Tính toán tối ưu cho phần đệm đầu cọc khi sử dụng búa điêzen đóng cọc bê tông cột thép

1

MỞ ĐẦU
Trong bất cứ các công trình xây dựng nào dù lớn hoặc nhỏ thì việc gia cố
nền móng là không thể thiếu được. Để gia cố nền móng người ta thường sử dụng
các cọc bê tông cốt thép với hai hình thức : cọc nhồi và cọc bê tông đúc sẵn. Mỗi
hình thức gia cố trên đều có các ưu, nhược điểm của nó. Hình thức dùng cọc nhồi
thường ở các công trình lớn. Hình thức thi công cọc bê tông đúc sẵn thường dùng
cho các công trình nhỏ và vừa, nhất là trong các điều kiện thi công bằng cọc nhồi
gặp khó khăn.
Máy và thiết bị để thi công đóng cọc bê tông đúc sẵn là các máy ép cọc
hoặc búa máy đóng cọc. Trong các loại búa máy đóng cọc hiện nay được dùng
nhiều nhất là các búa máy điêzen.
Khi tác nghiệp việc đóng cọc bê tông cốt thép để gia cố nền móng ở những
địa hình khác nhau, chẳng hạn như trên bến sông, cầu cảng hoặc là do yêu cầu đầu
trên của cọc phải chìm sâu dưới mặt đất thì người ta dùng thêm một cọc đệm (còn
gọi là cọc giả) bằng thép. Độ dài và độ chịu bền của các cọc đệm tùy thuộc theo
địa hình và tùy theo các loại búa khác nhau.
Trong quá trình thi công đóng cọc bê tông cốt thép, do lực va chạm giữa
búa máy và đầu cọc được đóng trên nền đất với các tính chất cơ lý khác nhau sẽ có
khả năng dẫn đến hiện tượng đầu cọc bị phá vỡ. Sở dĩ có hiện tượng trên là do quá
trình va chạm lực từ búa đến đầu cọc, lực được truyền theo dạng sóng đàn hồi từ
đầu cọc đến đáy cọc và phản xạ từ đáy cọc lên, nếu cùng tần số thì sẽ có cộng
hưởng lực và xảy ra hiện tượng ứng suất tăng đột ngột dẫn đến đầu cọc bị phá vỡ.
Hiện tượng này có thể xảy ra ngay trong phần thân cọc.


2

Nghiên cứu lý thuyết về bài toán toán đóng cọc bê tông đúc sẵn với nội
dung lựa chọn các thông số của búa, của phần cọc đệm một các tốt nhất để trong

quá trình thi công đóng cọc tránh được hiện tượng vỡ đầu cọc cũng như hiện
tượng nứt vỡ cọc hiện nay vẫn là vấn đề thời sự.
Tính toán lực va chạm giữa búa và đầu cọc cũng như tần số đóng cọc trên
cơ sở độ dài của cọc và của phần đệm, các tham số đặc trưng cho vật liệu, hình
học của cọc và phầm đệm sẽ giải quyết được vấn đề trên.
Để nâng cao hiệu quả sử dụng của cọc bê tông trong gia cố nền móng
trong các công trình dân dụng và giao thông thủy lợi hiện tại ở Việt nam, đồng
thời xuất phát từ những cơ sở khoa học và thực tiễn , tôi thực hiện đề tài: “Tính
toán tối ưu cho phần đệm đầu cọc khi sử dụng búa điêzen đóng cọc bê tông
cốt thép”.
Đối với bài toán cơ học, điều kiện biên sẽ ảnh hưởng rất lớn đến phương
pháp giải và nghiệm của bài toán. Do khuôn khổ của đề tài và giới hạn của thời
gian, nên nội dung của luận án chủ yếu xét cho trường hợp bài toán đóng cọc bê
tông có các điều kiện biên phù hợp với các điều kiện thực tế khi thi công đóng
cọc trên địa hình bến sông, cầu cảng hoặc ao hồ, những nơi mà lực cản đàn
nhớt của mặt bên cọc có thể bỏ qua khi thi công đóng cọc.


