Ứng dụng đạo hàm vào giải phương trình

Giải phơng trình
Khi sử dụng đạo hàm trong giải phơng trình, phơng pháp chung là:
Ta thờng chọn hàm số thích hợp. Giả sử hàm số
( )f x
xác định trên D, kiểm tra
tính liên tục, khả vi của
( )f x
trên D.
Khảo sát hàm số
( )f x
để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng
công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm
( )f x
để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các
0
Dx

mà
0
x
là nghiệm của phơng trình
( ) 0f x
=
Kết luận nghiệm của phơng trình
( ) 0f x
=
.
Đồng thời sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu

( )f x
là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì phơng
trình
( ) kf x
=
nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Chứng minh
Xét trờng hợp
( )f x
là hàm số đồng biến.
Giả sử phơng trình
( ) 0f x
=
có hai nghiệm
1 2 1 2
; ( ).x x x x
<
Nên
1 2
( ) ( ) k.f x f x
= =
Do là hàm số
( )f x
là hàm số đồng biến nên từ
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
< <
mâu
thuẫn với
1 2

( ) ( ) kf x f x
= =
. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy phơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Đối với trờng hợp
( )f x
là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự.
Tính chất 2: Nếu
( )f x
là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b)

( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v
= =
.
Chứng minh
Xét trờng hợp
( )f x
là hàm số đồng biến.
Nếu
( ) ( )u v f u f v
= =
(hiển nhiên).
Ta đi chứng minh nếu
( ) ( )f u f v u v
= =
.
Giả sử
u v

,không mất tính tổng quát ta giả sử

u v
<
.
Do là hàm số
( )f x
là hàm số đồng biến nên
( ) ( )f u f v
<
mâu thuẫn với giả
thiết. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy
( ) ( ), , (a;b)f u f v u v u v
= =
Đối với trờng hợp
( )f x
là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự.
Tính chất 3: Nếu
( )f x
là hàm số tăng còn là
( )g x
hàm số giảm trên
( ; )a b
thì
phơng trình
( ) ( )f x g x=
có nhiều nhất là một nghiệm.
Chứng minh
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) 0.f x g x f x g x
= =

Xét hàm số
( ) ( ) ( )h x f x g x
=
trên
( ; )a b
. Khi đó
( )h x
là hàm số đồng biến trên
( ; )a b
.
Theo tính chất 1 thì phơng trình
( ) 0h x
=
có nhiều nhất là một nghiệm.

Đpcm.
Ví dụ 5: Giải phơng trình sau:

= + + +
3
3 1 log (1 2 ). (6.3)
x
x x
( TH & TT )
Giải:
Điều kiện:

>
1
.

2
x
Đặt
= + + =
3
log (1 2 ) 1 2 3 .
y
y x x
Ta có
+ = + + + + = +
3
(6.3) 3 1 2 log (1 2 ) 3 3 . (6.4)
x x y
x x x x y
Xét hàm số
( ) 3
t
f t t
= +
trên
1
( ; )
2

+
. Có

= + > >
1
'( ) 3 ln3 1 0 .

2
t
f t t
Nên hàm số
( )f t
là hàm số đồng biến trên

+
1
( ; ).
2
Khi đó
= = = + =
3
(6.4) ( ) ( ) log (1 2 ) 3 2 1 0.
x
f x f y x y x x x
Đặt

= >
1
( ) 3 2 1, .
2
x
g x x x
Mà

= = > >
2
1

'( ) 3 ln3 2, ''( ) (3 ln3) 0, .
2
x x
g x g x x

'( )g x

là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :
= > = <
'(2) 9ln3 2 0, '(0) ln3 2 0.g g
'( ) 0g x
=
có nghiệm duy nhất

