Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán hay

THPT ĐẦM DƠI

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I TOÁN 12
I/ LÝ THUYẾT
A.GIẢI TÍCH
1) Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
2) Cực trị
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4) Các công thức lũy thừa và công thức lôgarít
5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarít
6) Phương trình mũ và lôgarít
B. HÌNH HỌC
1) Quan hệ vuông góc, khoảng cách, góc
2) Tính diện tích, thể tích khối đa diện, hình nón, hình trụ, hình cầu.
A1) TÓM TẮT LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH :
I. Chương I :Ứng dụng của đạo hàm và khảo sát hàm số :
1) Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) Định lý: (Mở rộng)
Cho hs có đạo hàm trên K
 f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ⇒ Hs f(x) đồng biến trên K
 f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ⇒ Hs f(x) nghịch biến trên K
( Dấu “=”chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm )
b) Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)
+ TXĐ D = ?
+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định.
+ Lập BBT
+ Kết luận.
2) Cực trị của hàm số:
a)Qui tắc I ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x) )
+ Tìm TXD D= ?
+ y’(x) = ? tìm các điểm tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định

+ Lập BBT
+ Kết luận điểm cực trị của hàm số
b) Định lý:
Hs y=f(x) có đạo hàm tới cấp 2 trong khoảng (x0-h;x0+h), h>0
 y' ( x0 ) = 0
*
⇒ x0 là điểm cực tiểu của hàm số
 y' ' ( x0 ) > 0
y' ( x0 ) = 0
*
⇒ x0
y' ' ( x0 ) < 0

là điểm cực đại của hàm số

c) Qui tắc II ( Tìm điểm cực trị của hàm số y=f(x))
+ Tìm TXD D= ?
+ y’(x) = ? giải pt y’(x)=0 ⇒ x1, x2,…
+ y’’(x) = ? và tính y’’(x1); y’’(x2),…( Xem dấu của y’’ dương hay âm )
+ Kết luận điểm cực trị của hàm số
3) GTLN, GTNN của hàm số:

1


THPT ĐẦM DƠI

∀x ∈ D : f ( x) ≤ M
∀x ∈ D : f ( x) ≥ m
f ( x) ⇔ 

; m = min
D
∃x 0 ∈ D : f ( x0 ) = M
∃x0 ∈ D : f ( x 0 ) = m

f ( x) ⇔ 
a) Đn : M = max
D

b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)
+ Xét hàm số trên khoảng (a;b)
+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định.
+ Lập BBT
+ Kết luận.
c) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a;b]
+ Xét hàm số trên đoạn [a;b]
+ y’ = ? tìm các điểm xi (i=1,2,…n) mà tại đó y’(x)=0 hoặc y’(x) không xác định.
+ Tính y(a)=?, y(x1)=?,….,y(b)=?
+ So sánh và kết luận :

max y = ? min y = ?
[ a ;b ]

[ a ;b ]

4) Tiệm cận (xem SGK)
5) Sơ đồ khảo sát hàm số (SGK)
6) Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M0(x0;y0) ∈ (C ) là :

y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y 0

( k=f’(x) là hệ số góc )

II. Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ, HS LÔGARIT
$1. Lũy thừa :
a)Lũy thừa với số mũ nguyên :
d) Tính chất lũy thừa với số mũ thực :
1
Với a,b >0 và x,y ≥ ∈ R ta có :
* a0 = 1 ; a − n = n ; 00 và 0-n vô nghĩa
x
y
x +y

* a .a = a

a

b) Tính chất căn bậc n :

ax
* y = a x −y
a

* n a .n b = n ab
n

*n
*

a
=
b

( a)
n

*n

k

m

n
n

* (a x ) = a xy
y

a
b

= a
n

* ( a.b ) = a x .b x
x

x

ax
a 
*  = x
b
b 

m

a = nk a

e)So sánh lũy thừa :
a > 1
*
⇔ aα > a β
α > β
0 < a < 1
*
⇔ aα > a β
α < β

c) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ :
m
n

∈
≥
* a = n a m ( Với a > 0, n,m Z, n 2)
1
n

∈
≥
* a = n a ( với a>0 , n Z, n 2)

$2.Hàm số lũy thừa, hs mũ. Hs lôgarít
a)Các phép toán đạo hàm cơ bản:
2


THPT ĐẦM DƠI

* (u.v)' = u '.v + v'.u

*(C)’=0 ( C là hằng số )
*(u ± v)’=u’ ± v’
*(k.u)’ = k.(u)’