3

CHƯƠNG 1 :

TỔNG QUAN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1.1

Các nghiên cứu về lý thuyết
Nghiên cứu liên quan đến nội dung về va chạm của búa máy và các ứng xử

cơ học bên trong cọc bê tông cốt thép đã có nhiều tác giả quan tâm dưới các dạng
bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi, va chạm của vật rắn vào thanh

đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau [1] , [2] : có lực chống cản đàn hồi ở
đầu dưới thanh và mặt bên có lực ma sát hoặc không có lực ma sát. Trong các
nghiên cứu này, các tác giả đã thiết lập bài toán về truyền sóng trong thanh đàn
hồi và nói chung đều dẫn đến phương trình có dạng :
2
2 u(x,t)
u(x,t)
2  u(xi ,t)
 K.u(x,t)  
 a
t2
t
x2

trong đó :
u = u(x,t) hàm chuyển dịch của tiết diện ngang dọc theo thanh
K - hệ số chống cản đàn hồi

 - hệ số cản nhớt
a - vận tốc truyền sóng.

Phương pháp giải chủ yếu được dùng là phép biến đổi Laplace :


u0 (x,p)   u(x, t).e pt dt từ đó dẫn đến phương trình Volter. Nghiệm tìm được
0

theo phương pháp lặp gần đúng liên tiếp.

4

Nhận xét chung về các bài toán đã giải quyết thấy rằng:


Mô hình thiết lập chỉ gần với mô hình của quá trình đóng cọc bê

tông cốt thép đúc sẵn .


Không sử dụng được các kết quả của các nghiên cứu này cho việc

lựa chọn: các thông số cho cọc đệm, các thông số cho búa máy để không xảy hiện
tượng cộng hưởng lực khi đóng cọc trong giai đoạn cuối của cọc ( gặp tầng đất có
hệ số chống cản cao).
1.2

Các chỉ dẫn kỹ thuật khi thi công đóng cọc
Trong thực tế, để thực hiện các quá trình đóng cọc bê tông, người ta chuẩn

bị sẵn nhiều loại búa có các thông số khác nhau, nhiều loại cọc đệm có độ dài
và các thông số khác nhau. Một trong các công tác chuẩn bị khi thực hiện tác
nghiệp đóng cọc bê tông là chọn búa đóng cọc cho phù hợp.
Búa đóng cọc được chọn phải đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật :
- Phải phù hợp với cọc, không quá lớn dẫn đến vỡ đầu cọc, tốc độ đóng hợp lý,
đạt được độ chối thiết kế cho cọc.
- Phải phù hợp với loại giá búa
- Có tính khả thi theo địa hình thi công.
Tại các công trình xây dựng hiện nay người ta thực hiện quy trình chọn búa
đóng cọc theo các bước và các chỉ dẫn kỹ thuật như sau:

1- Chọn sơ bộ theo điều kiện sau (theo trị số động năng của bộ phận xung kích):
Q = 0.025Pđ


5

trong đó


Q – năng lượng một nhát búa (năng lượng của bộ phận xung kích , kJ ;
kG.m ; J.m)



Pđ - sức chịu tải của cọc theo đất nền (kG ; T)

Hoặc công thức:

Q = Qb.v2/2g

trong đó


Qb – trọng lượng đầu búa



v – vận tốc rơi của búa (m/s)

2- Kiểm tra sự thích dụng của búa với trọng lượng cọc (hệ số thích dụng):

Kt.h = (QT + qc)/ Q
trong đó


QT – trọng lượng toàn bộ búa



qc – trọng lượng toàn bộ cọc

Nếu giá trị của Kt.h nhỏ hơn nhiều so với các giá trị cho phép tức là búa không đủ
nặng so với trọng lượng cọc dẫn đến tốc độ đóng chậm, dễ vỡ đầu cọc hoặc cọc
sẽ không đủ sức chịu tải theo thiết kế.
Nếu Kt.h lớn hơn nhiều giá trị so với các giá trị cho cho phép tức là trọng lượng
búa quá lớn dẫn đến cọc xuống quá nhanh, khó kiểm soát độ chối ổn định so với
thiết kế, mặt khác nếu gặp vật cản hoặc tầng đất cứng dễ bị gẫy cọc .


6

Theo kinh nghiệm, chọn búa đóng cọc theo tỉ lệ trọng lượng đầu búa Qb và
trọng lượng cọc như sau:


Với cọc có L ≤ 12m: Qb/qc = 1.25 - 1.50



Với cọc có L > 12m: Qb/qc = 0.75 - 1.0

1.3 Mục tiêu của đề tài
Giải quyết các vấn đề về lý thuyết của bài toán đóng cọc bê tông có cọc
đệm thép làm cơ sở cho việc chọn búa - cọc cũng như thiết kế các thông số tối
ưu về kích cỡ của cọc đệm thép , đề tài đưa ra mục tiêu nghiên cứu với các vấn
đề như sau:
 Thiết lập và giải bài toán đóng cọc bê tông cốt thép có cọc đệm thép bằng

búa máy điêzen .
 Tính toán cường độ ứng suất trong cọc đệm thép và cọc bê tông phụ thuộc

vào các thông số của các cọc : Mô đun đàn hồi E , chiều dài L , diện tích
thiết diện F, khối lượng riêng  của thép và của bê tông cốt thép.
 Từ sự phụ thuộc đó đưa ra được các giá trị tối thiểu cần thiết của cọc đệm

thép về diện tích tiết diện, về chiều dài để cường độ ứng suất trong các
cọc ở dưới mức ứng suất cho phép trong quá trình đóng cọc. Đây cũng là
mục tiêu làm tối ưu của phần cọc đệm thép tức là có tổng khối lượng cọc
đệm thép tối thiểu.
 Viết phần mềm giúp cho việc tính toán được thuận lợi và nhanh chóng.


7

1.4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Khả năng ứng dụng
1.4.1 Đối tượng nghiên cứu
 Thiết lập và giải bài toán về trạng thái ứng suất trong các cọc đệm thép và

cọc bê tông cốt thép trong quá trình thi công đóng cọc bằng búa máy
Điêzen
 Trên cơ sở sự liên hệ giữa các thông số của các búa máy với các thông số

của các cọc và độ chống cản của nền đất cùng với điều kiện cường độ ứng
suất trong các cọc nhỏ hơn ứng suất cho phép, đưa ra được các thông số tối
ưu (về diện tích tiết diện ) cho việc thết kế các cọc đệm ( dựa trên các yêu
cầu cố định về độ dài).
 Viết phần mềm tính toán.

1.4.2 Phạm vi nghiên cứu
 Nghiên cứu bài toán đóng cọc bê tông cốt thép có cọc đệm thép khi bỏ qua
các lực ma sát dọc theo cọc bằng các loại búa máy điêzen
 Các thông số tối ưu về tiết diện ngang của cọc đệm thép với các độ dài cố
định khác nhau.
1.4.3 Khả năng ứng dụng
 Cho kết quả tính toán nhanh do có phần mềm.
 Đề tài có khả năng ứng dụng cho các loại búa máy khác.
1. 5 Nội dung trình bày của luận văn
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, 5 chương và phụ lục :
 Chương 1 : Tổng quan nội dung nghiên cứu
 Chương 2 : Cơ sở lý thuyết sử dụng trong luận văn


8

 Chương 3 : Mô hình hóa và thiết lập bài toán đóng cọc bê tông bằng búa
máy - Phương pháp giải
 Chương 4 : Kết quả tính toán với các số liệu cụ thể.
 Chương 5 : Kết luận
Phần phụ lục là code của chương trình tính trên Visual-Basic.
1.6 Các kết quả đạt được của luận văn
Kết quả nghiên cứu của đề tài đã thực hiện được :

- Xây dựng mô hình tính toán về sự lan truyền của sóng đàn hồi trong bài toán
đóng cọc bê tông cốt thép bằng búa máy điêzen.
- Xác định được chuyển vị, biến dạng, ứng suất trên cơ sở lý thuyết va
chạm và lý thuyết đàn hồi cùng với lực chống cản khác nhau của nền đất.
.

- Xác định được cường độ ứng suất cực đại trong các cọc, từ đó kiểm

tra sự làm việc trong giới hạn cho phép hay không.
- Viết phần mềm tính toán giúp cho việc lựa chọn các thông số của
phần cọc đệm và loại búa để có sự phù hợp với các thông số của cọc bê
tông và của nền đất trong quá trình thi công đóng cọc.
- Sự phù hợp của các thông số trên sẽ là các thông số tối ưu khi chế tạo
các cọc đệm thép.


9

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
2.1

BÀI TOÁN ĐỘNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

2.1.1 Các hệ thức cơ bản
Bài toán của lý thuyết đàn hồi với tải trọng thay đổi theo thời gian sẽ cho
xuất hiện các ứng suất động.
Giả thiết mọi biến dạng của vật thể là nhỏ, nên chuyển động là nhỏ và
người ta gọi là dao động đàn hồi hoặc sóng đàn hồi.

