Chương III. §5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

`


1/ Giải phương trình:

a / ( 2x - 1)( 3x + 6) = 0
3x - 2 2x - 3
b/
=
4
3
2/ Không giải phương trình, hãy kiểm tra xem x = 1

1
1
= 1+
có là nghiệm của phương trình x +
x −1
x −1
không ?


1/. (2x – 1)( 3x + 6) = 0
2x – 1 = 0 hoặc 3x + 6 = 0
2x = 1

hoặc 3x = -6

x =½

hoặc x = -2

Vậy : S = { ½ ; -2}


§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
1. Ví dụ mở đầu:
Thử giải phương trình
Chuyển vế:

x

x

+

1
1
−
+
= 1 x −1
x −1

(1)

=1

Thu gọn:

?1

x =phải
1 có là
phải
là nghiệm
của phương
trình
1 )đó
hay
x Giá
= 1 trị
không
nghiệm
của phương
trình (1)
vì (tại
giákhông
trị của?
Vì sao?
hai vế không xác định.


§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
1. Ví dụ mở đầu:
2. Tìm điều kiện xác định của một phương
trình.

Điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0
được gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

2
1
2x + 1
b)
= 1+
a)
=1
x−1
x+ 2
x− 2
Giải:

Vì x – 2 = 0 Û x = 2

Giải:

Ta thấy x - 1 ≠ 0 khi x ≠ 1 và
x +2 ≠ 0 khi x ≠ –2

2
1
nên ĐKXĐ của phương trình
= 1+
Vậy ĐKXĐ của phương trình
2x + 1
x−1
x+ 2
= 1 là x ≠ 2
là x ≠ 1 và x ≠ –2
x− 2

§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
?2 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương
trình sau:

x
x+ 4
a)
=
x−1 x+1

Giải:

Ta cã : x – 1 ≠ 0 khi x ≠
1
và x
+1
≠ 0 khi
x≠
Vậy ĐKX§
cña
phương
trình
-1x ≠ 1 vµ x ≠ -1
lµ:

3
2x − 1
b)

=
−x
x− 2 x− 2
Giải:

Ta cã: x – 2 ≠ 0 khi x ≠ 2
VËy §KX§ cña phương
trình lµ : x ≠ 2


§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
3. Giải phương trình chứa ẩn ở
x+2
2x + 3
mẫu.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(2)
=
x

Phương pháp giải

2 ( x − 2)

- ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 0 và x ≠ 2

- Quy đồng mẫu hai vế, ta được:
Suy ra

Tìm ĐKXĐ

2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) x ( 2x + 3)
=
2x ( x − 2 )
2x ( x − 2 )

2(x + 2)(x – 2) = x(2x + 3) (2a)

Quy đồng
mẫu và
khử mẫu

- Giải phương trình: (2a) ⇔ 2(x2 – 4) = 2x2+3x
⇔ 2x2 – 8 = 2x2 +3x
⇔ 3x = – 8

-8
Û x=
3

Giải phương trình

(thỏa mãn ĐKXĐ)

−8
-Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {
}
3

Kết luận

§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
3. Giải phương trình chứa ẩn ở
mẫu
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4. ( Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3,
các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của
phương trình đã cho.


§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
3. Giải phương trình chứa ẩn ở
x+2
2x + 3
mẫu.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(2)
=
x

Phương pháp giải

2 ( x − 2)

- ĐKXĐ của phương trình làx ≠ 0 và x ≠ 2

Tìm ĐKXĐ

2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) x ( 2x + 3)
=
-Quy đồng mẫu hai vế, ta được:
2x ( x − 2 )
2x ( x − 2 )

Suy ra:

2(x + 2)(x – 2) = x(2x + 3) (2a)

Quy đồng
mẫu và
khử mẫu

- Giải phương trình:(2a) ⇔ 2(x2 – 4) = 2x2+3x
⇔ 2x2 – 8 = 2x2 +3x
⇔ 3x = – 8

-8
Û x=
3

Giải phương trình

(thỏa mãn ĐKXĐ)

−8
- Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S ={

}
3

Kết luận


§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
4. Áp dụng
Ví dụ 3. Giải phương trình
Giải:

x
x
2x
+
=
(3)
2( x - 3) 2x + 2 ( x +1)( x - 3)

ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 3

x ( x +1) + x ( x - 3)
4x
( 3) Û 2( x +1)( x - 3) = 2( x +1)( x - 3)

Þ x ( x +1) + x ( x - 3) = 4x
Û x 2 + x + x 2 - 3x - 4x = 0
Û 2x 2 - 6x = 0
Û 2x ( x - 3) = 0

Û 2x = 0 hoặc x – 3 = 0
( thỏa mãn ĐKXĐ )
1/ 2x = 0 Û x = 0

2/ x - 3=0 Û x =3

(loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = { 0 }


§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
?3

Giải các phương trình trong ?2

x
x+ 4
a)
=
x−1 x+1
Giải:

(a)

ĐKXĐ: x ≠ 1 và x ≠ -1

x ( x + 1)

x + 4) ( x − 1)

(
(a) ⇔
=
( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1)

⇒ x ( x + 1) = ( x + 4) ( x − 1)

⇔ x + x = x + 3x − 4
⇔ −2x = −4
⇔ x = 2 ( thỏa mãn ĐKXĐ )
2

2

Vậy tập nghiệm của phương trình (a)
là S = { 2 }

3
2x − 1
b)
=
−x
x− 2 x− 2

(b)

Giải:

ĐKXĐ: x ≠ 2

2x − 1− x ( x − 2)
3
(b) ⇔
=
x− 2
x− 2

⇒ 3 = 2x − 1− x ( x − 2)

⇔ x − 4x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) = 0
2

2

⇔ x− 2= 0
⇔ x = 2 ( loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy tập nghiệm của phương trình (b)
là S = Ф



Đ5. PHNG TRèNH CHA N MU
1
1
2
Bi 28c sgk: Gii phng trỡnh x + = x + 2
x
x
Giaỷi
ẹKXẹ: x 0

x.x 2 + 1.x x 2 .x 2 + 1
(c )
=
2
2
x
x
3
4

(c)

x + x = x +1

x 4 x3 x + 1 = 0
( x 4 x3 ) ( x 1) = 0

( x 1) ( x 3 1) = 0
2
( x 1) ( x 2 + x + 1) = 0
( x 1) = 0
2

( Vỡ

2

1 3
x + x + 1 = x + ữ + > 0)
2 4

2

x = 1(thoaỷ maừn KX )

Vaọy taọp nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (c)
S = {l1}


HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Xem lại các ví dụ đã thực hiện trong bài.

- Nắm chắc cách tìm điều kiện xác định và cách giải phương trình
chứa ẩn ở mẫu.
- Làm bài tập 27b,28,30,31,32 (SGK-22,23)

Hướng dẫn bài 28c (cách khác)

1
1
2
Giải phương trình: x +
=x + 2
x
x
ĐKXĐ:
1
1
2
2
x

+
=
t
−2
thì
Đặt t = x +
2
x
x
2
Phương trình (d) trở thành:

(d)

t −t−2=0

Giải phương trình ẩn t

1
Thay giá trị của t vào t = x + ta giải các phương trình ẩn x
x
Kết luận tập nghiệm của phương trình (d)


Cảm ơn các thầy cô đã đến dự tiết học !
Chúc các em tiến bộ hơn trong học tập !