Chủ đề ôn thi THPT quốc gia môn toán

CH 0 . GII HAN - LIấN TC
1. Tỡm cỏc gii hn sau:
x3 - 2x - 1
I
=
lim
a.
xđ- 1 x5 - 2x - 1
x+2
ổx - 1ử
ữ
ỗ
d. L = limỗ
ữ
ỗ
ữ
xđƠ ốx + 3ứ
2. a. Cho hm s:

px
2
b. J = lim
xđ1
1-x
2x - 3x + 1
e. M = lim
xđ1
x2 - 1
cos

7x

ổ 1ử
1+ ữ
c. K = limỗ
ữ
xđƠ ỗ
ố xứ

2 x +1xđ1
x

f. N = lim

3

8- x

-p
ỡù
ùù 2sin x khi x Ê
2
ùù
ùù
-p
p
f ( x) = ớ Asinx + B khi
.Tỡm A, B f(x) liờn tc trờn R.
ùù
2

2
ùù
p
ùù cosx khi x
2
ùợ
ax
ùỡù e - 1
khi x ạ 0
ù x
ù
(
)
f
x
=
b. Tỡm a hm s
liờn tc ti x = 0 .
ớ
ùù 1
khi
x
=
0
ùù
ùợ 2
ỡù 1- x - 1
ùù
khi x ạ 0
(

)
f
x
=
x
c. Tỡm a hm s
liờn tc ti x = 0.
ớ
ùù
khi x = 0
ùùợ a
-------------CH 1. O HM
Bi 1.

Chng t rng vi mi x ẻ Ă , hm s F ( x) = x - ln( 1 + x ) cú o hm F '( x) =

Bi 2. Tớnh o hm cỏc hm s:
2
a. y = ( 2 - x ) cosx + 2x sin x ;
Bi 3. Tớnh o hm cỏc hm s:
a. y = tan x - cot x ;
Bi 4.

b. y = cos2 ( 1- 4x) ;

c. y = sin( cos x) .

b. y = tan( 1 + 3x) .;

c. y = cot2 ( 11- 2x) .

Tớnh o hm cỏc hm s:

2
a. y = x - 5x + 6 ;

x
.
1+ x

b. y =

1
;
cos2x

2

x

2
c. y = ( x + 1) .

Bi 5.

Tớnh o hm cỏc hm s:
x- 1
2
a. y = ln
;

b. y = x + ln sin x + cosx ;
c. y = ln x + x + 1 .
x +1
Bi 6. Tớnh o hm cỏc hm s:
sin x.ln3 + cosx
ex
2
2
y
=
ln
y
=
a.
;
b.
c. y = ln x + x - a , ( a > 0)
x ;
x
1+ e
3
Bi 7. Tớnh o hm cỏc hm s:
x
a. y = e4x + e- x ;
b. y = 5x2 - ln x + 8cosx ;
c. y = 2xe + 3sin2x ;
d. y = ecos2x .
Bi 8. Tớnh f (0) bit:
ỡù sin2 x
ùù

khi x ạ 0
a. f ( x) = ớ x
ùù
khi x = 0
ùùợ 0

(

(

Trang 1

)

)

srg1505873091.doc


ìï ln( cosx)
ïï
khi x ¹ 0
x
b. f ( x) = í
.
ïï 0
khi
x
=
0

ïî
x- 1 2
cos x
2
a. Tính f ’(x) ;
b. Giải pt f ( x) = ( x - 1) f '( x) .
1
y
Bài 10. Cho hàm số y = ln
CMr: xy '+ 1 = e .
1+ x
Bài 11. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
2
a. y = cosx ;
b. y = sin5x
c. y = ln( x + x - 2) .
Bài 12. Cho hàm số y = e-sinx . CMr y '.cosx - y.sinx + y '' = 0.
Bài 9.

Cho hàm số f ( x) =

Bài 13. Cho hàm số f ( x) = 2x2 + 16.cosx - cos2x
a. Tính f '( x) , f ''( x) , f'( 0) , ''( p) .
b. Gpt f ''( x) = 0.
x- 1 2
cos x . G pt f ( x) - ( x - 1) f '( x) = 0 .
Bài 14. Cho hàm số f ( x) =
2
sin3 x + cos3 x
Bài 15. Cho hàm số y =

. CMr: y " = - y .
1- sin x cosx
1 2
Bài 16. CMr: cos x ≥ 1− x , ∀x ≥ 0
2
2008
y
Bài 17. CMr: 2008( xy'+ 1) = 7e với y = ln
( x > 0)
16x + 7
Bài 18. Cho hàm số y = (x+1)ex . Chứng minh y”-y’ = ex.
Bài 19. Cho y = esinx. Chứng minh: y’.cosx – y.sinx - y” = 0.
Bài 20. Cho y = ecosx. Chứng minh: y’.sinx – y.cosx + y” = 0.
Bài 21. Chứng minh rằng hai hàm số y = e ax sin bx . y = e ax cos bx (a, b là hai hằng số) cùng thoả mãn hệ
2
2
thức y ''− 2ay '+ ( a + b ) y = 0 .

Bài 22. Cho hàm số: y = 2 x − x 2 .Chứng tỏ: y3y” + 1=0.

(

)

3

Bài 23. Cho hàm số y = x + x 2 + 1 . Chứng minh: (1+x2)y” + xy’ - 9y = 0
Bài 24. Cho y = excosx. Chứng minh: y(4) + 4y = 0.
-------——–-------

CHỦ ĐỀ 2. PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1 có đồ thị (C).
a. Viết pt tt của (C) tại
i)
điểm A(1; -1)
ii)
giao điểm của (C) với trục Oy.
iii)
điểm có tung độ bằng 1.
b. Viết pt tt của (C) tại điểm uốn của (C). CMr trong tất cả các tiếp tuyến của (C) tiếp tuyến tại điểm
uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
c. Viết pt các tt của (C) đi qua điểm B(-1;-3).
Đáp số: c. y = - 3; y = 9x + 6 .
Trang 2

srg1505873091.doc


1 4
3
æ 3ö
2
0; ÷
Cho hàm số y = x - 3x + có đồ thị (C).Viết pt các tt của (C) đi qua điểm A ç
÷
ç
è 2ø
2
2
3

3
Đáp số: y = ; y = ±2 2.x +
2
2
3x - 2
Bài 3. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết pt các tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
x- 1
5
a. Tung độ của tiếp điểm bằng
2
b. Có hệ số góc bằng - 4
c. Song song với đường thẳng y = - x + 3
d. Vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10
e. qua điểm A(2; 0).
x2
Bài 4. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết pt các tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
x +1
æ 1÷
ö
1; ÷
a. tại điểm A ç
ç
è 2ø
b. Song song với đường thẳng y = - 8x + 1
c. Vuông góc với đường thẳng x - 4y + 8 = 0
d. qua điểm B(-2; 0).
3( x + 1)
Bài 5. Cho hàm số y =

có đồ thị (C).Viết pt các tiếp tuyến của (C) qua gốc toạ độ.
x- 2
æ
- 6 ± 3 3ö
÷
÷
x
ç
Đáp số: y = ç
÷
ç
÷.
2
è
ø
Bài 2.

x2 + 2x + 2
có đồ thị (C). CMr qua điểm A(1; 0) có thể kẻ được hai tiếp tuyến
x +1
đến (C) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau (ĐH Dược HN 99).
Bài 7. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 - x + 3m có đồ thị ( C m ) . Định m để ( C m ) tiếp xúc với trục hoành.
1
Đáp số: m = ±
3
Bài 8. Cho hàm số y = x4 + x3 + ( m - 1) x2 - x - m có đồ thị ( C m ) . Định m để ( C m ) tiếp xúc với trục
1
hoành.
Đáp số: m = - 2 m = 0, m = .
4

-------——–------Bài 6.

Cho hàm số y =

CHỦ ĐỀ 3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

a. y = - 2x2 + 4x + 5 ;

b. y = x3 - 2x2 + x - 2 ;

1 4
x - 2x2 - 1;
4
y
=
x ( x - 3) , ( x > 0) .
f.
c. y =

d. y = x4 + 8x3 + 5;
e. y = - 6x4 + 8x3 - 3x2 - 1;
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
x- 2
3x + 1
x2 - x + 1
a. y =
;

b. y =
;
c. y = 2
;
c. y = 2x - 1x + x +1
1- x
x- 1
2mx - m + 10
Bài 3. Xác định m để hàm số y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định.
x +m
mx2 - 2mx + 1
Bài 4. Xác định m để hàm số y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định.
x- 1

Trang 3

x- 5.

srg1505873091.doc


Bài 5.