Các thành phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong vật thể phải thỏa mãn
các phương trình và các điều kiên biên sau :
+ Phương trình chuyển động

ij
2u j
 K j   2
xi
t

(2. 1a)

nếu không kể lực khối :

ij
xi

2u j
 2
t

(2.1b)

+ Định luật Huc ( phương trình trạng thái)

ij  ij  2eij
+ Hệ thức Cô-si

(2. 2)

10

u j 
1  u
eij   i 

2  x j xi 
+ Điều kiện đầu

(2. 3)

tại t = 0 có :

* ui(x1 , x2 , x3 , 0) = ui0  x1 ,x2 ,x3 ,0 
*

ui
t

(2.4)

 vi0 (x1 ,x 2 ,x3 )
t0

+ Các điều kiện biên
 
* Trên biên Su cho chuyển vị : u  u b


* Trên biên S lực mặt F = Tn

hay là ij n j  Fi

(2.5)
(2.6)

Các phương trình (2.1a) (hoặc (2.1b) ), (2.2) , (2.3) cùng với các điều kiện
đầu (2.4) và các điều kiện biên (2.5), (2.6) lập thành một hệ kín xác định 3
thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất.
Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên đã
được chứng minh.
2.1.2 Nguyên lý Saint - Venant và nguyên lý chồng chất nghiệm
Đối vật thể có một trong các kích thước đặc trung nhỏ hơn nhiều lần ( lớn
hơn 20 lần) so với các kích thước kia ( bản, vỏ) hoặc hai kích thước nhỏ hơn
nhiều lần kích thước thứ 3 ( thanh, dầm) thì người ta thường dùng nguyên lý
Saint - Venant trong khi giải bài toán.
Nguyên lý Saint -venant : Nếu tại miền nào đấy ( bên trong hoặc trên
biên vật thể ) không lớn lắm so với kích thước chính của vật thể, mà chịu tác
dụng của lực ngoài ( lực khối hoặc lực mặt) và vật thể ở trạng thái cân bằng, thì


11

tại các miền xa miền đặt lực đó trạng thái ứng suất và biến dạng được xác định
chủ yếu bằng véc tơ chính và mô men chính của các lực đó và không phụ thuộc
vào các đặc trưng chi tiết của sự phân bố các lực đó. Ảnh hưởng về sự phân bố
cụ thể của các lực chỉ thể hiện ngay lân cận miền đặt lực.
Dựa vào nguyên lý Saint-Venant, khi giải các bài toán cân bằng về bản,
vỏ, dầm người ta đã cho thỏa mãn gần đúng các điều kiện biên về lực ngoài dưới

dạng cho thỏa mãn về lực tổng, mô men tổng của các lực trên cả miền đặt lực.
Nguyên lý chồng chất nghiệm: Trong phạm vi lý thuyết đàn hồi tuyến
tính ta nhận thấy từ tính chất tuyến tính của các phương trình cân bằng, phương
trình trạng thái, hệ thức Cô - si sẽ dẫn đến tính chất cộng tuyến của các nghiệm.
(1)
Giả sử có hai nghiệm u(1)
và
j , ij

(2)
u(2)
mô tả trạng thái ứng
j , ij

suất - biến dạng của cùng một vật thể dưới tác dụng của các hệ lực tương ứng :
lực khối K(1)
và lực mặt
j

Fj(1) ; lực khối K(2)
và lực mặt
j

Fj(2) . Chúng

thỏa mãn phương trình cân bằng ( hoặc chuyển động) và các điều kiện biên
tương ứng :
b(1)
ij(1) ni  Fj(1) trên S1 và u (1)
trên S2

j  uj

ij(2) ni  Fj(2) trên S1 và u(2)
 u b(2)
trên S2
j
j
khi đó ta sẽ có :

(2)
u j  u(1)
và ij  ij(1)  ij(2) sẽ là nghiệm của bài toán
j  uj

về chuyển dịch, ứng suất trong vật thể dưới tác dụng của

 K(2)
lực khối : K j  K(1)
j
j
và lực mặt Fj  Fj(1)  Fj(2) trên biên S1

 ub(2)
thỏa mãn chuyển dịch cho trước u bj  u b(1)
trên biên S2
j
j


12

2.1.3 Các phương pháp giải bài toán đàn hồi theo chuyển dịch
Nhờ có định luật Huc và hệ thức Cô-si ta có thể đưa phương trình chuyển
động viết cho chuyển dịch , đó là phương trình La-mê

 2 u j 2 u j 2 u j 
2 u j

      2  2  2    K j   2
x j
t
 x1 x2 x3 

(2.7a)

hoặc khi không lực khối

 2 u j 2 u j 2 u j 
2 u j

      2  2  2    2
x j
t
 x1 x2 x3 
trong đó   e11  e22  e33 =

j=1,2 3

(2.7b)

u1 u2 u3


 divu
x1 x2 x3

Các điều kiện biên
* Trên biên Su chuyển vị : u(x1,x2 ,x3 ,t)  ub (x1,x2 ,x3 ,t) (2.8a)


