Phân lớp các phạm trù PICARD phân bậc và ứng dụng

UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
----------------------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHÂN LỚP CÁC PHẠM TRÙ PICARD
PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG
Mã số: CS2013-11

Chủ nhiệm đề tài: ThS. Chế Thị Kim Phụng

TP. Hồ Chí Minh, 03/2014


UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
----------------------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHÂN LỚP CÁC PHẠM TRÙ PICARD
PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG
Mã số: CS2013-11

Chủ nhiệm đề tài: ThS. Chế Thị Kim Phụng

TP. Hồ Chí Minh, 03/2014


i

MỤC LỤC

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1. Phạm trù Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Phạm trù Picard phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun

8

. . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng 10

2.1. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard

. . . . . . . . . . . 10

2.2. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard kiểu (M, N ) . . . . . . 16
2.3. Mở rộng Γ-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận

28

Tài liệu tham khảo

29


1

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
Vào đầu những năm 1940, lý thuyết phạm trù và hàm tử đầu tiên được
giới thiệu bởi nhà toán học người Mỹ Mac Lane và nhà toán học người Ba lan
Eilenberg và các kết quả này được công bố trong Eilenberg và Mac Lane [11, 12].
Sau đó, vấn đề này tiếp tục được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, điển
hình là các nghiên cứu của Mac Lane [23, 24, 25], Buchsbaum [3, 4, 5], Freyd
[26], Gabriel [16], Lubkin [22], Heller [18], Eilenberg [14], ....
Phạm trù với tích tenxơ được nghiên cứu bởi Bénabou [1] và Kelly [19], Mac
Lane [27], .... Các tác giả này đã xét phạm trù trên đó có trang bị phép toán
⊗ cùng với ràng buộc kết hợp, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải.

Năm 1971, Mac Lane [30] đã bổ sung một số điều kiện khớp cho các ràng buộc
được trang bị trong một phạm trù cùng với tích tenxơ và đưa ra khái niệm phạm
trù monoidal cho lớp phạm trù này. Phạm trù monoidal trở thành phạm trù với
cấu trúc nhóm khi được bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (xem Laplaza
[21] và Rivano [33]). Hơn nữa, nếu phạm trù nền bao gồm các mũi tên đẳng cấu
thì ta được một phạm trù monoidal giống nhóm hay Gr-phạm trù (xem Fr¨ohlich
và Wall [15] và H. X. Sính [34]).
Lý thuyết phạm trù monoidal phân bậc đã được giới thiệu bởi Fr¨ohlich và
Wall [15], nó là sự mở rộng của lý thuyết phạm trù monoidal khi nhóm Γ được
bổ sung. Sau đó, bài toán về phân lớp các phạm trù monoidal phân bậc đã
được giải quyết bởi Cegarra, Garzon và Ortega [6]. Một số kết quả gần đây theo
hướng nghiên cứu này thuộc về Cegarra, Garzón và Ortega [7, 8], Vitale [35],
Cegarra và Khmaladze [9, 10], N. T. Quang [32].


2

2. Tính cấp thiết của đề tài
Lý thuyết phạm trù và hàm tử là một lĩnh vực quan trọng của đại số hiện
đại, nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những
kết quả quan trọng. Một trong những vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu
của lý thuyết phạm trù và hàm tử là bài toán nghiên cứu về cấu trúc của một
số dạng phạm trù monoidal. Trong thời gian gần đây, vấn đề này đã được nhiều
nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Qua một thời gian tìm hiểu, chúng tôi nhận
thấy rằng nó đang là một hướng mở và có thể tiếp tục nghiên cứu và phát triển,
chẳng hạn nghiên cứu về bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và
ứng dụng. Bên cạnh đó, việc giải quyết bài toán phân lớp các phạm trù Picard
và ứng dụng sẽ tạo ra một hướng nghiên cứu tốt cho giảng viên và sinh viên
Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn.
3. Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và ứng dụng.
4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
4.1. Cách tiếp cận
- Tiếp cận hệ thống: Đọc các tài liệu có liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu
của đề tài, đặc biệt là các bài báo đã được công bố trên các tạp chí khoa học
quốc tế xuất bản trong thời gian gần đây.
- Tiếp cận định tính: Xét cấu trúc đặc trưng của hệ nhân tử đối với phạm
trù Picard để giải quyết bài toán phân lớp các phạm trù Picard phân bậc.
4.2. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo;
- Trao đổi thông tin với Người hướng dẫn, nhóm nghiên cứu và các tác giả
khác có cùng hướng nghiên cứu; viết bài cho các tạp chí khoa học để kiểm tra
kết quả nghiên cứu.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu: Phạm trù Picard phân bậc.
5.2. Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết phạm trù monoidal và đại số đồng điều.