'

 u  u '.v − v'.u
*  =
(v ≠ 0)
v2
v

b) Đạo hàm của hs đơn giản

Đạo hàm của hs hợp

( )

* ( x α ) = α.x α −1

α '

'

*u

1
1
*  = − 2
x
x
'
1
* x =
2 x

'

u'
1
*  = − 2
u
u 
'
u'
* u =
2 u

* (e x )' = e x

* (e u )' = u '.e u

'

( )

( )

( )

( )

'

* a x = a x . ln a
'

* ( log a x ) =
'

'

* a u = u '.a u . ln a

1
x

* ( ln x ) =

= α.u α −1.u '

u'
u

* ( ln u ) =
'

* ( log a u ) =

1
x ln a

'

a > 1 0 < a < 1
∪
⇒ log a x > 0
 x > 1 0 < x < 1

u'
u ln a

a > 1
0 < a < 1
*
∪
⇒ log a x < 0

0 < x < 1  x > 1

Lưu ý : * 

$3. Công thức lôgarít
a). Định nghĩa :

e.Lô ga rít của một lũy thừa :
Định lí 3:
Cho b,a > 0 , a ≠ 1

α

a = b ⇔ α = log a b; (a, b > 0, a ≠ 1)
( logab lô ga rít cơ số a của b )
b. Tính chất :
Cho a,b > 0 và a ≠ 1 ta có :

log a b α = α log a b
Đặc biệt :

* log a 1 = 0

log a

* log a a = 1
* a log a b = b

n

b=

1
log a b
n

f.Đổi cơ số :
Định lí 4 :

* log a aα = α

log a b =

c.Lô ga rít của một tích :
Định lí 1 :
Cho a,b,c >0, a ≠ 1 ta có :

log c b
⇔ log a b log c a = log c b
log c a

Đặc biệt :

log a b =

loga(b1b2) = logab1 + logab2
Tổng quát :
loga (b1b2..bn) = logab1+logab2+..+logabn
( b1,b2…bn >0, 0< a ≠ 1 )
d.Lô ga rít của một thương :

1
log b a

log aα b =
3

1
log a b
α


THPT ĐẦM DƠI

( α ≠ 0, a, b > 0; a, b ≠ 1)
g. Lô ga rít thập phân, lô ga rít tự nhiên
1. Lô ga rít thập phân :

Định lí 2 :
b
log a 1 = log a b1 − log a b2
b2
( b1, b2 ,a >0; a ≠ 1)
Đặc biệt :

log10b = logb = lgb ( lốc b)
2.Lô ga rít tự nhiên :

logeb = lnb ( lốc Nêper của b)

1
log a = − log a b
b

$5. Phương trình mũ và PT lôgarít
I.Phương trình mũ :
1.Phương trình mũ cơ bản :

ax =b

II. PT LÔ RA RÍT
1.PT lô ga rít cơ bản :

(1 ) (với 0 < a ≠ 1 )

Cách giải :
* b ≤ 0 ⇒ PT (1)VN
*b > 0 ⇒ PT(1 ) có nghiệm duy nhất x=logab

logax = b

( 0 < a ≠ 1)

⇔ x = ab

( với b ∈ R )

2.Cách giài một số PT lô ga rít đơn giản :
a)Đưa về cùng cơ số :

log a f ( x) = log a g ( x)

2. Cách giải của một số pt mũ đơn giản :
a) Đưa về cùng cơ số :
af(x) = ag(x) (với 0 < a ≠ 1 )
⇔ f(x)= g(x)
b) Đặt ẩn phụ :
Đặt t = af(x) > 0 dưa về pt dạng :
A.t2 + B.t + C = 0
Hoặc : A.t3 + B.t2 + C.t +D = 0 , …
c) Lô ga rít hóa :
VD4 : Giải các pt sau :
2
a )3 x .2 x = 1

 f ( x) > 0, (hay : g ( x) > 0)
⇔
 f ( x ) = g ( x)
b)Đặt ẩn số phụ :
Đặt t= logax đưa pt về dạng :
* At2 +Bt +C = 0
* At3 + Bt2 +Ct +D = 0
Giải tìm t suy ra x
c)Mũ hóa :
VD4 : Giải pt
Log2(5-2x) = 2-x (1)
(SGK)

x

b)3 x .8 x + 2 = 6
HD :
a)Lấy lô ga rít cơ số 3 hai vế ta được :
2
log 3 (3 x .2 x ) = log 3 1
2

