Tiêu chuẩn và thuật toán kiểm tra số nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN QUỐC TUẤN

TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN
KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG

65


VINH - 2010
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN QUỐC TUẤN

TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TOÁN
KIỂM TRA SỐ NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

66

VINH - 2010

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
Chương 1.
1.1
1.2

SỐ NGUYÊN TỐ
Các định lý về Số nguyên tố
Giới thiệu một số loại Số nguyên tố
Chương 2.
TIÊU CHUẨN VÀ THUẬT TỐN KIỂM TRA

2.1
2.2
2.3

3.1
3.2
3.3

SỐ NGUN TỐ
Cơng thức và thuật toán sàng Số nguyên tố
Phương pháp kiểm tra nguyên tố theo xác suất
Các phép kiểm tra tất định
Chương 3.

Trang
1
3
3
8
27
27
30
38

GIỚI THIỆU MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH KIỂM TRA

40

SỐ NGUYÊN TỐ TRÊN MÁY TÍNH VÀ ỨNG DỤNG
Một số chương trình kiểm tra Số nguyên tố
Vài ứng dụng của số nguyên tố trong các lĩnh vực khoa học khác
3.2.1. Mật mã hóa khóa cơng khai
3.2.2. Phần mềm tốn học áp dụng trong kiểm tra Số nguyên tố
Giới thiệu một số bài toán về Số nguyên tố
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

41
48
48
58
60
64
65

MỞ ĐẦU
Một nội dung cơ bản trong Số học đó là các nghiên cứu về số nguyên tố. Có
thể nói “Tập hợp số nguyên tố là mỏ vàng của Số học”. Đề tài về số nguyên tố vẫn
67


tiếp tục phát triển và ngày càng hấp dẫn đối với các nhà Toán học: Carl Fiedrich
Gauss đã dự đoán kết quả của định lý số nguyên tố khi còn là học sinh trung học.
Chebyshev (1850) đưa ra các chặn cho số số nguyên tố giữa hai giới hạn cho trước.
Riemann giới thiệu Giải tích phức thành lý thuyết về hàm zeta Riemann và dẫn đến
mối quan hệ giữa các không điểm của hàm zeta và sự phân bố số ngun tố.
Bài tốn xác định một số cho trước có phải là số ngun tố hay khơng có
nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đối với những số nhỏ, bài toán đó dĩ nhiên khơng
khó. Tuy nhiên khi làm việc với những số lớn, ta cần tìm ra những thuật tốn hữu
hiệu nghĩa là có thể thực hiện được trên máy tính trong một khoảng thời gian chấp
nhận được. Khi nói đến “những số lớn” ta thường hiểu là những số nguyên dương
có khoảng 100 chữ số thập phân trở lên. Ngày nay, các kết quả của số nguyên tố có
ứng dụng trực tiếp trong lý thuyết mật mã và một số lĩnh vực khác.
Hiện nay, trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán – Tin học Quốc gia và Quốc tế
các bài toán về số nguyên tố là một mảng kiến thức quan trọng trong cấu trúc của
đề thi và để giải được các bài tốn đó ln là trăn trở của mỗi học sinh cũng như
các thầy cô giáo đang trực tiếp giảng dạy ở các trường THPT, các trường THPT
Chuyên trong cả nước.
Luận văn “Tiêu chuẩn và thuật toán kiểm tra số nguyên tố” được chia
làm ba chương với những nội dung giới thiệu các kết quả về số nguyên tố; một số
thuật toán và ứng dụng của số nguyên tố trong lý thuyết mật mã.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về số nguyên tố, hợp số, số hoàn
thiện và một số định lý cơ bản của số học như định lí Wilson, định lí về sự vô hạn
của tập các số nguyên tố, định lí Fermat …và giới thiệu một số các số nguyên tố

đặc biệt.
Chương 2: Trình bày một số thuật tốn kiểm tra số nguyên tố như thuật toán
sàng số nguyên tố, phương pháp kiểm tra theo xác suất, các phép kiểm tra tất định
và một số điểm khác có liên quan.

