố định thuộc (P)
F. Nghiệm chung của 2 PT
1. Cho các PT:
2
3 2 0
x x
(1) và
2
3 0
x x m
(2). Tính m để PT có ít nhật 1
nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
2.
2
1 0
x mx
và
2
0
x x m
. Tính m để PT có 1 nghiệm chung.
3.
2
2 1 0
x mx
và
2
2 0
mx x
. Tính m để PT có 1 nghiệm chung.
G. Áp dụng định lý viét
A. Tính nhẩm nghiệm PT bậc 2:
a.
2
7 9 2 0
x x
b.
2
23 9 32 0
x x
c.
2
6 8 0
x x
d.
2
1 3 11
0
3 2 6
x x
e.
2
2 3 6 0
x x
f.
2
5 2 5 2 10 0
x x
g.
2
2 3 1 0
x m x m
h.
2
( 1) (2 1) ( 2) 0
m x x x m
i.
2
5 10 2 0
x x
(*)
j.
2
13 16 0
x x
(Không giải). Tính các giá trị của biểu thức sau:
A =
2 2
1 2
x x
B =
1 2
1 1
x x
C =
1 2
x x
D =
3 3
1 2
x x
E =
1 2
x x
F =
2 2
1 2
x x
G =
1 2
2 1
x x
x x
B. Tính 2 số u, v trong mỗi trường hợp sau:
a. u + v = 14; u.v = 40
b. u + v = -7; u.v = 12
c. u + v = -5; u.v = -24
d. u + v = 4; u.v = 19
e. u – v = 10; u.v = 24
f. u
2
+ v
2
= 85; u.v = 18
g. u + v = 5;
+
=
h. u + v = -8; u
2
+ v
2
= 104
i. u – v = 10; u
2
+ v
2
= 58
C. Lập PT bậc 2
Dạng 1: a) x
1
= 3; x
2
= 5 b) x
1
=
√
2 ; x
2
=
√
5 c) x
1
= -5; x
2
=
d) x
1
= 3 -
√
5; x
2
= 3 +
√
5 e) x
1
= x
2
=
√
5 f) y
1
=
√
3 ; y
2
= 2
√
5
g) x
1
= 5 + 2
√
6; x
2
=
1
5 2 6
h) x
1
=
4 + 2
√
3; x
2
=
4 −2
√
3
i) x
1
= 4; x
2
= 1 -
√
2
Dạng 2: Cần Tính được 2 nghiệm rồi lập PT: Lập PT bậc 2 khi biết 2 nghiệm thõa:
a.
1 2
2 2
1 2
2
x x
x x
b.
1 2
1 2
2 5
3 3
x x
x x
Dạng 3: Cho PT bậc 2 (Thường có tham số), lập PT bậc 2 khác, có 2 nghiệm liên quan đến
2 nghiệm PT đã cho.
Cho PT:
2
3 0
x mx
có 2 nghiệm là x
1
và x
2
, lập PT bậc hai khác là 2 số được cho
trong mỗi trường hợp sau :
a.
1 2
;
x x
b.
1 2
2 ;2
x x
c.
1 2
1 1
;
x x
d.
1 2 2 2
2 ; 2
x x x x
Dạng 4: Không Tính 2 nghiệm, chỉ cần Tính tổng, tích. (Bài tập (B: Tính 2 số u và v). Áp
dụng lập PT)
Lập PT bậc 2 khi biết: Trung bình cộng 2 nghiệm là 4, trung bình nhân 2 nghiệm là 3
D. Cho hệ thức liên hệ 2 nghiệm, Tính tham số của PT bậc 2:
-
Lập ĐK PT có nghiệm (a, c trái dấu, Δ, Δ’ ≥ 0)
- Lập 3 PT:
ℎ
(
1
)
ổ
(
)
(2)
íℎ
(
)
(3)
- So ĐK
Dạng 1: Chọn 2 PT không chứa tham số giải hệ PT.
1. Tính m? để: x
1
– x
2
= 4
2.
2
5 0
x x m
Tính m? để: 6x
1
+ x
2
= 0
3.