* Trên biên S lực mặt F = Tn hay là

ij n j  Fi được đưa về

các thành phần chuyển dịch nhờ Huc và Cô-si :


ij n j  Fi  ij n j  ij  


 ui u j 


 n j  Fi

x

x
i 
 j



hay là
(2.8b)

 u u
 u
 u
 u
u 
u 
u 
u 
  1  2  3  ni   i  1  n1   i  2  n2   i  3  n3 = Fi
xi 
 x1 xi 
 x 2
 x1 x 2 x3 
 x3 xi 
i = 1,2,3


13

Điều kiện đầu tại t = 0 có :
* ui(x1 , x2 , x3 , 0) = ui0  x1 ,x2 ,x3 ,0 
*

ui
t

(2.8c)

 vi0 (x1 ,x 2 ,x3 )
t0

Để giải phương trình các phương trình (2.7a) hoặc (2.7b) với các điều kiện biên
(2.8a) , (2.8b) và điều kiện đầu (2.8c) người ta có nhiều cách giải khác nhau.
Trong nội dung của luận văn này, để giải bài toán động của lý thuyết đàn hồi,
nhờ nguyên lý chồng chất nghiệm ta dùng phương pháp Ritz, tức là sẽ tìm
nghiệm theo các thành phần chuyển dịch của vật thể cân bằng dưới dạng:


ui (x1,x2 ,x3 ,t)   Aik .fik (x1,x2 ,x3 ,t) ; ( i = 1 , 2 , 3 và không tổng theo i )
k 1

trong đó các hàm fik (x1,x2 ,x3 ,t) thỏa mãn các phương trình chuyển động. Các
hệ số Aik được xác định từ các phương trình có được bằng cách cho thỏa mãn
các điều kiện biên và điều kiện đầu.
2.1.4 Dao động của vật thể đàn hồi
2.1.4.1 Dao động tự do và dao động cưỡng bức
 Nếu lực ngoài tác động làm vật thể đàn hồi biến dạng và nằm trong trạng
thái cân bằng hoặc chuyển động, sau đó triệt tiêu tức khắc sự tác động
gây ra biến dạng, thì các phần tử của vật thể sẽ chuyển dịch tuần hoàn.
Chuyển động như vậy của vật thể đàn hồi liên quan đến biến dạng khi
không có lực ngoài gọi là dao động tự do .
Dao động tự do của vật thể đàn hồi sẽ là nghiệm của phương trình chuyển động
không lực khối (2.7b) với điều kiện biên không có lực ngoài tác động :

14

 2 u j 2 u j 2 u j 
2 u j
  u1 u2 u3 
          2  2  2    2  0
x j  x1 x2 x3 
t
 x1 x2 x3 

(2.7b)

j = 1,2 3


ij n j  0 hay ij n j  ij  


 ui u j 


 n j  0 ; i = 1 , 2 , 3

x

x
j
i



(2.9)

Chú ý rằng các phương trình (2.7b) là các phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất bậc hai, còn điều kiện biên (2.9) là biểu thức tuyến tính thuần nhất
của các vi phân bậc nhất các chuyển dịch.
Do tính chất tuần hoàn của các chuyển dịch và giả thiết các chuyển dịch ui
khả tích trên các trên các khoảng thời gian T bất kỳ nên ta có thể biểu diễn các
chuyển dịch qua chuỗi Fourier.
Chính vì vậy ta có thể tìm nghiệm của (2.7b) dưới dạng :


u j (x1,x2 ,x3 ,t)  Ak u(k) (x1,x2 ,x3 ). cos(pk t k )

(2.10)

k 1

trong đó pk được gọi là tần số vòng,

k 

pk
là tần số riêng , k là pha ban
2

đầu , các hằng số nhân Ak và hàm số u(k) được xác định từ các phương trình nhận
được khi thay (2.10) vào (2.7b) và điều kiện biên (2.9).
 Dưới tác dụng của lực ngoài thay đổi theo thời gian, các phần tử của vật
thể đàn hồi chuyển động tuần hoàn, ta gọi chuyển động đó là dao động

cưỡng bức.
Nếu có lực khối và lực ngoài tác dụng lên vật thể thì phương trình (2.7b) và hệ
thức (2.9) sẽ không thuần nhất. Khi đó nghiệm tổng quát sẽ bằng nghiệm của
thuần nhất cộng với nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.