68


Chương 3: Giới thiệu một số chương trình kiểm tra số nguyên tố trên máy
tính và ứng dụng, một số chương trình kiểm tra số nguyên tố; ứng dụng về mật mã
hóa khóa cơng khai và một số bài tốn về số nguyên tố.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Thành Quang –
người đã hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình cho tác giả khi viết luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS. TS Lê Quốc Hán,
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã đọc bản thảo, góp nhiều ý kiến q báu để tác giả
hồn thành luận văn.
Tác giả cảm ơn sự động viên, ủng hộ của Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên
trường THPT Đào Duy Từ - TP. Thanh Hóa đã tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt
trong q trình cơng tác, học tập và nghiên cứu.
Nội dung của luận văn hướng đến một vấn đề chuyên sâu của Số học, liên hệ
với chương trình tốn phổ thơng và cập nhật về lí thuyết mật mã … Tuy nhiên với
điều kiện thực tế và mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khơng tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót, tác giả mong muốn được sự góp ý và chỉ bảo của thầy, cô và
các đồng nghiệp.

Vinh, ngày 18 tháng 11 năm 2010
Học viên
Nguyễn Quốc Tuấn

CHƯƠNG 1

SỐ NGUYÊN TỐ
1.1. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
69


1.1.1. Định nghĩa. Số tự nhiên p > 1 không có một ước số dương nào khác 1 và
chính nó được gọi là số nguyên tố. Số tự nhiên q > 1 có ước số dương khác 1 và
chính nó được gọi là hợp số. Nếu có số tự nhiên d để n = d2 thì n được gọi là số
chính phương.
1.1.2. Định lý cơ bản của Số học. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được
thành tích những thừa số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất nếu không kể
đến thứ tự của các thừa số.
1.1.3. Định lý Euler. Tập hợp tất cả các số nguyên tố là một tập vô hạn.
1.1.4. Định lý về giá trị nguyên tố của một đa thức. Không tồn tại đa thức
f  x  a0 x m  a1 x m 1    am

với các hệ số ai nguyên và a0 0, m 1 , thỏa mãn f  n  là số nguyên tố cho mọi
n 1, 2,...

Chứng minh. Với đa thức f  x  a0 x m  a1 x m 1  ...  am , hiển nhiên f  n0   1 với
số nguyên dương đủ lớn n0 . Chọn số nguyên tố p chia hết f  n0  và khai triển
f  n0  kp   f  n0   kpg  n0 , p, k 

Số g  n0 , p, k  là số nguyên. Như vậy cả ba số hạng trong hệ thức này đều chia hết
cho p với mọi k = 1, 2, … Với k đủ lớn ta có f  n0  kp   p và f  n0  kp  chia hết
cho p. Ta suy ra điều phải chứng minh. ■
1.1.5. Định lý Wilson. Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố khi
và chỉ khi (p-1)!+1 chia hết cho p.
1.1.6. Định lý Fermat nhỏ. Cho p là số nguyên tố, a   tùy ý. Khi đó

a p a  mod p 
1.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ LOẠI SỐ NGUYÊN TỐ
1.2.1. Danh sách một số loại số nguyên tố

70


1. Số nguyên tố Fermat
2. Số nguyên tố Mersenne
3. Số nguyên tố Ramanujan
4. Số nguyên tố Chen
5. Các số nguyên tố họ hàng
6. Số nguyên tố giai thừa
7. Số nguyên tố Fibonacci
8. Số nguyên tố Gauss
9. Số nguyên tố chính quy
10. Số nguyên tố có dạng 10k 1, k   (Centered decagonal primes)
11. Số nguyên tố có dạng 7k 1, k   (Centered heptagonal primes)
12. Số nguyên tố có dạng 4k 1, k   (Centered square primes)
13. Số nguyên tố có dạng 3k 1, k   (Centered triangular primes)
14. Các số nguyên tố Cuban
15. Số nguyên tố Dirichlet
16. Số ngun tố Eisenstein khơng có phần ảo
17. Số nguyên tố Lucky
18. Các số nguyên tố song sinh
19. Các bộ bốn số nguyên tố
20. Các bộ ba số nguyên tố
Trong phần này ta tìm hiểu kĩ hơn về một số loại số nguyên tố, trong số rất
nhiều loại số nguyên tố đã và đang được các nhà Toán học trên thế giới tiếp tục

nghiên cứu. Đó là Số nguyên tố Fermat, Số nguyên tố Mersenne, Số nguyên tố
Ramanujan…