⇔ log 3 3 x + log 3 2 x = 0
x = 0
⇔ x(1 + x log 3 2) = 0 ⇔ 
 x = − 1 = − log 2 3
log 3 2

b)ttự

II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO :
A.GIẢI TÍCH
Bài 1 : Cho hàm số y = x3 –mx2 +mx -1, (Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m= -1, kí hiệu đồ thị (C )
2) Viết PTTTT tại các giao điểm của (C ) với trục hoành
3) Biện luận theo k số nghiệm của PT : x3 + x2 – x –k = 0
4) Tìm m để hàm số có cực trị
5) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2
4


THPT ĐẦM DƠI

6) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định
7) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

1
3

Bài 2 : Cho hàm số y = x 3 − (m − 1) x 2 − (m − 2) x
1) Khảo sát hs khi m= 2, kí hiệu đồ thị (C )
2) Tìm những điểm trên (C ) sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất
3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho xCĐ+2xCT =4
Bài 3 : Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 +2m – 1 ,(Cm)
1) Khảo sát hàm số khi m = 1, kí hiệu đồ thị (C )
2) Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó song song với trục hoành
3) Biện luận theo a số nghiệm PT : -x4 +4x2 +a +1 = 0
4) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x= 1
5) Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị
6) Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Bài 4 : Cho hàm số y =
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

mx + 5
, ( Cm)
x−2

Khảo sát hàm số khi m = 2, kí hiệu đồ thị (C)
Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 9x +2009
Tìm những điểm thuộc ( C) có tọa độ nguyên

Tìm những điểm trên (C ) sao cho tống khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận có giá trị nhỏ nhất
Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
CMR tích khoảng cách từ một điểm tùy ý trên (C ) đến 2 đường tiệm cận bằng một hằng số.
CMR đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng y = x +a tại 2 điểm phân biệt M và N. Tìm a để độ dài MN đạt
giá trị nhỏ nhất

Bài 5 : Cho hàm số y =

− x 2 + 2mx − 2m + 1
x−2

1) Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
2) Tìm m để hàm số có cực trị
4
trên [-1;2]
x+2
π
2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos3x – cosx +2 trên [0; ]
2

Bài 6 : 1)Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = − x + 1 −

3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x6 + 4(1-x2)3 trên [-1;1]
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 22x +1 trên [0;2]
2
5) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = log 12 ( x + 4) trên [-1;1]

6) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin4x + cos4x +sinxcosx
7)Cho hàm số y = x3 – mx2 +2(m+2)x – 3m+3 có đồ thị là (Cm), m là tham số
Tìm m để (Cm) nhận I(1;2) làm tâm đối xứng.

Bài 7 : 1) Áp dụng công thức tính :
B = 81

1
log 5 3

+ 27

log 3 6

+3

4
3 log8 9

A = 16

C=3 5

1
log 5 7

1
log 5 4

+

4

+8

log 4 9

1
− log 0,1

5

+5

3 log8 3 5


THPT ĐẦM DƠI

1

2) a) Biết log5=a. Tính log125000 ; log0,00625 ; log 1000 theo a
5
b) Viết biểu thức sau dưới dạng rút gọn lũy thừa với cố mũ hữu tỉ 6 b 3 5 b3 b
3) Cho y=exlnx. CMR : y ' '− y ' =

xe x − e x
x2

Bài 8 : Vẽ đồ thị các hàm số : a) y = x

−3

b) y = 5

1
c) y =  
5

2x

x

1

Bài 9 : 1) Tìm tập xác định của hàm số a) y = (2 x − 6) 3
b) y = log2(4x+7)

2x − 3 

 4− x 


c) y= log5(5-x2) d) y = log 7 

2)Cho hs y = e sin 2 x + ln x 2 + 2 + log 7 ( x 2 + 1) 4 . Tính y’(0)
Bài 10 : Rút gọn các biểu thức sau :
2
 − 13 +


a a
+ a 3 
−0 , 75

5
−


1
+ (0,25) 2
1) A =  
2) B = 1 3
với a>0
1
− 

 16 
a 4  a 4 + a 4 


−1
−1
3 +1
2 −1
3 −1
a 

a 
−1
3) C =  2b +  (2b) +    4) D = a 5 −3 4− 5 + a 2 . 1 
2  

 2  
a

a
.a
Bài 11 : a) Cho m = log52 và n = log53. Hãy phân tích log 5 432 theo m và n
4
3