3Tìm m để hàm số y = - x2 +

m- 1
x + 7 - m đồng biến trên khoảng ( - ¥ ;1)
2

m+2- 1
x - 1 + m nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;0)
2

Bài 6.

Tìm m để hàm số y = 3x2 -

1 3
2
Xác định m để hàm số y = x - 2x + mx + 2 đồng biến
3
¥
;
+¥
(
)
a.Trên khoảng
;
b.Trên khoảng ( - ¥ ;1) .
-------——–-------

Bài 7.

CHỦ ĐỀ 4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1.

Tìm các điểm cực trị của hàm số (nếu có):
- x2 + 3x + 6
3

2
y
=
a. y = x - 2x + 2x - 1;
b.
;
x +2
c. y = x + 2x - x2
d. y = x x2 - 4

x2 + 2x
Bài 2. Cho hàm số y =
(1).
x- 1
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số (1).
b. Viết pt đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1).
x2 - ( m2 - 1)
Bài 3. CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số y =
luôn có cực đại và cực tiểu.
x- m
1 3
2
2
Bài 4. Xác định m để hàm số y = - x + mx - ( m - m + 1) x - 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
3
2
x + mx + 1
Bài 5. Xác định m để hàm số y =
đạt cực đại tại x = 2 .
x +m

Bài 6. Áp dụng dấu hiệu II, tìm cực trị của các hàm số:
x
x
a. y = sin x + cosx với x Î - p; p ;
b. y = sin + cos .
2
2
2
Bài 7. Với giá trị nào của k thì hàm số y = - 2x + k x + 1 có cực tiểu?
-------——–-------

(

)

CHỦ ĐỀ 5. GTLN - NN CỦA HÀM SỐ
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau

Bài 2.

x2 - 2x + 5
trên khoảng 1;+ ¥
x- 1
y = - x2 + 4x + 5

Bài 3.

y = x2 - 5x + 6 trên đoạn [-5 ;5].

Bài 1.

Trang 4

y=

(

)

srg1505873091.doc


ộ pự
y = 2cos2x + 4sin x trờn on ờ0; ỳ
ờ 2ỷ
ỳ
ở
2
ln x
Bi 5. y =
trờn on [1;e]
x
x +1
Bi 6. y =
trờn on [-1 ;2].
x2 + 1
p
4
ổ
ử

- xữ
+ sin x - sin3 x trờn
Bi 7. y = cosỗ
ỗ
ữ
ố2
ứ
3
0;p
]
on [
Bi 4.

Bi 8.

y = x5 - 5x3 + 2 trờn on [-2 ;0]

Bi 9.

y=

3x - 1
khi 0 Ê x Ê 2 [QG HN-Dx- 3

97]

x2 + 1
;
x2 + x + 1
20x2 + 10x + 3

Bi 11. y =
3x2 + 2x + 1
Hng Tp.HCM -98].
Bi 10. y =

Bi 12. y =

[Hc Vin Ngõn

sin x + 1
;
sin x + sin x + 1
2

p
4
ổ
ử
- xữ
+ sin x - sin3 x trờn
Bi 13. y = cosỗ
ỗ
ữ
ố2
ứ
3
on [ 0;p] ;
1
1
Bi 14. y = sin x - sin2x + sin3x trờn on

2
3
[ 0;p]
Bi 15. y = x + 4 - x2 [B -03];
Bi 16. y = 2x + 5 - x2
Bi 17. y = ( x - 6) 4 + x2 trờn on [0 ; 3];
3
Bi 18. y = x - 3x + 1 trờn on [0 ; 3];

ộ pự
Bi 20. y = x + cos2x trờn on ờ0; ỳ
[NN
ờ 4ỷ
ỳ
ở
HN - 99];
x
ộ p pự
2
Bi 21. y = - sin x
trờn on ờ- ; ỳ
ờ
2
ở 2 2ỳ
ỷ
[KTQDHN-00];
9p2
+ sin x
Bi 22. y = 4x +
trờn

khong
x
( 0;+Ơ ) [KTQDHN-99];
sin x
Bi 23. y =
trờn on [ 0;p] [SP Quy
2 + cosx
Nhn - 99];
1
2
Bi 24. y = sin x - cos x + [GT -97];
2
y
=
5sin
x
+
cos2
x [H Vn Hoỏ
Bi 25.
HN - 97]
sin x - cosx
Bi 26. y =
;
sin x + 2cosx + 3
2sin x
Bi 27. y = 1 +
[GT - 97].
2 + cosx

y=

2cos2 x + cosx + 1
[Kin Trỳc HN cosx + 1

98]
1+ cos6 x + sin6 x
y=
;
1 + sin4 x + cos4x
3cos4 x + 4sin2 x
Bi 28. y =
[SP HN 01A]
3sin4 x + 2cos2x
Bi 29. Tỡm
GTNN
ca
2
2
y = ( x - 1) + ( 2x + 3) + ( 3x - 5) 2
[AN-D,G-98].
Bi 30. Tỡm
GTNN
ca

y = 4cos2 x + 3 3sin x + 7sin2 x

3
2
Bi 19. y = x + 3x - 72x + 90 trờn on [ -5

; 5] [KTQDHN-97];

[SP Quy Nhn -97]

--------------

Trang 5

srg1505873091.doc


CHỦ ĐỀ 6. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
A. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. (PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt)
a. y = x3 - 3x - 2
f. y = x3 + 3x2 + 1
b. y = - x3 - 4x2 - 4x

g. y = - x3 + 3( 1 - x2 )

c. y = x3 - 3x2 + 5

h. y = ( x + 1) 2 ( 2 - x )

d. y = - 2x3 + 3x2 - 2

i.

y = - x3 + 3x + 1

1
j. y = - x3 + 3x
4

e. y = ( x + 1) ( 2x - 1) 2

Bài 2. (PT y’ = 0 có nghiệm kép)
a. y = - 2x3 + 5;
b. y = x3 + 3x2 + 3x + 1;
Bài 3. (PT y’ = 0 vô nghiệm)
a. y = - x3 - x2 - 9x ; b. y = 4x3 + x ;
II. Hàm số trùng phương:
Bài 1. (PT y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt)
a. y = x4 - 2x2 + 3;

b. y = x2 ( 2 - x2 ) ;

d. y = - x4 + 8x2 - 1;
e. y = x4 - 2x2 - 1;
Bài 2. (PT y’ = 0 có một nghiệm)
a. y = x4 + 2x2 - 3;

b. y = -

c. y = ( 1 - x ) 3 .
c. y = - x3 + 3x2 - 4x + 2.

1 4 1 2 1
x - x - ;
4

2
2
2 2
f. y = ( 2 - x ) .
c. y =

1 4
3
x - x2 + .
2
2

ax + b
( c ¹ 0, ad - bc ¹ 0)
cx + d
Bài 1. ( ad - bc > 0)
x
2x - 1
1 - 2x
a. y =
;
b. y =
;
c. y =
;
1- x
2x + 2
2x - 4
Bài 2. ( ad - bc < 0)
2- x

x+3
3
a. y =
;
c. y = 2 +
;
d. y =
;
2x + 1
x- 1
x- 1
III. Hàm số y =

d. y =

x- 2
.
x

e. y =

3
.
x- 2

B. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số và các bài toán có liên quan.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1.
Cho hàm số y = - x3 - 3x2 + 3 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x3 + 3x2 + m = 0 (1) (m là tham số) .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ bằng 3.
Bài 2.
Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x - 1 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
- x3 + 6x2 - 9x + m = 0 (1) (m là tham số).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ bằng -1.
Bài 3.
Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + x có đồ thị (C) và đường thẳng d có phương trình y = x + m
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm m để (C) và d tiếp xúc với nhau .
c. Biện luận theo m số nghiệm và xét dấu nghiệm của phương trình: x 3 − 2 x 2 − m = 0 (1).
Trang 6

srg1505873091.doc


HD-ĐS: b. m = 0 hoặc m = −
i. m < −

c.

ii. m = −

32
.
27

32
: có 1 nghiệm âm;
27

32
4
: có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm (kép) x = ;
27
3

−32
< m < 0 : có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm;
27
4
iv. m = 0 : có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm (kép) x = ;
3
v. m > 1 : có 1 nghiệm dương .
Bài 4.
Cho hàm số y = x 3 − 5 x 2 − 7 x − 3 có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2
1

b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:  x − 1÷( x − 1) = a (1).
3

3
2
3
Bài 5.