1.2.1.1. Số nguyên tố Fermat

71


Số Fermat là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp
Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương
n

có dạng Fn 22  1 , với n là số không âm.
21
22
24
28
216
232

F0
F1
F2
F3
F4
F5

=
=
=

=
=
=

+
+
+
+
+
+

1
1
1
1
1
1

=
=
=
=
=
=
=
+ 1 =
=
+ 1 =
=

F6

= 264

F7

= 2128

F8

= 2256 + 1 =
=

3
5
17
257
65.537
4.294.967.297
641 × 6.700.417
18.446.744.073.709.551.617
274.177 × 67.280.421.310.721
340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269
.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
1.238.926.361.552.897× 93.461.639.715.357.977.769.163.
558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321
Bảng 1.2.1. Bảng các số Fermat đầu tiên

Các công thức thiết lập số Fermat:

Với n ≥ 2. Các hệ thức trên có thể chứng minh bằng cách quy nạp tốn học
Ta có thể tính gần đúng số chữ số của chúng bằng hệ thức gần đúng sau:

1.2.1.2. Số nguyên tố Mersenne

72


1. Sơ lược về lịch sử số nguyên tố Mersenne
p
Một số nguyên tố Mersenne là một số nguyên tố có dạng M p 2  1 , trong

đó p là số nguyên tố. Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên là M2 = 3, M3 = 7, M5 =
31 và M7 = 127 đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, M13 = 8191, được tìm thấy vào
trước năm 1461; hai số M17 và M19 tìm được năm 1588. Sau hơn một thế kỷ M31
được kiểm tra bởi Euler vào năm 1750. Số tiếp theo là M127, do E.Lucas tìm thấy
vào năm 1876, sau đó M61 do Pervushin tìm vào năm 1883. Hai số M89 và M107 được
tìm thấy bởi Powers vào năm 1911 và 1914. Số M 1398269 phát hiện năm 1996. Từ thế
kỷ 17, các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người đã
chứng minh một loạt các số nguyên tố Mersenne với số mũ lên tới 257. Danh sách
của ơng có một số nhầm lẫn như bao gồm cả M67, M257, và bỏ quên M61, M89, M107.
Các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.
Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các số hoàn thiện. Trong
lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi do các liên
quan này; vào thế kỷ 4 TCN, Euclid phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố
Mersenne thì

M  M  1

là số hoàn thiện. Vào thế kỷ 18, Leonhard Euler chứng minh
2

rằng tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng này. Người ta nghi ngờ khơng tồn
tại số hồn thiện lẻ.
2. Tìm các số ngun tố Mersenne
Ta biết rằng, nếu Mn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố. Tuy nhiên, mệnh
đề đảo nói chung là sai. Chẳng hạn số Mersenne 2047=211−1 không là nguyên tố vì
nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố. Điều đó làm giản lược bớt
việc tìm các số nguyên tố Mersenne.
Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được
dựa vào sự tính tốn một dãy tuần hồn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm
1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930 và được gọi là kiểm tra
73


Lucas-Lehmer. Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với n > 2) Mn = 2n − 1 là số
nguyên tố nếu và chỉ nếu Mn chia hết cho Sn-2, trong đó S0 = 4 và với k > 0,

Sk S k2 1  2 .
Hiện nay, các nhà toán học đã tìm ra nhiều thuật tốn nhanh để tìm số
nguyên tố Mersenne. Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng
bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số
nguyên tố Mersenne M521, vào lúc 10:00 P.M. ngày 30/1/1952 khi sử dụng máy tính
tự động Western U.S. National Bureau of Standards (SWAC) tại Institute for
Numerical Analysis thuộc Đại học California tại Los Angeles, dưới sự điều khiển
trực tiếp của Lehmer, sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS R.M. Robinson.
Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo M607, đã
được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo M1279,
M2203, M2281 đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa.