15

Nếu tần số của lực ngoài trùng với tần số riêng nào đấy, sẽ xuất hiện hiện tượng
cộng hưởng và biên độ dao động riêng tương ứng sẽ tăng vô hạn, gây ra sự phá
hủy vật thể.
2.1.4.2 Dao động dọc của thanh
Dưới tác dụng của lực ngoài dọc trục và được phân bố đều trên tiết diện
ngang, khi đó các phần tử nằm trên các tiết diện ngang chỉ chuyển động theo
hướng trục thanh và chúng luôn trên cùng một mặt phẳng vuông góc với trục.
Tất nhiên biến dạng dọc do dãn, nén dọc trục sẽ kéo theo biến dạng ngang nào
đấy, nhưng giả thiết ở đây là bước sóng dọc lớn hơn nhiều so với kích thước tiết
diện ngang nên ta có thể bỏ qua biến dạng ngang.

Hình 2.1 Chọn hệ trục tọa độ khi xét bài toán truyền sóng trong thanh đàn hồi
Giả sử thanh có chiều dài L với trục theo chiều x, chịu tác dụng lực dọc
trục. Mặt bên không có lực ngoài tác dụng, bỏ qua lực khối. Như vậy biến dạng
ở đây chỉ có biến dạng dọc là dãn nén đơn giản do đó chỉ có một thành phần ứng
suất xx và một thành phần biến dạng exx là khác không. Gọi véc tơ chuyển
dịch là u  u(x, y,z,t)   u, v , w  , khi đó có:

 xx  E.exx  E.

u
x

16

thay vào phương trình chuyển động không lực khối (2.1b) ta nhận được :

E.
hay là

2u(x, t)
2u(x, t)


x 2
t 2
2
2 u(x, t)
2  u(x, t)
a
t 2
x 2

trong đó a được gọi là vận tốc truyền sóng , với

(2.11)

a

E


(2.12)

Phương trình (2.11) được gọi là phương trình dao động dọc của thanh.
 Nghiệm tổng quát của (2.11) được viết dưới dạng :
u(x,t) = (x  at) + (x  at)

(2.13)

trong đó các hàm  và  là các hàm khả vi đến cấp 2 , chúng được xác định
qua các điều kiện biên và điều kiện đầu.

2.2.

CHUỖI FOURIER CỦA HÀM LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN

2.2.1 Khai triển Fourier của một hàm liên tục trên [a , b]
Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a , b], khi đó f(x) khả tích trên [a, b].
Đặt hàm F(x) = f(x) với mọi x  [a , b] và F(x) tuần hoàn với chu kỳ 2T nào
đó ( thỏa mãn điều kiện 2T > b - a ), khả tích trên đoạn bất kỳ, việc làm như
vậy ta gọi là thác triển f(x) thành hàm F(x). Với tích chất tuần hoàn và khả tích
của F(x) ta khai triển được hàm F(x) thành chuỗi fourier có dạng :

kx
kx 

F(x)  a0   a kcos
 bk sin

T

T 
k 1 

(2.15)


17

với :

1
kx
a k   F(x)cos
dx ;
T T
T
T

T

1
a0 
F(x)dx ;
2T T
1
kx
bk   F(x)sin
dx
T T
T

T

(2.16)

Chuỗi lượng giác (2.15) hội tụ về đúng giá trị của F(x) tại những điểm mà
F(x) liên tục, còn tại các điểm gián đoạn loại một thì chuỗi hội tụ về giá trị trung
bình cộng của các giới hạn phải, giới hạn trái.
Như vậy chuỗi (2.15) sẽ hội tụ về giá trị của f(x) với mọi x  ( a, b) , còn
tại x  a và x  b thì tùy thuộc vào việc thác triển thành hàm F(x) có liên tục tại
các điểm này hay không.
Chú ý rằng nếu ta thác triển f(x) thành hàm F(x) :
 Nếu F(x) là một hàm chẵn thì chuỗi fourier có dạng :


F(x)  a0  a k cos
k 1

1T
với a 0   F(x)dx
T0

kx
T

(2.17)

2T
kx
dx
; a k   F(x)cos

T0
T

 Nếu F(x) là một hàm lẻ thì chuỗi fourier có dạng :

F(x) 



b
k 1

k

sin

kx
T

2T
kx
dx
với bk   F(x)sin
T0
T

(2.18)


18

2.3. MỘT SỐ CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT VA CHẠM
2.3.1 Khái niệm và các giả thiết trong lý thuyết va chạm
2.3.1.1 Thời gian va chạm : thời gian va chạm được ký hiệu là  có giá
trị rất nhỏ, thực tế thời gian va chạm thường trong khoảng 10 -4 giây đến 10-2
giây tùy thuộc vào các tính chất cơ lý của các vật va chạm.
Gọi v  v(t) là vận tốc chuyển động của cơ hệ trong thời gian va chạm thì


