CHÚNG TA BIẾT gì và CHƯA BIẾT gì về số NGUYÊN tố

W. Sierpinski

CHÚNG TA BIẾT
GÌ VÀ CHƯA
BIẾT GÌ VỀ SỐ
NGUYÊN TỐ ?

Page 1 of 80


Page 2 of 80


TÓM TẮT
Trong cuốn sách của nhà toán học Ba Lan nổi tiếng Waclaw Sierpinski có
những kết quả quan trọng nhất liên quan tới lý thuyết về các số nguyên
tố, rất thú vị và dễ tiếp cận đối với rất nhiều bạn đọc. Cũng trong cuốn
sách cho ta biết ở trong lĩnh vực này vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải
quyết.
Việc chứng minh các định lý trong cuốn sách chỉ được đưa ra khi chúng
là sơ cấp và không quá phức tạp. Về cơ bản cuốn sách cung cấp cho ta
những thông tin liên quan tới các số nguyên tố. Cuốn sách có thể được
các học sinh phổ thông yêu toán, các sinh viên và giáo viên sử dụng. Cuối
cùng bạn đọc có thể tìm thấy trong cuốn sách này rất nhiều tư liệu hay đối
với việc đào tạo toán học nói chung.

Page 3 of 80


LỜI TỰA
Mục đích của cuốn sách này là để thông báo một cách dễ tiếp cận nhất

đối với những gì chúng ta biết và những gì chúng ta chưa biết về các số
nguyên tố. Các số nguyên tố chúng ta đã gặp trong số học sơ cấp, nhưng
chúng có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, chủ
yếu và trong lý thuyết số và đại số.
Toán học được coi là (và đúng như vậy) khoa học suy luận. Mặc dù cái
gọi là phép quy nạp đầy đủ và phép quy nạp dựa trên những quan sát của
một số lượng lớn các trường hợp đã dẫn người ta tới các định lý không
đúng, nhưng nó không làm giảm đi vai trò của phép quy nạp toán học.
Đặc biệt điều được áp dung cho việc giảng dạy về các số nguyên tố, bằng
phương pháp đó người ta đã phát hiện nhiều định lý quan trọng mà việc
chứng minh các định lý ấy mãi về sau mới được thực hiện. Nhưng
phương pháp đó thường dẫn tới những mệnh đề sai lầm. Ngoài ra có hàng
loạt các giả thuyết mà chúng đã được kiểm tra trong nhiều trường hợp
riêng, nhưng chúng ta vẫn chưa biết được rằng chúng thật sự là đúng hay
không đúng. Tất cả những điều đó sẽ được thảo luận trong cuốn sách này.
Cuốn sách không phải là sách giáo khoa về lý thuyết của các số nguyên
tố, nó chủ yếu là cung cấp thông tin. Trong cuốn sách chỉ chứng minh
một số định lý, cụ thể là những chứng minh hoàn toàn sơ cấp và không
phức tạp quá. Người đọc nào muốn tìm hiểu chứng minh của những định
lý khác và muốn có sự hiểu biết sâu sắc hơn về các số nguyên tố xin hãy
tham khảo phần thứ hai trong cuốn sách “Lý thuyết số” của tôi (xem W.
Sierpinski, Teoria liczb. II, Warszawa, 1959.), trong đó có các chỉ dẫn và
tài liệu bổ sung.
Warsawa, tháng 3 năm 1961

Wacław Sierpiński

1. Số nguyên tố là gì ?
Page 4 of 80

Khái niệm về số nguyên tố có liên quan tới các bài toán đơn giản nhất trong
số học sơ cấp ví dụ như phép nhân các số tự nhiên (tức là các số nguyên
dương) chẳng hạn.
Như các bạn đã biết tích của hai số tự nhiên luôn là một số tự nhiên. Cho nên
tồn tại những số tự nhiên lớn hơn 1 là tích của hai số tự nhiên. Nhưng cũng
tồn tại những số tự nhiên lớn hơn 1 nhưng không phải là tích của hai số tự
nhiên lớn hơn 1, ví dụ như các số 2, 3, 5 hoặc 13 chẳng hạn. Những số như
vậy được ta gọi là số nguyên tố.
Vậy mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 được ta gọi là số nguyên tố nếu nó không
phải là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1.
Một câu hỏi được đặt ra là: liệu đối với một số tự nhiên
thì ta có thể
biết được rằng nó có phải là số nguyên tố hay không ? Hóa ra chính định
nghĩa về số nguyên tố sẽ cho ta câu trả lời của câu hỏi này.
Thực vậy, nếu số tự nhiên

không phải là số nguyên tố thì nó phải là

tích của hai số tự nhiên a và b lớn hơn 1, tức là

trong đó

và

, từ đó ta cũng suy ra rằng
và
. Vì vậy số tự nhiên
không phải là số nguyên tố sẽ là tích của hai số tự nhiên nào đó nhỏ hơn n.
Những số như vậy được ta gọi là hợp số. Nếu n là hợp số thì

, trong
đó a và b là các số tự nhiên
và
. Thương số
là một số tự
nhiên cho nên ước số a của số tự nhiên n phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn n. Vì thế
ta có thể khẳng định rằng một số tự nhiên
là số nguyên tố nếu nó
không có các ước số tự nhiên

và

. Để biết một số tự nhiên

phải là số nguyên tố không ta chỉ cần thực hiện

có

phép chia số n lần lượt

cho các số
là đủ. Nếu không có một phép chia nào là có số dư
bằng 0 cả thì số n là số nguyên tố.
Như vậy ít nhất về lý thuyết ta luôn có khả năng để kết luận một số tự nhiên
n có phải là nguyên tố hay không qua một số hữu hạn các phép chia.Tuy
nhiên trên thực tế phương pháp ấy sẽ gặp khó khăn lớn khi n là một số rất
lớn. Chẳng hạn cho tới ngày nay ta không thể đưa ra các phép tính dài dòng
như vậy do áp dụng phương pháp đó đối với số
, mặc dù bằng một
phương pháp khác ta có thể chứng minh rằng số đó là một hợp số. Tuy nhiên

cho tới tận ngày nay chúng ta vẫn chưa biết rằng liệu có một phân tích của số
Page 5 of 80


đó thành tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 hay không (mặc dù chúng ta biết
rằng một phân tích như vậy là luôn tồn tại). Cũng vậy ta vẫn chưa biết rằng
số

(là số có 39.457 chữ số) có phải là số nguyên tố hay không.