Cho hàm số y = x − 3ax + 4a có đồ thị (C).
a. Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x .
b. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC .
1 3
2
Bài 6.
Cho hàm số y = − x + 2x − 3x ( 1)
3
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 7.
Cho hàm số y= x4 - 4x3 + 4x2
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)của hàm số đó.
2. Xác định tham số m, sao cho phương trình (ẩn x) sau có 4 nghiệm phân biệt x4- 4x3 + 4x2 = m2-2m.
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C) y = 0,x = 0, x = 1 quay một
vòng quanh trục Ox
1 3
2
Bài 8.
Cho hàm số y = x − x , (C)
3
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3;0).
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0,
x = 3 quay quanh trục Ox.
Bài 9.
Cho hàm số y = x3- 3x2 + m (1) ( m là tham số)
1. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
1 3

2
Bài 10.
Cho hàm số y = x − 2mx + 3 x , (Cm), (m là tham số)
3
4


1. Định m để A1,  là điểm cực đại của (Cm)
 3
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)của hàm số ứng với m vừa tìm được ở câu trên.
3. Từ gốc toạ độ có thể kẻ đến (C) bao nhiêu tiếp tuyến , chỉ ra các phương trình tiếp tuyến và toạ độ
tiếp điểm.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và một tiếp tuyến nằm ngang của (C)
Bài 11.
Cho hàm số y = (m+3)x3-3(m+3)x2-(6m+1)x+m+1 (Cm)
1. Chứng minh rằng (Cm) đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m=1.
1
Bài 12.
Cho hàm số f(x) = x3 – 2x2 –(m-1)x +m (với m là tham số). Tìm m để f ( x) ≥ , với ∀x ≥ 2
x
Bài 13.
Cho hàm số y=x3-3(m-1)x2+(2m+1)x+5m-1 (Cm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của (C).
2. Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục Ox.
iii.

Trang 7

srg1505873091.doc

3. Tìm m để đường thẳng qua cực điểm của (Cm) cũng đi qua gốc toạ độ.
Cho hàm số y = x3-3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm các điểm trên Ox, từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến khác nhau với (C).
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3-3x+m-1=0.
Bài 15.
Cho hàm số: y = x (3-x)2
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.
2. Một đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m.
a. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B.
b. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn AB.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m=1
1 3
2
Bài 16.
Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − m + 2 , (Cm)
3
1. Tìm các điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua.
2. Khảo sát và vẽ (C)khi m=2.
4 4
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)và đi qua A( ; ) .
9 3
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh Ox.
Bài 17.
Cho hàm số y=x3+3x2+mx+m−2, m là tham số, có đồ thị (Cm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2. Gọi A là giao điểm của (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại A. Tính

diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và tiếp tuyến (d).
3. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
1 3
2
Bài 18.
Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − m + 2
3
1. Tìm các điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua.
2. Xác định m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương.
4 4
3. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) đi qua điểm M ( ; ) .
9 3
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C 2), y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh trục
Ox.
1 3
1
2
Bài 19.
Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x +
3
3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3. Với giá trị nào của m, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Bài 20.
Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
a
2
2

b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x − 2 x − 2 =
(1).
x −1
Bài 14.

c. Tìm a để phương trình x 3 − 3 x 2 − a = 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai
nghiệm lớn hơn 1.
HD-ĐS: b.
i. a < −2 : vô nghiệm;
ii. a = −2 : có 2 nghiệm x = 0 , x = 2 ;
iii. −2 < a < 0 : có 4 nghiệm;
iv. a = 0 : có 2 nghiệm x = 1 ± 3 ; v. a > 0 : có 2 nghiệm .
−4 < a < −2 .
c.
II. Hàm số trùng phương
4
2
Bài 1. Cho hàm số y = − x + 2 ( a + 1) x − 2a − 1 có đồ thị (Ca). Tìm a để (Ca) cắt Ox tại 4
điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
a = 4 : dãy số -3, -1, 1, 3 là cấp số cộng;
HD-ĐS:
−4
1 1
a=
: dãy số -1, − , , 1 là cấp số cộng.
9
3 3
Trang 8

srg1505873091.doc

4
2
Bài 2. Cho hàm số y = ( a + 1) x − 4ax + 2 có đồ thị (Ca). Tìm a để (Ca) cắt Ox tại 4 điểm
a >1
phân biệt.
HD-ĐS:
4
2
Bài 3. Cho hàm số y = x + ax − ( a + 1) có đồ thị (Ca).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = −1 .
2
2
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 4 x ( 1 − x ) = 1 − a (1).

Bài 4. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 3 + 3 có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x 4 − 4 x 3 + 8 x + a = 0 (1).
2
2
Bài 5. Tìm a để phương trình: −2 x + 10 x − 8 = x − 5 x + a có 4 nghiệm phân biệt.
43
4
4
2
2
Cho hàm số y = mx + m − 9 x + 10 ( 1)

HD-ĐS:

Bài 6.

4
(

)

1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m= 1.
2/ Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 7. Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 - 2m + 1 (Cm).
1. Chứng minh rằng (Cm) luôn qua 2 điểm cố định A, B.
2. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại A có hệ số góc là 16.
3. Xác định m để (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm lập thành cấp số cộng.
4. Khảo sát và vẽ (C) khi m = 5. Tính diện tích giới hạn với (C) và trục Ox.
x4
Bài 8. Cho hàm số y =
− ax 2 + b
2
a. Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng −2 khi x = 1.
−3
b. Khảo sát và vẽ (C) khi a = 1, b =
.
2
c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
d. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 -2x2-3+2m = 0.
Bài 9. Cho hàm số y = (x+1)2(x-1)2.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x2-1)2-2m+1=0.

4. Tìm b để Parabol y=2x2+b tiếp xúc với (C)
Bài 10. Cho hàm số y=x4+2(m-2)x2 +m2-5m+5 , (Cm)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các điểm có hoành độ là nghiệm của pt y’’ =0.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
d. Tìm m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

III. Hàm số y =

ax + b
( c ¹ 0, ad - bc ¹ 0)
cx + d

x +1
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 2 x + y − 1 = 0 .
2
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 x − ( m + 1) x + m + 1 = 0 (1)
1 + 2sin x
= t có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [ 0; π ] ĐS:
Bài 2. Định t để phương trình
2 + sin x
1
≤ t <1 .
2
Bài 1.

Trang 9

Cho hàm số y =

srg1505873091.doc


mx − 2
(Hm)
x+m−4
1. Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m = 2
3. Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox một góc 450. Viết phương trình
tiếp tuyến đó.
− 2x − 4
Bài 4. Cho hàm số: y =
x +1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
3. CMr tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến 2 tiệm cận là một hằng số.
4. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y−2x−m = 0.
5. Trong trường hợp (d) cắt (C)tại 2 điểm M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m = 5.
ax + b
Bài 5. Cho hàm số: y =
có đồ thị là (C).
x +1
1. Định a,b để đồ thị (C) có tiệm cận ngang y =1 và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =0 có hệ số góc
là 3.
2. Khảo sát và vẽ (C) ứng với a,b tìm được.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và đi qua A(-3; 0).

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang và 2 đường thẳng x = 0, x = 2.
2
Bài 6. Cho hàm số y = 2 −
, gọi đồ thị của hàm số là (C)
x− 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2( x − 3)
2. Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số y =
(1). Dựa vào đồ thị của hàm số (1), hãy biện luận
x− 2
Bài 3.

Cho hàm số y =

theo k số nghiệm của phương trình

2( x − 3)
x− 2

= log2 k (2)

3. Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên.
(m + 1) x + m
Bài 7. Cho hàm số y =
,(Cm)
x+m
1. Tìm những điểm cố định của (Cm)
2. Khảo sát và vẽ (C) khi m=1.
3. Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên.
4. Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.

5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục toạ độ.
6. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) và song song với phân giác góc phần tư thứ nhất
-------——–-------

Bài 1.

