Định lý phân tích nguyên sơ Noether và ý nghĩa hình học (LV thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

●■⑩P ❚❍➚ ❚❍Õ❨

✣➚◆❍ ▲Þ P❍❹◆ ❚➑❈❍ ◆●❯❨➊◆ ❙❒ ◆❖❊❚❍❊❘
❱⑨ Þ ◆●❍➒❆ ❍➐◆❍ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ▲þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✹

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

❚❙✳ P❍❸▼ ❍Ò◆● ◗❯Þ

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✺



ữủ t t trữớ ồ sữ
ồ rữợ tr ở ừ tổ
ỷ ớ ỡ t s s tợ P ũ ỵ t
ữớ trỹ t ữợ t t ú ù ở tổ
tr sốt q tr ự t
ổ ụ t ỡ ỏ s ồ
qỵ t ổ tr ồ ợ ồ
t t ủ ú ù ở tổ tr sốt q tr
ồ t ự t trữớ
tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ t tr

ổ ở tổ tr sốt q tr
t õ ồ
ũ õ ố ữ ổ tr ọ
ỳ s sõt ổ rt ữủ ỳ ỵ õ
õ qỵ ừ t ổ ữủ t ỡ
tr trồ ỡ
t
ữớ t

ừ




▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❝↔♠ ì♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐
▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❱➔♥❤ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✷✳✶✳ ❱➔♥❤ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✷✳ ×î❝ ❝õ❛ 0 tr♦♥❣ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✷✳✸✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ◆♦❡t❤❡r ✈➔ þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤
♥❣✉②➯♥ sì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✸✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ◆♦❡t❤❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✸✳✷✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✹✳ ■✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✹✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✹✳✷✳ ✣ç t❤à ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ✐✤➯❛♥ ❝↕♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻

✐✐✐


▼Ð ✣❺❯

▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐♥❤ ✤✐➸♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ
❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ sè ❤å❝✳ ✣à♥❤ ❧þ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✿ ▼å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✤➲✉
♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❝→❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✣à♥❤ ❧þ
♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ ◆♦❡t❤❡r ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ sè
❤å❝ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ rë♥❣ ❧î♥ ❝→❝ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❜ð✐ ❊♠♠② ◆♦❡t❤❡r ✈➔♦ ✤➛✉ t❤➳ ❦✛ ❳❳ ✈➔ ✤➣ trð t❤➔♥❤ ♥➲♥ t↔♥❣ ❝❤♦
✣↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈➔ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤↕✐ sè✳ ❈❤♦ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ ✤à♥❤ ❧þ
❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ✤➲✉ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♠ët sè
❤ú✉ ❤↕♥ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì✳ ❚÷ì♥❣ ù♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ♣❤➙♥ t➼❝❤
♥❣✉②➯♥ sì ◆♦❡t❤❡r ❧➔✿ ▼å✐ t➟♣ ✤↕✐ sè ✤➲✉ ❧➔ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❤ú✉ ❤↕♥ t➟♣ ✤↕✐ sè
❜➜t ❦❤↔ q✉②✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ þ ♥❣❤➽❛ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥
sì ◆♦❡t❤❡r t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➦t ♠ö❝ t✐➯✉ t➻♠ ❤✐➸✉ ♥â ✈➔ þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤
❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤è✐ t÷ñ♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✳

❈❤÷ì♥❣ 1✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥

♥❤÷✿ ❱➔♥❤✱ ♠æ✤✉♥✱ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✱ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛✱ ❜ê ✤➲ ◆❛❦❛②❛♠❛✳

❈❤÷ì♥❣ 2✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐

❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✈➔♥❤✱ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì sð ❝õ❛ ❍✐❧❜❡rt✳ ❈❤ó♥❣
tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ✣à♥❤ ❧þ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ◆♦❡t❤❡r ✈➔ t➟♣ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥
tè ❧✐➯♥ ❦➳t✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ ✤ì♥ t❤ù❝✱
✐✤➯❛♥ ❝↕♥❤ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ð ❝✉è✐ ❝❤÷ì♥❣ ❞ò♥❣ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ✣à♥❤ ❧þ
♣❤➙♥ t➼❝❤ ♥❣✉②➯♥ sì✳

✶

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧✉æ♥ ①➨t ✈➔♥❤ ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦
❤♦→♥ ❝â ✤ì♥ ✈à✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤✱ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ I ❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥✿

✭✐✮ I ❧➔ ♥❤â♠ ❝♦♥ ❝õ❛ R ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ +❀
✭✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû x t❤✉ë❝ R✱ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû a t❤✉ë❝ I t❤➻ xa ∈ I
✭ax ∈ I ✮✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✷✳ ❈❤♦ p ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ t❤➟t sü ❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â p ❧➔ ✐✤➯❛♥

♥❣✉②➯♥ tè ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y t❤✉ë❝ R t❤♦↔♥ ♠➣♥ xy ∈ p t❤➻ x ∈ p ❤♦➦❝
y ∈ p✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❙♣❡❝✭❘✮ ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ R✳