Hiện nay đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn. Dù vậy, đến tháng 4
năm 2009, chỉ mới biết 47 số nguyên tố Mersenne, số lớn nhất đã biết là số (2 43 112
609

− 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án

tính tốn phân tán trên Internet, được biết với tên gọi Tìm kiếm số nguyên tố
Mersenne khổng lồ trên Internet.

3. Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết nguyên tố nguyên tố Mersenne đã biết Mersenne đã biếtã biếtt
TT

1

n

Số chữ số
trong Mn

Mn

2

3

74

Ngày tìm
được
1 cổ đại

Người tìm

Hy Lạp cổ đại


2

3

7

1 cổ đại

Hy Lạp cổ đại

3

5

31

2 cổ đại

Hy Lạp cổ đại

4

7

127

3 cổ đại

Hy Lạp cổ đại

5

13

8191

4 1456

Khuyết danh

6

17

131071

6 1588

Cataldi

7

19

524287

6 1588

Cataldi

8

31

2147483647

10 1750

Euler

9

61

2305843009213693951

19 1883

Pervushin

10

89

618970019…449562111

27 1911

Powers

11

107

162259276…010288127

33 1914

Powers

12

127

170141183…884105727

39 1876

Lucas

13

521

686479766…115057151

157 30/01/1952

Robinson

14

607

531137992…031728127

183 30/01/1952

Robinson

15

1279

104079321…168729087

386 25/06/1952

Robinson

16

2203

147597991…697771007

664 07/10/1952

Robinson

75


17

2281

446087557…132836351

687 09/10/1952

Robinson

18

3217

259117086…909315071

969 08/09/1957

Riesel

19

4253

190797007…350484991

1281 03/11/1961

Hurwitz

20

4423

285542542…608580607

1332 03/11/1961

Hurwitz

21

9689

478220278…225754111

2917 11/05/1963

Gillies

22

9941

346088282…789463551

2993 16/05/1963

Gillies

23

11213

281411201…696392191

3376 02/06/1963

Gillies

24

19937

431542479…968041471

6002 04/03/1971

Tuckerman

25

21701

448679166…511882751

6533 30/10/1978

Noll & Nickel

26

23209

402874115…779264511

6987 09/02/1979

Noll

27

44497

854509824…011228671

13395 08/04/1979

Nelson &
Slowinski

28

86243

536927995…433438207

25962 25/09/1982

Slowinski

29

110503

521928313…465515007

33265 28/01/1988

Colquitt & Welsh

30

132049

512740276…730061311

39751 20/09/1983

Slowinski

76


31

216091

746093103…815528447

65050 06/09/1985

Slowinski

32

756839

174135906…544677887

227832 19/02/1992

Slowinski &
Gage trên Cray-2
tại Phịng thí
nghiệm Harwell

33

859433

129498125…500142591

258716 10/01/1994

Slowinski &
Gage

34

1257787

412245773…089366527

378632 03/09/1996

Slowinski &
Gage

35

1398269

814717564…451315711

420921 13/11/1996

GIMPS / Joel
Armengaud

36

2976221

623340076…729201151

895932 24/08/1997

GIMPS / Gordon
Spence

37

3021377

127411683…024694271

909526 27/01/1998

GIMPS / Roland
Clarkson

38

6972593

437075744…924193791

2098960 01/06/1999

GIMPS / Nayan

Hajratwala

39

13466917

924947738…256259071

4053946 14/11/2001

GIMPS / Michael
Cameron

40*

20996011

125976895…855682047

6320430 17/11/2003

GIMPS / Michael
Shafer

41*

24036583

299410429…733969407

7235733 15/05/2004

GIMPS / Josh
Findley

77


42*

*

43

25964951

30402457

122164630…577077247

315416475…652943871

7816230 18/02/2005

GIMPS / Martin
Nowak

9152052 15/12/2005

GIMPS / Curtis

Cooper & Steven
Boone

44

*

32582657

124575026…053967871

9808358 04/09/2006

GIMPS / Curtis
Cooper & Steven
Boone

45*

37156667

202254406…308220927

11185272 06/09/2008

GIMPS / HansMichael Elvenich

12 837 064 12/04/2009

GIMPS / Odd M.