CHỦ ĐỀ 6’. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
(Dành cho HS học theo CT nâng cao)
2
Cho hàm số y = x +
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (1; -1).
2
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: sin x − ( m + 1) sin x + m + 2 = 0 (1)
 π π 
với x ∈  − ; ÷.
 2 2 

HD-ĐS:
b.
Trang 10

y=

1
3
x−
2

2
srg1505873091.doc


i. m > 1 − 2 2 : vô nghiệm;
ii. m < −2 hoặc m = 1 − 2 2 : có 1 nghiệm;
iii. −2 ≤ m < 1 − 2 2 : có 2 nghiệm.
x2 + 3x + 3
Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x+2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 3 y − x = −6 .
2
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: cos x + ( 3 − m ) cos x + 3 − 2m = 0
(1)
với x ∈ [ 0; π ] .
c.

Bài 2.

d.

2
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: sin x + ( 3 − m ) sin x + 3 − 2m = 0
(2)
với x ∈ [ 0; π ] .

HD-ĐS:
b. y = −3 x − 3 ; y = −3 x − 11 .

 7
 7
c. i. m ∈ 1;  : vô nghiệm; ii. m ∉ 1;  : có 1 nghiệm.
 3
 3
2
x − x +1
Bài 3. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
x2 − x + 1
b. Từ đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị của hàm số y =
.
x −1
x2 − x + 1
= 2 − m (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phương trình
x −1
d. Tìm m để phương trình ( t 2 + 2t ) − ( m + 1) ( t 2 + 2t ) + m + 1 = 0 (2) có 3 nghiệm
2

phân biệt nằm trong đoạn [ −3;0] .
−3
< m < −1 .
HD-ĐS: c. −1 < m < 1 ;
d.
2
x2 − x + 1
Bài 4. Cho hàm số y =

có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: sin x − sin x + 1 = m ( sin x − 1)
(1)
với x ∈ [ 0; 2π ] .
m = −1 : có 3 nghiệm x1 = 0 , x2 = π , x3 = 2π .
HD-ĐS:
m < −1 : có đúng 4 nghiệm.
m > −1 : vô nghiệm.
2 x 2 − 3x + 2
Bài 5. Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 x 2 − 3x + 2
+ log 1 a = 0 (1)
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
x −1
2
Bài 6.

x2 − 2 x + 3
có đồ thị (C).
x −1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

Cho hàm số y =

Trang 11

srg1505873091.doc


2

x −2 x +3
= a (1).
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
x −1

b.

x2 − 2x + 9
có đồ thị (C).
x−2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm k để đường thẳng d: y = kx + 10 − 5k cắt (C) tại 2 điểm phân biệt và nhận I(5 ;
10) là trung điểm
2
x −2 x +9
= a ( x − 2) + 2 .
c. Biện luận theo a số nghiệm âm của phương trình:
x −2

Cho hàm số y =

Bài 7.

x2 + x − 3
có đồ thị (C).
x+2
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4
2
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: t + ( 1 − m ) t − 3 − 2m = 0 (1).
−3
HD-ĐS: b.
i. m <
: vô nghiệm;
2
−3
ii. m =
: có 1 nghiệm t = 0 ;
2
−3
iii. m >
: có 2 nghiệm;
2
x2 + x −1
Bài 9. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt (C)
x −1
tại 2 điểm phân biệt. Chứng minh rằng 2 giao điểm cùng thuộc 1 nhánh của đồ thị.
Cho hàm số y =

Bài 8.

HD-ĐS:

m < 4 − 8 hoặc m > 4 + 8 .
-------——–-------

CHỦ ĐỀ 7. PT, BPT & HPT MŨ - LOGARIT
A. PP đưa về cùng một cơ số
Bài 1. Giải các pt sau:
e. 34−4x = 81x−1
a. 2−5x2+6x+3 = 8
b.

π

sin − 2x÷
4


3

2x−3

f. 0,125.4

=1

−2+ cosx

4
 3
c.  ÷

=
3
 4
1
−
4
x
d. 5
= 25

x+ 5

h.

b. 3−2x2+ 7 ≤ 8
− x2+ 7x

2+ 2x+6

Trang 12

(

e. 3
f.

<1

d. ( 0,236) − x

x

 2
=
 8 ÷
÷



x+17

g. 32x−7 = 0,25.128 x−3

Bài 2. Giải các bpt sau:
a. 2x2−3x−4 < 8
c.  1÷
 3

i. 7 4−2x = 49x−1
j. 36 − x2+2x+3 = 6x( x−2)

)

10 + 3

2x+ 9

( 0,5)

x−3

x−1

3− x

(

1− x

 1
> ÷
 27 
>4

g. 3− x2 > 3− x
≤1

=

)

10 − 3

x+1
x+3

k. 3x2+1 + 3x2−1 = 270
1
x2− x+8
= 3x−1
l. 2

4

h.

( 0,25)

1
x−3

≤8

i. 92x − 3x2−5 ≥ 0
j. 3

x2−2x

x− x−1

 1
≥ ÷
 3

srg1505873091.doc


Bài 3. Giải các pt sau:
a. log2 x = log2 ( 1− 3x)

i. log4 x + log2 ( 4x) = 5

2
b. log 3 x + 4 x + 12 = 0

j.

(

)

c. 2log2 ( x + 3) = log2 ( 1− x)

2

log2 ( x − 3) − log1 ( x − 1) = 3
2

1

x
k. log 3  log9 x + + 9 ÷ = 2 x
2



d. 2 log 3 ( x − 2 ) + log3 ( x − 4 ) = 0
2

(

)

(

)

x
x
l. log2 4 + 4 = x − log1 2 + 3

e. log3 ( 4 − x) = 1

f. log5 ( 7− 3x) = 2

2

m. log3 ( x − 1) + log
2

g. log 2 x + log 2 ( x − 2 ) = 3

3

( 2x − 1) = 2 [B.07tk]

h. log 2 x ( 5 − x ) − log 2 ( 6 − x ) = 1
Bài 4. Giải các bpt sau:
a. log0,7 x ≤ log0,7 ( 1− 3x) ;

(

log7 ( 4 − 5x) > 1

)

b. log x − 16 < log( 4x − 11)
2

c. 2log2 ( x − 1) > log2 ( 5− x) + 1

(

)

2
d. log0,5 ( 4x + 11) < log0,5 x + 6x + 8

e. log3 ( x + 2) > log9 ( x + 2)

3− 5x
≤0
x−1
2

f. log3 x − 2 < 1;

log1

 2x −1 
÷≥ 0 ;
g. log 1 

x +1 

2

 8

log 2  x − 1÷ ≥ x − 2
2


B. PP đặt ẩn số phụ.
Bài 1. Giải các pt sau:
a. 2.16x − 17.4x + 8 = 0
b. 16x − 3.4x − 4 = 0
c. 9x + 3x − 6 = 0
d. 4x − 2x+1 − 3 = 0
3
x
=1
e. 2 − x
2 −3
f. 4 x − 2 x+1 − 6 = 0
2
2 x −3
= 1− x + 15
g. 5
5
x
+
1

h. 4 + 2x+ 4 = 2x+2 + 16
i. 3x +1 − 2.3− x + 5 = 0
j. 52x−1 + 5x+1 = 250
72x
x
k.
= 6.( 0,7) + 7
x
100
l. 7x + 2.71- x - 9 = 0

 x−2 
log 
3 x ÷
 <1
5

j.

x2 − 4x + 6
<0
x
log3 ( x + 2) − log1 x ≤ 1

k.

2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ 2

i. log0,5

3

3



x
l. log 2  log 1 ( 2 − 1) ÷ > 1
 4


(
) (
) =4
( 8+ 3 7) + ( 8− 3 7)
x

q. 2 − 3 + 2 + 3
r.

t.

x

tan x

tan x

s. 125x + 50x = 23x+1

( 7+ 3 5)

x

(

)

+ 12 7− 3 5

x

= 16

= 2x+3

u. 32x+1 = 3x+2 + 1− 6.3x + 32( x+1)
v. log2 x − 2log x − 3 = 0
2
3
w. log 2 x − log 2 x + 2 = 0
x.
x

Trang 13

 3 − 2x 
log 2 
÷< 1;
 1− x 

n. 6.4x − 13.6x + 6.9x = 0
o. 8x + 18x = 2.27x
p. 2x2− x − 22+ x− x2 = 3

m. 25 x − 12.2 x − 6, 25. ( 0,16 ) = 0
Bài 2. Giải các bpt sau
a. 9x − 5.3x + 6 < 0

h.