❱➼ ❞ö ✶✳✵✳✸✳ ❚❛ ❝â Spec(Z) = {(0), pZ| p ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè}✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✹✳ ❈❤♦ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✳ ❑❤✐ ✤â R/I ✈î✐
♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

(x + I) (y + I) = xy + I; ∀x, y ∈ R

❧➔ ♠ët ✈➔♥❤✳ ❱➔♥❤ R/I ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
R t❤❡♦ ✐✤➯❛♥ I ✳

✷

✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✺✳ ▼ët ✈➔♥❤ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ♥➳✉ R = 0 ✈➔
♥➳✉ x, y = 0 t❤➻ xy = 0✳

❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ t❛ t❤➜② ♥❣❛② r➡♥❣ ✐✤➯❛♥ (0) ❝õ❛ ♠ët
♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❚ê♥❣ q✉→t t❛ ❝â ✤✐➲✉ s❛✉✿

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✵✳✻✳ ■✤➯❛♥ p ❝õ❛ ♠ët ✈➔♥❤ R ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾
❦❤✐ ✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣ R/p ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✼✳ ▼ët ✐✤➯❛♥ I ❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐

♥➳✉ I = R ✈➔ ♥â ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ♠ët ✐✤➯❛♥ t❤ü❝ sü ♥➔♦✳ ❚❛ ❦þ
❤✐➺✉ Max(R) ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ R.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✵✳✽✳

✭✐✮ ▼å✐ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✳

✭✐✐✮ ◆➳✉ R ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ t❤➻ ✐✤➯❛♥ (0) ❧➔ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐✳
✭✐✐✐✮ ■✤➯❛♥ I ❧➔ tè✐ ✤↕✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ R/I ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✾✳ ▼ët ✈➔♥❤ R ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ m ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔

✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑þ ❤✐➺✉ ❧➔ (R, m)✳

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ♣❤➨♣ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✐✤➯❛♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✶✵✳ ❈❤♦ I ✈➔ J ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿

✭✐✮ P❤➨♣ ❝ë♥❣ ❝→❝ ✐✤➯❛♥✱ I + J = {a + b |a ∈ I, b ∈ J }✳
✭✐✐✮ P❤➨♣ ❣✐❛♦ ❝→❝ ✐✤➯❛♥✱ I ∩ J = {a|a ∈ I ✈➔ a ∈ J}✳
✭✐✐✐✮ P❤➨♣ ❝❤✐❛ ✐✤➯❛♥✱ I : J = {x| xJ ⊆ I} ⊇ I ✳
√
✭✐✈✮ P❤➨♣ ❧➜② ❝➠♥ ✐✤➯❛♥✱ I = {x| ∃n : xn ∈ I}✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✵✳✶✶✳ ◆➳✉ J = (a1, ..., ak ) t❤➻ I : J = i=1 (I : ai)✳
k

❱➼ ❞ö ✶✳✵✳✶✷✳ ❳➨t R = Z✱ I ✈➔ J ❧➔ ❤❛✐ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ Z✱ I = (a)✱ J = (b)✳

❑❤✐ ✤â✿

✸


I + J = {ax + by |x, y ∈ Z } = ×❈▲◆ (a, b) Z; I ∩ J = ❇❈◆◆ (a, b) Z❀
✳
✳
I : J = x xb✳✳a = x✳✳ ×❈▲◆a (a,b) = ×❈▲◆a (a,b) ✳
√
√
I = {p |∃n : pn ∈ I } ✈î✐ p = pα1 1 ...pαk k t❤➻ I = p1 ...pk Z✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✶✸✳ ❈➠♥ ❝õ❛ 0 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❧ô② ❧✐♥❤ ❝õ❛ R

✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ Nil(R).

❚❛ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❝õ❛ Nil(R) ✈î✐ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ♥❤÷ s❛✉✿
√

❚r♦♥❣ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ R t❛ ❝â Nil(R) = 0 =
p✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✵✳✶✹✳

p∈SpecR

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✶✺✳ ■✤➯❛♥ q ❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì ♥➳✉

q = R ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ x.y t❤✉ë❝ q ✈➔ y ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ q t❤➻ xn t❤✉ë❝ q ✈î✐ ♠ët

sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n ♥➔♦ ✤â✳

❱➼ ❞ö ✶✳✵✳✶✻✳ ❚r♦♥❣ t➟♣ sè ♥❣✉②➯♥ Z✱ ✈î✐ p ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè t❤➻
pα Z ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ Z.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✵✳✶✼✳

❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ R ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ (0) ❧➔
✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ R/q✳

✭✐✐✮ 0
✭✐✐✐✮

✭✐✮ q

❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì ❝õ❛ R t❤➻ ♠å✐ ÷î❝ ❝õ❛ 0 ✤➲✉ ❧➔ ❧ô② ❧✐♥❤✳