2. Ước số nguyên tố của các số tự nhiên.

Bây giờ ta sẽ chứng minh một vài định lý không quá phức tạp về các số
nguyên tố.
Định lý 1. Mỗi số tự nhiên

đều có ít nhất một ước số nguyên tố.

Chứng minh: Giả sử n là một số tự nhiên
. Số đó luôn có một ước số lớn
hơn 1, ví dụ chính là số n chẳng hạn. Trong các ước số lớn hơn 1 của số n
luôn tồn tại một số nhỏ nhất. Ký hiệu số nhỏ nhất ấy là p. Nếu p không phải
là số nguyên tố thì theo định nghĩa số nguyên tố p sẽ là tích của hai số tự
nhiên lớn hơn 1:
. Trong trường hợp đó a sẽ là một ước số lớn
hơn 1 của số p và do vậy a lớn hơn 1 cũng là một ước số của n, mật khác a
lại nhỏ hơn p nên nó mâu thuẫn với định nghĩa của số p. Định lý 1 đã được
chứng minh.
Định lý 2. Mỗi hợp số n có ít nhất là một ước số nguyên tố

trong đó a và b là các số tự nhiên

Chứng minh: Nếu n là hợp số thì
và
đó

. Tất nhiên ta có thể giả thiết rằng
. Nhưng a là một số

. Khi đó

do

. Cho nên theo Định lý 1 thì số a luôn có

một ước số nguyên tố p, đương nhiên
tố của số n và

.

do đó p cũng là ước số nguyên

. Vậy Định lý 2 đã được chứng minh.

3. Có bao nhiêu số nguyên tố ?

Để trả lời cho câu hỏi này chúng ta hãy chứng minh định lý sau đây.

Page 6 of 80

Định lý 3: Nếu n là một số tự nhiên
một số nguyên tố.
Chứng minh: Bởi vì

thì giữa n và n! luôn chứa ít nhất

cho nên số nguyên

và theo Định lý 1 nó có ước số nguyên tố p, mà
Nếu ta giả thiết rằng

đương nhiên là
do đó

.

thì p sẽ là một trong các thừa số của tích

và điều đó có nghĩa là p là một ước số của số n!. Nhưng p
cũng là một ước số của số N, nên p cũng phải là ước số của hiệu hai số đó:
và đây là điều không thể có. Vì vậy
và như ta đã làm rõ là
nên ta luôn có

, nghĩa là Định lý 3 đã được chứng minh.

Vậy đối với mỗi số tự nhiên luôn tồn tại một số nguyên tố lớn hơn nó. Từ đó
suy ra rằng số các số nguyên tố là nhiều vô hạn, và điều đó cũng đã được
biết tới từ thời Euclide. Đặc biệt từ đó suy ra rằng tồn tại số nguyên tố được

viết trong hệ thập phân có ít nhất một ngàn chữ số. Tuy nhiên cho tới năm
1960 ta vẫn chưa biết tới số nguyên tố như vậy. Cùng năm đó ta đã biết số
nguyên tố lớn nhất là số
có 969 chữ số.
Trong thập kỷ qua đã có nhiều tiến bộ đáng kể về việc tính toán các số
nguyên tố lớn. Bắt đầu từ năm 1951 thì số nguyên tố lớn nhất được biết tới là
số
có 39 chữ số (số đó được chứng minh là số nguyên tố vào năm
1876). Ở thời đại của chúng ta thì số nguyên tố lớn nhất mà ta biết đó là số
có 1332 chữ số.
Liên quan tới Định lý 3 ta lưu ý rằng năm P. L. Chebyshev đã chứng minh
một định lý mạnh hơn (thường được gọi là Định đề Bertran):”Đối với các số
tự nhiên
thì giữa n và 2n-2 luôn chứa ít nhất là một số nguyên tó”. Từ
đó ta thấy rằng trong Định lý 3 số n! có thể được thay bằng số 2n. Ở thời đại
của ta có thể chứng minh một cách sơ cấp cho định lý này, nhưng nó khá dài
dòng. Cũng có thể chứng minh rằng: “Đối với các số tự nhiên
thì giữa
n và 2n luôn chứa ít nhất là hai số nguyên tó”.
Từ định lý Chebyshev ta suy ra rằng đối với mỗi số tự nhiên s luôn tồn tại ít
nhất 3 số nguyên tố mà mỗi số nguyên tố ấy có đúng s chữ số. Thật vậy, mỗi
một số trong các số
đều có s chữ số,
nhưng do định lý Chebyshev đối với
cho
Page 7 of 80

luôn tồn tại các số p, q và r sao

Và do đó mỗi số trong các số p, q, r đều có s chữ số.
Đối với
ta có 4 số nguyên tố có một chữ số là: 2, 3, 5 và 7. Số các số
nguyên tố có 2 chữ số là 21, số các số nguyên tố có 3 chữ số là 143. Tồn tại
ít nhất 3 số nguyên tố mà mỗi số đó có 100 chữ số. Gần đây P. M. Robinson
đã tìm thấy các số ấy là
.
Cho tới nay ta vẫn chưa tìm được một số nguyên tố nào có 1000 chữ số, mặc
dù đã biết rằng tồn tại ít nhất là 3 số như vậy.

