Một số đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TP.HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
MÔN XÁC XUẤT THỐNG KÊ

Chuyên đề:
Một số đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên

Giảng viên hướng dẫn: Dương Hoàng Kiệt
Sinh viên thực hiện: Nhóm 9
Thời gian hoàn thành: 6/11/2015


Kế hoạch làm việc nhóm 9
STT

Họ và Tên

Nội dung công việc

Thời gian hoàn
thành

1

2

Trần Đình Trọng

Phương sai của biến ngẫu nhiên – ý nghĩa và tính chất. Lấy 3 – 5 ví dụ minh họa.

2002140339

Slide trang bìa

Ngụy Trúc Đoan

Slide đặt vấn đề, Slide kết luận vấn đề

2005140790

Một số ứng dụng thực tế (bằng ví dụ cụ thể).

1/11/2015

1/11/2015

Thuyết trình.

3

Trần Văn Phúc

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên – ý nghĩa và tính chất

2003140329

ví dụ minh họa

1/11/2015

4

Trần Minh Tâm

Phân phôi cua biên ngâu nhiên- hàm m ât đ ô. Vi du minh họa

1/11/2015

Võ Văn Sơn

Tìm hiểu về biên ngâu nhiên.

1/11/2015

2002140313

Trình bày Powerpoint .

Nhóm

Tông kết, trình bày, nôp bài

2002140281

5

6

6/11/2015


Mở đầu

•

Khi nghiên cứu các biến cố cùng loại (cùng tính chất) người ta dùng đến khái
niệm biến cố ngẫu nhiên.

•

Ngoài các phân phối biến ngẫu nhiên, để thuận lợi hơn trong tính toán, người ta
thường dùng các đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng và phương
sai.


•

Vd1. đề thi gồm 2 câu, mỗi câu trả lời đúng được 5đ trả lời sai không có điểm,
giả sử việc trả lời mỗi câu là độc lập, khả năng đúng mỗi câu là 0,7. Số điểm kỳ
vọng đạt được?

•

Vd2.Điểm trung bình các môn học của Nam như sau: 3, 5, 7, 10, 9, 7, 8. Khi đó
phương sai điểm của Nam là ?


Biến ngẫu nhiên

•

Khái niệm:

-Biến ngẫu nhiên (Bnn) là một đại lượng nhận giá trị là một số ngẫu nhiên theo kết
qủa của một phép thử nào đó.
-Bnn thường được kí hiệu X,Y,Z...hoặc X1,...Xn...


•

Vd3:

-Số nút xuất hiện khi gieo một con xúc sắc
-Tuôi thọ của một bóng đèn
-Số khách hàng đến mua quần áo
-Sai số khi đo vận tốc xe chạy
-Số cuộc gọi đến tông đài


2.Phân loại

•
•

Bnn rời rạc là bnn có tập giá trị có thể đánh số thứ tự (x1,x2,x3...xn)

•

Vd4: Phân biệt biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc trong vd3?

Bnn liên tục là bnn có tập giá trị lấp đầy một hoặc một số khoảng số thực nào đó
thậm chí toàn bộ số thực

Đáp án: 1,3,5-là bnn rời rạc; 2,4 là bnn liên tục


II.Phân phối xác suất của BNN

•

2.1.Bảng phân phối xác suất của bnn rời rạc

Đặt pi=P(X=xi) thì

{x

x

}

n ,... hệ đầy đủ.
.Họ các bc {(X=xi):1,...,
i=1,2,3...}là

Giả sử X là BNNRR có tập giá trị

.Ta gọi bảng sau là bảng phân phối xác suất của X:

∑ i. p

i

X

X1

P

P1

=1

X2

p2

…

…

Xn …

Pn ...


•

Từ bảng PPXS của X ta có:

∑

P (a < X < b) =

•

a < X
pi

Vd5: Chọn ngẫu nhiên 3 người trong nhóm gồm 8nam và 2nữ.Gọi X là số nữ
trong 3nhóm được chọn.Lập bảng PPXS của X.