7 log 3 ( x + 1) − 1
=3
log ( x + 1) + log 3 ( x + 1)
2
3

y. log32 x + log32 x + 1 − 5 = 0

3.9 x −1 + 5
b.
<4
3x −1 + 1
srg1505873091.doc


2x+1 − 5.3x
<1
2x − 3x+1
4 − 7.5x

2
d. 2x+1
≤
x
5
− 12.5 + 4 3

f. ln2 x − 2ln x ≤ 0
2
( log 2 x ) + log 2 x − 7 < −2 + log x
g.
2
2 − log 0,5 x
1
h. log2 x < 1+
log2 x

c.

2

1
+1

e.  1 x + 3 1 x > 12
 3÷
 3÷
 
 

C. PP khác: (Dùng cho HS học theo chương trình nâng cao)
Bài 1. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1. 4x2−3x+ 2 + 4x2+ 6x+5 = 42x2+3x+ 7 + 1
12. a. π sin x = cos x ; b. 3x + 5x = 6x + 2 ;
2. 4x2 + x.2x2+1 + 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12
x−1
2
13. a. 3x .5 x = 1
b. x x
x
x
x
5 .8 = 500
3. 8.3 + 3.2 = 24 + 6
2
2
 x.y = 1
4. 2x + x − 4.2x − x − 22x + 4 = 0
[D.06]
14. 
2
2
5. 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0 [A.06]
 l og x + l og y = 2
6.

(

) (
x

2 −1 +

)

7. 23x+1 − 7.22x + 7.2x − 2 = 0
x
x
8. 25 − 2( 3− x) .5 + 2x − 7 = 0

(

ln ( 1 + x ) − ln ( 1 + y ) = y − x
15.  2
2
 x − 12 xy + 20 y = 0
23x = 5y2 − 4y

16.  4x + 2x+1
=y
 x
 2 +2
 x + y = 1
17.  x y
2 − 2 = 2

x

2 + 1 − 2 2 = 0 [B.07]
[D.07tk]

)

2
2
9. log3 x + x + 1 − log3 x = 2x − x

10. a. 3x + 4x = 5x ; b. 8x + 18x = 2.27x
11. 2x+1 − 4x = x − 1

Bài 2. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1. log5 x + log3 x = log5 3.log9 225
2. log4 ( x + 1) + 2 = log

4 − x + log8 ( 4 + x)

2

3.

( 2 + 2)

log2 x

(

2

+ 2− 2

)

log2 x

2

= 1+ x

3

(

8. log4 ( x − 1) + log

(

1
+ log2 x + 2
2

2x − 1
= 1+ x − 2x [D.07tk]
x
4
= 1[B.07tk
10. ( 2 − log3 x) log9x 3−
1− log3 x

Bài 3. Giải các pt, bpt, hpt sau:
2

2
a. log2 x + 3x + 2 + log2 x + 7x + 12 = 3+ log2 3

(

=

1
=0
4.2x − 3

9. log2

 x2 + x + 3 
= x2 + 3x + 2
6. log3  2
÷
÷
 2x + 4x + 5

)

1

( 2x+1) 4

4. 4log2 2x − xlog2 6 = 2.3log2 4x2
5. log5 x = log7 ( x + 2)

(

)

x
x
7. log2 4 + 15.2 + 27 + 2log2

)

)

(

)

2
2
b. log( 3x+7) 9+ 12x + 4x + log( 2x+3) 21+ 23x + 6x = 4
Bài 4.

1.

Giải các pt, bpt, hpt sau:


 x2
 
log3  log1  + 2log2 x−1÷+3

÷ 

 1 2  3 2
 

 3÷
 

Trang 14

≥1

 4x − 2  1
≥
2. logx2 
÷
÷
 x− 2  2

srg1505873091.doc


log2 ( x + 1) − log3 ( x + 1)
2

3.
4.

2

x − 3x − 4

(

3

>0

(

1
1
2
6. log1 2x − 3x + 1 + log2 ( x − 1) ≥
2
2
2

)

log22 x + log1 x2 > 5 log4 x2 − 3 A.07]
2

)

2
5. logx 8+ log4 x log2 2x ≥ 0 [A.07tk]

Một số dạng toán khác:
1
log 6 5

Bài 1.

Đơn giản các biểu thức sau:

Bài 2.

Tìm m để hàm số sau được xác định với mọi x:

Bài 3.

Chứng minh rằng ta có: log ( x + 2 y ) − 2 log 2 =

A = 25

+ 49

1
log 8 7

y=

B = − log 2 log 2


;

1

(

ln mx 2 − mx + 3

(

4

)

2 .


)

1
( log x + log y ) với điều kiện x > 0, y > 0 và
2

x 2 + 4 y 2 = 12 xy
Bài 4. Chứng minh rằng: nếu a 2 = b 2 + c 2 , a, b, c>0, a ± c ≠ 1 thì
log ( a +c ) b + log ( a −c ) b = 2 log ( a +c ) b.log ( a −c ) b .
4 −3 x
Cho f ( x ) = 6 x + e
. Giải bpt f ' ( x ) ≥ 0
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1
 3 − 2x 
a. y = x
;
b. y = 1 − log 2 
÷

2 −8
 1− x 
-------——–-------

Bài 5.
Bài 6.

CHỦ ĐỀ 8. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tìm hằng số C .
Bài 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số F (x) của hàm số f (x) biết:
a.
c.
e.

f ( x ) = 2x2 −

3
và F ( 1) = 4
x

π 
f ( x ) = cos 5 x os 3 x và F  ÷ = 1
4
π 
f ( x ) = sin x sin 7 x và F  ÷ = 0
2

x3 + 3x 2 + 3x − 7

b.

f ( x) =

d.

f ( x ) = sin 2 x os 3 x và F ( 0 ) = 0

f.

2
π  π
x
x

f ( x ) =  sin + cos ÷ và F  ÷ =
2 2
2
2


( x + 1)

2

và F ( 0 ) = 8

Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
2

0

a. ∫ cos x sin 2 xdx ;
1

e. ∫ x ( x − 1)
0

Trang 15

2007

dx ;

π
2
0

b. ∫ cos 2 x sin 3 xdx ;
1

f. ∫ x 1 − xdx ;
0

π
4

π
2
0

c. ∫ cos5 xdx ;
g. ∫1

e

1
x 1 − ln x
2

dx

d. ∫

1
dx ;
sin x cot gx

h. ∫

1
dx ; i.
cos x t gx

π
6
π
3
π
4

2

2

srg1505873091.doc


∫

1

∫

x +1
dx .
x
2
1

8 3

2

j. ∫0

x x −2
2

2

1
dx ;
2
a + x2

a

dx n.
∫

0

2

k. ∫

1 + x2
dx ;
x2

3

1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].Chứng minh rằng:

∫
a

b

b

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( b − x ) dx .
Bài 3.

x −4

dx ;

m.

2

b

Bài 2.

x
2

6x + 2
dx
x − x +1

2

o. ∫0

x 2 4 − x 2 dx

l. ∫4

4
3

b

f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx . Suy ra
a

π
4

π

sin x
dx và J = ln ( 1 + tgx ) dx .
∫
1 + cos 2 x
0

Áp dụng tính I = ∫

0

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [- a ; a] ( a > 0 ). Chứng minh rằng:
a

a. Nếu f là hàm số lẻ trên thì

∫ f ( x ) dx = 0 ;

−a

Tính

)

(

I = ∫ ln x + 1 + x 2 dx , J =
−1

1

∫

−1

a

−a

0

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx .

b. Nếu f là hàm số chẵn trên thì
1

a

x −1
dx , K = ∫ 1 − x 2 dx và L =
x +1
−1

1
2

1

x +1

∫ cos x.ln 1 − x dx .

−

1
2

Vấn đề 3: Bất đẳng thức tích phân:
Bài 1. Chứng minh rằng:
1

a. 1 ≤ ∫
0

c.

2

2
x
1
≤ ∫ 2 dx ≤
b.
5 1 x +1
2

4 + x2
5
dx ≤
2
2

π
2

π
1
π
≤∫
dx ≤

2
16 0 5 + 3cos x
10

π
3

π
2

d. π ≤ 1 + 1 sin 2 xdx ≤ π 6
2 ∫0
2
4

1

3
cot gx
1
≤∫
dx ≤
12 π x
3

e.

f.

x sin x

∫ 1 + x sin xdx ≤ 1 − ln 2
0

4

Vấn đề 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
4
0
π
2
0

ln 2

∫

x cos 2 xdx

b.