3

6. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương.
Chương 1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm một số khái niệm cơ
bản và kết quả bổ trợ có liên quan đến nội dung của chương tiếp theo. Mục 1.1
trình bày về phạm trù Picard. Mục 1.2 được dành để trình bày về phạm trù
Picard phân bậc. Mục 1.3 đề cập đến đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun.
Chương 2 phân lớp các phạm trù Picard phân bậc bằng phương pháp hệ nhân
tử. Mục 2.1 chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đương với mở
rộng tích chéo của một hệ nhân tử F : Γ → Z3s lấy hệ tử trong phạm trù Picard
kiểu (π0 P, π1 P) (Định lý 2.1.5). Mục 2.2 chứng minh rằng phạm trù Picard phân

bậc P cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm aben M = π0 P, N = π1 P
3 (M, N ) (Định lý 2.2.2).Mục
và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s

2.3 trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal
đối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2).


4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạm
trù Picard (xem H. X. Sính [34]), phạm trù Picard phân bậc và đối đồng điều
đối xứng của các Γ-môđun (xem Cegarra và Khmaladze [9]). Những nội dung
này làm cơ sở cho chương tiếp theo.

1.1. Phạm trù Picard
1.1.1 Định nghĩa. Một phạm trù monoidal đối xứng là một ⊗-phạm trù C
cùng với vật đơn vị I và các đẳng cấu tự nhiên a = (aX,Y,Z ), c = (cX,Y ), l = (lX )
và r = (rX ) với X, Y, Z ∈ C , trong đó
∼

aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z −→ X ⊗ (Y ⊗ Z),
∼

cX,Y : X ⊗ Y −→ Y ⊗ X,
∼

lX : I ⊗ X −→ X,
∼

rX : X ⊗ I −→ X,
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
aX,Y,Z⊗T ◦ aX⊗Y,Z,T = (idX ⊗ aY,Z,T ) ◦ aX,Y ⊗Z,T ◦ (aX,Y,Z ⊗ idT ),
(idX ⊗ lY ) ◦ aX,I,Y = rX ⊗ idY ,

cX,Y ◦ cY,X = idX⊗Y ,
(idY ⊗ cX,Z ) ◦ aY,X,Z ◦ (cX,Y ⊗ idZ ) = aY,Z,X ◦ cX,Y ⊗Z ◦ aX,Y,Z .

Các đẳng cấu tự nhiên a, c, l và r tương ứng được gọi là ràng buộc kết hợp,
ràng buộc giao hoán, ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải.


5

Giả sử C và C là hai phạm trù monoidal đối xứng. Một hàm tử monoidal đối
xứng từ C đến C là bộ ba (F, F , F ) bao gồm:
(i) hàm tử F : C → C ,
∼

(ii) đẳng cấu hàm tử F = (FX,Y ) với FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y ,
∼

(iii) mũi tên đẳng cấu F : F I → I sao cho với mọi vật X, Y, Z ∈ C , các điều
kiện khớp sau được thỏa mãn:
FX⊗Y,Z ◦ (FX,Y ⊗ idF Z ) ◦ aF X,F Y,F Z = F (aX,Y,Z ) ◦ FX,Y ⊗Z ◦ (idF X ⊗ FY,Z ),
FX,I ◦ (idF X ⊗ F ) ◦ rF X = F (rX ) , FI,X ◦ (F ⊗ idF X ) ◦ lF X = F (lX ),
FX,Y ◦ cF X,F Y = F (cX,Y ) ◦ FY,X .