4. Có thể tìm tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước như thế
nào ?

Phương pháp mà sẽ được ta thảo luận ở đây đã được biết tới từ thời cổ đại:
nó được gọi là sàng Eratosthenes.
Giả sử rằng ta muốn tìm tất cả các số nguyên tố không vượt quá số tự nhiên
a. Với mục tiêu đó chúng ta viết dãy tất cả các số tự nhiên từ 1 tới a và sẽ
gạch đi trong dãy đó tất cả các số không phải là số nguyên tố: Đầu tiên là số
1, và sau đó đối với mỗi số tự nhiên
ta gạch đi các số lớn hơn n và
chia hết cho n. Dễ dàng thấy rằng phương pháp ấy đã gạch đi các hợp số và
chỉ còn lại những số nguyên tố.
Vậy từ dãy số 1, 2, 3, 4, …, a chúng ta gạch đi số 1, sau đó gạch đi những số
lớn hơn 2 và chia hết cho 2, tiếp tục gạch đi những số lớn hơn 3 và chia hết
cho 3. Việc gạch đi những số chia hết cho 4 không cần phải làm bởi chúng
đã bị gạch khi là những số lớn hơn 2 và chia hết cho 2 rồi. Bởi vậy tiếp theo
là gạch đi những số lớn hơn 5 và chia hết cho 5 .v.v… Khi đó chúng ta có
thể sẽ không phải gạch đi những số
nào cả. Thật vậy nếu n là một hợp
số

và

thì theo Định lý 2 số n có ước số nguyên tố

do đó

và số n đã bị gạch đi rồi bởi nó là số lớn hơn p và chia hết cho p.
Ví dụ chúng ta muốn nhận được tất cả các số nguyên tố

thì ta gạch đi

trong dãy số 1, 2, 3, 4, …, 100 số 1, sau đó gạch đi những số
cho 2, tiếp tục gạch đi những số

và chia hết

và chia hết cho 3, gạch tiếp những số

và chia hết cho 5; cuối cùng là gạch đi những số
Page 8 of 80

và chia hết cho 7.


Tất cả những số còn lại trong dãy của ta đều là những số nguyên tố. Phương
pháp ấy cho ta nhận được dãy số sau đây (trong dãy đó tất cả các số nguyên
tố là được tô đậm):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21,22,
23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42,

43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62,
63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82,
83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
. Khi đó

Ta ký hiệu theo thứ tự số nguyên tố thứ n là

. Có thể dễ
dàng tính được

.

Năm 1909 người ta đã thiết lập được bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 10 triệu
(10.000.000). Năm 1951 đã công bố bảng các số nguyên tố không vượt quá
11 triệu.
J. P. Kulik (1793-1863) đã thiết lập bảng các số nguyên tố trong 100 triệu số
đầu tiên. Bảng đó đã được kiểm tra và sử dụng để lập bảng các số nguyên tố
không vượt quá 11 triệu đã công bố năm 1951. Gần đây (năm 1959) K. L.
Beiker và F. Yu. Grunberger đã thiết lập một vi phim mà trong đó có chứa
tất cả các số nguyên tố
.

5. Các số nguyên tố dinh đôi.

Đối với dãy vô hạn các số nguyên tố, tức là dãy số
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ....
nảy sinh một loạt vấn đề. Chỉ có một số ít trong các vấn đề đó là dễ dàng cho
câu trả lời.
Ví dụ chẳng hạn hai số nguyên tố nhỏ nhất là 2 và 3 là các số tự nhiên liên
tiếp. Điều này đặt ra câu hỏi là có tồn tại hai số tự nhiên liên tiếp khác mà cả

hai số ấy đều là các số nguyên tố hay không. Dễ dàng chứng minh được rằng
không có các số như vậy. Thật vậy, trong mỗi cặp số tự nhiên liên tiếp luôn
có một số là chẵn và nếu số chẵn đó
thì số đó phải là hợp số.
Page 9 of 80


Tuy nhiên lại tồn tại nhiều cặp số lẻ liên tiếp mà cả hai số đó đều là số
nguyên tố, ví dụ các cặp số 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13, 17 và 19, 29 và 31, 41
và 43. Các cặp số như vậy được ta gọi là các cặp số sinh đôi. Trong 30 triệu
số tự nhiên đầu tiên có tới 152892 cặp số sinh đôi như vậy.
Nảy sinh vấn đề các cặp số nguyên tố sinh đôi có nhiều vô hạn hay không.
Vấn đề đó cho tới nay vẫn chưa có câu trả lời. Như vậy chúng ta cũng không
biết rằng số các số nguyên tố mà hiệu của hai số nguyên tố ấy bằng 2 có
nhiều vô hạn hay không.
Có giả thuyết cho rằng mỗi số chẵn có thể có vô số cách biểu diễn nó như là
hiệu của hai số nguyên tố liên tiếp. Thậm chí ta không thể chứng minh được
rằng mỗi số chẵn đều có ít nhất một cách biểu diễn nó như là hiệu của hai số
nguyên tố lẻ liên tiếp, ví dụ 2=5-3, 4=11-7, 6=29-23, 8=97-89, 10=149139, 12=211-199, 14=127-113, 16=1847-1831, 18=541-523, 20=907-887.
Hơn nữa ta cũng không thể chứng minh được rằng mỗi số chẵn là hiệu của
hai số nguyên tố.
Nhưng ta có thể tìm được tất cả những số lẻ mà mỗi số ấy có thể biểu diễn
dưới dạng hiệu của hai số nguyên tố. Thật vậy nếu số tự nhiên lẻ n là hiệu
của hai số nguyên tố, n=p-q, thì một trong hai số nguyên tố ấy phải là số
chẵn còn số kia là lẻ. Do đó dễ thấy rằng một trong hai số p và q, chẳng hạn
q là phải bằng 2. Vì vậy ta có n=p-2, trong đó p là số nguyên tố lẻ. Như vậy
tất cả các số tự nhiên lẻ, mà nó là hiệu của hai số nguyên tố, sẽ nhỏ hơn số
nguyên tố lẻ một lượng bằng 2, do vậy các số lẻ đó là 1, 3, 5, 9, 11, … Các
số như vậy có nhiều vô hạn.
Tuy nhiên tồn tại vô số các số lẻ mà mỗi số đó là không phải là hiệu của hai

số nguyên tố, ví dụ các số có dạng 6k+1 trong đó k là số tự nhiên. Thật vậy
đẳng thức 6k+1=p-2 (trong đó p là số nguyên tố) là không thể có, bởi vì từ
đó ta suy ra p=6k+3=3(2k+1) tức là p là hợp số.