2
2 3 0
x x m
Tính m? để:
2
1 2 1 2
2 12
x x x x
Dạng 2:
a. Sử dụng viét trong hệ thức đối xứng:
1.
2
3 0
x x m
Tính m để:
2 2
1 2
30
x x
2.
2
16 24 0
x x m
Tính m để:
2 2
1 2
5
4
x x
3.
2
3 4 5 0
x x m
Tính m để:
1 2
1 1 4
7
x x
4.
2
4 1 0
x x m
Tính m để:
1 2
2 1
10
3
x x
x x
5.
2
4 1 0
x x m
Tính m để:
2 2
1 2 1 2
2 0
x x x x
b.
Tổng tích đều chứa tham số - có hệ thức đối xứng.
1.
2 2
2 1 0
x m x m
2 2
1 2
10
x x
. Tính m?
2.
2
7 0
x mx m
2 2
1 2
10
x x
. Tính m?
3.
2
6 4 0
mx x
1 2
1
x x
. Tính m?
Dạng 3: Tổng tích đều chứa tham số không có hệ thức đối xứng.
1. Sử dụng a + b + c = 0
a.
2 2
2 1 0
x m x m
Tính m? để x
1
= 3x
2
b.
2
1 0
x mx m
Tính m? để x
1
– 2x
2
= 1
c.
2
1 2 2 3 0
m x m x m
Tính m? để
1 2
4 1 4 1 18
x x
2. Giải PT 3 ẩn:
a.
2
1 5 6 0
x m x m
Tính m để 4x
1
+ 3x
2
= 1
b.
2 2
2 1 2 0
x m x m
Tính m để x
1
= 2x
2
Dạng 4:
2
6 0
x x m
Tính m để
1 2
4
x x
Dạng 5: 1.
2 2
3 2 0
x x m m
Tính m để x
1
3
+ x
2
3
= 9
2.
2
2 1 3 0
x m x m
Tính m để
3 3
1 2 1 2
x x x x
3.
2
0
x x m
Tính m để
3 3 2 2
1 2 1 2 2 1
. .
x x x x x x
Dạng 6: 1.
2
1 2 0
x m x m
có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
là độ dài 2 cạnh góc
vuông của tam giác vuông cạnh huyền bằng 5. Tính m?
2.
2 2
3 0
x mx m m
(m>0) có 2 nghiệm x
1
, x
2
tương ứng với 2 cạnh góc
vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2. Tính m?
Dạng 7: 1.
2 2
3 1 2 0
x m x m m
Tính m để x
1
= x
2
2
2.
2 3
2 8 8 0
x m x m
Tính m để x
1
= x
2
2
3.
2
2
2 3 0
x mx m
Tính m để x
1
= x
2
2
4.
2 2
4 3 0
x x m m
Tính m để x
1
2
+ x
2
= 6
E. Tính tham số biết tổng hoặc tích 2 nghiệm: (Nhớ ĐK bài toán)
1. Cho PT:
2
2 1 2 1 0
x m x m
a. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm?
b. Tính m để PT có tổng 2 nghiệm = 10. Tính tích 2 nghiệm đó?
2. Cho PT:
2
2 1 2 4 0
x m x m
a. Chứng tỏ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt?
b. Tính m để tích 2 nghiệm bằng 5. Tính tổng 2 nghiệm?
3.
2 3
2 1 3 0
x m x m m
a. Tính m để PT có nghiệm?
b. Cho x
1
.x
1
= 4. Tính x
1
+ x
2
?
4.
2
1 2 1 0
m x mx m
a. Chứng tỏ PT có 2 nghiệm phân biệt với m ≠ 1
b. Tính m biết P = 5, Tính S?
5.
2
2 2 1 2 0
m x m x m
(m≠2): Chứng tỏ nếu PT có 2 nghiệm thì tổng
2 nghiệm không thể gấp đôi tích 2 nghiệm.
F. Tính tham số biết bất phương trình 2 nghiệm (Nhớ ĐK bài toán)
Dạng 1: Dùng a + b + c = 0; a – b + c = 0
1.
2
2 1 2 1 0
x m x m
Tính m để x
1
, x
2
< 2
2.
2
2 3 2 5 0
x m x m
Tính m để x
1
< 2 < x
2
3.