(

)

b) Cho a= log712 và log1224 = b. Hãy phân tích log5168 theo a và b.
Bài 12 : Giải các pt
1)6x -5 = 0 ;
4) 2

2x+1

+4

x+1

= 5;

8)25x -5x+1 -6 = 0 ;

2) 25x +5 = 0 ;
x

5)25 = 5

10

3) 62x-3 = 1

;

6) (0,5)

9) 144x -12x+1 +11 = 0 ;

x-21

7)(1,5)

x

=4;

10) 27x -9x +1+8 = 0

9 x − 31

 3
= 
 2

x +1

Bài 13 : Giải các PT sau :
1) 7

( x − 2 )( 3− x )

=1

3
2)  
4

5 x −3

4
= 
3

(8 x −9)

3) 81x + 9x+1 -10 = 0 4) 2x + 2x-1 +2x-2 = 56

3

5) 4 x+ 2 + 9 x = 6 x +1
6) 5.5 x + 4.5 − ( x +1) − 5 = 0
8) log 2 ( x 2 + 8) = log 2 x + log 2 6

7) log3x +log3(x-2) = 1

10) log( x 3 − 8) − log( x 2 + 2 x + 4) = 1

11) log x − log x − 1 = 1

2
2

12) log2(x-1)+log2(x-3) = 3 ;
2
14) a) log 3 x − 4 log 3 x + 3 = 0

13) log2x +log4x +log8x = 22

c) log 53 x − log 5 2 x − 4 log 5 x + 4 = 0

d )(log 7 2 x − 3)(log 2 2 x − 4) = 0

9) 3 log 32 x − 28 log 3 x + 9 = 0
1

1

b)5log 2 2 ( x − 2) + 6 log 2 ( x − 2) + 1 = 0

B.HÌNH HỌC:
B1) Lý thuyết :
1) Thể tích khối đa diện

6


THPT ĐẦM DƠI

a)Thể tích khồi lập phương :

2)Mặt tròn xoay :
a) Diện tích xung quanh của hình nón :

S xq = π .r.l

(r bán kính, l đường sinh )
b) Diện tích toàn phần của hình nón:

V=a3

S tp = π .r.l + π .r 2

b)Thể tích khối hộp chữ nhật :

V= a.b.c

c) Thể tích khối nón :

1
V = π .r 2 .h
3

c

b

h
l

a

V= B.h

c) Thể tích khối lăng trụ :

r

(r bán kính, h chiều cao )
d) Diện tích xung quanh của hình trụ :

S xq = 2.π .r.l

h

e) Diện tích toàn phần của hình trụ :

S tp = 2π .rl + 2π .r 2
f) Thể tích của khối trụ :

(B diện tích đáy, h chiều cao)

V =

d) Thể tích khối chóp :

V = π .r 2 .h

1
B.h

3

h

h
r

(r bán kính đáy, h chiều cao)
g) Diện tích của mặt cầu :

e) Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABC và khối
chóp S.A’B’C’ là :

S = 4π .r 2

VS . A'B 'C ' SA' SB' SC '
=
. .
VS . ABC
SA SB SC

h) Thể tích khối cầu :
4
V = π.r 3
3

S

A'
C'

B'

A

r

C

A

B

7

O

B

l


THPT ĐẦM DƠI

B2) Bài tập :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Góc giữa SC và mặt đáy bằng 300 , SA
vuông góc với ( ABCD) .
1) CM mặt bên SBC là tam giác vuông
2)Tính thể tích của khối chóp S. ABCD
Bài 2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu của A’ lên (ABC)
trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600.

a) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ
b) Tính thể tích khối lăng trụ
c) Tính tỉ số thể tích hình chóp A’.ABC và lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 3: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 lần đường kính đáy , diện tích xung quanh của hình trụ là
904 cm2
1) Tính bán kính đáy
2) Tính thể tích của khối trụ .
Bài 4 : Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trục là tam giác vuông cân có cạnh 2a 3
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón .
Bài 5 : Cho hình chop tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
1) Tính thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp
2) Tính diện tích toàn phần của hình nón
3) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và thể tích khối cầu đó
Bài 6 : Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB=a, AC=AD=BC=BD=CD=a 3 .
HẾT.
(Chúc các em ôn tập thật tốt )

8