6. Giả thuyết Goldbach.

Năm 1742 Goldbach Ch. đưa ra giả thuyết cho rằng mỗi số chẵn
đều là
tổng của hai số nguyên tố. Giả thuyết đó cho tới nay vẫn chưa được chứng
minh hay bác bỏ. Nó đã được kiểm tra với tất cả các số chẵn tới 100000.
Page 10 of 80


Xuất hiện một giả thuyết mạnh hơn cho rằng mỗi số chẵn
đều là tổng
của hai số nguyên tố khác nhau. Giả thiết đó đã được S. Golashevkii kiểm tra
đối với tất cả các số
.
Có thể chứng minh được rằng giả thuyết sau cùng là tương đương với khẳng
định cho rằng mỗi số tự nhiên
đều là tổng của ba số nguyên tố khác
nhau. Schinzel A đã chứng minh rằng từ giả thuyết Goldbach suy ra rằng
mỗi số tự nhiên lẻ
đều là tổng của ba số nguyên tố khác nhau.
Từ giả thuyết Goldbach cũng suy ra rằng mỗi số tự nhiên lẻ

đều là tổng

của ba số nguyên tố lẻ. Thật vậy nếu n là một số tự nhiên và

thì

. Theo giả thuyết Goldbach thì số chẵn
là tổng của hai số nguyên tố
không thể là số chẵn nên chúng phải

, thêm vào đó p và q đều

. Do đó các số p và q là các số lẻ và

điều đó có nghĩa là số

là tổng của ba số nguyên tố lẻ.

Chúng ta cũng chưa biết rằng mỗi số tự nhiên lẻ
có phải là tổng của ba
số nguyên tố lẻ hay không, tuy nhiên đối với các số lẻ đủ lớn thì điều đó đã
được I. M. Vinogradov chứng minh vào năm 1937. Chúng ta cũng đã biết số
a
là số có tính chất: “Mỗi số lẻ
đều là tổng của ba số nguyên
tố lẻ”.
Vì thế việc giải quyết vấn đề “Mỗi số lẻ
có phải là tổng của ba số
nguyên tố lẻ hay không” chỉ còn là việc tính toán kiểm tra vấn đề đối với các
số tự nhiên lẻ
và
là đủ (do kết quả của Vinogradov).
Có nhiều tình huống khác nhau đối với giả thuyết Goldbach: ở đây chúng ta
không thể chỉ ra việc giải quyết vấn đề giả thuyết là đúng hay sai bởi khối

lượng cần tính toán là quá lớn.
Người ta đã chứng minh được rằng mỗi số tự nhiên
không quá 20 số nguyên tố.

đều là tổng của

Người ta cũng đã chứng minh được rằng mỗi số tự nhiên
đều là tổng
của 2 hoặc nhiều hơn 2 số nguyên tố khác nhau. Ví dụ 12=5+7, 13=2+11,
17=2+3+5+7, 29=3+7+19. Mokowski A. cũng đã chứng minh được rằng
mỗi số tự nhiên
đều là tổng của các số nguyên tố khác nhau có dạng
và ông cũng đã chứng minh 3 định lý tương tự về tổng các số nguyên
Page 11 of 80


tố mà mỗi định lý ấy tương ứng với một trong các dạng
.
Từ giả thuyết Goldbach suy ra rằng mỗi số nguyên lẻ (dương hoặc âm) đều
có vô số cách biểu diễn nó dưới dạng
trong đó p, q, r là các số
nguyên tố lẻ.
Thật vậy, đối với mỗi số nguyên k luôn tồn tại một số nguyên tố lẻ r sao cho
(r có thể lấy là một số nguyên tố lẻ bất kỳ đủ lớn). Nhưng
khi đó

là một số chẵn

nên theo giả thuyết Goldbach thì

trong đó p và q là các số nguyên tố lẻ. Vì vậy
thêm vào đó số nguyên tố lẻ r có thể lớn tùy ý. Từ đó
suy ra khẳng định được phát biểu ở trên.
Một điều lý thú là khẳng định trên đã được Van der Corput J. G chứng minh
vào năm 1923. Tuy nhiên chứng minh của ông rất phức tạp.
Liên quan tới giả thuyết Goldbach ta có nhận xét rằng mỗi số tự nhiên
đều là tổng của hai hợp số. Thật vậy nếu
một số chẵn

là một số chẵn thì

là

do đó nó là một hợp số, và điều đó có nghĩa là n là tổng của

2 hợp số: 4 và
. Nếu
là một số lẻ thì
là một số chẵn
nên nó là một hợp số, và điều đó có nghĩa là n là tổng của 2 hợp số: 9 và
. Tuy nhiên điều đó không thể rút ra kết luận rằng việc nghiên cứu các
hợp số là dễ hơn việc nghiên cứu các số nguyên tố. Ví dụ ta không thể có câu
trả lời cho bài toán: “Trong các số
ở đây
có tồn
tại vô số hợp số hay không ?” (Cho tới tận ngày nay ta mới chỉ biết có 37
hợp số như vậy, mà trong các hợp số đó thì số lớn nhất là
).
Hardy G. H. và Littlewood J. E đã đưa ra giả thuyết (cho tới nay vẫn chưa
được chứng minh) rằng mỗi số tự nhiên đủ lớn không phải là số chính

phương luôn là tổng của bình phương một số nguyên và một số nguyên tố.
Dễ dàng chứng minh được rằng tồn tại vô số các số tự nhiên chính phương
mà mỗi số ấy không phải là tổng của bình phương một số nguyên và một số
nguyên tố.
Thật vậy nếu p là một số nguyên tố lẻ thì

Page 12 of 80

là một số tự nhiên, và ta có:


Mặt khác nếu

trong đó k là số tự nhiên, thì đẳng thức

với số nguyên không âm x và số nguyên tố p là không thể có bởi vì từ đó ta
suy ra rằng với
và

từ đó, do để ý rằng p là số nguyên tố, ta có
nghĩa là

và

, có

Mâu thuẫn bởi p là số nguyên tố.
Một định lý khác của Hardy G. H. - Littlewood J. E khẳng định rằng mỗi số
tự nhiên đủ lớn luôn là tổng của hai số trong đó một số là bình phương của
số nguyên còn số kia là số nguyên tố. Và định lý này đã được Yu. V. Linnik

chứng minh năm 1959.