=
.x
Ta có bảng biến thiên
x
-1/2 0

2
+
'( )g x
- 0 +
( )g x
( )g

Từ bảng trên

nếu

( ) 0g x
=
có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm
Mặt khác,
(0) (1) 0g g
= =
.
Do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
0, 1x x= =
.
Ví dụ 6: Giải phơng trình
2 2
1 1 1 1x x x x x x
+ + + + + + =
.
Giải:
Điều kiện:
2 2
2 2
1 0 1 (6.5)
1 1 0 1 1.(6.6)
x x x x x x
x x x x x x

+ + +



+ + + + + +

Giải (6.5):
Nếu
0x

(6.5) luôn đúng.
Nếu
2 2
0 (6.5) 1 1 0 1x x x x x x
< + < <
0x
<
Chứng tỏ (6.5) đúng với
x

Ă
.
Giải (6.6):
Nếu
1x

(6.6) luôn đúng
Nếu
2 2 2 2
1 (6.6) 1 ( 1) 1 2 1x x x x x x x x
< + + + + + +
0x
. Kết hợp với
1x
<

1.x
<
Chứng tỏ (6.6) đúng với
x Ă
.
Vậy:
D = R
.
Viết lại phơng trình dới dạng
+ + + = + + + + + + +
2 2
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) (6.7)x x x x x x x x
Xét hàm số
= + + +
2
( ) 1 .f t t t t t
Ta có
+ +
= +
+ + +
2
2 2
2 1 2 1
'( ) 1.
4 1 1
t t t
f t
t t t t t
Mặt khác
+ + = + + > +

2 2
2 1 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0.t t t t t t t
Vậy
'( ) 0f t t
>


hàm số
( )f t
luôn đồng biến trên
R.
.
Khi đó
= + = +
(6.7) ( ) ( 1) 1f x f x x x
(vô nghiệm).
Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 7: Giải phơng trình

5 7 16 14x x x x
+ + + + + =
.
Giải:
Điều kiện:

5.x
Xét hàm số
( ) 5 7 16f x x x x x
= + + + + +
trên

5.x
Ta có :
= + + + > >
+ +
1 1 1 1
'( ) 0, 5.
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
Hàm số
( )f x
đồng biến trên
+
(5; ).
Có
= + + + = = =
(9) 3 2 4 5 14 ( ) (9) 9.f f x f x
Phơng trình trên có nghiệm duy nhất là
9x =
.
Ví dụ 8: Giải phơng trình
2 2
log (3log (3 1))x x
=
.
Giải:
Đặt
2
1

log (3 1),
3
y x x
= >
d
.
Do đó ta có hệ phơng trình
=


=

2
2
log (3 1)
log (3 1).
y x
y xd

Cộng vế với vế ta đợc:
+ = +
2 2
log (3 1) log (3 1) . (6.8)x x y y
Xét hàm số
= + >
2
1
( ) log (3 1) , .
3
f t t t t

Có
= + > >

3 1
'( ) 1 0, .
(3 1)ln2 3
f t x
t
Hàm số
( )f t
là hàm đồng biến trên
+
1
( ; ).
3
= = = + =
2
(6.8) ( ) ( ) log (3 1) 2 3 1 0.
x
f x f y x y x x x
Xét hàm
= + =
( ) 2 3 1, '( ) 2 ln2 3.
x x
g x x g x
Ta có :
= = =
0 2
3

'( ) 0 log ( ).
ln2
g x x x
Mà
> > < <
0 0
'( ) 0 , '( ) 0 .g x x x g x x x
Nên hàm số
( )g x
nghịch biến trên
0
( ; )x

, đồng biến trên
+
0
( ; ).x
Do đó phơng trình
( ) 0g x
=
có không quá hai nghiệm trên
R
.
Mà
= =
(0) (1) 0.g g
Giá trị
0x =
(loại do không thuộc tập xác định).
Do vậy

1x =
là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho.
Ví dụ 9: Giải phơng trình
1
7
7 6log (6 5) 5
x
x

=
.
Giải:
Điều kiên:
>
5
.
6
x