◆➳✉ q ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ sì t❤➻ √q ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✵✳✶✽ ✭✣à♥❤ ❧þ tr→♥❤ ♥❣✉②➯♥ tè✮✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣
❝❤♦ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ R✳
✭✐✮

❈❤♦ p1, p2, ..., pn ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ✈➔ a ❧➔ n♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛
R✳ ●✐↔ sû a ⊂ pi ✈î✐ ♠å✐ i = 1, 2, ..., n ❦❤✐ ✤â a ⊂
pi ✳
i=1

✭✐✐✮

❈❤♦ an1, a2, ..., an ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✐✤➯❛♥ ✈➔ p ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ R✳
◆➳✉ ai ⊆p t❤➻ ❦❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ♠ët ❝❤➾ sè i s❛♦ ❝❤♦ ai ⊆ p✳ ❍ì♥
i=1

♥ú❛✱ ❦❤✐

n

ai =p
i=1

t❤➻ tç♥ t↕✐ ❝❤➾ sè i s❛♦ ❝❤♦ ai = p✳
✹


ự

ự q t n

n = 1 t t sỷ (i) ữủ ự

trữớ ủ n 1 tự a
ỳ tỷ xt a\

i=t pi

i=t pi
n

ợ ồ t = 1, 2, ..., n tỗ t

ợ ồ t = 1, ..., n xt
/ pt ợ ởt

pi ữủ ự r

số t õ s r xt a\

i=1

sỷ xt pt ợ ồ t = 1, 2, ..., n t tỷ
n

x=

x1 x2 ...xi ...xn
i=1

n

tr õ x =

x1 x2 ...xi ...xn t tỷ x1 , ..., xn s

i=1

ọ tỷ xi ó r x a r x pi t
x1 x2 ...xi ...xn pi t ợ ồ xt õ (i)

ữủ ự
sỷ s tự ai p ợ ồ i = 1, 2, ..., n õ tỗ
t ỳ tỷ yi ai \p ợ ồ i = 1, 2, ..., n t y = y1 ...yn t
s r y =

n

ai p tỗ t ởt số i s yi p

i=1

tr ợ ồ yi ớ

n

ai = p t ợ số i

i=1

tr t õ p ai p ự tọ ai = p ỵ ữủ ự

ờ ờ r A ởt t rộ ợ q
tự tỹ sỷ ồ t tỷ tr A
a1 a2 ... an ... a

õ tỷ tr tự tỗ t a A s ai a ợ ồ
i 1 t tr A tỗ t tỷ tố

q R ởt õ R ổ õ
tố




ự t A t tt tỹ sỹ ừ R õ A
rộ (0) = R ởt tỹ sỹ t q tr A
ởt q tự tỹ
t t ừ
I1 I2 ... In ... I


I =

In ởt RI I t r tở

n=1

R a tở I tỗ t số m s a tở Im õ ra Im I

õ A q tự tỹ tọ ờ r tỗ t
tố

S t ừ R õ
tỷ s, t t ý tở S t ừ ú st ụ tở S
t S ữủ ồ

t õ q ữợ 1 S

ử

Z = Z\{0} ởt t õ

a R ởt tỷ ừ R õ S = 1, a, a2 , ..., an , ...
ởt t õ
t p ởt tố tr R õ S = R \ p ởt
t õ

t t
R ì S = {(r, s) |r R, s S }

t q tr R ì S ữ s (r1 , s1 ) (r2 , s2 ). tỗ t tỷ
s S s s (r1 s2 r2 s1 ) = 0 õ t tr ởt q
tữỡ ữỡ S 1 R = R ì S/

ợ tữỡ ữỡ ừ tỷ (r, s) ữủ
r r
rs + r s
+ =
s s

ss


r
s

ợ t


rr
rr
=
ss
ss
S −1 R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ð tr➯♥ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ❝õ❛ R t❤❡♦ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥ S.

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✵✳✷✹✳

✈➔♥❤ ✤à❛

✭✐✮ ❚❛ ❝â ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝:
ψ : R → S −1 R

r
1
◆➳✉ s ∈ S t❤➻ s trð t❤➔♥❤ ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ ✈➔♥❤ S −1 R✳
r→

✭✐✐✮ ◆➳✉ 0 ∈ S t❤➻ S −1 R = 0✳
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ p ∈ Spec(R) ✈➔ S = R \ p t❤➻ Rp = S −1 R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✤à❛
♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ pRp✳ ❚❛ ❝â
Spec(Rp ) = {qRp |q ∈ Spec(R), q ⊆ p } .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✵✳✷✺✳ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳ M ❧➔ ❘✲♠æ✤✉♥ ✭tr→✐✮ ♥➳✉
M ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❆❜❡❧ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ❝â t→❝ ✤ë♥❣ ♥❤➙♥ tø R ❧➯♥ M