7. Giả thuyết Gilbreath N. L..

Năm 1958 Gilbreath N. L. đã đề xuất giả thiết sau đây.
Nếu chúng ta viết dãy các số nguyên tố, sau đó ở dòng đầu tiên là kết quả
hiệu của các số nguyên tố liên tiếp, dòng thứ hai là giá trị tuyệt đối của hai số
liên tiếp của dòng thứ nhất, dòng thứ ba là giá trị tuyệt đối của hai số liên
tiếp của dòng thứ hai, .v.v… thì số đầu tiên của mỗi dòng luôn là số 1.
Ví dụ 17 dòng đầu tiên (trừ dãy số nguyên tố ra) như vậy được minh họa như
sau:

Page 13 of 80


Giả thuyết Gilbreath N. L. đã được kiểm tra với 63418 dòng. Tuy nhiên cho
tới nay chúng ta vẫn chưa có một chứng minh tổng quát cho giả thuyết đó.
Đối với số tự nhiên n ta ký hiệu
thứ

là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số hạng

của dòng thứ n là số đầu tiên

của dòng thứ n đó. Vì vậy
Tiếp tục tính toán ta có

chúng ta có

Nếu ta chứng minh được rằng

đối với các số tự nhiên n, thì từ đó ta
dễ dàng có thể thiết lập được tính đúng đắn của Giả thuyết Gilbreath N. L.

Page 14 of 80


8. Phân tích số tự nhiên thành các thừa số nguyên tố.

Nhớ lại Định lý 1 ta sẽ chứng minh định lý sau đây.
Định lý 4. Mọi số tự nhiên
đó là một số nguyên tố.

đều là một tích số mà mỗi thừa số của tích
đã cho. Theo Định lý 1 thì n có (ít

Chứng minh: Giả sử n là số tự nhiên
nhất là một) ước số nguyên tố

và ta có thể giả thiết rằng

nguyên tố nhỏ nhất của số n. Vậy ta có
Nếu

là số tự nhiên.

và n sẽ là một tích số mà tích ấy có duy nhất một

thì

thừa số nguyên tố. Nếu

giả thiết rằng

, trong đó

là ước số

thì

có ước số nguyên tố

là ước số nguyên tố nhỏ nhất của

và ta có thể

. Đồng thời

là ước số nguyên tố của số n, thêm vào đó do định nghĩa của số

cũng
ta suy ra

.
Do đó
tố

và hoặc là

và

và khi đó n là tích của hai số nguyên

(không nhất thiết phải khác nhau), hoặc là

và khi ấy ta

cũng tiến hành phân tích số

như ta đã làm với các số n và

Bởi vì

nên ta có

và

.v.v… Cho nên các số

.v.v…

. Tương tự ta có

tạo thành một dãy số giảm và dãy đó có

không quá n phần tử. Do đó có một số k là số tự nhiên nào đó để số
phần tử cuối cùng của dãy số đó. Nhưng trong trường hợp

là
hoặc

trong trường hợp

ta có thể đặt

và ta đã nhận

được phần tử

tiếp theo trong dãy của ta. Vậy ta có
từ đó ta tìm được:

trong đó

là các số nguyên tố, thêm vào đó ta có thể giả

thiết rằng

(nếu đối với mỗi số trong các số

chúng ta sẽ xác định ước số nguyên tố nhỏ nhất của nó).
Page 15 of 80


Trong các thừa số của tích (1) có thể có các thừa số bằng nhau. Công thức
(1) có thể viết dưới dạng:

trong đó s là số tự nhiên và

là các số nguyên tố khác nhau được

sắp xếp theo thứ tự tăng dần, còn

là các số mũ tự nhiên.

Công thức (2) được gọi là phân tích chuẩn tắc số n thành các thừa số
nguyên tố.
Như vậy chúng ta không những chứng minh Định lý 4 mà còn chỉ ra phương
pháp tìm phân tích chuẩn tắc của mỗi số tự nhiên
thành các thừa số
nguyên tố. Vì thế việc tìm phân tích đó đối với một số tự nhiên
bất kỳ
cho trước về mặt lý thuyết là luôn có thể làm được. Tuy nhiên trong thực
hành nó có thể cần một khối lượng tính toán rất lớn khi mà số cho trước là
khá dài, việc làm đó chiếm một khoảng thời gian khó có thể chấp nhận được
ngay cả khi ta sử dụng máy tính điện tử. Ví dụ chúng ta vẫn chưa biết phân
tích thành các thừa số nguyên tố của số
(có 31 chữ số), mà mới chỉ
chứng minh được rằng nó là tích của 2 thừa số nguyên tố mà thừa số nhỏ có
không ít hơn 11 chữ số. Chúng ta vẫn chưa biết phân tích thành các thừa số
nguyên tố của số

thậm chí ta cũng không biết rằng đó có phải

là số nguyên tố hay không. Nhưng đối với số
hơn

chữ

có nhiều
số

(bởi

vì

từ đó ta có
) cách đây vài năm người ta đã
tìm được ước số nguyên tố bé nhất của nó. Ước số đó là số
có
587 chữ số. Nhưng ta cũng chưa biết phân tích ra thừa số nguyên tố của số
này và cũng chưa biết ước số nguyên tố khác của nó.
Nảy sinh câu hỏi phân tích (2) của số tự nhiên

thành các thừa số

nguyên tố có phải là duy nhất hay không (nếu dãy số
tạo thành
một dãy số tăng). Ta chứng minh tính đơn trị của phân tích nhờ một số định
lý về các số nguyên tố.
Định lý 5. Số nguyên tố p chỉ có hai ước số tự nhiên là 1 và p.

Page 16 of 80


Chứng minh: Nếu số p ngoài các ước số 1 và p ra còn có thêm ước số a nữa
thì rõ ràng
và
trong đó b là số tự nhiên
bởi vì nếu
thì
và điều đó mâu thuẫn với giả thiết về a. Vì thế số p là tích