Hàm tử monoidal đối xứng (F, F , F ) từ phạm trù monoidal đối xứng C đến
phạm trù monoidal đối xứng C được gọi là tương đương monoidal đối xứng nếu
F : C → C là một hàm tử tương đương.

Khi đó, hai phạm trù monoidal đối xứng C và C được gọi là tương đương
monoidal đối xứng với nhau.
Giả sử (F, F , F ) và (G, G, G) là hai hàm tử monoidal đối xứng từ phạm trù
monoidal đối xứng C đến phạm trù monoidal đối xứng C . Mũi tên hàm tử
θ : F −→ G được gọi là một mũi tên hàm tử monoidal đối xứng nếu
GX,Y ◦ θX⊗Y = θX ⊗ θY ◦ FX,Y , G ◦ θI = F .

Mũi tên hàm tử monoidal đối xứng được gọi là một đẳng cấu hàm tử monoidal
đối xứng nếu mũi tên θ là một đẳng cấu hàm tử.
1.1.2 Định nghĩa. Một phạm trù monoidal đối xứng được gọi là một phạm
trù Picard (hay Pic-phạm trù ) nếu mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều
đẳng cấu.
Nếu (F, F , F ) là một hàm tử monoidal đối xứng giữa hai phạm trù Picard thì
đẳng cấu F : F I → I được suy ra từ F và F , bởi vậy ta có thể bỏ qua F khi
không cần thiết.


6

Giả sử P là một Pic-phạm trù, Π0 (P) là một nhóm aben các lớp vật đẳng cấu
của P và Π1 (P) = Aut(0) là một nhóm aben các tự đẳng cấu của vật đơn vị 0.
Các phần tử trung hòa của Π0 (P) và Π0 (P) đều được ký hiệu bởi 0.
Xây dựng phạm trù S bao gồm các vật là các phần tử có dạng x ∈ Π0 (P), và
các mũi tên là những tự đẳng cấu có dạng (x, u) : x → x với mọi u ∈ Π1 (P). Phép
hợp thành của các mũi tên cho bởi

(x, u) ◦ (x, v) = (x, u + v).

Phép toán ⊗ cho bởi
x ⊗ y = x + y,
(x, u) ⊗ (y, v) = (x + y, u + v).

Ràng buộc đơn vị là chặt chẽ (theo nghĩa lx = rx = idx ). Ràng buộc kết hợp a
và ràng buộc giao hoán c liên kết với hàm ξ và η thỏa mãn các đẳng thức:
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0,

(1.1.1)

ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z)η(x, y) − η(x, z) = 0,

(1.1.2)

η(x, y) + η(y, x) = 0

(1.1.3)

và thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc
ξ(0, y, t) = ξ(x, 0, y) = ξ(x, y, 0) = 0.

Phạm trù S được xây dựng như trên là một Pic-phạm trù và được gọi là Picphạm trù thu gọn của Pic-phạm trù P hay được gọi là Pic-phạm trù kiểu (Π, A),
trong đó Π = Π0 (P) và A = Π1 (P) và ký hiệu S = (Π, A).
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử P và P là các Pic-phạm trù, S = (Π, A) và S =
(Π , A ) lần lượt là những Pic-phạm trù thu gọn của P và P . Một hàm tử F :

S → S được gọi là một hàm tử kiểu (ϕ, f ) nếu tồn tại một cặp các đồng cấu
nhóm

ϕ:Π→Π, f :A→A

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
F (x) = ϕ(x) , F (x, u) = (ϕ(x), f (u)).


7

1.1.4 Định lý. Giả sử S = (Π, A) và S = (Π , A ) là những Pic-phạm trù thu
gọn của P và P , F = (F, F , F ) là một hàm tử monoidal đối xứng từ S đến S .
Khi đó, F là hàm tử kiểu (ϕ, f ).