Strindmo

12978189 23/08/2008

GIMPS / Edson
Smith

46* 42 643 801 169873516 ... 62314751

47*

43112609

316470269…697152511

Bảng 1.2.2. Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết (tính đến tháng 9 năm 2010)

* Cho đến nay vẫn chưa khẳng định được có số nguyên tố Mersenne nào nằm
giữa số thứ 39 ( M 13466917 ) và 47 ( M 43112609 ) trong bảng mà chưa được phát hiện hay
khơng, do đó thứ tự các số đó là tạm thời. Một ví dụ là số thứ 29 được phát hiện ra
sau số thứ 30 và 31, số thứ 47 cũng được công bố trước số 45 hai tuần.
* Để hình dung độ lớn của số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy (số thứ 47), ta
cần có 3461 trang giấy để biểu diễn số đó với các chữ số trong hệ cơ số 10, 75 chữ
số một dịng và 50 dịng một trang.
* Tính tới tháng 8 năm 2005, mới chỉ biết các số nguyên tố Mersenne kép
: 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727.
1.2.1.3. Số nguyên tố Ramanujan
78

Số nguyên tố Ramanujan là tên gọi các số nguyên tố thỏa mãn một kết quả
do nhà toán học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan tìm ra.
Nguồn gốc và định nghĩa. Năm 1919, Ramanujan công bố một cách chứng
minh định đề Bertrand. Ở phần cuối công bố này (chỉ hai trang), Ramanujan rút ra
thêm một kết luận nữa: π(x) − π(x / 2) ≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... nếu x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ...
trong đó hàm π(x) là số các số nguyên tố không lớn hơn x.
Kết quả này, khi đọc ngược lại, trở thành định nghĩa của số nguyên tố
Ramanujan. Nói cách khác: Số nguyên tố Ramanujan là các số Rn sao cho Rn là số
nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện π(x) − π(x / 2) ≥ n, cho mọi x ≥ Rn
Nói cách khác nữa: Số nguyên tố Ramanujan là các số nguyên Rn sao cho Rn
là số nhỏ nhất có thể bảo đảm có n số nguyên tố giữa x và x/2 cho mọi x ≥ Rn
Vì Rn là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên, nên Rn phải là số
nguyên tố. Mỗi khi hàm π(x) − π(x / 2) tăng lên 1, đó là do có thêm một số nguyên
tố nữa và các số nguyên tố Ramanujan đầu tiên là: 2, 11, 17, 29, 41
1.2.1.4. Số nguyên tố Chen
Số nguyên tố p được gọi là số nguyên tố Chen (Trần) nếu p + 2 cũng là số
nguyên tố hoặc là tích của hai số nguyên tố.
Vào năm 1966, Trần Cảnh Nhuận (Chen Jingrun) đã chứng minh rằng có vơ
hạn số ngun tố như vậy. Rudolf Ondrejka (1928-2001) đã tìm được một hình
vng kỳ ảo 3x3 của 9 số Chen

17 89 71
113 59 5
47 29 101
Tháng 10 năm 2005, Micha Fleuren và nhóm PrimeForm đã tìm thấy số
ngun tố Chen lớn nhất hiện nay (1284991359·298305 + 1)·(96060285·2135170 + 1) −
2 với 70301 chữ số.
79