của hai số tự nhiên lớn hơn một và điều đó là mâu thuẫn với giả thiết p là số
nguyên tố. Định lý 5 đã được chứng minh.
Từ định lý trên ta dễ thấy rằng nếu số tự nhiên p chỉ có đúng hai ước số tự
nhiên thì p phải là số nguyên tố. Thật vậy trong trường hợp đó ta cần phải có
. Tiếp theo nếu p không phải là số nguyên tố thì p sẽ là tích của hai số
tự nhiên a và b lớn hơn 1. Nhưng từ
ta suy ra
tức là a là một ước số của p và a khác với 1 và p điều đó có nghĩa là p có ít
nhất là ba ước số tự nhiên khác nhau. Mâu thuẫn với giả thiết của bài toán là
p chỉ có đúng hai ước số tự nhiên.
Vì thế ta có định lý sau đây.
Định lý 6. Điều kiện cần và đủ để cho một số tự nhiên là số nguyên tố là số
đó chỉ có đúng hai ước số tự nhiên (đương nhiên là số 1 và chính nó).
Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý sau đây.
Định lý 7. Nếu a và b là hai số tự nhiên và tích ab chia hết cho số nguyên tố
p thì có ít nhất là một trong các số a và b phải chia hết cho p.
Chứng minh: Nếu Định lý 7 là không đúng thì sẽ tồn tại một số nguyên tố
nhỏ nhất p để cho định lý là không đúng. Đối với số nguyên tố p ấy luôn tồn
tại tích ab nhỏ nhất (của hai số tự nhiên a và b) chia hết cho p, mặc dù không
có một thừa số nào trong các thừa số a và b là chia hết cho p cả. Ta chứng
minh rằng khi đó các số a và b sẽ nhỏ hơn p. Thật vậy nếu
chẳng hạn
thì ta sẽ có đẳng thức

trong đó

cho p. Từ
cho p nên

do a không chia hết

và do các số ab và kpb là chia hết
cũng chia hết cho p. Nhưng

hết cho p, ngoài ra

và

không chia

, và các điều đó là mâu thuẫn với giả thiết về

tích ab. Vậy là ta đã chứng minh được rằng

. Tương tự như vậy ta

cũng chứng minh được rằng

.

và ta có

Tiếp theo, do ab chia hết cho p nên
1, vì nếu không phải như vậy thì sẽ có
các số a và b không chia hết cho p).
Page 17 of 80

trong đó l là số tự nhiên lớn hơn
trong đó

(vì


Mặt khác từ bất đẳng thức

ta nhận được

. Do l là số tự nhiên

nên nó có ước số nguyên tố
. Bây giờ do chú ý tới định nghĩa
của số p và để ý rằng tich ab là chia hết cho l nên ab cũng chia hết cho số
nguyên tố
, cho nên ta suy ra rằng có ít nhất một trong các thừa số a và
b phải chia hết cho q. Nếu a chia hết cho q chẳng hạn thì
chia hết cho q nên

ở đây t là số tự nhiên. Từ

. Nhưng l
có

,

ngoài ra do để ý rằng
ta sẽ có
từ đó
và điều đó
mâu thuẫn với giả thiết về tích ab. Vậy từ giả thiết Định lý 7 không đúng đã
dẫn tới mâu thuẫn. Và định lý đã được chứng minh xong.

Từ các định lý vừa được chứng minh và sử dụng phương pháp quy nạp ta có
thể nhận được kết quả dưới đây.
Hệ quả. Nếu

là các số tự nhiên mà tích của chúng chia hết cho

số nguyên tố p thì trong các số
cho p.

có ít nhất là một số chia hết

Chứng minh: Hệ quả đó là đúng với m=2. Giả sử Hệ quả là đúng với m số và
giả sử các số
là các số tự nhiên. Nếu tích
chia hết cho số nguyên tố p thì theo Định lý 7 thì có ít nhất
là một trong hai số

phải chia hết cho p. Nếu số

và

chia hết cho p thì do giả thiết Hệ quả là đúng với m số nên có kết
quả là có ít nhất là một trong các số
phải chia hết cho p. Vậy từ
tính đúng đắn của Hệ quả với m số ta cũng suy ra Hệ quả cũng đúng với
m+1 số. Hệ quả đã được chứng minh.
Bây giờ ta giả thiết rằng tồn tại các số tự nhiên mà nó có hai phân tích chuẩn
tắc thành các thừa số nguyên tố. Trong các số tự nhiên ấy đương nhiên là tồn
tại một số nhỏ nhất. Giả sử đó là số n, và ngoài phân tích chuẩn tắc

nó còn có phân tích:

trong đó

là dãy số nguyên tố tăng, còn đó

tự nhiên. Do (2) mà số n chia hết cho

là các số

, và do (3) và Hệ quả của Định lý 7

Page 18 of 80


ta suy ra trong các số
ràng rằng số đó sẽ là số

phải có ít nhất là một số chia hết cho
bởi vì

Nhưng do Định lý 5 số nguyên tố
vì số nguyên tố
với số

, trong đó

là ước số nguyên tố nhỏ nhất của (3).
chỉ có hai ước số tự nhiên là 1 và

cũng là một ước số của số

Do trong công thức (3) ta thay số

. Rõ

bằng số

nên ta cần phải có

, bởi
.

và theo (2) ta nhận được đối

, đẳng thức sau đây:

Bởi vì số nhỏ hơn n nên để phù hợp với giả thiết của số n thì số chỉ có
một phân tích chuẩn tắc thành các thừa số nguyên tố, từ đó ta cũng suy ra
cần
phải
có
các
đẳng
thức
sau
. Vì vậy
các phân tích (2) và (3) là giống hệt nhau, trái với giả thiết của ta. Do đó giả
thiết cho rằng tồn tại các số tự nhiên mà mỗi số ấy có hai phân tích chuẩn tắc
(thành các thừa só nguyên tố) khác nhau đã dẫn tới mâu thuẫn.

Vậy là ta đã chứng minh minh được kết luận dưới đây.
Định lý 8. Mỗi số tự nhiên
chỉ có một cách phân tích thành các thừa số
nguyên tố nếu ta bỏ qua thứ tự của các thừa số.

9. Những chữ số nào có thể là chữ số đầu tiên và chữ số cuối cùng của
số nguyên tố ?

Chữ số cuối cùng của một số nguyên tố (có nhiều hơn một chữ số) không thể
là một số chẵn được, bởi vì khi đó số ấy là số
và là số chẵn nên nó phải
là hợp số; chữ số cuối cùng ấy cũng không thể là số 5 bởi khi đó ta có số
và chia hết cho 5 nên nó phải là hợp số. Vì vậy chữ số cuối cùng của một số
nguyên tố
chỉ có thể là các số 1, 3, 7 hoặc 9.
Không có gì nhiều về các chữ số của số nguyên tố lớn hơn 10, đặc biệt là các
chữ số cuối cùng và chữ số đầu tiên của số nguyên tố. Ta có Định lý sau đây:
Nếu ta có hai dãy hữu hạn các chữ số tùy ý (viết trong hệ thập phân)
trong đó
thì tồn tại một số
Page 19 of 80


nguyên tố p đủ lớn mà m chữ số đầu của nó là dãy
số sau cùng của nó là dãy

, còn n chữ

.