1.2. Phạm trù Picard phân bậc
Giả sử Γ là một nhóm. Ta xem Γ như một phạm trù với một vật ∗, mũi tên
là các phần tử của Γ và phép hợp thành là phép toán nhóm. Khi đó phạm trù
C cùng với hàm tử gr : C → Γ được gọi là một Γ-phạm trù (hay phạm trù phân

bậc). Hàm tử gr : C −→ Γ được gọi là một Γ-phân bậc trên C . Nếu f : X −→ Y là
một mũi tên của phạm trù C và gr(f ) = σ thì σ được gọi là bậc của mũi tên f và
f được gọi là σ -mũi tên. Γ-phân bậc gr được gọi là Γ-phân bậc ổn định nếu với

mỗi X ∈ Ob(C) và mỗi σ ∈ Γ tồn tại một mũi tên đẳng cấu u trong C với nguồn
X sao cho gr(u) = σ .

Giả sử (C, gr) là một Γ-phạm trù. Ta ký hiệu C ×Γ C là một phạm trù con của
phạm trù tích C × C mà các vật là các vật (X, Y ) của C × C và các mũi tên là các
cặp mũi tên (f, g) của C × C sao cho gr(f ) = gr(g).
Khi đó C ×Γ C cùng với hàm tử gr : C ×Γ C → Γ cũng là một Γ-phạm trù với
gr (f, g) = gr(f ) = gr(g).

1.2.1 Định nghĩa. Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc đối xứng bao gồm một
phạm trù C , một Γ-phân bậc ổn định gr : C → Γ, các hàm tử Γ-phân bậc
∼

⊗ : C ×Γ C → C , I : Γ → C và các đẳng cấu tự nhiên bậc 1 aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z →
∼

∼

∼

X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X và cX,Y : X ⊗ Y → Y ⊗ X , với
I = I(∗) thỏa mãn các điều kiện khớp của một phạm trù monoidal đối xứng.

Giả sử C và C là hai Γ-phạm trù monoidal đối xứng. Một Γ-hàm tử monoidal
đối xứng (F, F , F ) : C → C là là một bộ ba (F, F , F ) bao gồm:
(i) một Γ-hàm tử F : C → C ,
(ii) một đẳng cấu tự nhiên bậc 1: F = (FX,Y ) với
FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y,


8

(iii) một mũi tên đẳng cấu bậc 1: F : F I → I sao cho các điều kiện khớp của
một hàm tử monoidal đối xứng thỏa.
Giả sử rằng (F, F , F ), (G, G, G) là hai hàm tử monoidal đối xứng phân bậc.
Một tương đương tự nhiên monoidal đối xứng phân bậc là một tương đương tự
∼

nhiên phân bậc θ : F → G sao cho với mọi vật X, Y ∈ C các điều kiện khớp sau

đúng
GX,Y ◦ θX⊗Y = θX ⊗ θY ◦ FX,Y , G ◦ θI = F .

(1.2.1)

1.2.2 Định nghĩa. Một phạm trù Picard phân bậc là một phạm trù monoidal
phân bậc đối xứng sao cho mọi mũi tên đều đẳng cấu và với mỗi vật X đều tồn
∼

tại vật X cùng với mũi tên đẳng cấu bậc 1: X ⊗ X −
→ I.
Khi đó phạm trù con KerP của phạm trù Picard phân bậc P có vật là các
vật của P và các mũi tên là những mũi tên bậc 1 trong P , là một phạm trù
Picard.

1.3. Đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun
n (M, N ) với
Cho M và N là hai Γ-môđun. Nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,s

n ≤ 3 (xem [10]) chính là nhóm đối đồng điều của dãy phức bị chặn
∂

∂

1
2
3
0 −→ CΓ,ab
(M, N ) −→ CΓ,ab
(M, N ) −→ ZΓ,ab

(M, N ) −→ 0,
1 (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc
trong đó CΓ,ab

f : M → N,
2 (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc
CΓ,ab

g : M 2 ∪ (M × Γ) → N
3 (M, N ) bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc
và ZΓ,ab

h : M 3 ∪ (M |M ) ∪ (M 2 × Γ) ∪ (M × Γ2 ) → N

thoả mãn các điều kiện của 3-đối chu trình
h(y, z, t) + h(x, y + z, t) + h(x, y, z) = h(x + y, z, t) + h(x, y, z + t),

