Bài tập Ôn cuối năm

Trường THCS Tân Định
Năm học 2009 - 2010
Tiết 69

Giáo viên dạy : Phạm Diệu Huyền


Bài tập
Tam giác ABC cân tại A .Trung tuyến BM, CN cắt nhau tại
G (M ∈AC, N ∈AB) . Chứng minh:
a) BM = CN
b) ∆BGN = ∆CGM
c) AG là đường trung trực của MN


Bài 1: Quan sát hình vẽ rồi điền vào chỗ trống () nội dung
Các đờng đồng quy của tam
thích hợp.
Agiác
A
A
A
E

F

M

G
B

D

K

L
I

C B

K

O
C B

Điểm G là
trọng
củatâm
tam giác
ABC

Điểm I là giao
điểm của ba
đờng phân
giác
của tam giác
ABC

GA = 2
. . . AD

GA GB3 GC 2
= 2
= =
AD
GB BE
= . .CF
. BE 3
3
2
GC = . . . CF
3

* IK =IM. . . IL
= ...
*Điểm I cách
đều
ba cạnh của

*OA =OB
. . . OC
= ...
*Điểm O cách
đều
ba đỉnh của

tam
giác ABC.

tam
giác ABC.

..

..
.

H

.

..
.

..
.
..
.

CB

I

Điểm O là
Điểm H là
tõm
trực tâm
đờng tròn
ngoại
tiế tam giác ABCcủa tam giác
p

ABC

C

..

..
..
.


..
.
..
.

..
.


A

B

∆ABC cân tại A
AH ⊥ BC

D

C

AH đồng thời là đường trung trực của
=> cạnh BC, đường trung tuyến và đường
phân giác cùng xuất phát từ đỉnh A

Trong tam giác cân, một trong bốn đường sau: đường trung trực
ứng với đáy, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác
cùng xuất phát từ đỉnh A đồng thời là ba đường còn lại
Tam giác có hai trong bốn loại đường (trung tuyến, trung trực,
đường cao, phân giác) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân


A

F

B

O

D

E

C

Tam giác ABC đều trung tuyến AD, BE, CF đồng thời là
đường cao, đường trung trực, đường phân giác
……………………………………………………….
Nếu tam giác ABC đều thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách

đều ba đỉnh và điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh
là bốn điểm trùng nhau.


Bài 2 : Các câu sau Đúng (Đ) hay Sai (S):
a) Trực tâm của tam giác là giao ba đường trung trực của tam giác đó

S

b) Giao điểm ba đường cao của tam giác được gọi là điểm cách đều ba
đỉnh của tam giác
c) Tâm của đường tròn nội tiếp trong một tam giác là giao ba đường
phân giác của tam giác đó
d)Trọng tâm của tam giác là điểm thuộc một trung tuyến và cách đỉnh
một khoảng bằng 2 độ dài đường trung tuyến .

S
Đ
S

3

e) Trong tam giác cân, đường phân giác của một góc đồng thời là
đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó
f)Trong tam giác cân, trọng tâm và điểm cách đều ba đỉnh, điểm cách
đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng
g) Nếu một tam giác có một đường cao đồng thời là đường trung
tuyến (hoặc đường phân giác, hoặc đường trung trực) thì tam giác
đó là tam giác cân.
h)Trong tam giác đều,ba đường trung trực, đồng thời là ba đường

trung tuyến, ba đường cao, ba đường phân giác.

S
Đ
Đ
Đ


A

N

M
G

B

∆ABC cân tại A .Trung

GT

tuyến BM, CN

KL

a) BM = CN
b) ∆BGN = ∆CGM
c) AG là đường trung trực của MN

C

a) Chứng minh BM = CN
1
Ta có: AN = NB = AB (CN là trung tuyến của AB)
2
1
AM = MC = AC (BM là trung tuyến của AC)
2
Mà AB = AC (gt)

=>AN =NB =AM
=MC

Cách 1:
Xét ∆ABM và ∆CAN có :
AB = AC (gt)
BAC chung
AM = AN ( cmt)

⇒ ∆ABM = ∆CAN(c.g.c)

⇒ BM =CN (cạnh t.ư)


A

N

M
G

B

C

a) Chứng minh BM = CN
Cách 2:
Xét ∆ BMC và ∆CNB có :
BN = CM (cmt)
NBC = MCB (góc đáy của ∆ABC cân tại A)
BC chung

⇒ ∆BMC

=∆ CNB

(c.g.c)

⇒ BM =CN (cạnh t.ư)


A

N1

1

2

M

2

G
1

1

B

b) Chứng minh : ∆ BGN =
Cách 1:

C

∆CGM

N1 + N2 = M1 + M2 = 1800 (kề bù)
Mà : N1 = M1 (góc t.ư của ∆ABM = ∆CAN)
=> N2 = M2
Xét ∆BGN và ∆CGM có :
N2 =M2 (cmt)
BN = CM (cmt)
B1 = C1(góc t.ư của ∆ABM = ∆CAN)

=> ∆BGN = ∆CGM (g.c.g)