Định lý này đã được W. Sierpinski chứng minh vào năm 1959 (Acta
Arithmetica, 5, 1959, 265—266).
Đặc biệt từ định lý đó ta suy ra có tồn tại một số nguyên tố mà có một số đủ
lớn các chữ số của phần đầu và phần cuối của nó là chữ số 1 (ở phần giữa
của số đó có thể có các chữ số khác 1). Nhưng vấn đề liệu tập các số nguyên
tố mà tất cả các chữ số của nó đều bằng 1 có phải là vô hạn hay không thì
cho tới nay ta vẫn chưa biết câu trả lời. Chúng ta chỉ biết có một vài số
nguyên
tố
như
vậy,
ví
dụ
số
11
và
số
. Việc chứng minh số thứ hai là
nguyên tố là khá phức tạp (do Kraitchik M nêu ra). Nhưng dễ dàng chứng
minh được rằng nếu số mà tất cả các chữ số của nó đều bằng 1 thì số lượng
các chữ số của số đó cũng phải là một số nguyên tố. Tuy nhiên điều kiện đó
lại không phải là điều kiện đủ, bởi các ví dụ sau:

Số

có 37 chữ số cũng là một hợp số.

Ta cũng tìm được các số nguyên tố gồm không chỉ có một chữ số bằng 1 và
mỗi số nguyên tố còn lại chính là một hoán vị của các chữ số của số nguyên
tố đầu tiên. Các số nguyên tố có hai chữ số như vậy là: 13 và 31, 17 và 71,

37 và 73, 79 và 97. Các số nguyên tố có ba chữ số như vậy là: 113, 131, 311,
199, 919, 991; 337, 373, 733. Chúng ta cũng chưa tìm được số nguyên tố
như vậy khác với các số mà ta đã liệt kê ở trên và ta cũng chưa biết số các số
nguyên tố như vậy có phải là hữu hạn hay không ?. Richert H E. đã chứng
minh rằng với
không có số nguyên tố có n chữ số nào
như vậy trừ những số nguyên tố mà tất cả các chữ số của nó đều bằng 1.
Moser L. đã tìm thấy tất cả các số nguyên tố
mà mỗi số nguyên
tố ấy sẽ không thay đổi giá trị khi ta viết các chữ số của nó theo thứ tự đảo
ngược. Số lượng các số đó là 102. Toàn bộ các số như vậy
là: 101,
131, 151, 181, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929. Ta cũng
chưa biết rằng các số nguyên tố như vậy có phải là nhiều vô hạn hay không.
Page 20 of 80


Chúng ta cũng chưa biết rằng liệu tập các số nguyên tố có chữ số đầu tiên và
chữ số cuối cùng bằng 1, các chữ số còn lại đều bằng 0 (ví dụ số 101) có
phải là vô hạn hay không. Dễ dàng chứng minh các số như vậy phải có dạng
trong đó n là một số tự nhiên, tuy nhiên điều kiện đó không phải là
điều kiện đủ bởi ta có ví dụ:

.

Chúng ta cũng biết nhiều số nguyên tố mà trong các chữ số của chúng không
có số 0 nào cả, nhưng chúng ta cũng chưa biết rằng tập các số như vậy có
phải là hữu hạn hay không. Có thể chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m
luôn tồn tại số nguyên tố mà trong các chữ số của nó có nhiều hơn m chữ số
bằng 0. Chúng ta cũng chưa biết rằng với mọi số tự nhiên m liệu có tồn tại

hay không một số tự nhiên a sao cho tổng tất cả các chữ số của tất cả các số
nguyên tố p (
) sẽ lớn hơn m.

10. Số các số nguyên tố không vượt quá một số cho trước.

Đối với số x cho trước ta ký hiệu
quá x. Ví dụ ta có:

là số các số nguyên tố không vượt

,

,

,

,

,
,

Locher-Ernst L. đã nhận thấy rằng với

,
.

thì biểu thức:

sẽ cho ta một xấp xỉ đủ tốt cho giá trị của số

với

,

,

,

. Đối với

,

. Ví dụ

thì tỷ số

thì tỷ số

còn
; còn đối

.

Có thể chứng minh một cách sơ cấp (mặc dù chứng minh đó là khá dài dòng
và phức tạp) rằng:

.

Page 21 of 80

Với các n lớn thì việc tính toán biểu thức f(n) là khá khó khăn. Tuy nhiên ta
cũng đã biết một số biểu thức xấp xỉ khác của số

, ví dụ biểu thức

chẳng hạn (trong đó lnn chính là lôgarit tự nhiên của số n). Năm 1896
Hadamard J. và Vallee Poussin đã chứng minh được rằng:

Từ đó suy ra rằng tỷ số giữa số nguyên tố thứ n (
tăng tới dương vô cùng (
thứ một tỷ (tức là số

) và

sẽ tiến tới 1 khi n

). Có thể chứng minh được rằng số nguyên tố

) có 11 chữ số.

Dễ dàng chứng minh rằng đối với số tự nhiên

ta luôn có bất đẳng thức

nếu n là số nguyên tố, và luôn có bất đẳng thức
nếu n là hợp số. Có thể chứng minh được rằng:
. Hoàn toàn rõ ràng là

với mọi số tự nhiên n.

Dễ chứng minh được rằng tồn tại một dãy số có độ dài tùy ý được tạo thành
từ dãy số tự nhiên mà dãy đó không chứa một số nguyên tố nào. Ví dụ dãy
số như vậy được tạo thành từ m số mà ta có thể biểu diễn qua dãy số
(m+1)!+2, (m+1)!+3, (m+1)!+4, …., (m+1)!+(m+1)
vì phần tử đầu tiên là một số chia hết cho 2, phần tử thứ hai là một số chia
hết cho 3, …, phần tử thứ m là một số chia hết cho (m+1) bởi thế toàn bộ các
phần tử của dãy số ấy đều là hợp số cả.
Với m=100 thì các số của dãy đó là các số rất lớn, tuy nhiên giữa các số
nguyên tố 370261 và 370373 có chứa 111 hợp số liên tiếp. Trong 100 số liên
tiếp từ 1671800 đến 1671900 cũng không có một số nguyên tố nào.
Sẽ là khó khăn khi ta chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố mà về cả hai phía
bao quanh nó là các hợp số lớn tùy ý tức là với mỗi số tự nhiên m luôn tồn
tại số nguyên tố p sao cho mỗi số trong các số p-k và p+k (trong đó k=1, 2,
3, …,m) đều là các hợp số.