đại lượng :

  v(t)dt là đoạn đường dịch chuyển của cơ hệ trong thời gian
0

va chạm, vì thời gian va chạm  là vô cùng nhỏ nên người ta giả thiết trong quá
trình va chạm cơ hệ không di chuyển.
2.3.1.2 Lực và xung lực va chạm : Trong quá trình va chạm ngoài các
lực thông thường như trọng lực, lực ma sát... vật còn chịu tác dụng của phản lực
( lực tương hỗ). Lực tương hỗ gây nên gia tốc chuyển động của vật trong quá
trình va chạm và nó được gọi là lực va chạm, ký hiệu là N .
Lực va chạm N chỉ xuất hiện trong quá trình va chạm, nó không có trước
và không tồn tại sau khi va chạm.
Vì gia tốc trong thời gian va chạm rất lớn nên lực va chạm N cũng rất
lớn. Do lực va chạm N biến đổi trong thời gian  vô cùng nhỏ nên người ta
đánh giá tác dụng của nó qua xung lượng:

S  m.v


19

Áp dụng định lý biến thiên động lượng cho cơ hệ trong thời gian va chạm,
ta có :




0

0

mk vk   F k dt   Ndt


trong đó xung lượng của lực thường

 F dt
k

rất nhỏ và ảnh hưởng đến sự

0

biến đổi động lượng của hệ là không đáng kể nên giả thiết có thể bỏ qua. Do vậy
biểu thức biến thiên động lượng của hệ trong thời gian va chạm :

mk vk 



 Ndt

= S

0

Xung lượng S = | S | có thứ nguyên [ lực. thời gian]
với các đơn vị : N.s ; KG. s ; KN.s

Hình 2.2 : Xung lực N = f(t) ; xung lực trung bình N*

(2.19)


20

2.3.1.3 Giai đoạn biến dạng - Giai đoạn hồi phục :
Quá trình va chạm được chia thành hai giai đoạn : giai đoạn biến dạng và
giai đoạn hồi phục .
Giai đoạn biến dạng trong thời gian 1 từ lúc bắt đầu va chạm cho đến khi
thôi biến dạng. Giai đoạn hồi phục kéo dài trong thời gian 2 từ khi kết thúc
giai đoạn biến dạng đến khi lấy lại hình dạng ban đầu ở một mức độ nhất định
nào đấy tùy theo tính chất đàn hồi của vật. Theo mức độ hồi phục của vật mà
người chia va chạm thành ba loại :
 Va chạm mềm là va chạm sau giai đoạn biến dạng vật không có khả năng
hồi phục, do vậy không có giai đoạn hồi phục.
 Va chạm hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va chạm thì
vật lấy lại hình dạng như ban đầu.
 Va chạm không hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va
chạm thì vật chỉ lấy lại một phần hình dạng ban đầu.

Người ta đưa ra khái niệm về hệ số hồi phục k - là tỷ số giữa xung lượng của
giai đoạn 2 ( giai đoạn hồi phục) và xung lượng của giai đoạn 1 ( giai đoạn biến
dạng) :

k

S2
S1

(2.20)

Như vậy với va chạm mềm thì k = 0 , với va chạm hoàn toàn đàn hồi thì k = 1,
với va chạm không hoàn toàn đàn hồi thì 0 < k < 1.


21

2.3.2 Định lý biến thiên động lượng - Bài toán va chạm thẳng xuyên tâm
2.3.2.1 Định lý biến thiên động lượng : Xét va chạm của cơ hệ gồm n
chất điểm với các khối lượng tương ứng là m1 , m2 , ... , mn có khối tâm C và
vận tốc VC . Khi đó biểu thức động lượng của cả hệ là :

S

n

 mk vk  M.vC

n

M   mk là khối lượng của cả hệ.

với

k 1

k 1

Gọi tổng xung lượng va chạm ngoài tác dụng lên chất điểm mk là hệ là

S và xung lượng va chạm trong là S khi đó
e
k

i
k

n

S

k 1

i
k

 0

Nếu bỏ qua xung lượng của lực thường thì định lý biến thiên động lượng
cho hệ sẽ là :

M.vC(2)  M.vC(1) 

n

S
i 1

e
i

(2.21)

trong đó vC(1) và vC(2) là vận tốc khối tâm của hệ trước và sau lúc va chạm.

m.v2
Động năng của hệ Q 
( có thứ nguyên : lực . độ dài ). Trong bài
2
toán va chạm thì định lý về biến thiên động năng không thể áp dụng được vì ta
đã giả thiết trong quá trình va chạm cơ hệ không di chuyển.