♥❤÷ s❛✉✿ R × M → M

❝❤♦ t÷ì♥❣ ù♥❣ (r, x) → rx ✈î✐ ∀x, y ∈ M ✈➔

∀r, s ∈ S t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿

✭✐✮ r(x + y) = rx + ry ✳
✭✐✐✮ (r + s)x = rx + sx✳
✭✐✐✐✮ (rs)x = r(sx)✳
✭✐✈✮ 1x = x✳

❱➼ ❞ö ✶✳✵✳✷✻✳

✭✐✮ R ❧➔ ✈➔♥❤✱ R ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳

✭✐✐✮ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤✱ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❦❤✐ ✤â I ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ✈➔ ✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣
R/ ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳
I

✼

õ tỷ {ai }iI ởt

M ợ ồ x tở M t õ x =

s ừ

ri ai ợ t ri = 0 trứ
iI

ởt t ỳ
õ M ởt Rổ

ỳ s õ õ s ỳ

M = a1 , a2 , ..., an .

ỵ ỵ t

M ởt Rổ ỳ s I ởt ừ R P
tỷ x R tọ t t xM IM t bi I i s
(xk + b1 xk1 + ... + bn )M = 0.

ự M ỳ s sỷ M = R

m1 , m2 , ..., mk

xM IM t õ xmi IM, i = 1, k ứ õ s r tỗ t (aij ) s

k

aij mi ; ợ aij I.

xmij =
j=1

t A = [aij ] tr ổ õ số tr I õ

(a11 x) m1 + a12 m2 + .... + a1k mk = 0



a21 m1 + (a22 x) m2 + .... + a2k mk = 0

................


ak1 m1 + ak2 m2 + .... + (akk x) mk = 0.



m1
(A xIk ) ... = 0.
mk


õ tr ử số C ừ (A xIk ) tọ

m1
C [A xIk ] ... = 0.
mk









m1
det (A xIk ) Ik ... = 0.
mk

det (A xIk ) mi = 0 ợ ồ i s r det (A xIk ) M = 0
det (xIk A) M = 0

tr tự t õ


det



x a11 . . . a1k

k
k1

+ ... + bk1 x + b0 ; bi I i .
= x + bx


ak1 ã ã ã x akk

ứ t õ ự

q ờ (R, m) ởt ữỡ

M ởt Rổ ỳ s mM = M t M = 0
ự sỷ ữủ r M = 0 sỷ L = {g1, ..., gn}
t s ọ t ợ n tỷ ừ M
ỵ t s tỗ t a1 , ..., an I s
n

g1 =

ai gi õ

i=1

(1 a1 )g1 = a2 g2 + ... + an gn .

ữ a1 I Jac(R) (R, m) ữỡ (1 a1 )
ỡ ừ R ợ u tỷ õ g1 =

n

uai gi

i=2

õ M ữủ s {g2 , ..., gn } õ t ừ L tr ợ
tt M = 0.
ố ừ ữỡ ú t t t ừ
ữỡ õ ợ ộ ỗ Rổ f : M N s ởt ỗ
S 1 Rổ fS : S 1 M S 1 N
f

m
f (m)
=
.
s
s

õ ỵ s



✣à♥❤ ❧þ ✶✳✵✳✸✵✳ ❈❤♦ S ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥ ❝õ❛ R ♥➳✉✿
f

g

0 → M →M →M → 0

❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ t❤➻
fS

gS

0 → S −1 M → S −1 M → S −1 M → 0

❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ❝→❝ S −1R✲♠æ✤✉♥✳

✶✵


ữỡ
ổ tr
r ữỡ t ổ sỷ R ởt õ ỡ
M ởt Rổ

ổ tr
ởt Rổ M ữủ ồ tọ

t ồ

M0 M1 ... Mn ...

ổ ừ M ứ ự tỗ t n0 s Mn0 =
Mn0 +1 = ...

ỵ R M ởt Rổ

õ s tữỡ ữỡ
M tọ t
ồ ổ N ừ M ỳ s
ồ t ủ rộ ổ ừ M õ tỷ tố

ự (i) (iii) S ởt t rộ ổ ừ M
sỷ S ổ õ tỷ tố t q S =
M0 S M0 ổ tố tr S tỗ t M1 M0 ợ
M1 S M1 ổ tố tr S M2 S M2 M1 ự



t tử q tr tr t ữủ ởt ộ t ổ ứ ổ
ừ M
M0 M1 M2 ... Mn ...ổ ỵ.
(iii) (ii) sỷ ổ ừ N = (x1 , x2 , ...xn , ...) N

ổ ỳ s õ t õ ồ ổ ỳ s
(x1 ) (x1 , x2 ) ... (x1 , x2 , ..., xn ) ...