2
3 4 0
x m x m
Tính m để x
1
< 2 < x
2
Dạng 2: Lập tổng tích:
1.
2
2 1 2 11 0
x m x m
a. Tính m để: x
1
< 1 < x
2
b. Tính m để: x
1
, x
2
<2
2.
2
2 1 8 20 0
x m x m
. Tính m để x
1
, x
2
phân biệt đều lớn hơn 3
Dạng 3:
2 2
2 5 5 4 0
x m x m m
. Tính m để 2 nghiệm đều lớn hơn 4
Dạng 4:
2 2
2 3 3 0
x m x m m
. Tính m để 1 < x
1
< x
2
< 6
H. Viết phương trình đường thẳng:
A. Viết cả phương trình đường thẳng.
1. Có hệ số góc là m ≠ 0 và qua A (-2l -4)
2. Có hệ số góc là m ≠ 0 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 (tung độ
là -2)
3. Qua A (-2 ; -1) và song song với y = -2x – 1 (// x – y = 3)
4. Qua A (-1 ; 2) // phân giác góc I
5. // y = x – 2 và đồng quy với 2 ĐT y = 2x + 1, x – y = 2
6. Có tung độ góc là 2 và qua giao điểm 2 ĐT y = x + 2 và y = 2x – 5
7. Có tung độ góc là -1 và vuông góc với y = 2x + 2
8. Qua A (-2 ; 4) và cắt ĐT y = -2x + 4 tại điểm nằm trên trục hoành (tung)
9. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, cắt đường thẳng y = -x + 3 tại A
có hoành độ là -1 (tung độ bằng 4)
10. Qua 2 điểm :
- A (-5 ; 3) ; B (
; -1)
- C (2 ; -3) ; D (2 ; 4)
- E (1 ; 3) ; F (-2 ; 3)
11. Qua A (1 ; 3) và hợp với tia ox 1 góc 30
0
(120
0
)
12. Viết PTĐT y = (2a – 1)x + 3a biết ĐT qua A (-3 ; -6)
B. Tính giá trị n, m trong PTĐT :
1. (d
1
) y = mx + 4; (d
2
) y = 2x + m
2
. Tính m để 2 ĐT cắt nhau tại 1 điểm trên
trục tung.
2.
2
3a 5 2a 1
y a x
(d
1
) và
2 6 3
y a x a
(d
2
). Tính hệ số góc của (d
1
)
và (d
2
) để d
1
// d
2
- Tính m để ĐT
2 4
y x m
cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2
3. (d
1
)
2 5
y x
; (d
2
)
3
y mx
. Tính m để (d
1
), (d
2
) cắt nhau tại 1 điểm thuộc
phân giác I
4. (d)
5 2 10
y m x m
. Tính m để:
a. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9 (hoành độ là 10)
b. (d) //
2 2
y x
c. (d) tạo với ox 1 góc nhọn 60
0
(tù 135
0
)
d. (d) cắt ĐT
2 3
y x
tại điểm có hoành độ là 2 (tung độ là 4)
5.
1 4 4
y m x m
. Tính m để ĐT cắt trục hoành tại điểm x
o
< 0
6.
3 1
y m x m
(d
1
);
2
y m x m
(d
2
). Tính m để (d
1
) cắt (d
2
) tại 1 điểm
thuộc trục hoành.
C. Sử dụng HPT để tìm m, n
1.
3 1 4 2
y m x n
. Tính m? n? để đường thẳng qua (5 ; 3) và cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 2.
2. Cho 2 ĐT
1 5
y m x
(d
1
) và
2
y x n
(d
2
). Tính m? n? để:
a. (d
1
) cắt (d
2
) tại (2 ; 1)
b. (d
1
) // (d
2
)
c. (d
1
) trùng (d
2
)
d. (d
1
) cắt (d
2
)
3. Tìm m? n? để ĐT
8
mx y n
qua M (9 ; -6) và đồng quy vớ
i 2 ĐT
5y + 2x = 17; 4x – 10y = 14
4. Tìm giao điểm của 2 ĐT (d
1
) ax + 2y = 3; (d
2
) 3x + by = 5, biết (d
1
) qua M (3
; 9), (d
2
) qua N (-1 ; 2)
5.