Một số số nguyên tố Chen đầu tiên:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107,
109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227,
233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379,
389, 401, 409,
1.2.1.5. Số nguyên tố họ hàng
Trong toán học, số nguyên tố họ hàng là một cặp số nguyên tố lệch nhau bốn
đơn vị, Đến tháng 1 năm 2006 số nguyên tố họ hàng lớn nhất biết được là
(630062·237555 + 3, 630062·237555 + 7). Nó có 11311 chữ số và do Donovan
Johnson tìm thấy năm 2004.
Có giả thiết cho rằng các số nguyên tố họ hàng có mật độ tiệm cận giống như
các số nguyên tố sánh đôi. Một hằng số tương tự hằng số Brun cho các số nguyên
tố sánh đôi cho các số nguyên tố họ hàng, bắt đầu với (3, 7):

Khi dùng các số nguyên tố họ hàng tới 2 42, có giá trị của B4 được tính bởi
Marek Wolf năm 1996 là B4 ≈ 1.1970449 (Cần tránh nhầm lẫn hằng số này với
hằng số Brun's cho các số nguyên tố bộ bốn, cũng được kí hiệu là B4).
Các cặp số nguyên tố họ hàng đầu tiên là:
(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101),
(103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233),
(277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 441),
(457, 461), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743),
(757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887),
(907, 911), (937, 941),
1.2.1.6. Số nguyên tố giai thừa

80


Số nguyên tố giai thừa là một số nguyên tố nhỏ hơn hoặc lớn hơn một, so với

một giai thừa hoặc chính nó là một giai thừa.
Ta hiểu là: 2=2!; 3=2!+1; 5= 3!-1; 7 = 3!+1; 23=4!-1; 719=6!-1;5039=7!-1;
39916801 = 11!+1; 479001599= 12!+1; 87178291199 = 14!+1, ...
Số nguyên tố giai thừa duy nhất đúng là giai thừa, chỉ là số 2=2!. Các số
nguyên tố giai thừa được quan tâm trong lý thuyết số vì chúng vắng mặt trong dãy
liên tiếp các hợp số. Chẳng hạn số nguyên tố tiếp theo 6227020777 = 13! − 23 là
6227020867 = 13! + 67 và giữa 2 số này có 89 hợp số liên tiếp.
Nếu n là một số tự nhiên và p là một số ngun tố, thì n! + p khơng thể là
ngun tố với p < n, vì nó là một bội của p, cũng như chính n!. Nhưng n! + 1, chỉ
chắc chắn là bội của 1, vẫn có thể là số nguyên tố. (Điều này cũng đúng với n!- p
và n!- 1).
1.2.1.7. Số nguyên tố Fibonacci
Một số nguyên tố Fibonacci là một số Fibonacci đồng thời là số nguyên tố.
Sau đây là một vài số nguyên tố Fibonacci: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, ...
Trừ trường hợp n = 4, nếu Fn là số nguyên tố thì n là số nguyên tố. Tuy nhiên
mệnh đề đảo không đúng.

Khảo sát tính nguyên tố của 25 số Fibonacci đầu tiên
n F(n)

-

n

F(n)

-

0 0

-

1

1

-

81


[2
1
]

-

[3] 2

PRIME

4 3

PRIME

[5] 5

PRIME

6 8

= 2^3

[7] 13

PRIME

8 21

=3x7

9

34

= 2 x 17

10 55

= 5 x 11

[11] 89

PRIME

12 144

= 24 x 32

[13] 233

PRIME

14 377

= 13 x 29

15 610

= 2 x 5 x 61

16 987

= 3 x 7 x 47

[17] 1597 PRIME

18 2584 = 23 x 17 x 19

[19] 4181 = 37 x 113

20 6765 = 3 x 5 x 11 x 41

21 10946 = 2 x 13 x 421

22 17711 = 89 x 199

[23] 28657 PRIME

24 46368 = 25 x 32 x 7 x 23 25 75025 = 52 x 3001

Bảng 1.2.3. Bảng khảo sát tính nguyên tố của 25 số Fibonacci đầu tiên

Hiện tại, số nguyên tố Fibonacci lớn nhất được biết là F81839, với 17103 chữ
số; số lớn nhất có khả năng lá nguyên tố Fibonacci là F 604711, với 126377 chữ số.
Chưa biết chắc rằng có thể có vơ hạn số nguyên tố Fibonacci không.
82