A

N

M
G

B

C

b) Chứng minh : ∆ BGN = ∆CGM
Cách 2:
Ta có G là trọng tâm của ∆ABC(G là giao
của hai trung tuyến BM và CN – gt)
2
1
BG = BM ; GM = BM
=>
3
3
=> BG =CN; GM = GN
2
1
CG = CN ; GN = CN
3
3
Mà BM = CN (cmt)
Xét ∆ BGN và ∆CGM có :
BN = CM ; BG = CN ; GM = GN (cmt)
=> ∆BGN = ∆CGM (c.c.c)

A

N

O

M

G
B

C

c) Chứng minh AG là đường trung trực của MN
Cách 1:
NA =MA (c.m.t)

=>A,G ∈ đường trung trực của MN

∈ đường trung trực)
NG = MG (cạnh t.ư của ∆ BGN = ∆CGN) ( t/c điểm
=> AG là đường trung trực của MN
Cách 3 :
Cách 2:

∆ ABC cân tại A có AG là đường trung

∆ABG = ∆ACG (c.c.c) => BAG =CAG

tuyến => AG là đường phân giác

∆ANO = ∆AMO (c.g.c) => ON = OM

Mà ∆AMN cân tại A (AM =AN) có AG là
đường phân giác => AG là đường trung
trực của MN

AON =AOM = 1v => AG là đường trung
trực của MN


Bài tập
Tam giác ABC cân tại A .Trung tuyến BM, CN cắt nhau tại
G (M ∈AC, N ∈AB) . Chứng minh:
a) BM = CN
b) ∆BGN = ∆CGM
c) AG là đường trung trực của MN
d)

MN //BC

e) AG giao BC tại I.Lấy K, Q sao cho B,C lần lượt là trung
điểm của HK và AQ.Gọi E là trung điểm của KQ. Chứng
minh A,H, E thẳng hàng.
f) AB + 2BC > AI + 2BM
BM + CN
MN <
3

A

Chứng minh : MN // BC
Cách 1 :

N

0
180
− BAC
∆ABC cân tại A =>ABC =
2

M
G

B

C

0
180
− BAC
∆ AMNcân tại A =>ANM =
2

=> ABC = ANM . Mà chúng ở vị trí so
le trong => MN // BC

Cách 2:

∆ABC cân tại A có AG là đường trung tuyến
=> AG là đường phân giác, là đường cao ứng
với BC (AG ⊥ BC)
Mà ∆AMN cân tại A (AM =AN) có AG là
đường phân giác => AG là đường cao ứng với
MN (AG ⊥ MN) => MN // BC (cùng⊥ AG)


A

N

D

M
G

B

I

C

Chứng minh : 2AB + BC > AI + 2BM
Trên tia đối của tia MB lấy D sao cho DM = BM

∆ BMC = ∆DMA(c.g.c) => AD = BC
∆ABD có AB + AD > BD (bất đẳng thức trong tam giác)
 AB + BC > 2BM

∆ABI vuông tại I =>AB > AI (cạnh huyền lớn hơn cạnh
góc vuông)
=> 2AB + BC > AI + 2BM


A

N

M
G

B

C

e)Chứng minh : MN < BM + CN
3
Xét ∆ NMG có :
MN < GM + GN (bất đẳng thức trong tam giác)
1
1
BM ; NG = CN
3
3
1
1
=> MN < BM + CN
3
3

BM + CN
<= MN <
3

Mà MG =

>


+ Xem lại các bài tập và kiến thức đã ôn tập.
+ ôn tập về tính chất các đờng đồng quy trong
tam giác.
tính chất tia phân giác của góc, tính chất đờng
trung trực của đoạn thẳng và phơng pháp chứng
minh.
+ Phơng pháp mới để chứng minh một tam giác
cân
+ Làm li bài tập trờn bng nhiu cỏch khỏc nhau.
+ Làm cỏc bài tập 4, 5, 6 trong cng ụn tp


3ph
5ph
4ph
2ph
0s
1ph

A

(Thi gian: 5 phỳt)

5

Hai bạn Nam và Hà cùng
Ơ
g
khởi
hành
một
lúc
từ
B
đến
n
Cho tam giác ABCthvới
ẳ AC >
g
C với Cho
vận tốc
nh
hình
vẽ.
Đờnnhau.

1 6 4
Euler
2 3

AB

Trên Cho
tia đối
tia
lấy
điểm
Cho
vẽ.>
e B nh
lBC
tamcủa
giác
ABC
hình
vẽ.
Bạn
Nam
từ
A
Ođihình
Lập
luận
sau
đúng
hay
G
DGiả
sao
cho
BDnào
= AB.

>
H C tam
sử
một
giác
với
Kết
luận
sau ABC
đây
là ba
đúng
Khẳng định
sau đúng
sai:
Vì
=dài
MBđi
nên
=CKB
Trên
tia
đối
của
tia
CB
lấy
điểm
cạnh
cóMA

độ
là
AB
=
3cm,
AC
Bạn
Hà
từ
BHA
>
A
hay
sai:
A
B
C
(Quan
hệCE
giữa
đ
ờng
xiên
và
Nam
E
sao
cho
=
AC.