2 2
y m x
(d). Tính m, n (m ≠ 0) để:
a. (d) qua 2 điểm A (-1 ; 2); B (3 ; -4)
b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ là -2
c. Song song với ĐT
3 2 1
x y
và cắt ĐT
2 2 0
y x
tại trục tung.
D. Viết PTĐT và (P) có liên quan nhau:
1. Cho (P)
2
y x
và (d)
y x m
. Tính m để :
a. (d) cắt (P)
2
y x
tại 2 điểm phân biệt.
b. (d) tiếp xúc với (P)
2
y x
. Tính tọa độ tiếp điểm.
c. (d) và (P)
2
y x
không có điểm chung.
2. Viêt PTĐT (d) biết :
a. (d) // y = 2x + 1, tiếp xúc với (P)
2
y x
b. (d) ┴ y = x + 1, tiếp xúc với (P)
2
2
y x
c. (d) qua A (0 ;1), tiếp xúc với (P)
2
1
2
y x
d. (d) qua A (2 ; 0) tiếp xúc với (P)
2
1
2
y x
e. (d) qua A (3 ; 9) tiếp xúc với (P)
2
y x
f. (d) qua A (1 ; 1) cắt ox tại M biết x
M
= m
- Viết PTĐT (d)
- Tính m để (d) tiếp xúc với (P)
2
y x
3. Cho (P)
2
1
4
y x
, M thuộc (P) có x
M
= 4. Viết PTĐT (d) // với OM và tiếp xúc
với (P)
4. Cho (P)
2
2
y x
, A, B thuộc (P)
2
2
y x
; x
A
= 1, x
B
= -2.
- Viết PTĐT AB
- Cho (d) y = mx + n biết (d) // AB và tiếp xúc với (P). Tính m, n?
5. (P)
2
y x
và (d) y = -x + 1. Viết PTĐT Δ // (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ
là 2 (hoành độ là 1)
6. (P)
2
y ax
, (d) y = 2x + m. Tính a, m biết chúng tiếp xúc nhau tại điểm có
hoành độ là 2.
7. (P)
2
2
y x
và M(1 ; -7)
a. Viết PTĐT (d) qua M và có hệ số góc m.
b. Chứng tỏ (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi.
8. :
a. Viết PTĐT (d) qua A (
; -2) có hệ số góc là 4
b. Chứng tỏ (d) tiếp xúc với (P)
2
y x
9. Cho (P)
2
2
y x
và A thuộc (P) có x
A
= 1
a. Viết PTĐT (d) qua A có hệ số góc là -4
b. CM: A là tiếp điểm của (d) và (P)
10. (P)
2
y ax
(a ≠ 0). Tính a ? để (P) tiếp xúc với ĐT (d) y = x – 1. Tính tọa
độ tiếp điểm?
11. (P)
2
y ax
. Tính a để (P) cắt (d) y = -2x + 3 tại điểm có hoành độ là 1
I. PT Bậc 2 liên quan đến dấu của nghiệm :
A. Hai nghiệm cùng dấu :
Dạng 1 : Hai nghiệm cùng dấu :
Δ≥0
> 0
1. Cho PT :
2
2 1 2 5 0
x m x m
a. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm ?
b. Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dấu ? Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
-
2
7 23 0
x mx
: PT này có 2 nghiệm cùng dấu được không ? Tại Sao ?
2.
2
2 4 5 0
x mx m
. Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dấu ?
Dạng 2 : 2 nghiệm cùng dấu dường :
Δ≥0;Δ> 0
> 0
> 0
dạng a + b +c = 0
1.
2
1 0
x m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương.
- (Tương tự) :
2
2 2 0
x m x m
2.
2
3 4 2 1 0
x x m
.
a. Tính m để PT có 2 nghiệm ?
b. 2 nghiệm có cùng âm được không ?
c. Tính m để PT có 2 nghiệm cùng dương ?
3.
2 2
2 1 4 5 0
x m x m m
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều dương.
