Tóm tắt toán hình học lớp 11 h20 khoảng cách

KHOẢNG CÁCH
I. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng khoảng cách từ điểm O đến
hình chiếu vuông góc H của O lên đường thẳng a. Kí hiệu d  O,a   OH
d  O,a  là khoảng cách ngắn nhất từ điểm O đến một điểm M bất kì trên a.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm O đến
hình chiếu vuông góc H của O lên mặt phẳng    . Kí hiệu d  O,      OH .
d  O,     là khoảng cách ngắn nhất từ điểm O đến một điểm M bất kì trên

mặt phẳng    .
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG –
GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    . Khoảng cách từ đường thẳng
a đến mặt phẳng    bằng khoảng cách từ điểm A trên đường thẳng a đến hình
chiếu vuông góc A’ của A lên mặt phẳng    .
Kí hiệu: d  a,      d  A,      AA ', A     .
d  a,     là khoảng cách ngắn nhất kể từ một điểm M trên đường thẳng a đến

một điểm N nằm trên mặt phẳng    .

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng    và    song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng   
và    bằng khoảng cách từ điểm M     đến hình chiếu vuông góc M’ của M
lên mặt phẳng    .
Kí hiệu: d     ,    d M,     MM',M    

d     ,    là khoảng cách ngắn nhất kể từ một điểm A     đến một điểm
B   .


3. Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng    :
Bước 1: Tìm mặt phẳng    chứa M và       .
Bước 2: Xác định giao tuyến d        .
Bước 3: Từ điểm M trong mặt phẳng    , vẽ MM'  d tại M’.
Khi đó: MM'    và suy ra M’ là hình chiếu vuông góc của M lên    .

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = 2a.
a) Tính khoảng cách từ A đến SC, từ A đến mặt (SCD).
b) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC).
III. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU

1. Định nghĩa:
Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc
với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại
M, N thì độ dài đoạn MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

2. Cách tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b
Bước 1: Tìm mặt phẳng    chứa b và a

 .

Bước 2: Tìm a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng    .
Vì a



nên a // a’.

Bước 3: Gọi mặt phẳng    chứa 2 đường thẳng a, a’        .
Bước 4: Gọi N  a' b và  là đường thẳng qua N và     . Đường thẳng
     nên   a  M . Đường thẳng  cắt a, b và vuông góc với cả

a và b nên  là đường vuông góc chung của a và b.

3. Cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung. Khoảng cách bằng đoạn vuông góc chung.
Cách 2: Tìm mặt phẳng chứa b và song song với a. Khoảng cách giữa a và b
bằng khoảng cách từ a đến mặt phẳng song song.
Cách 3: Tìm hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b. Khoảng cách giữa
a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt song song.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt (ABCD), SA = a.
a) Chứng minh BD vuông góc (SAC).
b) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC