- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề thi thử THPT 2017 môn Toán trường THPT chuyên Quang Trung Bình Phước Lần 3 File word Có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (589.35 KB, 26 trang )
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2017
THPT CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH
PHƯỚC- LẦN 3
Banfileword.com
BỘ ĐỀ 2017
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút;
(50 câu trắc nghiệm)
Câu 1:
Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ
27 3
3 3
9 3
3 3
a .
A. V =
B. V =
C. V = a .
D. a .
a .
8
2
4
4
Câu 2:
Cho a, b > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a ln b = b ln a .
B. ln 2 (ab) = ln a 2 + ln b 2 .
a ln a
C. ln ÷ =
.
b ln b
1
D. ln ab = (ln a + ln b ) .
2
Câu 3:
∫ ( x − sin 2 x ) dx
Tính
x2
A.
+ sin x + C .
2
x2
B.
+ cos 2 x + C .
2
1
C. x + cos 2 x + C .
2
x2 1
D.
+ cos 2 x + C .
2 2
2
Câu 4:
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ)
quanh trục DF
10π a 3
10π a 3
A.
.
B.
.
9
7
C.
Câu 5:
Câu 6:
5π a 3
.
2
D.
F
a
β = 30°
A
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C ) như hình vẽ.
Hỏi (C ) là đồ thị của hàm số nào?
B
a
a
C
D
y
π a3
.
3
A
O
1
x
−1
A. y = ( x − 1)3 .
B. y = x 3 + 1 .
C. y = x 3 − 1 .
D. y = ( x + 1)3 .
Tìm m để bất phương trình 1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) thoã mãn với mọi x ∈ ¡ .
A. −1 < m ≤ 0 .
B. −1 < m < 0 .
C. 2 < m ≤ 3 .
D. 2 < m < 3 .
e3 x −( m −1) e x +1
Câu 7:
E
4
Cho hàm số y =
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) .
÷
2017
A. 3e3 + 1 ≤ m < 3e 4 + 1 . B. m ≥ 3e 4 + 1 .
C. 3e 2 + 1 ≤ m ≤ 3e3 + 1 .
D. m < 3e 2 + 1 .
Trang 1
Câu 8:
4x
và đường thẳng ∆ : y = x + 1 .
x +1
B. ( 2;3) .
C. ( 1; 2 ) .
D. ( 1;3) .
Tìm giao điểm của đồ thị ( C ) : y =
A. ( 0;1) .
Câu 9:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , thể tích khối chóp là a 3 . Tính
chiều cao h của hính chóp.
A. h = a .
B. h = 2a .
C. h = 3a .
D. h = 4a .
Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho M ( −2;3;1) , N ( 5;6; − 2 ) . Đường thẳng qua M ,
N cắt mặt phẳng ( xOz ) tại A . Khi đó điểm A chia đoạn MN theo tỷ số nào?
1
−1
1
A. .
B. 2 .
C.
.
D. .
4
4
2
x +1
= y + 1 = z − 3 và mặt phẳng
2
( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất
có phương trình
Câu 11: Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
B. x + y − z + 2 = 0.
A. x − z + 3 = 0.
C. x − y − z + 3 = 0.
D. y − z + 4 = 0.
Câu 12: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp
trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất,
biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3 .
A. 1 dm.
Câu 13: Cho hàm số y =
B. 1,5 dm.
C. 2 dm.
D. 0,5 dm.
4 x2 − x + 1
. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là
2x +1
1
B. y = − .
C. y = 1.
D. y = 1, y = −1.
2
Câu 14: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất
1, 65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số
vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
A. y = 2.
A. 4 năm 1 quý
Câu 15: Cho hàm số y = x +
A. x = −4.
Câu 16: Tìm khẳng định sai.
B. 4 năm 2 quý
C. 4 năm 3 quý
D. 5 năm
4
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
x
B. x = 4.
C. x = 2.
A. ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
B.
D. x = −2.
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, a < c < b
.
C.
∫ f ( x ) g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
D.
∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c .
Câu 17: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ.
Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
Trang 2
0,5m
2m
5m
0,5m
A. 19m3 .
19m
0,5m
B. 21m3 .
C. 18m3 .
D. 40m3 .
Câu 18: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình ( H ) quanh Ox với ( H ) được giởi hạn bởi
đồ thị hàm số y = 4 x − x 2 và trục hoành.
35π
31π
A.
B.
3
3
C.
32π
3
D.
34π
3
x3 3 2
− x + 4 x + 2017 . Định m để phương trình y ′ = m 2 − m có đúng hai
3 2
ngiệm thuộc đoạn [0; m] .
Câu 19: Cho hàm số y =
1+ 2
;2÷
A.
÷.
3
1− 2 2
;2÷
B.
÷.
3
1− 2 2
;2÷
C.
÷.
2
1+ 2 2
; 2 .
D.
2
Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC = 120° , tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
41
37
39
35
A.
B.
C.
D.
a.
a.
a.
a.
6
6
6
6
Câu 21: Cho các số thực a, b, m, n với ( a, b > 0 ) . Tìm mệnh đề sai:
m
m
a
A. ( a ) = a .
B. ÷ = a m .b − m .
C. a 2 = a .
D. ( ab ) = a m .b m .
b
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 2;6; −3) và các mặt phẳng
m n
m+n
( α ) : x − 2 = 0, ( β ) : y − 6 = 0, ( γ ) : z + 3 = 0 . Tìm mệnh đề sai:
A. ( γ ) //Oz .
B. ( β ) // ( xOz ) .
C. ( α ) qua I .
D. ( α ) ⊥ ( β ) .
Câu 23: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình nón theo a .
2a
a
2a
a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3 3
3 3
3
Câu 24: Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y 2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m để tồn tại duy nhất
cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 .
Trang 3
(
C. (
A.
)
2)
2
10 − 2 .
10 −
2
B. 10 − 2 và 10 + 2 .
và
(
)
2
10 + 2 .
D. 10 − 2 .
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2; −5 ) . Gọi M , N , P là hình chiếu của A
lên các trục Ox, Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng ( MNP ) là
y z
y z
A. x + − = 1 .
B. x + 2 z − 5 z + 1 = 0 . C. x + 2 y − 5 z = 1 .
D. x + − + 1 = 0 .
2 5
2 5
2
x + mx + 1
Câu 26: Để hàm số y =
đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?
x+m
A. ( 0; 2 ) .
B. ( −4; −2 ) .
C. ( −2;0 ) .
D. ( 2; 4 ) .
Câu 27: Cho
f ,g
là
hai
hàm
liên
tục
trên
[ 1;3]
3
thỏa:
∫ f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 .
1
3
3
∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫ f ( x ) + g ( x ) dx .
1
1
A. 8.
B. 9.
C. 6.
D. 7.
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
của d lên mặt phẳng ( Oxy ) là
x = 0
A. y = −1 − t .
z = 0
x = 1 + 2t
B. y = −1 + t .
z = 0
x −1 y +1 z − 2
=
=
. Hình chiếu
2
1
1
x = −1 + 2t
C. y = 1 + t .
z = 0
Câu 29: Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y =
x = 1 − 2t
D. y = −1 + t .
z = 0
x3
− 2 x 2 + 3 x − 5 . Mệnh đề nào sau
3
đây là đúng ?
A. ∆ song song với đường thẳng d : x = 1 .
B. ∆ song song với trục tung.
C. ∆ song song với trục hoành.
D. ∆ có hệ số góc dương.
Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + 2i ) = 4 − 3i . Tìm số phức z là liên hợp của z .
−2 11
2 11
2 11
−2 11
− i.
+ i.
A. z =
B. z = − i .
C. z = + i .
D. z =
5 5
5 5
5 5
5 5
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho I ( 0; 2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc
với trục Oy là:
A. x 2 + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 3 .
B. x 2 + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4 .
C. x 2 + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 .
D. x 2 + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 2 .
2
2
2
Câu 32: Cho f ( x) =
2
2
(2
x +1
x
2
2
)
2
2
x 2 + 1 + 5 , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa
3
F ( 0 ) = 6 . Tính F ÷.
4
Trang 4
A.
125
.
16
B.
126
.
16
C.
123
.
16
D.
127
.
16
Câu 33: Cho đường thẳng d 2 cố định, đường thẳng d1 song song và cách d 2 một khoảng cách không
đổi. Khi d1 quay quanh d 2 ta được:
A. Hình trụ.
B. Mặt trụ.
C. Khối trụ.
D. Hình tròn.
2
2
Câu 34: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2 sin x + 2cos x
A. 3 .
B. 2 .
D. 5 .
C. 4 .
2x −1
( C ) . Gọi S là diện tích hình chữ nhật được tạo bởi 2 trục tọa độ và 2
x −1
đường tiệm cận của ( C ) . Khi đó giá trị của S là:
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1.
Câu 35: Cho hàm số y =
Câu 36: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150 m3 . Đáy bể làm bằng bê tông giá 100 000 đ /m 2 .
Phần thân làm bằng tôn giá 90 000 đ /m2 , nắp bằng nhôm giá 120 000 đ /m 2 . Hỏi khi chi phí sản
suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
22
9
31
21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
22
22
32
Câu 37: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , ab ≠ 0 ) ,
M ′ là diểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M ′ đối xứng với M qua Oy .
B. M ′ đối xứng với M qua Ox .
D. M ′ đối xứng với M qua đường thẳng y = x
C. M ′ đối xứng với M qua O .
.
Câu 38: Cho hàm số y = e x + e − x . Tính y ′′ ( 1) = ?
1
1
A. e + .
B. e − .
e
e
1
C. −e + .
e
1
D. −e − .
e
C. ( − log 5 3;0 ) .
D. ( log 3 5;0 ) .
2
Câu 39: Tìm tập S của bất phương trình: 3x.5 x < 1 .
A. ( − log 5 3;0] .
B. [ log 3 5;0 ) .
2
Câu 40: Số nghiệm của phương trình log 2 ( x − 3 ) − log 2 ( 6 x − 10 ) + 1 = 0 là
A. Vô nghiệm.
B. 1.
C. 2 .
Câu 41: Cho hàm số y =
A. ( 1;3) .
D. 3 .
x3
1
− 2 x 2 + 3x − . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
3
3
B. ( −1;1) .
C. ( −1;0 ) .
D. ( 0;3) .
Câu 42: Cho hàm số y = log 1 x . Khảng định nào sau đây sai
5
−1
.
x ln 5
A. Hàm số có tập xác định là D = ¡ \ { 0} .
B. y ′ =
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định.
.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy
Trang 5
x = t
x = 0
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho hai đường thẳng d1 : y = −t và d 2 : y = 2 .
z = 1
z = t′
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d1 // d 2 .
B. d1 và d 2 chéo nhau.
C. d1 và d 2 cắt nhau.
D. d1 ≡ d 2 .
Câu 44: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 , z2 ≠ 0 ; z1 + z2 ≠ 0 và
A.
2
.
2
B.
3
.
2
1
1 2
z
= + . Tính 1
z1 + z2 z1 z2
z2
C. 2 3 .
D.
2
.
3
Câu 45: Trên trường số phức £ , cho phương trình az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 ) .
Chọn khẳng định sai:
b
A. Phương trình luôn có nghiệm.B. Tổng hai nghiệm bằng − .
a
c
C. Tích hai nghiệm bằng .D. ∆ = b 2 − 4ac < 0 thì phương trình vô nghiệm.
a
Câu 46: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 4 = 0 . Tính z1 + z2 .
A. 2 3.
B. 4.
C. 4 3.
D. 5.
10
+ 1 − 3i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số
z
phức w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó.
Câu 47: Cho thỏa mãn z ∈ £ thỏa mãn ( 2 + i ) z =
A. I ( −1; −2 ) , R = 5.
B. I ( 1; 2 ) , R = 5.
C. I ( −1; 2 ) , R = 5.
D. I ( 1; −2 ) , R = 5.
2
Câu 48: Giả sử
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln 2 + b, ( a; b ∈ ¤ ) . Khi đó a + b ?
1
5
A. .
2
B. 2.
C. 1.
D.
3
.
2
Câu 49: Cho hàm số y = x 2 + 3 − x ln x . Gọi M ; N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên đoạn [ 1; 2] . Khi đó tích M .N là:
A. 2 7 + 4 ln 5.
B. 2 7 − 4 ln 2.
C. 2 7 − 4 ln 5.
D. 2 7 + 4 ln 2.
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,
D ( 3;1; 4 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?
A. 1.
B. 4.
C. 7.
--- HẾT ---
Trang 6
D. Vô số.
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2017
THPT CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH
PHƯỚC- LẦN 3
Banfileword.com
BỘ ĐỀ 2017
MÔN TOÁN
BẢNG ĐÁP ÁN
1-D
2-A
3-D
4-A
5-A
6-C
7-B
8-C
9-C
10-D
11-
12-A
13-D
14-A
15-C
16-C
17-C
18-C
19-D
20-C
21-A
22-A
23-D
24-A
25-A
26-B
27-C
28-B
29-C
30-D
31-C
32-A
33-B
34-A
35-B
36-A
37-B
38-A
39-C
40-B
41-A
42-A
43-B
44-A
45-D
46-B
47-C
48-D
49-B
50-C
Banfileword.com
BỘ ĐỀ 2017
MÔN TOÁN
Câu 1:
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2017
THPT CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH
PHƯỚC- LẦN 3
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ
27 3
3 3
9 3
3 3
a .
A. V =
B. V =
C. V = a .
D. a .
a .
8
2
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120° .
ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
S ABC = S DEF =
1
a2 3
a.a.sin120° =
2
4
Trang 7
1
2
2
AC = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.cos B = a + a − 2.a.a. − ÷ = a 3
2
S ACDF = AC. AF = a 3.a = a 2 3
S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF =
a2 3
a 2 3 3a 2 3
+ a2 3 +
=
4
4
2
· ' BH = 60° ⇒ B ' H = BB '.sin 60° = a 3
B
2
Suy ra
Câu 2:
V = BH '.SABCDEF = a 3.
3a2 3 9 3
= a
4
4
Cho a, b > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a ln b = b ln a .
B. ln 2 (ab) = ln a 2 + ln b 2 .
a ln a
C. ln ÷ =
.
b ln b
1
D. ln ab = (ln a + ln b ) .
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
ln a
ln b
ln a
ln b
Ta có ln a.ln b = ln b.ln a ⇔ ln ( b ) = ln ( a ) ⇔ b = a
Câu 3:
Tính ∫ ( x − sin 2 x)dx
A.
x2
+ sin x + C .
2
B.
1
2
C. x + cos 2 x + C .
2
x2
+ cos 2 x + C .
2
x2 1
D.
+ cos 2 x + C .
2 2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có ∫ ( x − sin 2 x)dx = ∫ xdx − ∫ sin 2 xdx =
Câu 4:
x2 1
+ cos 2 x + C .
2 2
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF
10π a 3
A.
.
9
10π a 3
B.
.
7
5π a 3
C.
.
2
Trang 8
π a3
D.
.
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
a 3
3
Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích
Ta có EF = AF .tan β = a.tan 30° =
2
1
1 a 3
π a3
V1 = π .EF 2 . AF = π .
.
a
=
÷
3
3 3 ÷
9
Khi quay quanh trục DF , hình vuông ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích
V2 = π .DC 2 .BC = π .a 2 .a = π a 3
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là
π a3
10
V = V1 + V2 =
+ π a3 = π a3
9
9
Câu 5:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C ) như hình vẽ
Hỏi (C ) là đồ thị của hàm số nào?
A. y = ( x − 1)3 .
B. y = x 3 + 1 .
C. y = x 3 − 1 .
D. y = ( x + 1)3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có f (0) = −1 (loại đáp án B và D)
Đồ thị hàm số có điểm uốn I (1;0) nên x = 1 là một nghiệm của phương trình y '' = 0 (loại C)
Câu 6:
Tìm m để bất phương trình 1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) thoã mãn với mọi x ∈ ¡ .
A. −1 < m ≤ 0 .
B. −1 < m < 0 .
C. 2 < m ≤ 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Trang 9
D. 2 < m < 3 .
BPT
thoã
mãn
với
mọi
x ∈ ¡ .⇔
mx 2 + 4 x + m > 0
( ∀x ∈ ¡ )
2
2
5 ( x + 1) ≥ mx + 4 x + m
m > 0
m > 0
m < −2
2
2
m > 2
mx + 4 x + m > 0
16 − 4m < 0
(
)
∀x ∈ ¡ ⇔
⇔
⇔ 2 < m ≤ 3.
2
( 5 − m ) x − 4 x + 5 − m ≥ 0
5 − m > 0
m < 5
16 − 4 ( 5 − m ) 2 ≤ 0
m ≤ 3
m ≥ 7
e 3x − ( m -1 ) e x +1
Câu 7:
4
Cho hàm số y =
÷
2017
A. 3e3 + 1 ≤ m < 3e 4 + 1 .
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) .
B. m ≥ 3e 4 + 1 .
C. 3e 2 + 1 ≤ m ≤ 3e3 + 1 .
D. m < 3e 2 + 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
e3 x −( m −1) e x +1
• y ′ = 4 ÷
2017
4 ( 3x (
′
x
.ln
÷. e − m − 1) e + 1) =
2017
e3 x −( m −1) e x +1
4
y′ =
÷
2017
4 ( 3x (
x
.ln
÷. 3e − m − 1) e )
2017
• Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) ⇔
e3 x −( m −1) e x +1
4
y′ =
÷
2017
4 e −( m −1) e
2017 ÷
4
<0
ln 2017 ÷
3x
x
4 ( 3x (
x
.ln
÷. 3e − m − 1) e ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; 2 ) (*), mà
2017
+1
> 0, ∀x ∈ ¡
3x
x
. Nên (*) ⇔ 3e − ( m − 1) e ≤ 0, ∀x ∈ ( 1; 2 ) ⇔
3e 2 x + 1 ≤ m, ∀x ∈ ( 1; 2 )
• Đặt g ( x ) = 3e 2 x + 1, ∀x ∈ ( 1; 2 ) , g ( x ) = 3e 2 x .2 > 0, ∀x ∈ ( 1; 2 )
x
g′ ( x)
g ( x)
Câu 8:
1
| +
| Z
2
|
|
. Vậy (*) xảy ra khi m ≥ g ( 2 ) ⇔ m ≥ 3e 4 + 1 .
Tìm giao điểm của đồ thị ( C ) : y =
4x
và đường thẳng ∆ : y = x + 1 .
x +1
Trang 10
⇔
A. ( 0;1) .
B. ( 2;3) .
C. ( 1; 2 ) .
D. ( 1;3) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ∆ :
x ≠ −1
4x
= x +1 ⇔ 2
⇔x = 1
x +1
x − 2x +1 = 0
Vậy toạ độ giao điểm là ( 1; 2 ) .
Câu 9:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , thể tích khối chóp là a 3 . Tính
chiều cao h của hính chóp.
A. h = a .
B. h = 2a .
C. h = 3a .
D. h = 4a .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1 2
3
Thể tích V = S ABCD h ⇔ a = a h ⇔ h = 3a .
3
3
Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho M ( −2;3;1) , N ( 5;6; − 2 ) . Đường thẳng qua M ,
N cắt mặt phẳng ( xOz ) tại A . Khi đó điểm A chia đoạn MN theo tỷ số nào?
1
−1
1
A. .
B. 2 .
C.
.
D. .
4
4
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x = −2 + 7t
Phương trình đường thẳng MN : y = 3 + 3t , phương trình mặt phẳng ( xOz ) : y = 0 , suy ra
z = 1 − 3t
giao điểm A ( −9;0; 4 )
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
Điểm A chia đoạn MN theo tỷ k nếu AM = k AN với AM = ( 7;3; − 3) và AN = ( 14;6; − 6 )
⇒ tỷ số k =
1
.
2
Câu 11. Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q )
x +1
= y + 1 = z − 3 và mặt phẳng
2
chứa đường thẳng d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất có
phương trình
A. x − z + 3 = 0.
B. x + y − z + 2 = 0.
C. x − y − z + 3 = 0.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trang 11
D. y − z + 4 = 0.
Gọi ∆ là giao tuyến giữa ( P ) và ( Q ) . Khi đó, góc giữa ( P ) , ( Q ) nhỏ nhất khi chỉ khi ∆ ⊥ d .
r
Đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; −1;3) và có vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1;1) .
r
r r
Vectơ chỉ phương của ∆ là u∆ = n ∧ ud = ( 3; −3; −3) .
r
r r
Vectơ pháp tuyến của ( Q ) là . nQ = ud ∧ u∆ = ( 0;9; −9 ) ..
r
Mặt phẳng ( Q ) đi qua M ( −1; −1;3) và nhận vectơ pháp tuyến n = ( 0;1; −1) có phương trình
y−z+4=0
Câu 12. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp
(nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là
ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp
là 4 dm3
A. 1 dm.
B. 1,5 dm.
C. 2 dm.
Hướng dẫn giải
D. 0,5 dm.
Chọn A
Gọi x, y ( x, y > 0 ) lần lượt là độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình hộp.
4
2
2
Thể tích khối hộp là V = x y ⇔ 4 = x y ⇔ y = 2 .
x
16
8 8
2
2
2
Diện tích cần mạ vàng S = x + 4 xy = x + = x + + ≥ 3 3 64 đạt giá trị nhỏ nhất khi chỉ
x
x x
khi
x=
8
⇔ x = 2 ⇒ y =1
x
4 x2 − x + 1
. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là
2x +1
Câu 13. Cho hàm số y =
1
B. y = − .
2
A. y = 2.
C. y = 1.
D. y = 1, y = −1.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
•
•
lim y = lim
x →−∞
lim y = lim
x →+∞
x →+∞
x →−∞
4x − x +1
= lim
x →−∞
2x +1
2
4x − x +1
= lim
x →+∞
2x +1
2
1 1
+
x x 2 = −1 ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang.
1
2+
x
− 4−
1 1
+
x x 2 = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
1
2+
x
4−
Câu 14. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất
1, 65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số
vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)
A. 4 năm 1 quý
B. 4 năm 2 quý
C. 4 năm 3 quý
Hướng dẫn giải
Trang 12
D. 5 năm
x
−∞
+y′
−
−2
0
−
0
+∞
2
+
||
0
|| +∞
−4
y
+∞
||
−∞
−∞ ||
4
Chọn A
n
1, 65
Số tiền của người ấy sau n kỳ hạn là T = 15 1 +
÷.
100
n
4
1, 65
Theo đề bài, ta có 15 1 +
÷ > 20 ⇔ n > log1+1,65 ≈ 17,56
100
100 3
Câu 15. Cho hàm số y = x +
4
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
x
A. x = −4.
B. x = 4.
C. x = 2.
Hướng dẫn giải
D. x = −2.
Chọn C
x = 2
4
′
y
=
0
⇔
,
x = −2 .
x2
Bảng biến thiên
Ta có y ′ = 1 −
Câu 16.
Tìm khẳng định sai
A. ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
b
B.
∫
a
c
b
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, a < c < b
.
C.
∫ f ( x ) g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
D.
∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Theo lý thuyết SGK Giải tích 12 Cơ bản
Trang 13
Câu 17.
Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như
hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường
Parabol).
A. 19m3 .
B. 21m3 .
C. 18m3 .
D. 40m3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
y
O
x
Ta có
19
2
Gọi ( P1 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm A ;0 ÷, B ( 0; 2 )
2
2
8
19
8 2
0 = a. ÷ + 2
a = −
⇔
x +2
361 ⇒ ( P1 ) : y = −
Nên ta có hệ phương trình sau:
2
361
2 = b
b = 2
5
2
Gọi ( P2 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm C ( 10;0 ) , D 0; ÷
2
1
5
2
a = − 40
0 = a. ( 10 ) + 2
1
5
⇔
⇒ ( P2 ) : y = − x 2 +
Nên ta có hệ phương trình sau:
40
2
5 = b
b = 5
2
2
19
10 1 2 5
8 2
x + 2 ÷dx = 40m3
Ta có thể tích của bê tông là: V = 5.2 ∫0 − x + ÷dx − ∫0 2 −
2
361
40
Câu 18.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình ( H ) quanh Ox với ( H ) được giởi hạn
bởi đồ thị hàm số y = 4 x − x 2 và trục hoành.
A.
35π
3
B.
31π
3
C.
32π
3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Trang 14
D.
34π
3
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
x = 0
4 x − x2 = 0 ⇔ 4 x − x2 = 0 ⇔ x ( 4 − x ) = 0 ⇔
x = 4
Từ đó ta có thể tích hình ( H ) cần tìm là:
4
V =π∫
0
(
4x − x2
)
2
4
x 2 x 3 32
dx = π ∫ ( 4 x − x 2 ) dx = π 4. − ÷ = π (đvtt )
2 3 3
0
x3 3 2
− x + 4 x + 2017 . Định m để phương trình y ' = m 2 − m có đúng hai ngiệm
3 2
thuộc đoạn [0; m]
Câu 19: Cho hàm số y =
1+ 2
;2÷
A.
÷.
3
1− 2 2
;2÷
B.
÷.
3
1− 2 2
;2÷
C.
÷.
2
1+ 2 2
; 2 .
D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: y ' = m 2 − m ⇔ x 2 − 3x + 4 = m 2 − m
2
Đặt f ( x ) = x − 3 x + 4 ( P )
y = m2 − m
Yêu cầu bài toán :
4
3
3
<
m
2 < m
2
2
7
7
⇔ < m 2 − m ≤ m 2 − 3m + 4 ⇔ < m − m
4
4
2
2
2
m − m ≤ 4
m − m ≤ m − 3m + 4
2
m − m ≤ 4
7
4
3
2
3
2 < m
1− 2 2
m <
1+ 2 2
2
⇔
⇔ m ∈
; 2
2
m > 1 + 2 2
2
m ≤ 2
0 < m ≤ 2
Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ·ABC = 1200 , tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
41
37
39
35
A.
B.
C.
D.
a.
a.
a.
a.
6
6
6
6
Trang 15
Hướng dẫn giải
Chọn: C.
·
Do ·ABC = 120° ⇒ BAD
= 60° suy ra ∆ABD đều
⇒ DA = DB = DC = a nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của ∆SAB .
Qua D kẻ d ⊥ ( ABCD ) , và qua G kẻ d ′ ⊥ ( SAB )
Gọi I = d ∩ d ′ .
Ta có IA = IB = IC = ID
Khi
đó
I là
tâm
của
mặt
cầu
ngoại
tiếp
hình
chóp
S . ABC có
bán
kính
2
a 3
39
R = IA = AD + MG = a +
=
a
÷
÷
6
6
2
2
2
Câu 21.Cho các số thực a, b, m, n với ( a, b > 0 ) . Tìm mệnh đề sai:
A. ( a
)
m n
m
=a
m+n
.
a
B. ÷ = a m .b − m .
C.
b
Hướng dẫn giải
a2 = a .
D. ( ab ) = a m .b m .
m
Chọn A.
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I ( 2;6; −3) và các mặt phẳng
( α ) : x − 2 = 0, ( β ) : y − 6 = 0, ( γ ) : z + 3 = 0 . Tìm mệnh đề sai:
A. ( γ ) / /Oz .
B. ( β ) / / ( xOz ) .
C. ( α ) qua I .
D. ( α ) ⊥ ( β ) .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dễ thấy ( γ ) ∩ Oz = A ( 0;0; −3) .
Câu 23. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình nón theo a .
2a
a
2a
a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3 3
3 3
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trang 16
a 3
2
a 3
.
⇒R= h=
2
3
3
Câu 24. Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m để tồn tại duy nhất
Ta có đường cao hình nón h =
cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 .
(
C. (
A.
)
2)
2
10 − 2 .
10 −
2
B. 10 − 2 và 10 + 2 .
và
(
)
2
10 + 2 .
D. 10 − 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có log x2 + y2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 ⇔ x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 6 ≤ 0 ( 1) .
Giả sử M ( x; y ) thỏa mãn pt ( 1) , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn ( C1 ) tâm I ( 2; 2 ) bán
kính R1 = 2 .
Các đáp án đề cho đều ứng với m > 0 . Nên dễ thấy x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 là phương
trình đường tròn ( C2 ) tâm J ( −1;1) bán kính R2 = m .
Vậy để tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) thỏa đề khi chỉ khi ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc ngoài
⇔ IJ = R1 + R2 ⇔ 10 = m + 2 ⇔ m =
(
)
2
10 − 2 .
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A ( 1; 2; −5 ) . Gọi M , N , P là hình chiếu của A
lên các trục Ox, Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng ( MNP ) là:
y z
y z
A. x + − = 1 .
B. x + 2 z − 5 z + 1 = 0 . C. x + 2 y − 5 z = 1 .
D. x + − + 1 = 0 .
2 5
2 5
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi M , N , P là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy , Oz ⇒ M ( 1;0;0 ) , N ( 0; 2;0 ) , P ( 0;0; −5 ) .
x y z
y z
=1⇔ x + − =1.
Ta có phương trình mặt phẳng ( MNP ) là: + +
1 2 −5
2 5
Câu 26: Để hàm số y =
A. ( 0; 2 ) .
x 2 + mx + 1
đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?
x+m
B. ( −4; −2 ) .
C. ( −2;0 ) .
D. ( 2; 4 ) .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
• Tập xác định: D = ¡ \ { −m} .
• Đạo hàm: y ′ =
x 2 + 2mx + m 2 − 1
( x + m)
2
.
• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y ′ ( 2 ) = 0 ⇒
Trang 17
4 + 4m + m 2 − 1
( 2 + m)
2
m = −3
=0⇒
.
m = −1
x = 2
; y′ = 0 ⇔
. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực
( x − 3)
x = 4
đại tại x = 2 nên m = −3 ta nhận.
x = 0
x2 − 2x
′
m
=
−
1
⇒
y
=
; y′ = 0 ⇔
• Với
. Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực
2
( x − 1)
x = 2
• Với m = −3 ⇒ y′ =
x2 − 6 x + 8
2
tiểu tại x = 2 nên m = −1 ta loại.
Câu 27: Cho
f ,g
là
hai
hàm
liên
tục
[ 1;3]
trên
3
thỏa: ∫ f ( x ) + 3 g ( x ) dx = 10 .
1
3
3
1
1
∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫ f ( x ) + g ( x ) dx .
A. 8.
B. 9.
C. 6.
D. 7.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
3
3
3
• Ta có ∫ f ( x ) + 3 g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 .
1
1
1
3
3
3
1
1
1
• Tương tự ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6 .
3
3
u + 3v = 10
u = 4
⇔
• Xét hệ phương trình
, trong đó u = ∫ f ( x ) dx , v = ∫ g ( x ) dx .
2u − v = 6
v = 2
1
1
3
3
3
1
1
1
• Khi đó ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6 .
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
d lên mặt phẳng ( Oxy ) là:
x = 0
A. y = −1 − t .
z = 0
x = 1 + 2t
B. y = −1 + t .
z = 0
x −1
= y + 1 = z − 2 . Hình chiếu của
2
x = −1 + 2t
C. y = 1 + t .
z = 0
x = 1 − 2t
D. y = −1 + t .
z = 0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
x = 1 + 2t
• Phương trình tham số của đường thẳng d : y = −1 + t .
z = 2 + t
x = 1 + 2t
• Do mặt phẳng ( Oxy ) : z = 0 nên hình chiếu của d lên ( Oxy ) là y = −1 + t .
z = 0
Trang 18
Câu 29: Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y =
x3
− 2 x 2 + 3 x − 5 . Mệnh đề nào sau
3
đây là đúng ?
A. ∆ song song với đường thẳng d : x = 1 .
B. ∆ song song với trục tung.
C. ∆ song song với trục hoành.
D. ∆ có hệ số góc dương.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
• Tập xác định của hàm số: D = ¡ .
x = 1
• Đạo hàm: y ′ = x 2 − 4 x + 3 ; y ′ = 0 ⇔
.
x = 3
• Lập bảng biến thiên ta được điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M ( 3; −5 ) .
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là y = −5 .
Câu 30: Cho số phức z thoả: z (1 + 2i ) = 4 − 3i . Tìm số phức liên hợp z của z.
−2 11
2 11
2 11
− i
A. z =
B. z = − i
C. z = + i .
5 5
5 5
5 5
D. z =
−2 11
+ i.
5 5
Hướng dẫn giải
Chọn D.
z (1 + 2i ) = 4 − 3i ⇔ z =
4 − 3i −2 11
−2 11 .
=
− i⇒z=
+ i
1 + 2i
5 5
5 5
Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho I (0; 2;3) . Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với
trục Oy là:
A. x 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 3) 2 = 3 .
B. x 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 4 .
C. x 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 9 .
D. x 2 + ( y + 2)2 + ( z + 3) 2 = 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi H là hình chiếu của I (0; 2;3) lên Oy ⇒ H (0; 2;0) .
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy ⇒ R = d ( I ; Oy ) = IH = 3 .
Phương trình mặt cầu: x 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 9 .
Câu 32: Cho f ( x ) =
(2
x +1
x
2
)
x 2 + 1 + 5 , biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thỏa
3
F ( 0 ) = 6 . Tính F ÷.
4
125
126
A.
.
B.
.
16
16
C.
123
.
16
Hướng dẫn giải
Trang 19
D.
127
.
16
Chọn A.
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ tdt = xdx .
∫ f ( x)dx = ∫
(2
x +1
x
2
)
x 2 + 1 + 5 dx = ∫ ( 2t + 5 ) dt = t 2 + 5t + C = ( x 2 + 1) + 5 x 2 + 1 + C .
F (0) = 6 ⇒ C = 0 .
3 125
Vậy F ÷ =
.
4 16
Câu 33: Cho đường thẳng d 2 cố định, đường thẳng d1 song song và cách d 2 một khoảng cách không
đổi. Khi d1 quay quanh d 2 ta được:
A. Hình trụ.
B. Mặt trụ.
C. Khối trụ.
D. Hình tròn.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Theo định nghĩa trang 36 sgk.
2
2
Câu 34: Tìm giá trị lớn nhất của y = 2 sin x + 2cos x
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] .
Tìm GTLN của y = 2t + 21−t trên [ 0;1] .
y ′ = 2t ln 2 − 21−t ln 2 = 0 ⇔ 2t = 21−t ⇔ t =
1.
2
1
f (0) = 3; f (1) = 3; f ÷ = 2 2 .
2
y = 3.
Vậy max
[ 0;1]
2x −1
(C ) . Gọi S là diện tích hình chữ nhật được tạo bởi 2 trục tọa độ và 2
x −1
đường tiệm cận của (C ) .Khi đó giá trị của S là:
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 1.
Câu 35: Cho hàm số y =
Hướng dẫn giải
Chọn B.
(C ) có hai tiệm cận x = 1; y = 2 .
Vậy S = 2 .
Trang 20
Câu 36: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150 m3 . Đáy bể làm bằng bê tông giá 100 000 đ / m 2 .
Phần thân làm bằng tôn giá 90 000 đ / m 2 , nắp bằng nhôm giá 120 000 đ / m 2 . Hỏi khi chi phí sản
suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
22
9
31
21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
22
22
32
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A′
150
π R2
2
2
Mà ta có: f ( R ) = 100000π R + 120000π R + 180000π Rh
150
27000000
f ( R ) = 220000π R 2 + 180000π R
= 220000π R 2 +
2
πR
R
A
Để chi phí thấp nhất thì hàm số f ( R ) đạt giá trị nhỏ nhất với mọi R > 0
B′
O′
2
Ta có: V = 150 ⇔ π R h = 150 ⇒ h =
B
O
30
27000000 440000π R 3 − 27000000
′( R) = 0 ⇒ R =
f
,
cho
=
3
440π
R2
R2
30
f ( R ) khi R =
Lập BBT, từ BBT suy ra min
3
R >0
440π
h 150 22
=
Nên =
R π R3 9
f ′ ( R ) = 440000π R −
Câu 37: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , ab ≠ 0 ) ,
M ′ là diểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M ′ đối xứng với M qua Oy .
B. M ′ đối xứng với M qua Ox .
C. M ′ đối xứng với M qua O .
y= x.
D. M ′ đối xứng với M qua đường thẳng
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: M ( a; b ) và M ′ ( a; −b ) nên M ′ đối xứng với M qua Ox .
Câu 38: Cho hàm số y = e x + e − x . Tính y ′′ ( 1) = ?
1
1
A. e + .
B. e − .
e
e
1
C. −e + .
e
1
D. −e − .
e
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
x
−x
x
−x
Ta có: y ′ = e − e ⇒ y′′ = e + e ⇒ y ′′ ( 1) = e + .
e
2
Câu 39: Tìm tập S của bất phương trình: 3x.5 x < 1 .
A. ( − log 5 3;0] .
B. [ log 3 5;0 ) .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Trang 21
C. ( − log 5 3;0 ) .
D. ( log 3 5;0 ) .
(
)
2
x x
2
Ta có: 3x.5 x < 1 ⇔ log 5 3 .5 < 0 ⇔ x + x log 5 3 < 0 ⇔ − log 5 3 < x < 0 nên S = ( − log 5 3;0 )
2
2
Câu 40: Số nghiệm của phương trình log 2 ( x − 3) − log 2 ( 6 x − 10 ) + 1 = 0 là:
A. Vô nghiệm.
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: x > 3 .
Phương trình ⇔ log 2
x = 2
x2 − 3
x2 − 3 1
= −1 ⇔
= ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔
6 x − 10
6 x − 10 2
x = 1
So điều kiện nhận nghiệm x = 2 nên phương trình có 1 nghiệm.
Câu 41. Cho hàm số y =
A. ( 1;3) .
x3
1
− 2 x 2 + 3x − . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
3
3
B. ( −1;1) .C. ( −1;0 ) . D. ( 0;3) .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y ′ = x 2 − 4 x + 3 ⇒ y ′ = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 .
Bảng biến thiên
−∞
x
y′
1
+
0
3
0
-
+∞
+
+∞
y
−∞
Hàm số nghịch biến trên ( 1;3)
Câu 26. Cho hàm số y = log 1 x . Khảng định nào sau đây sai
5
−1
.
x ln 5
A. Hàm số có tập xác định là D = ¡ \ { 0} .
B. y ′ =
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số y = log 1 x . Do đó
5
Tập xác định D = ( 0; +∞ ) ⇒ A sai.
−1
⇒ B đúng.
x ln 5
1
Cơ số a = < 1 ⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định ⇒ C đúng.