Dạng 3 : 2 nghiệm cùng dấu âm :
Δ≥0;Δ> 0
> 0
< 0
dạng a – b +c = 0
1. (*)
2
1 2 1 0
m x mx m
. Tính m để PT có 2 nghiệm âm ?
2.
2
2 3 4 8 0
x m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt cùng dương ?
3.
2 2
3 1 2 18 0
x m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt cùng âm ?
4. (*)
2 2
2 1 6 0
x m x m m
. (Phải giải PT) Tính m để PT có 2 nghiệm
cùng âm ?
5.
2
2 2 0
mx m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt đều âm ?
6.
2
5x 2 0
x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt ? Chứng tỏ PT không
thể có 2 nghiệm cùng âm ?
Dạng 4 : 2 nghiệm nghịch đảo :
Δ≥0;Δ> 0
P = 0
1.
2
5 2 6 5 0
x m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm nghịch đảo nhau ?
2.
2 2
2 1 4 4 0
x m x m m
. Tính m để PT có 2 nghiệm nghịch đảo nhau ?
B. 2 nghiệm trái dấu :
Dạng 1 : 2 nghiệm trái dấu :
,áấ
< 0
1.
2
2 1 4 0
x m x m
.
a. Chứng tỏ PT luôn có 2 nghiệm phân biệt ?
b. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?
2.
2 2
1 5 0
m x m x
. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?
3.
2 2
2 1 3 0
x m x m m
. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu ?
4.
2 2
3 1 4 3 0
x m x m m
. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu.
- (Tương tự) :
2 2
2 1 4 16 0
x m x m
5.
2 2
2 1 3 0
x m x m
.
a. Tính m để PT có 2 nghiệm phân biệt ?
b. Chứng tỏ PT không thể có 2 nghiệm trái dấu ?
6.
2 2
1 2 0
x m x m m
. Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu ?
Dạng 2 : 2 nghiệm trái dấu – so sánh giá trị tuyệt đối của 2 nghiệm :
A. Giá trị tuyệt đối nghiệm dương > giá trị tuyệt đối của nghiệm âm :
<0
> 0
B. Giá tị tuyệt đối nghiệm âm > giá trị tuyệt đối của nghiệm dương :
<0
< 0
1.
2 2
10 1 0
x x m
.
a. Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu ?
b. Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
2.
2
2 2 2 0
x m x m
.
a. Chứng tỏ PT luôn có nghiệm với mọi m ?
b. Tính m để PT có 2 nghiệm trái dấu và giá trị tuyệt đối nghiệm âm nhỏ hơn
giá trị tuyệt đối nghiệm dương.
3.
2 2
3 2 5 0
x x m
.
a. Chứng tỏ PT có 2 nghiệm trái dấu với mọi m ?
b. Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Dạng 4 : 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối (2 nghiệm đối nhau) :
< 0
=0
1.
2
2 3 1 8 1 0
x m x m
. Tính m để 2 nghiệm đối nhau ?
2.
2
2 1 3 0
x m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm đối nhau ?
- (Tương tự) :
2
1 0
x m x m
3. (*)
2 2
3 4 0
x m m x m
. Tính m để PT có 2 nghiệm đối nhau ?
J. Tính tham số để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Dạng 1 : Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất : (Phải có điều kiện) :
1.
2
1 2 1 0
x m x m
. Tính m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, Tính giá trị
nhỏ nhất đó.
2.
2
2 0
x ax a
. Tính a để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, Tính giá trị nhỏ nhất
đó.
3.
2
0
x mx n
. Với n = m – 2. Tính m? n? để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
4. Hình cầu có R = x
2
– 4x + 5. Tìm x để thể tích đạt giá trị nhỏ nhất?
Dạng 2 : Biểu thức đạt giá trị lớn nhất:
1.
2
1 3 0
x m x m
.
a. CM: PT luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
1 2
1
A x x
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a.
2
4 3
A x x
b.
2
B x x
c.
2
2 2 5
C x x
K. Giải phương trình
1.
2
2 2 1 2 2 0
x x
(x ∈Q)
2.
2
2 3 2 3 0
x x
(x ∈Q)
3.
2
2 1 2 4 2 0
x x
(x ∈ z)
4.
2
4 2 1 3 3 0
x x
5.