∫

d.

∫

x cos x sin xdx

e.

∫ (x

g.

∫

x ln ( x 2 + 1) dx

h.

j.

∫ (x

a.

m.

1

0
1

0

e

2

+ x + 1) e x dx

x 2e x

∫ ( x + 2)
2

2

k.
n.

dx

0
e

xe −2 x dx
2

1

∫

e

1
e

(x

− x + 1) ln xdx

ln x
2

+ 1)

2

dx

π
2
0

2
∫ ( 2 x − 1) cos xdx

∫

π

0

e 2 x cos 3 xdx

π

2
0

c.

∫ ( 2 x + 1) cos xdx

f.

∫

2

1

 1
x 2 ln 1 + ÷dx
 x

π
2
0

i.

∫ ( 1 − 3x ) sin

l.

∫

o.

π

0

π
2
0

∫

2

xdx

x sin x cos 2 xdx
e x cos xdx

Vấn đề 5: Tính tích phân bằng cách phối hợp cả 2 phương pháp(phương pháp tích phân từng phần và
phương pháp đổi biến số):
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a.

π
3
π
4

∫

Trang 16

x
dx
sin 2 x

b.

π2
4
0

∫

sin xdx

c.

π
2
0

∫

3

x sin xdx

d.

π 
 ÷
2
0

∫

sin 3 xdx

srg1505873091.doc


e.

∫

1

0

2

x 3e x dx

f.

∫ ln ( x
1

0

2

+ 1) dx

∫

g.

1

1

0

(x

2

+ 1)

2

dx

h.

Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách dùng tích phân từng phần xuất hiện lại tích phân ban đầu:

Bài 1.

a. ∫

3
2

x 2 − 1dx ;

c. ∫ cos ( ln x ) dx ;

−x
b. ∫ e sin 2 xdx ;

π

d. ∫ e 2 x cos 2 xdx .
0

Vấn đề 7: Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
5
a. y = ( x + 1) , y = e x , x = 0 , x = 1 .
b. y = x 2 − 4 x + 3 , y = −2 x + 6 , x = 0 , x = 3 .
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x2
a. y =
, x=0, y =2, y =4.
2
b. y 2 = 2 x , y = x , y = 0 , y = 3 .

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.

y = x2 − 2x , y = x .

2
b. y = x − 4 x + 3 , y = 3 .

c.

y = x2 + x + 2 , y = 2 x + 4 .

d. y = − x 2 , y = − x − 2 .

e.

y = 4 − x2 , y = x2 − 2 x .

f.

g. y = x 3 , y = − x 2 .
i.

1
x2
y=
,
.
y
=

1 + x2
2

k. y =

6
, y =7− x.
x

y = x3 − 4 x 2 + x + 6 , y = 0 .

h. y = x 2 , x = − y 2 .
j.

x2 − 2 x + y = 0 , x + y = 0 .

l.

y=

8
, x2 = 4 y .
x +4
2

m. x 2 = ay y 2 = ax ( a > 0 ).

2
n. y = x − 1 , y = x + 5 .

o. x 2 + 3 y = 0 , y = − 4 − x 2 .

p. y = sin x , y = x − π .

2
q. y = x − 4 x + 3 , y = x + 3 .

r.

y = 4−

x2
x2
,y=
.
4 2
4

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a. y 2 + x − 5 = 0 , x + y − 3 = 0 ;
b. y 2 = 2 x + 1 , y = x − 1 .
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
8
x2
a. y = x 2 , y =
, y= ;
b. y = x 2 − 2 x + 2 y = x 2 + 4 x + 5 , y = 1 .
x
8
Bài 6. Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x 2 -2x + 2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(5,3)

và trục tung.
4
Bài 7. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ,y = 0, x = 1 và x =
x
4 quay quanh trục Ox.
Trang 17

srg1505873091.doc


Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y = x2-2x, y = 0, x = -1, x = 2.
a. Tính diện tích của (H).
b. Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Ox.
Bài 9. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x.e x , x =
0, x = 1 quay quanh trục Ox.
Bài 8.

-------——–-------

(

a. A = 3 + i 2

CHỦ ĐỀ 9 . SỐ PHỨC

) + ( 3−i 2)
2

2

2
b. B = ( 3 + i ) − ( 2 − i ) ( 4 + 2i + i ) .
3

Bài 1.

Tính:

Bài 2.

Tính: a. A =

Bài 3.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết

3 − 4i
( 1 − 4i ) ( 2 + 3i ) ;

a. z = ( 3 − 2i ) − ( 4 − i ) ( 4 + i ) ;
2

;

B = ( 2 − 5i ) +
b. z = (

Bài 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
20

a. z = 1 + ( 1 − i ) + ( 1 − i ) + .... + ( 1 − i ) ;
Bài 5.

Tìm môđun của các số phức:

1+ i 2
;
2+i 3

C = ( 2 − 3i ) ( 1 + 2i ) +

1 + i ) ( 2i )
;
−2 + i
2

3

c. z = 4 − 3i +

b. z = 1 + ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + .... + ( 1 + i )
2

a. z = 4 − 3i + ( 1 − i ) ;
3

4−i
.
3 + 2i

b. z =

2009

5 + 4i
.
3 + 6i

.

( 3 − 2i ) ( 4 + 3i ) − ( 1 − 2i )  .

5 − 4i
Bài 6. Tìm số phức z, biết z = 3 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
Bài 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
z
+ 2 − 3i = 5 − 2i ; c. −4 z 3 − 9 z = 0 ; d. 2 z 2 − 3 z + 7 = 0 .
a. ( 1 + i ) z + ( 2 − i ) ( 1 + 3i ) = 2 + 3i ; b.
4 − 3i
Bài 8. Giải các pt: a. − x 2 + 4 x − 5 = 0 ; b. t 4 − t 2 − 6 = 0 ; c. z 4 + 6 z 2 + 5 = 0 ;
d.
3
2
x − 5 x + 15 x − 18 = 0 .
Bài 9. Cho a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 , z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình az 2 + bz + c = 0 hãy tính z1 + z2
và z1.z2 theo các hệ số a, b, c .
Bài 10. Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một pt bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghiệm.
Bài 11. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.
2
2

2
5
Bài 12. Tìm hai số thực x, y biết:
a. ( x + yi ) = −5 + 12i ;
b. ( x + yi ) = i . c. z1 = 9 y − 4 − 10 xi và
z2 = 8 y 2 + 20i11 là liên hợp của nhau.
a. z = z 2 ;
b. z = z 3 ;
c. z + z = 3 + 4i .
 z − 2i = z
Bài 14. Tìm số phức z, biết: 
 z − i = z − 1
3 x + iy = 2 − 3i
Bài 15. Giải hệ phương trình: 
x + 2 y = 1+ i
Bài 16. Chứng minh rằng với hai số phức z và z’ ta có:
z
z
z z
=
a.  ÷ =
khi z’ khác 0 ;
b. z.z ' = z . z '
c.
khi z’ khác 0.
z'
z'
 z' z'
Bài 17. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a. z − i = 2 ;

b. z − 3 ≤ 1 ; c. z + i = z + 2 ;
d. 2 < z ≤ 4 ;
e. z − i > 1 .
Bài 18. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
z +1
= 1.
a. .z2 là số ảo;
b. z = 3 và phần thực của z bằng 3; c.
z −1
Bài 19. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
Bài 13. Tìm số phức z, biết:

Trang 18

srg1505873091.doc


a. . 2 + z < 2 − z ;

b. 2 ≤ z − 1 + 2i < 3 ;
------——–-------

c. i + z ≥ i − z .