ổ õ tỷ tố ổ ỵ
(ii) (i) t ởt t ổ ừ
M0 M1 ... Mn ...

t M =

Mi M ởt ổ ỳ s M =

i0

(x1 , x2 , ...xt ) ự tỗ t n0 s Mn0 = Mn0 +1 =
... t i = 1, t t õ xi Mni ợ ni õ ồ n0 =
max ni , i = 1, t ứ õ t õ xi Mn0 , i = 1, t M = Mn0

õ õ tọ

ởt Rổ M ữủ ồ ổ tr

õ tọ ởt tr tữỡ ữỡ ỵ
ởt R ữủ ồ

tr õ ởt Rổ tr

ử ởt trữớ ởt ởt tr
t ợ Rổ




0 M1 M M2 0

õ M tr M1 M2 tr
ự M1 ổ ừ M M2 = M/M1
M tr s r M1 tr N ổ ừ M1
t N ụ ổ ừ M

◆➳✉ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M2 t❤➻ β −1 (N ) ⊆ M ✳ ▼➔ M ❧➔ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥
β −1 (N ) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❱➻ β ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ♥➯♥ β(β −1 (N )) = N ✳ ●✐↔ sû
β −1 (N ) s✐♥❤ ❜ð✐ {x1 , x2 , ..., xt }✳ ❑❤✐ ✤â✱ N s✐♥❤ ❜ð✐ {β(x1 ), β(x2 ), ..., β(xt )}

♥➯♥ N ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ M2 ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳
✭⇐ ✮❀ ❳➨t N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ N ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
❚❛ ❝â N1 = M1 ∩ N ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M1 ♥➯♥ N1 ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
●✐↔ sû N1 = R(x1 , x2 , ..., xt )✳ ❳➨t N2 =

M1 +N
M1 ✳

❱➻ M2 ❧➔ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ N2

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ●✐↔ sû N2 = (β(y1 ), β(y2 ), ..., β(ys )) ✈î✐ y1 , y2 , ..., ys ∈ N ✳
❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ N s✐♥❤ ❜ð✐ (x1 , x2 , ..., xt , y1 , y2 , ..., ys )✳ ▲➜② z ∈ N ✱ t❛
s

❝â β(z) ∈ N2 s✉② r❛ β(z) =

bj β(yj ) ❤❛②

j=1





s

β z −

bj yj  = 0.
j=1

❚ø ✤â s✉② r❛ z −
r❛

s

bj yj ∈ kerβ = N1 ✳ ❚❛ ❝â z −

j=1

t

s

bj yj =
j=1

t

z=

ai xi ✳ ❙✉②

i=1

s

ai xi +
i=1

bj yj .
j=1

❱➟② N = x1 , x2 , ..., xt , y1 , y2 , ..., ys ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
t
❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✻✳ ◆➳✉ M1, M2, ..., Mt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r t❤➻ i=1
⊕ Mi ❝ô♥❣

❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✼✳ R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ t❤➻ M
❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû M =

x1 , x2 , ..., xt ✳ ❳➨t ✤ç♥❣ ❝➜✉✿
Φ : Rt → M
ei → xi

❚❛ ❝â Φ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ✈➔ Rt ❧➔ ◆♦❡t❤❡r ❞♦ ✤â M ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳
✶✸


▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✽✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ❑❤✐ ✤â R/Ann(M )
❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ M

❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ ♥â ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ●✐↔ sû

r➡♥❣ M =< x1 , ..., xt >✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ❝➜✉✿
t

ϕ : R → ⊕ Mi
i=1

a → (ax1 , ..., axt ).

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
Kerϕ = {a ∈ R|ϕ(a) = 0} = {a ∈ R|(ax1 , ..., axt ) = (0, ..., 0)}
= {a ∈ R|axi = 0, i = 1, ..., t} = {a ∈ R|aM = 0}
= {a ∈ R|a = 0} = Ann(M ).

❉♦ ✤â ϕ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ ❝➜✉ ♥➯♥ R/Ann (M ) ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
t

t

i=1

i=1

❝õ❛ ⊕ M ✳ ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✻ ⊕ M ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳ ❱➟② R/Ann(M ) ❧➔ ♠ët
✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳

❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ♥â✐ r➡♥❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ❝õ❛ ♠ët ♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r
❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✾✳ ❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ S ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥
❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â✿

S −1 M =

❧➔ ♠ët S −1R✲♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳

m
|m ∈ M, s ∈ S
s

❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ♥ê✐ t✐➳♥❣ s❛✉ ✤➙② ❝õ❛ ❍✐❧❜❡rt✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✵ ✭✣à♥❤ ❧þ ❝ì sð ❍✐❧❜❡rt✮✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳
❑❤✐ ✤â ✤❛ t❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ R[x1, x2, ..., xn] ❝ô♥❣ ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ◆➳✉ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ✈➔♥❤
✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ R[x] ❧➔ ◆♦❡t❤❡r t❤➻ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣ t❛ ❞➵
✶✹


❞➔♥❣ s✉② r❛ t➼♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✳ ✣➸ ❝❤➾ r❛ R[x]
❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ ♥â ❧➔
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❈❤♦ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ tò② þ ❝õ❛ R[x]✳ ❳➨t t➟♣
❝♦♥ I0 ❝õ❛ R✿
I0 = a ∈ R ∃f ∈ I : f = axm + a1 xm−1 + ... + am

◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ I0 ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➺ sè ❝❛♦ ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝
t❤✉ë❝ I ✳ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝ r➡♥❣ I0 ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳ ❱➻ R

❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ I0 ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ●✐↔ sû I0 = (a1 , a2 , ..., an ), ai ∈
R, ✈î✐ i = 1, .., n✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ♥❤ú♥❣ ✤❛ t❤ù❝ fi (x) ∈ I, i = 1, ..., n ❝â

❤➺ sè ❝❛♦ ♥❤➜t ❝❤➼♥❤ ❧➔ ai ✳ ✣➦t deg(fi (x)) = ri ✈➔ r = max {r1 , ..., rn }✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ♥❤➙♥ t❤➯♠ xr−ri ✈➔♦ fi (x) ✈î✐ ❝❤ó þ r➡♥❣ xr−ri fi (x) ∈ I ✱
❦❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ s✉② r❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t t❤➯♠ r➡♥❣ r =
r1 = ... = rn ✳ ❚✐➳♣ tö❝ ✤➦t J = (f1 (x), ..., fn (x)) ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ I ❀
M = R + xR + ... + xr R ✈➔ N = I ∩ M ✳ ◆➳✉ ①❡♠ M = R + xR + ... + xr R

♥❤÷ ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ t❤➻ M ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ f (x) ∈ R[x] ❝â
degf (x) ≤ r✱ ♥➯♥ ♥â ❝â ♠ët ❤➺ s✐♥❤ ❤ú✉ ❤↕♥ tr➯♥ M ❧➔ 1, x, ..., xr ✳ ❱➻
R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ ❝â ❤➺ s✐♥❤ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳

❙✉② r❛ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ◆➳✉ t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣
I = J + N t❤➻ rã r➔♥❣ I ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ ❝❤♦ g(x) ∈ I, degg(x) = m ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ tò② þ ✈î✐ ❦❤❛✐ tr✐➸♥
g(x) = axm + b1 xm−1 + ... + bm , 0 = a ∈ I ✳ ◆➳✉ m ≤ r t❤➻ f (x) ∈ N ✳ ❚r→✐

❧↕✐✱ ❣✐↔ sû m > r✳ ❱➻ a ∈ I0 ✱ ♥➯♥ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ui ∈ R✱ i = 1, .., n
s❛♦ ❝❤♦ t❛ ❝â ❦❤❛✐ tr✐➸♥ a =

n
i=1 ui ai ✳
n

❑❤✐ ✤â ✤❛ t❤ù❝✿
fi (x)ui xm−r

G1 (x) = g(x) −

i=1

s➩ ❝â degG1 (x) ≤ m − 1 ❤♦➦❝ G1 (x) = 0✳
✣➸ þ r➡♥❣✱ ❝ò♥❣ ✈î✐ P1 (x) =
❝â✿

n

fi (x)ui xm−r ∈ J t❤➻ G1 (x) ∈ I ✳ ❱➟② t❛

i=1

g(x) = P1 (x) + G1 (x), P1 (x) ∈ J, degG1 (x) ≤ m − 1
✶✺


ỏ degG1 (x) > r t ữỡ ữ ứ tỹ
t g(x) t t G1 (x) t s t ữủ tự G2 (x) I ợ
deg G2 (x) m 2 P2 (x) J s G1 (x) = P2 (x) + G2 (x). ứ

s r g(x) = P1 (x) + P2 (x) + G2 (x).
deg G2 (x) r t q tr tr ữủ ứ ổ t s
t m r ữợ t s t ữủ tự G(x) I õ
degG(x) r P (x) J s g(x) = P (x) + G(x) J + N ứ

s r I J + N tự ữủ

q tự K[x1, ..., xn] õ số tr ởt
trữớ ổ tr

t ụ õ t ự r R tr
t ụ tứ tự R[[x]] ụ tr



ử
t ữỡ tr x2 = 2 õ x = 2; x = 2


õ Z[ 2] tr
t t


: Z[x] Z[ 2]

tữỡ ự a a; x 2 ự ữủ t

Z[x] tr Z[ 2] tr

ìợ ừ 0 tr tr
ổ sỷ r R tr õ ỡ

P tỷ r R ữủ ồ ữợ ừ 0M tr M
tỗ t 0 = m M s rm = 0

zdR (M ) t ủ tt tỷ r ữợ ừ 0 tr
M.

ữợ t tố t ữ s

ởt tố p Spec(R) ữủ ồ

tố t ừ M tỗ t x tở M s p = 0:M x tữỡ
ữỡ ợ tỗ t ởt ỗ ú R/p M
AssR M t tố t ừ M

ử

AssZ Z = {(0)} .

AssZ Z/6Z = {2Z, 3Z} .

