Hoc sinh gioi_Dap an3

Sở giáo dục đào tạo
Nam định
đáp án - biểu điểm
đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh
Năm học 2007 - 2008
Môn: Toán - Lớp 12 BT THPT
Đáp án gồm 05 trang
A. Phần trắc nghiệm
Câu 1. B Câu 2. C Câu 3. D Câu 4. B
B. Phần tự luận (18,0 điểm)
Câu1. (4.0 điểm)
y =
2
2
)1(
42
x
mxx

++

0,25
Để hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y
(2)
= 0 và đổi dấu khi x đi qua giá trị x = 2 0,25
y
(2)
= 0

-(2)
2

+ 2.2 + m - 4 = 0


m = 4
0,25
Vậy với m = 4 , y
(2)
= 0 ; y đổi dấu khi x đi qua giá trị x = 2, thật vậy
x -

0 1 2 +

y - 0 + + 0 -
nên hàm số có cực trị tại x = 2
0,25
Với m = 4 y =
x1
4x4x
2

+

Tập xác định D = R \
{ }
1
0,25
y =
2
2
)x1(

x2x

+
= 0





=
=
2
0
x
x
0,25
Xét dấu y
x -

0 1 2 +

y - 0 + + 0 -
Hàm số y đồng biến với những x

(0;1)

(1;2)
Hàm số y nghich biến với những x

(-

;0)

(2;+

)
0,25
Điểm cực đại, cực tiểu
Tại x = 0 hàm số đạt cực tiểu y
ct
= 4
Tại x = 2 hàm số đạt cực đại y
cđ
= 0
0,25
+=


ylim
1x
;
=
+

y
x 1
lim


đồ thị có tiện cận đứng là đờng thẳng x = 1

0,25
( )
[ ]
0
x1
1
lim3xylim
xx
=

=+



đờng thẳng y = -x+3 là tiện cận xiên của đồ
thị hàm số.
0,25
Đề 1
Bảng biến thiên
x -

0 1 2 +

y - 0 + + 0 -
y +

+

0
4 -

-

0,25
Đồ thị
Giao với trục tung khi x = 0

y = 4
Giao với trục hoành khi y = 0

x = 2
0,25
Đờng thẳng d đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc k có phơng trình:
y = kx + k; Hoành độ giao điểm của d với c là nghiệm của phơng trình:
x1
4x4x
2

+
= kx + k với x

1

0,25

(1+k)x
2
- 4x + 4 - k = 0
có

= k
2
- 3 k = k(k-3)
Xét dấu



> 0

<0

> 0
0 3
k
0,25
Với




<
1k
0k
hoặc k >3 d và (c ) có 2 giao điểm.
0,5







−=
=
=
1k
3k
0k
d vµ (c) cã 1 giao ®iÓm.
0 < k < 3 d vµ (c ) kh«ng cã giao ®iÓm.
C©u 2 ( 4 ®iÓm )
I =
∫
Π
e
1
dx).xcos(ln

§Æt u = cos(lnx) du =
x
1
−
sin(lnx).dx
dv = dx v = x
0,5
I = [x.cos(lnx)]
π
e
1
+
∫

π
e
1
dx).xsin(ln
§Æt
∫
π
e
1
dx).xsin(ln
= J
⇒
I =
π
e
cos
π
- 1 + J = -
π
e
- 1 + J
0,25
TÝnh J =
∫
π
e
1
dx).xsin(ln
§Æt u = sin(lnx) du =
x

1
cos(lnx).dx
dv = dx v = x
0,5
J = [x.sin(lnx)]
π
e
1
-
∫
π
e
1
dx).xcos(ln
0,25
J =
π
e
sin
π
- I = -I 0,25
I = -
π
e
- 1 - I
⇔
I =
2
1e
−−

π
0,25
2
V×
1xsin
≤
;
x1xcos
∀≤
nªn
∀
x cã sin
3
x
≤
sin
2
x
cos
3
x
≤
cos
2
x
0,5
⇒
sin
3
x + cos

3
x
≤
cos
2
x+ sin
2
x = 1
∀
x 0,25
MÆt kh¸c 2 - sin
4
x
≥
1
∀
x 0,25
V× vËy sin
3
x + cos
3
x = 2 - sin
4
x
⇔







=
=+
1xsin-2
1 x cos x sin
4
33
0,5
⇔
sin x = 1 0,25
x =
2
π
+ 2k
π
víi k
∈
Z
0,25
⇒
⇒
Câu 3. (4,0 điểm).
1
Mặt phẳng (P) có một véc tơ pháp tuyến
P
n

( 2; -1; 2)
0,25
Mặt phẳng (Q) có một véc tơ pháp tuyến

Q
n

(1; 6; 2)
0,25
P
n

.
Q
n

= 2 - 6 + 4 = 0
P
n




Q
n

Vậy mặt phẳng (P)

(Q)
0, 5
Mặt phẳng (

) đi qua giao tuyến

của 2 mp (P) và (Q) nên thuộc chùm mặt
phẳng trục

(

) có phơng trình
(

): ( 2x - y + 2z - 1) + à( x + 6y + 2z + 5) = 0
với
2
+ à
2
0
0,5
Mp (

) đi qua gốc O (0;0;0) thì phơng trình trên phải có
x = y = z = 0
0,25
thay vào phơng trình mặt phẳng ( ) có : - + 5 à = 0
0,25
chọn à = 1 = 5
0,25
thay vào phơng trình mặt phẳng () có:
5 (2x - y + 2z - 1) + (x + 6y + 2z + 5) = 0
Vậy ( ) : 11x+y+12z=0
0,5
2
Mặt phẳng (P) có

P
n

(2; -1; 2)
Mặt phẳng (Q) có
Q
n

( 1; 6 ; 2)
0,25
[ ]
QP
n,n

=









61
12
,
12
22
,

26
21
= (-14;-2;13)
0,5
Đờng thẳng d song song với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q)
d
u

= (14; 2; -13)
0,25
vì d đi qua A (1; 2; -3) nên phơng trình của đờng thẳng:
d:
13
3z
2
2y
14
1x

+
=

=

0,25
Câu 4 (4,0 điểm)
Từ phơng trình elip: 16x
2
+ 25y
2

= 100
1
4
y
4
25
x
22
=+
0,25
a =
2
5
; b = 2
0,25
Toạ độ đỉnh A (
2
5
; 0)
Toạ độ đỉnh
A

(-
2
5
; 0)
0,5
Toạ độ đỉnh B (0; 2)
Toạ độ đỉnh
B

(0; -2)
0,5
c
2
= a
2
- b
2
=
2
2
5






- 2
2
=
2
2
3

0,25
Toạ độ tiêu điểm F
1
(
2
3

; 0) ; F
2
(
2
3
; 0)
0,5
Tâm sai e =
5
3
a
c
=
0,25
Đờng thẳng y = x + b có điểm chung với elip 16x
2
+ 25y
2
= 100
phơng trình hoành độ giao điểm: 16x
2
+25 (x + b)

2
= 100 có nghiệm
0,25
41x
2
+ 50bx + 25b
2
- 100 = 0 có nghiệm
0,25



= 25
2
. b
2
- 41( 25b
2
- 100) 0
0,25
- 4b
2
+ 41 0
0,25
b
2

4
41

2
41

b
2
41
0,25
Vậy
2
41

b
2
41
thì đờng thẳng có điểm chung với elip đã cho.
0,25
.