Tính chia hết của các số Fibonacci với chỉ số nguyên tố. Các số Fibonacci có
chỉ số p nguyên tố khơng có ước chung lớn hơn 1 với các số Fibonacci khác, đó là
vì ƯCLN(Fn, Fm) = FƯCLN(n,m). Với n ≥ 3, Fn chia hết Fm nếu n chia hết m.
Định lý Carmichael khẳng định rằng mọi số Fibonacci với chỉ số lớn hơn 12
có ít nhất một ước ngun tố không là ước của các số Fibonacci nào đứng trước nó.
1.2.1.8. Số nguyên tố Gauss
Một số nguyên Gauss là một số phức với phần thực và phần ảo đều là các số
nguyên. Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, được ký hiệu là Z[i].

Hình 1.2.4. Hình biểu diễn các số nguyên tố Gauss trên mặt phẳng phức

Các số nguyên Gauss là các điểm nguyên trên mặt phẳng phức
Như vậy, các số nguyên Gauss là tập hợp  a  bi a, b   .
Chuẩn của số nguyên Gauss là số tự nhiên xác định bằng N(a + bi) = a2 + b2.
Chuẩn có tính chất nhân, nghiã là N(z·w) = N(z)·N(w).
Đơn vị của Z[i] là tất cả các phần tử có chuẩn bằng 1, gồm 1, −1, i và −i.
Các phần tử nguyên tố của Z[i] cũng được gọi là các số nguyên tố Gauss. Một vài
số nguyên tố thông thường (đôi khi để phân biệt, chúng được gọi là các "số nguyên
tố hữu tỷ") không phải là các số nguyên tố Gauss; chẳng hạn 2 = (1 + i)(1 − i) và
5 = (2 + i)(2 − i). Các số nguyên tố hữu tỷ đồng dư với 3 (mod 4) là số nguyên tố
83

Gauss; còn các số nguyên tố hữu tỷ đồng dư 1 (mod 4) thì khơng. Đó là vì số
ngun tố dạng 4k + 1 ln có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương (định lý
Fermat), do đó ta có p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).
Nếu chuẩn của số nguyên Gauss z là một số nguyên tố, thì z cũng là số
nguyên tố Gauss, vì mọi ước khơng tầm thường của z cũng là ước không tầm
thường của chuẩn. Chẳng hạn 2 + 3i là một số ngun tố Gauss vì chuẩn của nó là
4 + 9 = 13.
Các số nguyên tố Gauss đầu tiên là:
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163,
167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347,
359, 367, 379, 383, 419, 431, 439, 443, 463, 467, 479, 487, 491, 499
1.2.1.9. Số ngun tố chính quy
Trong tốn học, số ngun tố chính quy là một loại số nguyên tố do Ernst
Kummer định nghĩa: Một số nguyên tố p được gọi là chính quy nếu không tồn tại
bất cứ một tử số nào của số Bernoulli Bk (k = 2, 4, 6, …, p − 3.) chia hết cho p.
Có giả thuyết là có vơ hạn số ngun tố chính quy. Một giả thuyết khác của
nhà toán học (Siegel, 1964) rằng e−1/2, hay khoảng 61% các số nguyên tố là chính
quy. Cả 2 giả thuyết này vẫn chưa có ai chứng minh được cho đến 2008.
Trong lịch sử Ernst Kummer đã tìm ra loại số này khi đang cố gắng chứng
minh định lý lớn Fermat là đúng với số mũ là tích của các số này.
Trái lại với số nguyên tố chính quy là số nguyên tố phi chính quy. Nếu tồn
tại một tử số của số Bernoulli Bk mà chia hết cho p thì p được gọi là số ngun tố
phi chính quy. K L Jensen đã cho thấy có vơ số phi chính quy.
Dưới đây là bảng liệt kê một số số nguyên tố chính qui
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107,
109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211,

84