Trong thực tế

khi va chạm động năng của vật bị mất mát do chuyển hóa thành nhiệt và hoặc
sang biến dạng dư. Nếu gọi Q1 và Q2 là động năng của hệ ngay trước và sau khi
va chạm thì luôn có :  Q = Q 1 - Q 2 > 0 .
Lượng mất động năng

 Q phụ thuộc vào nhiều yếu tố : trạng thái

chuyển động, tính chất cơ lý của vật va chạm.


22

Tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán đặt ra mà ta cần tăng hay giảm lượng mất
động năng  T :
 Nếu sử dụng va chạm để gây ra biến dạng dư : như rèn, dập vật
liệu,... thì ta cần tăng lượng mất động năng  Q
 Nếu sử dụng va chạm để gây ra sự chuyển động của vật như đóng
cọc, va đập để phá hủy công trình ... thì cần giảm lượng mất động
năng  Q
2.3.2.2 Bài toán va chạm thẳng xuyên tâm
Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật là va chạm có đường va
chạm trùng với đường thẳng xuyên tâm n - n' của hai vật và vận tốc khối tâm
của chúng đều nằm trên đường xuyên tâm. ( hình 2.3)

Hình 2.3 Mô tả khái niệm va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật .
Hai vật có khối lượng M1 và M2 chuyển động với các vận tốc v1 và v2 va
chạm xuyên tâm vào nhau có hệ số phục hồi k . Khi đó ta có được mô tả cơ học
trên hình 2.4


23

Hình 2.4 Mô hình cơ học của va chạm xuyên tâm giữa hai vật
Gọi u là vật tốc của hai vật ở cuối giai đoạn biến dạng, u1 và u2 là vận tốc
của vật 1 và vật 2 ở cuối giai đoạn hồi phục. Áp dụng định lý biến thiên động
lượng cho mỗi vật ở giai đoạn biến dạng và hồi phục ta nhận được :

Ở giai đoạn biến dạng :
M1 ( u - v1 ) =

-S

(2.22)

M2 ( u - v2 ) =

S

(2.23)

Ở giai đoạn hồi phục :
M1( u1 - u ) = - S'

(2.24)

M2 ( u2 - u ) =

(2.25)

và ta có

S'

S' = k S

(2.26)

Từ các phương trình trên giải ra ta được vận tốc của các vật sau giai đoạn phục
hồi :

u1  v1  (1 k)

M2
(v1  v2 )
M1  M2

(2.27)


24

u2  v2  (1 k)

M2
( v1  v2 )
M1  M2

(2.28)

Khi đó động năng của hệ có lượng mất động năng  Q là :  Q = Q1 - Q2
tức là  Q =

M1 2
M
(v1  u12 )  2 (v22  u 22 ) . Thay các giá trị từ (2.27), (2.28) ta
2
2

được :

Q 

M1M2
2
1  k2 . v1  v2 

2  M1  M2 

Nếu xét vật 1 là búa có vận tốc v1 , còn vật 2 là cọc bê tông có vận tốc v2 = 0

M1 v12
thì ta có động năng ban đầu Q0 
và hiệu suất  của búa được tính :
2

Q0  Q
Q
M2
1  k2
2

 1
 1  1  k 
 1
M
Q0
Q0

M1  M2
1 1
M2
Như vậy muốn tăng hiệu suất của búa thì phải tăng tỷ số
khối lượng búa lớn hơn nhiều so với khối lượng của cọc.

(2.29)

M1
tức là phải tăng
M2


25

CHƯƠNG 3

MÔ HÌNH HÓA VÀ THIẾT LẬP BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC BÊ
TÔNG BẰNG BÚA MÁY - PHƯƠNG PHÁP GIẢI
3.1. BÚA ĐIÊZEN
Hoạt động bằng năng lượng do đốt cháy hơi đốt là hỗn hợp giữa nhiên liệu và
không khí tác động trực tiếp lên quả búa

Hình 3.1 Sơ lược cấu tạo và nguyên lý công tác của búa điêzen
a) Kiểu thanh dẫn: 1. Bệ đỡ trên; 2. Răng cưa; 3. Miệng phun;
4. Thanh dẫn; 5. Móc treo; 6. Xà ngang; 7. Tay đòn; 8. Thanh treo móc cẩu;