7.De thi vao 10 (co dap an)

Sở giáo dục đào tạo
Hà nội
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
năm học 2008-2009
Đề chính thức Môn thi: Toán
Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2008
Thời gian: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức P=
1
:
1
x x
x x x x

+
ữ ữ
ữ ữ
+ +

.
1)Rút gọn P
2)Tính giá trị của P khi x=4.
3)Tìm x để P=
13
3
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy. tháng thứ hai tổ I vợt mức
15% và tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết
máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?

Bài III (1 điểm)
Cho parabol (P): y=
2
1
4
x
và đờng thẳng y= mx+1.
1)Chứng minh với mọi giá trị của m đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai
điểm phân biệt.
2)Gọi A và B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m
(O là gốc toạ độ).
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB = 2R và E là điểm bất kỳ trên đờng tròn đó
(E khác A và B). Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đờng tròn (O)
tại điểm thứ hai là K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA.
2) Gọi I là giao điểm của đờng trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đờng tròn
(I) bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E và tiếp xúc với đờng thẳng AB tại F.
3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lợt là giao điểm thứ hai của AE,
BE với đờng tròn (I).
4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên
đờng tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK ; Q là giao điểm của MF và BK.
Bài V (0,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết
A =
4 4 2 2
( 1) ( 3) 6( 1) ( 3)x x x x + +
.
-----------------------Hết----------------------
Họ và tên thí sinh: ............................................Số báo danh:.........................................

Chữ kí giám thị số 1:.................... Chữ ký giám thị số 2:......................

Đáp án:
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức P=
1
:
1
x x
x x x x

+
ữ ữ
ữ ữ
+ +

.
1)Rút gọn P
P=
( ) ( )
( )
1 1
1 1
.
( 1)
1
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x

+ + +
+ + + + +
= =
+
+
2)Tính giá trị của P khi x=4.
X=4
4 4 1 4 2 1 7
3,5
2 2
4
P
+ + + +
= = = =
3)Tìm x để P=
13
3
13 1
13 3( 1) 3 10 3 0
3
x x
P x x x x x
x
+ +
= = = + + + =
( ) ( )
1 2
1
3 1 3 0 9,
9

x x x x = = =
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy. tháng thứ hai tổ I vợt mức
15% và tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết
máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?
Giải:
Gọi số chi tiết máy sản xuất đợc ở tháng thứ nhất của tổ thứ nhất thứ hai lần lợt là: x
(chi tiết) và y (chi tiết) (x, y nguyên dơng)
Theo bài ra tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy nên ta có phơng trình:
x+y=900 (1)
Tháng thứ II: số sản phẩm tổ thứ nhất vợt mức là 15%x (chi tiết), số sản phẩm tổ thứ hai
vợt mức là 10%y (chi tiết), số sản phẩm cả 2 tổ vợt mức là: 1010-900=110 (chi tiết) nên
ta có phơng trình: 15%x+10%y=110 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ
900 (1)
15% 10% 110 (2)
x y
x y
+ =


+ =

Giải hệ phơng trình ta có nghiệm là: (x;y)=(400;500)
TL...............................................
Bài III (1 điểm)
Cho parabol (P): y=
2
1

4
x
và đờng thẳng y= mx+1.
1)Chứng minh với mọi giá trị của m đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm
phân biệt.
Giải: Hoành độ giao điểm parabol (P): y=
2
1
4
x
và đờng thẳng y= mx+1là nghiệm của ph-
ơng trình:
2
1
4
x
=mx+1 hay x
2
-4mx-4=0 (*)
Xét
'
=4m
2
-1.(-4)=4m
2
+4>0 với mọi giá trị của m

phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm
phân biệt hay đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
N

M
I
F
K
O
A
B
E
Q
P
2)Gọi A và B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là
gốc toạ độ).
Giải: gọi giao điểm của đờng thẳng y=mx+1 là C ta có S
AOB
=S
AOC
+S
BOC
=
( )
1 1 1
. .
2 2 2
A B A B
OC X OC X OC X X+ = +
(X
A
,X
B
có độ dài bằng giá trị tuyệt đối nghiệm ph-

ơng trình (*)
Mà theo vi ét ta có: X
A
+ X
B
=4m và OC=1nên S
AOB
=
1
2
.1.4m=2m.
Vậy.............................
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB = 2R và E là điểm bất kỳ trên đờng tròn đó (E khác
A và B). Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đờng tròn (O) tại điểm
thứ hai là K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA.
2) Gọi I là giao điểm của đờng trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đờng tròn (I)
bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E và tiếp xúc với đờng thẳng AB tại F.
3) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lợt là giao điểm thứ hai của AE, BE với
đờng tròn (I).
4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đờng
tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK ; Q là giao điểm của MF và BK.
Chứng minh:
1)Xét

KAF và

KAE ta có: góc
à

K
chung,
ã
ã
AEK KEB=
(gt)
ã ã
EAK BAK=
(tính chất góc nội tiếp)
Do đó:
ã
ã
BAK AEK=
suy ra:

KAF
:


KAE (g.g)
2)Ta có I

OE suy ra IE+IO=OE

IO=OE-IE
Do đó đờng tròn (O) tiếp xúc trong với đờng tròn (I)
*)Nối IF ta có IF=IE (tính chất đờng trung trực)
Ta có:
ã
ã

ã ã
0
45AFE FEB EBF EBF= + = +
Mà
ã
ã
ã
ã
FEI IFE va OBE BEO= =
(góc đáy tam giác cân)
Do đó:
ã
ã
ã
0 0 0
45 45 90AFE EFI AFI+ = + = =
hay IF

AB
Vậy đờng tròn (I;IE) tiếp xúc với AB tại F
3)Ta có:
ã
0
90AEB =
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
Suy ra M, I, N thẳng hàng
Mà
ã
0
90MIF =

(quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm...) hay MN

IF
Suy ra MN//AB (........)
4)Hớng: ta hoàn toàn chứng minh đợc PFQK là hình chữ nhật nên C
PKQ
=C
PFQ
Lại có: PF=
. 2
2
AF
và FQ=
2
2
FB
suy ra PF+FQ=
( )
2 2
2 2
R
PF FQ+ =
=không đổi
Mà FK

OK (vì OK

AB....) suy ra C
PKQ
nhỏ nhất=

2
2 2
.
2 2
R R
R =
Bài V (0,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết
A =
4 4 2 2
( 1) ( 3) 6( 1) ( 3)x x x x + +
.
Giải: Đặt (x-2)
2
=t

0 ta có: A=(t+1)
4
+(t-1)
4
+6(t+1)
2
(t-1)
2
Suy ra A=t
4
+4t
3
+6t
2

+4t+1+ t
4
-4t
3
+6t
2
-4t+1+6(t
2
-1)
2
=2t
4
+12t
2
+2+6(t
4
-2t
2
+1)=8t
4
+8
≥
8 suy ra A
MIN
=8
⇔
t=0 hay x=2