X

0

1

2

P

7/15

7/15

1/15

2.2.Hàm mật độ xác suất của bnn liên tục
Cho X là BNN liên tục người ta chứng minh được rằng tồn tại hàm số f(x) xác định
trên R sao cho:
1.
2. f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡
3.
+∞
f ( xvậy
)dxđược
= 1 gọi là hàm mật độ xác suất(hàm mật độ)của X
Hàm f(x) như
−∞
Ngược lại mọi hàm thoả
b mãn tính chất 1 và2 đều là hàm mật độ của một biến
(a ≤ Xnào
< bđó
) = f ( x ) dx, ∀a, b ∈ ¡
ngẫuPnhiên

•
•
•
•
•

∫

∫

a


•
•

2.3Hàm phân phối xác suất của bnn

•
•
•

-Nhận xét

-Đ/n.Hàm phân phối xác suất của bnn X,kí hiệu F(x),được xác định:

X rời rạc, P(X=xi)=pi thì:

( )

(

Ftục,có
x hàm=mật
Pđộ f(x)
X thì:
<
X liên

x ) , ∀x ∈ ¡ .

F

(

x) =

∑p

i

xi<1

F ( x) = ∫

x

−∞

f ( t ) dt


Tính chất của hàm phân phối:
1.
2.

( )

F(x) 0
không
giảm,xliên≤

tục1trái
≤F
, ∀x ∈ ¡

; F ( −∞ ) = 0, F ( +∞ ) = 1

3.

P (a ≤ X < b) = F (b) − F ( a )


Các đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên

•

Các đặc trưng cho xu hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng, trung vị,
mode,…

•

Các đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên: Phương sai, độ lệnh chuẩn,
…


Kỳ vọng: (Expectation)

•

 

•

 
X

-1

69

P

0,99

0,01


•

 


Kỳ vọng hàm của biến ngẫu nhiên:

•

 


•

VD8: Cho BNN có bảng PPXS:
X

-1

0

1

2

P

0,1

0,3

0,35

0,25

2
Tính EY với Y = X – 3 ?
ĐA :
Y

-2

-3

-2

1

P

0.1

0.3

0.35

0.25

EY = -2*0.1-3*0.3-2*0.35+1*0.25=-1.55


Phương sai của biến ngẫu nhiên

•

Định nghĩa:

Phương sai của BNNX được kí hiệu: DX (hay VarX) xác định bởi:

DX
Erạc
( Xvà − EX)thì: = E ( X ) − (EX)
• Nếu

BNN X=là rời
2

2

P ( X = xi ) = pi

2



DX = ∑ x . pi −  ∑ xi . pi ÷
i
 i

2
i

2


•Nếu BNN X là liên tục và có hàm mật độ f(x) thì:
DX = ∫

+∞

−∞

x 2 f ( x ) dx −

(∫

+∞

−∞

x. f ( x ) dx

)

2

•Ý nghĩa:
-Phương sai cho ta hình ảnh về sự phân tán của

các số liệu: phương sai càng nhỏ thì số liệu
càng tập trung quanh trung bình của chúng.
Trong Kĩ thuật phương sai đặc trưng cho sự sai
số của thiết bị. Trong kinh doanh đặc trưng cho
mức độ rủi ro
Độ lệch tiêu chuẩn( standard deviation):

-

σ =

DX


•

Vd9: Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:

X

1

2

3

Đ/S:D(X)=
0.41
P
0.1
0.5
0.4
Vd10: Tính phương sai của X, biết hàm mật độ:

•

Giải :
D(X)= E(X2)-(E(X))2=


f ( x) = 


3 2
( x + 2 x ), x∈[x 0;1]

4
0, x∉[0;1]

2

21  11 
67
− ÷ =
≈ 0.052
40  16  1280


•

 

D( X ± Y ) = D ( X ) + D(Y )


Các đặc trưng khác

•
•

Mode: X là BNN thì ModX là giá trị x ứng với xác suất lớn nhất hay tại đó hàm
mật độ xác xuất có giá trị lớn nhất.
Trung vị: là giá trị ở giữa chia dữ liệu thành 2 phần bằng nhau

-Với BNN rời rạc:
nếu

-Với BNN liên tục: MedX=x0 nếu F(x0)=1/2

MedX = xi

F ( xi ) ≤ 1/ 2 ≤ F ( xi +1 )


•

vd13.Theo thống kê cứ 1 năm của một địa phương cứ 1000 xe máy thì có 1 xe tai
nạn.Công ty A bán bảo hiểm cho 1 xe giá 100ngàn đồng và tiền trả bảo hiểm là
10triệu đồng. Trung bình công ty A là bao nhiêu trong hợp đồng? Giải:

•

Gọi X là số tiền công ti nhận được:

•

E(X)=0,1.(999/1000)-(9,9.1/1000)=0,09

X (triệu)
P

0,1
999/1000

- 9,9
1/1000