5
Hàm số logarit nhận trục Oy làm tiệm cận đứng ⇒ D đúng.
y′ =
Trang 22
x = t
x = 0
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Cho hai đường thẳng d1 : y = −t và d 2 : y = 2 .
z = 1
z = t′
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d1 ⁄⁄ d 2 .
B. d1 và d 2 chéo nhau.
C. d1 và d 2 cắt nhau.
D. d1 ≡ d 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
r
r
r
r
Ta có u1 = ( 1; −1;0 ) và u2 = ( 0;0;1) ⇒ u1 và u2 không cùng phương.
⇒ d1 và d 2 chéo nhau hoặc cắt nhau (1)
Xét hệ phương trình
t = 0
−t = 2 ⇒ vô nghiệm. Vậy d1 và d 2 chéo nhau.
1 = t ′
Câu 28. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 , z2 ≠ 0 ; z1 + z2 ≠ 0 và
A.
2
.
2
B.
3
. C. 2 3 .
2
D.
1
1 2
z
= + . Tính 1
z1 + z2 z1 z2
z2
2
.
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt x =
z1
z
⇒ z1 = x.z2 và 1 = x
z2
z2
Từ giả thiết
1
1 2
1
1
2
= +
=
+
⇔
z1 + z2 z1 z2
x.z2 + z2 x.z2 z2
⇔
1
1 1
= + 2÷
z2 ( x + 1) z2 x
⇔
1
1
= +2
x +1 x
1 1
⇔ 2 x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = − ± i ⇒ x = 2
2 2
2
Câu 29. Trên trường số phức £ , cho phương trình az 2 + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 ) .
Chọn khảng định sai:
A. Phương trình luôn có nghiệm.
Trang 23
b
B. Tổng hai nghiệm bằng − .
a
C. Tích hai nghiệm bằng
c
.
a
D. ∆ = b 2 − 4ac < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trên trường số phức £ , phương trình bậc hai luôn có nghiệm ⇒ A đúng.
b
Tổng hai nghiệm z1 + z2 = − ⇒ B đúng.
a
c
Tích hai nghiệm z1.z2 = ⇒ C đúng.
a
2
∆ = b − 4ac < 0 ⇒ Phương trình bậc hai có nghiệm phức ⇒ D sai.
Câu 46: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 4 = 0 . Tính z1 + z2 .
A. 2 3.
B. 4.
C. 4 3.
D. 5.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
z1 = −1 + i 3
2
Ta có z + 2 z + 4 = 0 ⇔
.
z2 = −1 − i 3
Vậy z1 + z2 =
( −1)
2
+
( 3)
2
+
( −1)
2
(
+ − 3
)
2
= 4.
10
+ 1 − 2i . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số
z
phức w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i là đường tròn I , bán kính R . Khi đó.
Câu 47: Cho thỏa mãn z ∈ £ thỏa mãn ( 2 + i ) z =
A. I ( −1; −2 ) , R = 5.
C. I ( −1; 2 ) , R = 5.
B. I ( 1; 2 ) , R = 5.
D. I ( 1; −2 ) , R = 5.
Hướng dẫn giải
ChọnC.(đã sửa đề bài)
Đặt z = a + bi và z = c > 0 , với a; b; c ∈ ¡ .
Lại có w = ( 3 − 4i ) z − 1 + 2i ⇔ z =
w + 1 − 2i
.
3 − 4i
Gọi w = x + yi với x; y ∈ ¡ .
w + 1 − 2i
w + 1 − 2i
=c⇔
= c ⇔ x + yi + 1 − 2i = 5c
Khi đó z = c ⇒
3 − 4i
3 − 4i
⇔
( x + 1)
2
+ ( y − 2 ) = 5c ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = 25c 2 .
2
2
2
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I ( −1; 2 ) .
Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R = 5 ⇒ 5c = 5 ⇒ c = 1 .
Thử c = 1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn.
Trang 24
2
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = a ln 2 + b, ( a; b ∈ ¤ ) . Khi đó a + b ?
Câu 48: Giả sử
1
5
A. .
2
B. 2.
C. 1.
D.
3
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
u = ln x
du = dx
⇒
x .
Đặt
dv = ( 2 x − 1) dx v = x 2 − x
2
Ta có
∫ ( 2 x − 1) ln xdx = ( x
2
1
2
− x ) ln x − ∫ ( x − 1) dx
2
1
1
2
x2
1
= 2 ln 2 − − x ÷ = 2 ln 2 − .
2
2
1
1
3
Khi đó a = 2; b = − . Vậy a + b = .
2
2
Câu 49: Cho hàm số y = x 2 + 3 − x ln x . Gọi M ; N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên đoạn [ 1; 2] . Khi đó tích M .N là:
A. 2 7 + 4 ln 5.
B. 2 7 − 4 ln 2.
C. 2 7 − 4 ln 5.
D. 2 7 + 4 ln 2.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tập xác định D = ( 0; +∞ ) .
Ta có y ′ =
Do
x
x2 + 3
− ( ln x + 1) =
x − x2 + 3
x2 + 3
− ln x .
x2 + 3 > x ⇒ x − x2 + 3 < x − x ≤ 0 ⇔
x − x2 + 3
x2 + 3
<0.
Và x ≥ 1 ⇒ ln x ≥ 0 ⇒ − ln x ≤ 0 .
Do đó y ′ =
x − x2 + 3
x2 + 3
− ln x < 0 . Nên hàm số nghịch biến trên [ 1; 2] .
Khi đó M = y ( 1) = 2; N = y ( 2 ) = 7 − 2 ln 2 .
Vậy M .N = 2 7 − 4 ln 2 .
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,
D ( 3;1; 4 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?
A. 1.
B. 4.
C. 7.
Trang 25
D. Vô số.
