Chương III. §5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ai nhanh nhất
Bài 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của các phương trình sau:

2x +1
a,
=1
x-2
x
x
2x
b,
+
=
2( x − 3) 2 x + 2 ( x + 1)( x -3)
x2 + 2x + 1
=0
e,
x +1

c,

1
1  2
+ 2 =  + 2 ÷( x + 1)
x
x 

d,

2x - 4
=0

2
x +1

f,

x 2 ( x − 3)
=0
x

g,

1
x −3
+3=
x−2
2−x


a, ĐKXĐ: x ≠ 2
b, ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 3
c, ĐKXĐ: x ≠ 0
d, ĐKXĐ: Mọi x
e, ĐKXĐ: x ≠ -1
f,

ĐKXĐ: x ≠ 0

g,

ĐKXĐ: x ≠ 2

- Nêu các bước giải phương trình chứa ẩn ở
mẫu?
- So với giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu
thì giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có gì khác?


• Bước 1:Tìm điều kiện xác định của
phương trình.
• Bước 2:Quy đồng mẫu hai vế của phương
trình rồi khử mẫu.
• Bước 3:Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4(Kết luận)Đối chiếu các giá trị tìm
được của ẩn, giá trị nào thoả mãn điều
kiện xác định thì đó chính là nghiệm của
phương trình.


Bài 29 (Sgk trang 22,23).

x 2 - 5x
= 5 (1) như sau:
Bạn Sơn giải phương trình
x-5

(11 x2 – 5x = 5(x – 5)  x2 – 5x = 5x – 25  x2 - 10x + 25 = 0
 (x – 5)2 = 0  x = 5.
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có
chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

x(x - 5)
= 5 x=5
(11
x-5

Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải nói trên?

Trả lời: Cả hai lời giải đều sai vì đã khử mẫu mà không chú ý đến
ĐKXĐ của phương trình.
- ĐKXĐ của phương trình là x ≠ 5 do đó giá trị x = 5 bị loại.
- Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
- Sử dụng dấu “” không chính xác


Lời giải
Cách 1: - ĐKXĐ: x ≠ 5

x 2 - 5x
5(x - 5)
=
- Ta có (1) 
x-5
x-5

Suy ra x2 – 5x = 5(x – 5)  x2 – 5x = 5x – 25  x2 - 10x + 25 = 0
 (x – 5)2 = 0  x = 5.
- Giá trị x = 5 không thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2: - ĐKXĐ: x ≠ 5

x(x - 5)
= 5
- Ta có (1) 
x-5
Suy ra x = 5
- Giá trị x = 5 không thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm


Giải phương trình:
(B1)
(B2)

x +1 x −1
4
−
= 2
( 1)
x −1 x +1 x −1

ĐKXĐ: x ≠ 1 và x ≠ -1.
Quy đồng và khử mẫu ta có:

( x + 1)2
( x − 1)2
4
−
=
( 1) ⇔

( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

⇒ ( x + 1)2 − ( x − 1)2 = 4
(B3)

⇔ ( x + 1 + x − 1)( x + 1 − x + 1) = 4
⇔ 2 x (1 + 1) = 4 ⇔ 4 x = 4 ⇔ x = 1

(B4)

x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm(hay S = φ)


Lưu ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu chúng ta cần thực hiện đủ 4 bước.
- Khi trình bày chú ý sử dụng dấu “” phù hợp.
- Khi quy đồng khử mẫu nên viết về phương trình mà mỗi vế là một phân
thức đại số có cùng mẫu từ đó suy ra hai biểu thức trên tử bằng nhau rồi
giải phương trình.
- Trước khi tiến hành giải phương trình cần chú ý xem phương trình đã
cho có gì đặc biệt từ đó có thể suy ra nghiệm hoặc việc biến đổi có thể
đơn giản hơn.


Đúng hay sai?
a, Phương trình

2x - 4

=0
2
x +1

có nghiệm x = 2

b. Phương trình

( x − 1)( x + 2)
=0
2
x − x +1

c, Phương trình

x2 + 2x + 1
=0
x +1

d, Phương trình

x 2 ( x − 3)
=0
x

có tập nghiệm là S ={ -2; 1}

có nghiệm x = -1

có tập nghiệm S = {0; 3}

Đúng

Đúng

Sai

Sai


2

2

1
1


=  x −1− ÷
Giải phương trình: d )  x + 1 + x ÷
x



ĐKXĐ: x ≠ 0

(B1)

2

2

1
1


 x +1+ x ÷ −  x −1− x ÷ = 0




1
1 
1
1

⇔  x + 1 + − x + 1 + ÷ x + 1 + + x − 1 − ÷ = 0
x
x 
x
x

2

⇔  2 + ÷( 2 x ) = 0
x

2
⇔ 2 + = 0 hoặc 2x=0
x

2
2x + 2
1) 2 + = 0 ⇔
= 0 ⇒ 2x +2 =0 ⇔ x =-1
x
x
(B4)

2) 2x=0

⇔ x=0

(t/m ĐKXĐ)

Giá trị x=0 không thoả mãn ĐKXĐ nên loại. Vậy
s={-1 }


Giải phương trình:

1
1

+ 2 =  + 2 ( x 2 + 1)
x
x


ĐKXĐ: x ≠ 0

1
1
 2
1
 2
+ 2 =  + 2 ( x + 1) ⇔  + 2  x = 0
x
x

x

1
2
⇔x =0

hoÆc

+2=0

x
1+ 2x
⇔
x
=
0
hoÆc
=
0
.
x

1
Theo ĐKXĐ: x ≠ 0 nên ta có: 1+2x = 0 ⇔ x= −
2

Kết luận: Giá trị x = 0 bị loại do không thoả mãn ĐKXĐ.
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −
2


Giải phương trình:
ĐKXĐ: x ≠ 1

1
3x 2
2x
− 3
= 2
x−1 x −1 x + x+1

1
3x 2
2x
x 2 + x + 1 3x 2
2x( x − 1)
− 3
= 2
⇔
− 3
=

3
x−1 x −1 x + x+1
x −1
x −1
x3 − 1

Quy đồng và khử mẫu ta có:
x 2 + x + 1 − 3x 2 = 2x( x − 1) ⇔ x 2 + x + 1 − 3x 2 = 2x 2 − 2x
⇔ x 2 + x + 1 − 3x 2 − 2 x 2 + 2x = 0 ⇔ −4x 2 + 3x + 1 = 0
⇔ 4x 2 − 3x − 1 = 0 ⇔ 4 x 2 − 4 x + x − 1 = 0
⇔ 4x( x − 1) + ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)(4x + 1) = 0
⇔ x − 1 = 0 hoÆc 4x + 1 = 0
1
⇔ x = 1 hoÆc x = −
4
x = 1 không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy S =

1
{4

}


Giải phương trình:
y +1
5
12
a)

−
= 2
+1
y−2 y+2 y −4
1 1 1
1
b) + +
=
x a b
x+a+b

2x2
x +1
3
c) 3
+ 2
=
x − 8 x + 2x + 4 x − 2


Dặn dò
- Nắm chắc các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Hoàn chỉnh các bài tập trên lớp.
- Làm tiếp những bài tập trong SGK, SBT
⇒ 1 + 3( x − 2) = − x + 3
⇔ 1 + 3x − 6 = − x + 3
⇔ 3x + x = 3 + 6 − 1