2 3 0
x x
6.
2
1
0
4
x x
7.
2
2 3 1 0
x x
8.
1 2 3 4 24
x x x x
9.
4 2
3 5 2 0
x x
10.
4 2
2 10 0
x x
G. Phương trình trùng phương
2 2
0
ax bx c
. Đặt t = x
2
≥ 0. PT ẩn số phụ at
2
+ bt + c =0
1. Để PT trùng phương vô nghiệm: (*) Tính m để
2
6 1 0
x x m
. Có 3 trường
hợp
1.
PT bậc 2 (*) vô nghiệm (Δ, Δ’ <0)
2. PT bậc 2 (*) có 2 nghiệm âm (Δ
≥
0, P > 0, S < 0)
3. PT bậc 2 (*) có nghiệm kép âm (Δ = 0, P > 0, S < 0)
2. Để PT trùng phương có 2 nghiệm phân biệt: Có 2 trường hợp:
1.
PT bậc 2 (*) có 1 nghiệm dương (a, c trái dấu; P < 0)
2. PT bậc 2 (*) có nghiệm kép dương (Δ = 0, P > 0, S > 0)
VD: Tính m để
4 2
6 1 0
x x m
3. Để PT trùng phương có 4 nghiệm: PT bậc 2 (*) có 2 nghiệm phân biệt đều dương.
Δ> 0
> 0
> 0
- Tính m để
4 2
6 1 0
x x m
có 4 nghiệm.
- Tính m để
4 2
1 0
x mx
có 4 nghiệm.
4. Để PT trùng phương có 3 nghiệm: PT bậc 2 (*)
=0
.> 0(,áấ)
- Tính m để
4 2
4 1 0
x x m
có 3 nghiệm
5. Để PT trùng phương có 1 nghiệm: PT bậc 2 (*)
=0
.> 0(,ùấ)
- Tính m để
4 2
4 1 0
x x m
có 1 nghiệm
H. Phương trình bậc 2 có tham số:
Dạng 1: Biêt 2 nghiệm: Lập tổng – tích: Tính m? n?
1.
2
3 3
x m x n
có 2 nghiệm là x
1
= 1; x
2
= -1
2.
2
. 1 0
mx m n x n
(m ≠ 0) Có nghiệm kép = ½
3.
2
0
x mx n
(m, n ≠ 0) nhận m, n làm nghiệm.
4.
2
2 3 2 0
x m x n
có 2 nghiệm là x
1
= 1 ; x
2
= 2
Dạng 2 : Giải các PT sau :
1.
2
3 0
x mx n
có 2 nghiệm thỏa hệ thức:
1 2
2 2
1 2
1
7
x x
x x
2.
2
0
x mx n
có 2 nghiệm thỏa hệ thức:
1 2
2 2
1 2
1
7
x x
x x
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
I. 3 điểm thẳng hàng
Dạng 1: CM: 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
1. A (1 ; 2); B (2 ; 3); C (-2 ; -1)
2. B (-2 , 7); B (2 , 3); C (6 , K). Tính K để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh:
1. (P)
2
y x
và (d) y = x + 6
a. Tìm giao điểm A, B của (d) với trục tung và trục hoành.
b. C ∈ (P) có x
C
= 3. CM: A, B, C thẳng hàng.
2. M (4 ; -2); N(3 ; 1). Tìm:
a. A trên trục tung để 3 điểm M, N, A thẳng hàng.
b. B trên trục hoành để 3 điểm M, N, B thẳng hàng.
J. 3 đường thẳng đồng quy
Dạng 1: Tính K? a? để 3 ĐT đồng quy (Cùng đi qua 1 điểm)
a.
1
2
3
2 3
3 2
2
y x
y x
y Kx
b.
2 3
3 2 3
2 1 7
x y
x y
a x y a
Dạng 2: Tính
1. y = 2x + 5 (d
1
); y = mx – 2 (d
2
). Tính m để (d
1
), (d
2
) đồng quy với tia phân giác
2. x + y = 2m (d
1
) ; mx + y = 2 (d
2
). Tính m để (d
1
) cắt (d
2
) tại 1 điểm thuộc (P)
2
2
y x
Dạng 3 : CM: 3 đường thẳng đồng quy :
1. M (1 ; 2) ; A (2 ; 1) ; B (0 ; 3) và ĐT (d) x – y =-1. CM: 3 ĐT OM, AB, (d)
đồng quy.