CHỦ ĐỀ 10. DIỆN TÍCH - THỂ TÍCH
Bài 1. Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c . Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 2. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng nửa đường thẳng Hx
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Hx lấy điểm S sao cho SA = SB = AB. Nối S với A, B, C, D.
a.Tính diện tích mặt bên SCD và thể tích của khối chóp S.ABCD.

b.Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, H, D.
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy.
a.CMr các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b.Tính thể tích của khối chóp khi biết AB = 7dm, AC = 25dm, SA = 20dm.
c.Tính diện tích toàn phần của hình chóp khi biết AB = SA =3a, AC = 5a.
Bài 5. Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân tại B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và có độ dài bằng a 3 . Cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600.
a.Tình diện tích xung quanh của hình chóp.
b.Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy.
Bài 6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
SB = a 3 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên của hình
lăng trụ và mặt đáy bằng 30 0. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ thuộc đáy trên xuống mặt phẳng đáy
dưới trùng với trung điểm H của cạnh BC.
a.Tính thể tích của hình lăng trụ .
b.Tính diện tích mặt mặt bên BCC’B’.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt
phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 300. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông
góc với đáy. Góc giữa SC và (SAB) bằng 300.
a.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b.Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm,
BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 . A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy
sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300.
a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ .

b.Tính thể tích khối trụ tương ứng.
c.Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên AA’ vuông
góc với mp(ABC). Biết AA’=AB=BC=a. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ và thể tích của
khối lăng trụ đã cho.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có AB=a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp
theo và tính diện tích toàn phần của hình chóp theo a.
Bài 15. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp đáy một góc 45 0. Tính thể tích
của khối chóp và diện tích toàn phần của hình chóp theo a.
Bài 16. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a/ Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’B và B’D.
b/ Tính thể tích của khối tứ diện AB’CD’ theo a.
Bài 17. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các
điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Trang 19

srg1505873091.doc


Bài 18. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm SA=2a,
SA⊥(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp
A.BCNM.
Bài 19. Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của
khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 mặt bên SBC là
tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 21. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và
AB = AC = AD = 6cm .

a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD ;

b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD;
c. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc
ACD quanh cạnh AD;
d. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.

Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a , mp(SAB) vuông góc
với mp(ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA' = 2avà đường thẳng AA’
tạo với mp(ABC) một góc bằng 600. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a.
------——–-------

CHỦ ĐỀ 11. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Hệ toạ độ trong không gian
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0),
uuu
r uuu
rC(0;0;1),
uuur uuur D(-2;1;-1).
r uuu
r uuur uuur
1/ Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau: AB, BC,CD, CD,u= 2AB − 3CD − 4DA .
2/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm tọa độ của M, N, P, Q.
3/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng G tâm của ∆ABC.
4/ Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tính diện tích của hình bình hành
ABCE.
5/ Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
6/ Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng
của tứ diện ABCD.
7/ Tìm côsin góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
8/ Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.

9/ Tìm tọa độ của điểm K nằm trên trục Oz để ∆ADK vuông tại K.
Bài 2. Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( 3;1;0) , B( −1;2;1) ,C ( 2;−1;3) .
a/ Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ.
b/ Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ.
c/ Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
d/ Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ.
e/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm A( 1;2;1) , B( 5;3;4) ,C ( 8;−3;2) .
a/ CMr: ∆ABC vuông tại B.
b/ Tính diện tích của ∆ABC .
c/ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d/Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm A( 1;0;0) , B( 0;0;1) ,C ( 2;1;1) . Tính các góc của ∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A( 1;−1;1) , B( 1;3;1) ,C ( 4;3;1) , D ( 4; −1;1) .
a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b. Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
Trang 20

srg1505873091.doc


uuur
uuur
c. Tính côsin của góc giữa hai vectơ AC và BD .
Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A( − 1;1;2) , B( 1;0;1) , D ( −1;1;0) , A'( 2;−1; −2)
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c/ Tính thể tích V của hình hộp.
d/ Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.

, , ,
, , ,
Bài 8. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A( x1; y1;z1) ,C ( x3; y3;z3 ) , B' x2; y2; z2 , D' x4; y4;z4

(

) (

)

Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 9. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A( 5;3;−1) , B( 2;3;−4) , C ( 1;2;0) , D ( 3;1; −2)
a/ CMr: a1/ 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
a2/ Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
a3/ Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b/ Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC .
Bài 10. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A( 1;0;0) , B( 0;1;0) ,C ( 0;0;1) , D ( −2;1;−2)
a/ CMr 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
b/ Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
c/ Tính thể tích của tứ diện. (Theo 4 công thức)
d/ Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A.
e/ Tìm M∈Oz sao cho 4 điểm M, A, B, C đồng phẳng.
f/ Tìm N∈Oy sao cho ∆NAD vuông tại N.
g/ Tìm P∈Oxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C.
II. Phương trình mặt phẳng -pt mặt cầu.
Bài 1. Trong kg Oxyz, cho M(1;−3;1).
r
a/ Viết pt mp(α) qua M và có VTPT n = ( 2;−1;1) .

uu

r
b/ Viết pt mp(β) qua M và véc-tơ pháp tuyến của mp(β) vuông góc với 2 véc-tơ u1 = ( 1;0;−2) và

uu
r
u2 = ( −1;−3;4) .

Bài 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a/ Viết pt mp(ABC).
b/ Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c/ Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d/ Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e/ Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp(P) qua A1, A2, A3.
Bài 3. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm A( 3;1;0) , B( −1;2;1) ,C ( 2;−1;3) .
a/ CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b/ Tìm D sao cho ABCD
bình
uuur làuuhình
u
r
uuur hành.
c/ Tìm M sao cho AM + 2BA = 3CM .
d/ Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mp(α): 2x + 3y− 4z − 2 = 0 .
a. Viết pt mp (β) qua A và song song với mp(α).
b. Viết pt mp ( g ) qua OA và vuông góc với mp(α).
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho A(−1;1;2), B(0;−1;3) và mp(α): 3x − 2y + z + 4 = 0 . Viết pt mp(β) qua A, B và
vuông góc với mp(α).
Bài 6. Trong Oxyz, cho A(2;3;0). Viết pt mp(α) qua A, song song Oy và vuông góc với mp(β):
3x − y + 4z + 6 = 0

Bài 7. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B
và (β) ⊥(α).
Bài 8. Trong Oxyz, cho (α): 3x − 2y + z + 4 = 0 , (β): 3x − y + 4z + 6 = 0 . Lập pt mp(γ ) qua giao tuyến
của (α), (β) và qua A(2;1;−1).

Trang 21

srg1505873091.doc


Bài 9. Trong Oxyz, cho (α): x + y − z + 4 = 0, (β): 3x − 2y + z − 1= 0 . Lập pt mp(δ) qua giao tuyến của
(α), (β) đồng thời vuông góc với mp(γ ): 2x − 3y + z − 1= 0 .
Bài 10. Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với 2 mp:(α): x − y + z − 7 = 0 ,
(β): 3x + 2y− 12z + 5 = 0
Bài 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S∆ABC.
f. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính VABCD.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f. Tính góc giữa AB và CD.

Bài 13. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mặt phẳng
( a ) : x - 2y - 2z - 5 = 0
.
a. Viết phương trình mặt phẳng ( b ) song song với mặt phẳng ( a ) và cách ( a ) một khoảng bằng 5.
b. Viết phương trình mặt phẳng ( g ) đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( a ) .
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 14. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên
mp(Oxy).
Bài 15. Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
Bài 16. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
( a ) : 3x - 2y + 6z + 14 = 0
Bài 17. Cho
mặt
mặt
phẳng
và
mặt
cầu
( S ) : x2 + y2 + z2 - 2( x +y+z ) - 22 = 0 . Chứng minh rằng ( a ) cắt (S) theo một đường tròn
(C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài 18. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó .
e. Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
uuu
r
uur
f. Tính góc giữa các vectơ AC và BD .

uuu
r uuu
r uuur uuu
r
g. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA + MB + MC + MD = 8 .
Bài 19. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 0; 4), B (5; 1; 3) và mặt phẳng
( a ) : x - 2y + 3z - 6 = 0
.
a. Viết phương trình mặt phẳng ( b ) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( a ) .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( g ) đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( a ) .
c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với ( a ) .
d. Tìm các giao điểm A, B, C của ( a ) với các trục Ox, Oy, Oz. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
III. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Lập pt tham số của đường thẳng (đt) ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a/ ∆ qua 2 điểm A(2;−3;5) và B(1;−2;3).
b/ ∆ qua điểm A(1;−1;3) và ssong với BC, biết B(1;2;0), C(−1;1;2).
Trang 22

srg1505873091.doc


c/ ∆ qua điểm A(−1;0;2) và ∆ vuông với mp(α): x − y + z − 7 = 0
x = t

Bài 2. Tìm ptct của ∆ biết ∆ có ptts là:  y = 1− t
 z = −2


x y− 2 z + 3
=

=
.
2
−1
3
Bài 4. Cho 2 điểm A(-1; 6; 6), B(3; -6; -2) và C(x; y; 6). Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB
nhỏ nhất.
x − 1 y+ 2 z − 2
=
=
Bài 5. Lập pt mp qua điểm A, và đt ∆, biết A(4;−2;3), ∆:
3
4
2
x = t
x − 5 y− 2 z − 3

=
=
Bài 6. Cho d :  y = −11+ 2t d':
.
CMr: d cắt d’.Viết ptmp chứa d và d’.
2
1
6
 z = 16 − t

Bài 3.