ỵ sỷ R tr M Rổ ổ


ồ tỷ ỹ ừ t ủ

F = {Ann(x)|0 = x M }

tố t ừ M õ AssRM =
õ zdR M =
p
pAssR M

ự sỷ r p = (0 : x) ợ x M

x = 0

tỷ ỹ ừ F ứ tt x = 0 t õ p R sỷ t r
a, b R s b R\p ữ ab p abx = 0 ữ bx = 0

ó r t õ (0 : x) (0 : bx) t (0 : x) t tx = 0 õ
btx = 0 t(bx) = 0 t (0 : bx) p tỷ tố t

õ p = (0 : x) = (0 : bx) ứ tt abx = 0 t õ a p õ
p Spec(R).

ó r r ồ tố t tr t
ữợ ừ 0 ữủ ax = 0 ợ x = 0 t a Ann(x) F t
t tỗ t ởt tố t ừ M ự Ann(x)

R tr M Rổ

tr õ t

t ừ M ỵ Supp(M ) ữ

s
Supp (M ) = {p Spec (R) |Mp = 0} .




▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✻✳ ❈❤♦ R ❧➔ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â
AssR M ⊆ SuppR M ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲➜② p ∈ AssRM ✱ ❦❤✐ ✤â s➩ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕ ρ : R/p → M

❧➔

✤ì♥ ❝➜✉✳ ▲➜② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ t↕✐ p ✈➔ ❞♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤➥♥❣ ❝õ❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
❤â❛ ♥➯♥ t❛ ❝â ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥❤ó♥❣ ✿ R/p → Mp ✳ ❚❛ ❝â R/p = Rp/pRp
p
p
✈➔ pRp ❧➔ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ Rp ✳ ❚❛ ❝â Rp/pRp = 0 t❤❡♦
❇ê ✤➲ ◆❛❦❛②❛♠❛ ✶✳✵✳✷✾ ♥➯♥ Mp = 0✳ ❱➟② p ∈ Supp (M )✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✼✳ ●✐↔ sû R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳
❳➨t S ❧➔ ♠ët t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤➙♥✳ ❑❤✐ ✤â

AssRS MS = {pRS |p ∈ AssR M ; p ∩ S = ∅} .

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✧⊇✧❀ ❳➨t p ∈ AssRM ✱ t❛ ❝â ✤ì♥ ❝➜✉✿
ϕ : R/p → M.

✣ì♥ ❝➜✉ ϕ ❝↔♠ s✐♥❤ →♥❤ ①↕✿
ϕS : R/p

S

= RS/pRS → MS

❞♦ t➼♥❤ ♣❤➥♥❣ ❝õ❛ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ t❛ ❝â ϕS ❧➔ ♠ët ✤ì♥ ❝➜✉✳ ◆➯♥ pRS ∈
AssRS MS ✳ ❱➟② AssRS MS ⊇ {pRS | p ∈ AssR M ; p ∩ S = ∅} ✳

✧⊆✧❀ ▲➜② pRS ∈ AssRS MS ❀ ð ✤➙② p ∈ SpecR ✈➔ p ∩ S = ∅✳ ❱➻ R ❧➔
✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ p = (r1 , ...., rn )✳ ❚❛ ❝â pRS ∈ AssRS MS s✉② r❛ tç♥ t↕✐
x

: xs = pRS ✳ ❙✉② r❛ ∀i = 1, n t❛ ❝â ri xs = 0 ∈ MS ✳ ❑❤✐
s = 0 s❛♦ ❝❤♦ 0
MS

✤â tç♥ t↕✐ si ∈ S ✤➸ si ri x = 0✳ ✣➦t s0 = s1 ...sn ∈ S ✱ t❛ ❝â ri (s0 x) =
0, ∀i = 1, n✳ ❱➻ xs = 0 ♥➯♥ s0 x = 0 tr♦♥❣ M ✳ ❙✉② r❛ p ⊆ 0 : (s0 x)✳ ●✐↔ sû
t ∈ 0 : (s0 x) ✈➔ t ∈
/ p✳ ❱➻ t (s0 x) = 0 ♥➯♥
M

M

t xs

= 0 ∈ MS ✳ ❙✉② r❛ t ∈ pRS ✱

t ∈ pRS ∩ R = p ✭ ✈æ ❧þ ✮✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✽✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ✈➔ p ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè
❝õ❛ R✳ ❚❛ ❝â p ∈ AssRM ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ pRp ∈ AssR Mp✳
p

✶✽


ỵ sỷ R ởt tr
0M M M 0

ởt ợ Rổ õ
Ass(M ) Ass(M ) Ass(M ) Ass(M ).