2. A (-2 ; 1) ; B (2 ; 5) ; C (-1 ; 2). CM: với mọi giá trị của m thì ĐT
2
mx y m
đồng quy AB, OC.
K. Hàm số bậc nhất
Dạng 1 : Xác định a, b của hàm số bậc I, xét biến thiên của hàm số :
1.
3 2 1
y x
2.
2 1
y x x
3.
3 2 1
x y
Dạng 2 : Tính m để hàm số là hàm số bậc I :
1.
3
y mx
2.
2 1
y mx x
3.
3 1
y m x
4.
2 2
4 2 3
y m x m x
5.
1
4
2
y x
m
Dạng 3 : Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biên :
a.
1 2
y m x
b.
3 3
y mx x
c.
2
2 1 3
y m m x
d.
2
1 3
y m x
Dạng 4 :
1. Chứng tỏ hàm số sau luôn đồng biến với mọi m :
a.
2
2 4 5
y m m x m
b.
2 2
3 1
y m m x m
2.
2
2 3
y m m x m
luôn nghịch biến với mọi m :
H. Hàm số bậc 2
1. Tính m để hàm số là hàm số bậc 2 :
a.
2
3
y m x
b.
2 2
2
y x mx
2. Tính m để hàm số đồng biến, nghịch biên :
2
2 1
y m x
nếu x > 0
3. Xét biến thiên của hàm số sau :
2
2
y x
;
2
1
4
y x
4. CM: Hàm số sau luôn đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 :
2 2
6 10
y m m x
5. Tính m để
2
5 2
y m x
đồng biến với x < 0
L. Lượng giác
Dạng 1 : Tính
1. tg
2
α– sin
2
α .tg
2
α
2. (Sin α + cos α)
2
+ (sin α – cos α)
2
3. Sin
4
α + cos
4
α + 2sin
2
α .cos
2
α
4. Cos
4
α + sin
2
α . cos
2
α + sin
2
α
5. Sin
6
α + cos
6
α + 3sin
2
α . cos
2
α
6. 1 – sin
2
α
7. (1 – cosα)(1+ cosα)
8. 1 + sin
2
α + cos
2
α
9. Sin α – sin α . cos
2
α
10. Cos
2
α + tg
2
α .cos
2
α
11. tg
2
α (2cos
2
α + sin
2
α – 1)
12. Sin
2
α (1 + cotg
2
α)
13. Cos
4
α – sin
4
α +2 sin
2
α
14. 2(sin
6
α + cos
6
α) – 3(sin
4
α +cos
4
α)
15. (tg α +cotg α)
2
– (tg α – cotg α)
2
16. Sin
6
α +cos
6
α – 2sin
4
α – cos
4
α
17.
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
18.
1 2sin .cos
sin cos
19. cotg α +
20.
2 2
1 cos 1 cos
1 sin cos
21. (Sin
4
α + cos
4
α – 1)(tg
2
α + cotg
2
α + 2)
22.
2 2 2 2
2 2
cos sin
sin cos
tg cotg
23.
2 2
2
cos sin .cos
cotg
cotg cotg
Dạng 2:
1. Cho sin α =
.
Tính
cos α, tg α, cotg α ?
2. Cho cos α =
.
Tính
sin α, tg α, cotg α ?
3. Cho cotg α =
.
Tính
cos α, sin α, tg α ?
Dạng 3: So sánh:
1. Sin 25
0
và sin 50
0
2. tg 38
0
và sin 38
0
3. cotg 73
0
và sin 17
0
4. tg 34
0
vaf cos 50
0
5. cos 71
0
và cos 50
0
Dạng 4: Tính
A = Sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+ sin
2
80
0
+ sin
2
70
0
+ sin
2
60
0
B = Sin
2
34
0
+
0
0
sin58
sin32
. cotg58
0
+ sin
2
56
0
-
0
0
cos25
cos65
.tg 25
0