Bài 7.

Bài 8.

Tìm ptts của ∆ biết ∆ có ptct là:

 x = 5+ 2t
 x = 3+ 2t '


Cho d :  y = 1− t và d':  y = −3− t ' . CMr: d//d’. Viết ptmp chứa d và d’.
 z = 5− t
 z = 1− t '


x = t
 x = 1+ t '


Cho d :  y = 1+ 2t và d':  y = −2 + t' .
 z = 6 + 3t
 z = 3− t '



a. CMr: d và d’ chéo nhau.
b. Lập pt mp qua O và song song với d và d’.
 x = 4t

−3


+ 7t và vuông góc với mp(P): x − 2y + z + 5 = 0 .
Bài 9. Lập pt mp(α) chứa đt ∆:  y =
2

 z = 2t

x y z+ 3
= =
2 4
1
a/ Viết pt mp (α) đi qua A và chứa d.
b/ Viết pt đt d’ qua A, vuông góc d, và cắt d.
x + 1 y− 1 z − 2
=
=
Bài 11. Cho d:
, (P): x − y − z − 1= 0 . Viết ptct của đt ∆ qua A(1;1;−2), ∆//(P) và ∆⊥d.
2
1
3
 x = −1
x − 1 y+ 2 z

=
= và cắt d2:  y = 1+ t
Bài 12. Viết ptđt ∆ qua A(0;1;1), ∆⊥d1:
3
1
1
z = 2+ t


Bài 10. Cho A(3;2;1) và đt d:

 x = t1
 x = −t2


Bài 13. Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả 2 đt d1:  y = 4− t1 và d2:  y = 2+ 3t2
 z = −1+ 2t
 z = 3t
1
2


 x = 12+ 4t

Bài 14. Cho đường thẳng d:  y = 9+ 3t
và mp(P): 3x + 5y − z − 2 = 0.
 z = 1+ t

a.
b.
c.
d.
e.
f.

Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).

Tính góc giữa d và (P).
Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn thẳng BB’.
Viết ptđt ∆ nằm trong (P) vuông góc và cắt d.

Trang 23

srg1505873091.doc


x = t

Bài 15. Cho d:  y = −11+ 2t
 z = 16 − t


( t∈ ¡ )

và ∆:

x − 5 y− 2 z − 6
=
=
2
1
3

a/ Tìm VTCP của d.
b/ CM d và ∆ cùng nằm trong một mp. Viết pt mp đó. Tìm giao điểm I của d và ∆.
x + 1 y− 1 z − 3
x y− 1 z + 3

=
=
=
Bài 16. Cho 2 đt d1:
và d2: =
.
3
2
−2
1
1
2
a/ Hãy xét vị trí tương đối của d1, d2.
b/ Tìm tọa độ giao điểm I của d1, d2.
c/ Lập pttq của mp chứa d1, d2.
x − 2 y− 3 z + 4
x + 1 y− 4 z − 4
=
=
=
=
Bài 17. Cho 2 đường thẳng d1:
và d2:
. Tìm ptct của đường
2
3
−5
3
−2
−1

vuông góc chung của 2 đt d1, d2. Tìm tọa độ giao điểm H, K của d lần lượt với d1, d2.
x = 1
 x = −3u


Bài 18. Cho 2 đt chéo nhau có pt là m:  y = −4 + 2t ,
n:  y = 3+ 2u
 z = 3+ t
 z = −2


a/ Tình khoảng cách giữa 2 đt m, n.
b/ Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt m, n.
 x = 2+ t
 x = 2 − 2t '


Bài 19. Cho 2 đt d:  y = 1− t và d’:  y = 3
 z = 2t
 z = t'


a/ Cm d, d’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau.
b/ Lập pt đường vuông góc chung của d, d’. Tìm tọa độ giao điểm của đương vuông góc chung với d, d’.
c/ Viết pttq của mp cách đều d và d’.
x − 2 y+ 2 z − 1
x − 7 y− 3 z − 9
x + 1 y+ 3 z − 2
=
=

=
=
=
=
Bài 20. Cho 3 đt d1:
; d2:
; d3:
. Lập pt đt d
3
4
1
1
2
−1
3
−2
−1
cắt d1, d2 và ssong với d3.
Bài 21. Hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0,1,1) vuông góc với đường thẳng
 x = −1
x −1 y + 2 z

=
= và cắt đường thẳng  y = 1 + t
3
1
1
z = 3 + t

Bài 22. Trong kg Oxyz, cho 2 đường thẳng d và d’ lần lượt có các pt

 x = 1 + 2t

d ' :  y = 2 + t và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
 z = −3t


d:

x −1 y +1 z
=
=
2
1
−1

1. Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
3. Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Tìm toạ độ các chân đường vuông góc
chung ấy.
4. Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
x−7 y −3 z −9
=
=
Bài 23. Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 :
,
1
2
−1
x − 3 y −1 z −1

d2 :
=
=
. Hãy lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2.
−7
2
−3
Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 - 10x + 2y + 26z - 113 = 0 và song song với
x + 5 y − 1 z + 13
x + 7 y +1 z − 8
=
=
=
=
2 đường thẳng d1 :
, d2 :
2
−3
2
3
−2
1
Trang 24

srg1505873091.doc


Bài 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (∆) , (∆' ) lần lượt có phương trình
x = 3 + t
 x = −2 + t



∆ :  y = −1 + 2t , ∆ ' :  y = t
z = 4
 z = 2 + 2t


a. Chứng minh rằng: (∆) , (∆' ) chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa (∆) , (∆' )
c. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa (∆) , (∆' )
x − 13 y + 1 z
=
= và tiếp xúc
Bài 25. Thiết lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
−1
1
4
với mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-4y-6z-67=0.
Bài 26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-6y-4z=0
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu .
2. Gọi A, B,C là giao điểm (khác O) của (S) với các trục Ox, Oy, Oz. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu
(S) đến mặt phẳng (ABC).
2
Bài 27. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) :2x + 2y + z − m − 3m= 0( m tham sè) và mặt cầu

( S) : ( x − 1) 2 + ( y+ 1) 2 + ( z − 1) 2 = 9. Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). Với m vừa tìm được, hãy xác định
tọa độ của tiếp điểm của (P) và (S).
x = 3
 x = 1 − 2t '



Bài 28. Trong không gian cho Oxyz, cho 2 đường thẳng: d1 :  y = 2 − 2t , d 2 :  y = 2 + t '
z = t
 z = 1 + 2t '


1. Chứng minh rằng d1 không cắt d2 nhưng d1 vuông góc d2.
2. Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d1, (α ) vuông góc d2, mặt phẳng ( β ) chứa d2 và ( β ) vuông góc
d1 .
3. Tìm giao điểm của d2 và (α ) , d1 và ( β ) . Suy ra phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
với d1, d2 .
Bài 29. Cho mặt phẳng (α ) : 6x+3y+2z-6=0
1. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng (α )
2. Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua (α )
Bài 30. Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 6x + 4y - 2z - 86 = 0 và mặt phẳng (α ) : 2x - 2y - z + 9 = 0.
1. Định tâm và bán kính mặt cầu .
2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với (α ) .
3. Chứng tỏ (α ) cắt mặt cầu (S). Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.
Bài 31. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) qua đi gốc toạ độ O và 3 điểm A(2,0,0), B(0,-1,0),
C(0,0,3).
a. Xác dịnh tâm và bán kính mặt cầu (S).
b. Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua A, B, C.
c. Lập phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và (α ) . Tính bán kính đường tròn này.
x − 12 y − 9 z − 1
=
=
Bài 32. Cho đường thẳng (d ) :
và mặt phẳng (α ) : 3x+5y-z-2=0.
4
3

1
1. Chứng minh (d) cắt (α ) .Tìm giao điểm của chúng.
2. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua M(1;2;1) và ( β ) ⊥ d
3. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (α ) .
x = 3 + t
x −1 y + 3 z − 4

=
=
Bài 33. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 :  y = −1 + t và ∆ 2 :
−2
1
5
 z = −t

a.Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2
b.Viết phương trình mặt phẳng song song với 2 đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và cách đều ∆ 1 , ∆ 2
Trang 25

srg1505873091.doc