Page 22 of 80


Cũng sẽ là khó khăn khi ta chứng minh Định lý E. Landau:”Đối với số tự
nhiên đủ lớn n ta luôn có
”.
Chúng ta cũng chưa biết là đối với tất cả các số tự nhiên
liệu luôn có bất đẳng thức
hay không ?

thì

11. Một vài tính chất của số nguyên tố thứ n.

Theo định lý Scherk H. F. đã được người ta chứng minh năm 1830 thì đối
với mỗi số tự nhiên n với một sự lựa chọn thích hợp các dấu “+” hay “-“ ta
luôn có 2 biểu thức sau:

trong đó

là ký hiệu số nguyên tố thứ i trong dãy số nguyên tố (i=1,2,…).

Ví dụ:

hay 13=1+2-3-5+7+11, 17=1+2-3-5+7-11+2.13.
Ta cũng có thể chứng minh rằng đối với mỗi số tự nhiên n với một sự lựa
chọn thích hợp các dấu “+” hay “-“ thì luôn có:

Ví dụ

hay 17=2+3-5-7+11+13.

Schinzel A. đã chứng minh được rằng nếu a và b là các số dương, ngoài ra
thì luôn tồn tại các số nguyên tố p và q sao cho
.
Ta có thể chứng minh rằng đối với mỗi số thực x thì dãy số với số hạng tổng
quát

sẽ tiến tới x khi n tiến tới vô cùng lớn.
Page 23 of 80


Ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên tố p mà khoảng cách
giữa p với số nguyên tố đứng ngay sau p luôn nhỏ hơn khoảng cách giữa p

với số nguyên tố đứng ngay trước p. Nói cách khác ta có thể chứng minh
rằng tồn tại một tập vô hạn các số tự nhiên n sao cho
tức là

.

Chúng ta cũng chưa biết rằng có tồn tại vô hạn các số tự nhiên n sao cho
hay không. Có giả thiết cho rằng câu trả lời cho vấn đề này
là có. Ví dụ ta có

với n=16, 37, 40, 47, 55, 56, 240, 273.

P. Erdos và P. Turan đã chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao
cho
và vô hạn số tự nhiên n sao cho
.
Ngoài ra họ còn chứng minh được
Đối với dãy số nguyên tố ta luôn có định lý sau đây (việc chứng minh không
khó nhưng khá dài dòng):
Đối với mỗi số tự nhiên m luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho

(đối với m=10n thì nó đã lên tới vài chục ngàn rồi).
Có thể chỉ ra các dãy gồm 4 số nguyên tố được tạo thành bởi hai cặp số sinh
đôi, ví dụ 11, 13, 17, 19 hoặc 179, 181, 191, 193. Nếu một bộ số được tạo
nên bởi các số nguyên tố p, p+2, p+6 và p+8 thì ta gọi bộ số ấy là bộ tứ.
Dãy số đầu tiên trong ví dụ trên ta có một bộ tứ, còn dãy thứ hai thì không
phải là một bộ tứ. Các ví dụ khác về bộ tứ, chúng ta sẽ nhận được với p = 5,
101, 191, 821, 1481, 3251. Có giả thuyết cho rằng tồn tại vô hạn các bộ tứ.
Theo tính toán trong năm 1959 của V. A. Golubev thì trong 10 triệu số tự
nhiên đầu tiên có 899 bộ tứ, còn trong 15 triệu số tự nhiên đầu tiên thì có

1209 bộ tứ. Bộ tứ khổng lồ nhất mà ngày nay ta biết được do Ferrler A. đưa
ra. Chúng được tạo ra với p = 2863308731.

12. Đa thức và số nguyên tố.
Page 24 of 80


Nảy sinh vấn đề liệu có tồn tại một đa thức f(x) của biến x với các hệ số
nguyên sao cho đối với mỗi giá trị tự nhiên của x thì ta nhận được số nguyên
tố f(x) hay không. Ta sẽ chứng minh rằng không có đa thức nào như thế cả.
Giả sử

là một đa thức bậc m với các hệ số nguyên
chúng ta chọn
rằng

trong đó

thì với x đủ lớn ta sẽ có f(x) < 0, cho nên ta sẽ giả thiết

. Khi ấy, như ta đã biết, sẽ tồn tại một số nguyên
và
.

Ta chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên k thì số
cho

,

từ

đó

sao cho

là hợp số. Giả sử

x và h là các số tự nhiên, khi đó với mọi i tự nhiên thì số
hết

. Nếu

luôn chia

suy

ra

rằng

số

luôn chia hết cho h có nghĩa là
f(x+h) – f(x) cũng chia hết cho h. Nhưng trong trường hợp đó
chia hết cho kn hay
cho ta
và ta đã chứng minh được rằng số
biết nó

) phải chia hết cho số tự nhiên

(mà ta đã
. Và đó là điều cần

phải chứng minh của ta.
Vậy là ta đã chứng minh được rằng nếu f(x) là một đa thức với các hệ số
nguyên, trong đó hệ số của x có số mũ cao nhất là số dương thì có một tập vô
hạn số tự nhiên x mà f(x) là hợp số.
Tuy nhiên chúng ta cũng biết có nhiều đa thức mà với nhiều số tự nhiên liên
tiếp x chúng đa thức đó cho giá trị là số nguyên tố. Ví dụ như đa thức Euler
với x = 0, 1, 2,…, 29 đều cho các số nguyên tố khác nhau. Có giả
thuyết cho rằng tồn tại tập vô hạn số tự nhiên x để đa thức Euler là số nguyên tố.
Chúng ta vẫn chưa biết rằng có tồn tại hay không số tự nhiên
một trong các số
trường hợp khi

để mỗi

với x = 0, 1, 2,…, a-2 là số nguyên tố. Trong mọi
thì không tồn tại số a có tính chất đó.

Page 25 of 80