Vẽ
các
đoạn
thẳng
=
5cm,
BC
=
9cm.
So
sánh
các AD,
Vì
HP
=
HQ
nên
NP
=
MQ
A BC
<
AC
<
AB
hình chiếu)
M700
A giác ABC
AE.
gócA.của

tam
ta
có:
Đúng
M
A. Đúng

à <à <àA
BA.AB
C
B
AC
BCB
B.
1783)
là
B.

N

C
ơ-le (1707 những nhà toán
H
Hà
Sai.
học lớn của nhân loại. àÔng
tại Balơ(Thụy
Sỹ).

ơ
àsinh
1 650
1 à
450
>
B
>
A
K
B.DCSai.
C trớc
là : việc.
Ble là ngời rất say C
mê AC
vàBạn
trong
công
C
ABđến
E Ông
B
C
à
à
à
BA.>định
C >dù

Anào
không từ chối bất cứ
gì
khóAkhăn đến
đâu.
C. việc
Bạn
Nam
B là sai:
Khẳng
sau đây
Pmiệng
H núiQ lửa ở
Tên của ông đợc đặt
tên
cho
một
àđ>
à
à Không
à BạnsoHà
D.
sánh
ợc.E
B.
A.
D
B
>
C

B.
phần
trông
thấy
của 1mặt
trăng.
Ngoài
đờng
thẳng
ơle,1 tên
của ông còn gắn với
D. BC
> BD
+ một
CE
C. AE >
một bài
C.AD
Cả hai bạn
đến
cùng


HC
Quan
hệsát
giữa
các
tố cạnh,
góc

trong
Bài
1: Quan
hình
vẽ yếu
rồi điền
vào chỗ
trống
() nội dung
thích
. .
tamhợp
giác
Hình
A
>CC
AC
. .>
.>AB
AC
a BB >
1
)
AB AC =
( B .=.C.
B
B

A

Hình
2

A

B

H

VớiAB)
ba điểm A, B, C bất kì, luôn
C
b)có: AB + AC >
.>. . BC
BC
hoặcAB
+ AC =
. . . BC
C
(điều này xảy
ra
A nằm giữa
B và C)
C đó:
A d , B d , AH ,.Khi
d
d
a AH
AH <

...
) AB

C

AH =
( Nếu B H thì AB
d b) AB
...>
. . . HC
AB)>AC
AC
HB HB
>>HC
( AB = AC

HB
...
= HC


Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B,
®êng trung tuyÕn AM. Trªn tia
®èi cña tia MA lÊy ®iÓm E sao
cho AM = ME.
Chøng minh:

A

a) AB = CE

b) MAC < BAM

H
B

M

C

2.AMd)
Tõ M?kÎ
⊥=
AC,
E Tia ®èi
MAC
< MH
E; BAM
cña tia MH c¾t tia AB t¹i K.
Chøng
minh: AE ⊥ KC
AE
E
K

AB+AC
c) AM<
2

CE ?
< AC

AE
? AC; CE =
AB <
∆ AEC

AB


4. Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm,
điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba
cạnh?
- Là tam giác đều.


1. Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng.
Trong tam giác ABC
a. Đường phân giác
xuất phát từ đỉnh A

a’. là đường thẳng vuông góc với
cạnh BC tại trung điểm của nó.

b. Đường trung trực
ứng với cạnh BC

b’. là đoạn vuông góc kẻ từ A đến

đường thẳng BC.

c. Đường cao xuất phát
từ đỉnh A

c’. là đoạn thẳng nối A với trung
điểm của cạnh BC.

d. Đường trung tuyến
xuất phát từ đỉnh A

d’. là đoạn thẳng có hai mút là
đỉnh A và giao điểm của cạnh BC
với tia phân giác của góc A.

a – d’;

b – a’;

c – b’;

d – c’;


2. Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng.
Trong tam giác ABC
a. Trọng tâm

a’. là điểm chung của ba đường
cao.

b.Trực tâm

b’. là điểm chung của ba đường
trung tuyến.

c. Điểm (nằm trong
tam giác) cách đều ba
cạnh

c’. là điểm chung của ba đường
trung trực.

d. Điểm cách đều ba
đỉnh

d’. là điểm chung của ba đường
phân giác.

a – b’;

b – a’;

c – d’;

d – c’;


3. a, Hãy nêu tính chất của trọng tâm của một tam giác; các cách
xác định trọng tâm.

-Là điểm chung của ba đường trung tuyến, cách mỗi đỉnh một
khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
-Tương ứng có hai cách xác định trọng tâm.
b, Bạn Nam nói: “Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở
bên ngoài tam giác”. Bạn Nam nói đúng hay sai? Tại sao?
-Bạn Nam nói sai vì ba đường trung tuyến của một tam giác đều
nằm bên trong tam giác, do đó điểm chung của ba đường này hay
trọng tâm của tam giác phải nằm bên trong tam giác đó.


8. Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm,
điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba
cạnh?
- Là tam giác đều.