ự tự tự t ợ tự
tự t p Ass(M ) t M ự ổ N R/p
p tố ợ ồ tỷ x ổ ừ N t õ Ann(x) = p

t N M = 0 t p Ass(M ) N M = 0 t
ừ N tr M ụ ợ R/ p Ass(M ) ứ õ t
p

õ ự

R tr M Rổ ỳ s
õ tỗ t ởt t ổ

0 M1 M2 ... Mt = M

s Mi/Mi1
= R/p ợ p Spec (R) ợ i = 1, t
ự sỷ M ổ 0 AssRM = õ tỗ t
p1 AssR M tỗ t ỡ 1 : R/p1 M.
t M1 = 1 (R/p1 ) t M/M1 = M M/M1 = 0 tỗ t M2
ổ ừ M s M2
= R/p2 ợ p2 SpecR õ tỗ t
M2 M1 M2 M s M2/M1
= R/p2 ự t tử q tr
M tr t s t ữủ t ứ ổ

t ứ õ t õ ự

q R tr M Rổ ỳ s

õ AssRM ỳ

ự ự q t t ợ t = 1 t õ M
= R/p1
AssR M = {p1 } .



sỷ t > 1 ú tr trữớ ủ õ ở (t 1)
tự AssR Mt1 ỳ ự r ụ ú
ợ õ ở t õ ợ s
0 Mt Mt1 Mt/M t1 0.

AssMt ỳ AssR Mt/Mt1 ụ ỳ t õ
AssR Mt AssR Mt1 AssR (Mt /Mt1 ).

õ AssR Mt ỳ

R tr M Rổ ỳ

s õ
P tỷ tố t ừ AssR (M ) SuppR (M ) trũ

AnnR M =
p
pAssR M

ự (i)

() p min Supp (M ) Mp = 0 t õ

AssRp Mp = SuppRp Mp = {pRp } ứ õ s r pRp AssRp Mp

õ p AssR M ứ õ s r p min AssR M
() õ AssR M SuppR M t p tố p
min AssR M t õ p SuppR M ữỡ õ t p t ữủ AssRp (Mp ) =
{pRp} SuppRp (Mp ) sỷ p ổ tố t õ tỗ t

tố q ự tr p s Mq = 0 ỵ t
õ AssRq (Mq ) = 0 t Mq = (Mp )qRp t
AssRq (Mq ) = ổ ỵ
(ii) ()
() x

õ

pAssR M

p M ỳ s t

0 M1 M2 .... Mt = M

s Mi/Mi1
= R/p, ợ p SuppR M x p t x(Mi/Mi1 ) = 0
r xM1 = 0 x(M2/M1 ) = 0 õ xM2 M1 x2 M2 = 0



q t ự ữủ xt M = 0 x

Ann (M )

P t sỡ tr ỵ
ồ ừ t sỡ

P t sỡ tr
sỷ R M Rổ N M
õ r N ổ

sỡ ừ M tọ ợ

ồ a R x M x = N ax N t av M N ợ v õ
õ t ữủ t ữ s a R ữợ ừ 0 tr
M/N t a Ann M/N ỗ a : M/N M/N
ỡ ụ

ỵ sỷ R tr M Rổ ỳ

õ ổ N M sỡ Ass(M/N )
õ ởt tỷ
õ Ass(M/N ) = p Ann(M/N ) = I t I

sỡ I = p
ự Ass(M/N ) = p t Supp(M/N ) = V (p) p =

Ann(M/N ) ớ a R ữợ ừ 0 tr M/N t

ỵ a p a

Ann(M/N ) õ N ổ

sỡ ừ M
ữủ N ổ sỡ p Ass(M/N ) t ợ ồ

a p ữợ ừ 0 tr M/N t õ a I ợ I = Ann(M/N )

õ p I ữ tứ ừ tố t t


õ I p õ I p s r p = I Ass(M/N ) = p.
ự ố t N ởt ổ sỡ

ừ M Ass(M/N ) õ ởt tỷ I ự r I
ởt sỡ t sỷ a, b A ợ b = I ab I t
ab(M/N ) = 0 ữ b(M/N ) = 0 a ởt ữợ ừ 0 ừ M/N

õ a p = I tỗ t ởt số ữỡ n an I



Ass(M/N ) = {p} t õ r N M ởt
ổ p

sỡ ừ M

ỵ N N ởt ổ p sỡ ừ M t
õ N N ụ ởt ổ p sỡ ừ M
ự t ỗ
: M/(N N ) M/N M/N

.

x + (N N ) (x + N ) (x + N )

ởt ỡ
Ass M/(N N ) Ass M/N Ass M/N



ởt I ừ R ữủ ồ

= {p} .

t q

I ổ ừ ự õ tỹ sỹ

ởt ổ N ừ M ữủ ồ ổ

t q

õ ổ ừ ổ ự õ tỹ sỹ

t ồ tố t q tr
tr t ồ t q sỡ

R ởt tr M ởt Rổ ỳ

s õ ồ ổ t q N ừ M

sỡ
ự M M/N t õ t sỷ r N = 0
ỵ Ass(M ) õ t t tỷ p1 , p2 õ M ự ổ
Ki tợ A/pi ợ i = 1, 2 ứ Ann(x) = pi ợ x ổ
ữợ ừ 0 x Ki õ K1 K2 = 0 õ 0 q
t ợ tt