(1.3.1)


9
h(x|z) + h(y, x, z) + h(x|y) = h(y, z, x) + h(x|y + z) + h(x, y, z),
h(x|y) = −h(y|x),

(1.3.2)
(1.3.3)

σh(x, y, z)+h(x+y, z, σ)+h(x, y, σ) = h(σx, σy, σz)+h(y, z, σ)+h(x, y+z, σ), (1.3.4)
h(σx|σy) + h(y, x, σ) = σh(x|y) + h(x, y, σ),

(1.3.5)

σh(x, y, τ ) + h(τ x, τ y, σ) + h(x, σ, τ ) + h(y, σ, τ ) = h(x + y, σ, τ ) + h(x, y, στ ), (1.3.6)
σh(x, τ, γ) + h(x, σ, τ γ) = h(x, στ, γ) + h(γx, σ, τ ),

(1.3.7)

với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ, γ ∈ Γ.
2 (M, N ), đối bờ ∂g được cho bởi:
Với mỗi g ∈ CΓ,ab

(∂g)(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y),
(∂g)(x|y) = g(x, y) − g(y, x),
(∂g)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − g(y, σ) + g(x + y, σ) − g(x, σ),
(∂g)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ),

với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ ∈ Γ.

(1.3.8)
(1.3.9)
(1.3.10)
(1.3.11)


10

CHƯƠNG 2
PHÂN LỚP PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC
VÀ ỨNG DỤNG

Phạm trù Picard phân bậc đã được giới thiệu bởi Cegarra và Khmaladze [9]
và là sự khái quát lên của khái niệm phạm trù Picard (xem H. X. Sính [34])
khi đưa vào cấu trúc phân bậc của Fr¨ohlich và Wall [15]. Cegarra và Khmaladze
[9] đã xây dựng đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun (mà trường hợp riêng
là đối đồng điều đối xứng của Eilenberg-MacLane) để phân lớp các phạm trù
Picard phân bậc và phân lớp các mở rộng Γ-môđun.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phạm trù Picard phân bậc thông qua
lý thuyết hệ nhân tử (hay giả hàm tử) của Grothendieck [17]. Trước hết, chúng tôi
trình bày lý thuyết hệ nhân tử trong phạm trù Picard phân bậc. Thứ hai, chúng
tôi chứng minh rằng mỗi hệ nhân tử khá chặt chẽ (F = (S, F σ , θσ,τ ) : Γ → Z3s
cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn hóa
3 (M, N ) (Định lý 2.2.1). Kết quả này chỉ ra các cấu trúc Γ-môđun trên
hF ∈ ZΓ,s

M, N và 3-đối chu trình h được cảm sinh trực tiếp từ giả hàm tử. Kết quả quan

trọng thứ ba là lý thuyết Schreier cho các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm
tử monoidal đối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2).

2.1. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard
Cegarra và các cộng sự [6] đã sử dụng lý thuyết hệ nhân tử của Grothendieck
[17] để nghiên cứu các mở rộng phân bậc của phạm trù monoidal. Nhưng sau
đó họ đã không tiếp tục sử dụng phương pháp này trong bài báo về nhóm phạm
trù phân bậc [7] và phạm trù Picard phân bậc [10]. N. T. Quang [32] đã phát
triển lý thuyết hệ nhân tử cho các nhóm phạm trù phân bậc và thu được các


11

kết quả quan trọng.

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết hệ nhân tử trong các phạm
trù Picard phân bậc. Trước hết, chúng tôi ký hiệu Pic là phạm trù của các phạm
trù Picard và các hàm tử monoidal đối xứng giữa chúng.
2.1.1 Định nghĩa. Một hệ nhân tử đối xứng F trên Γ với các hệ tử trong phạm
trù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tự tương
đương monoidal đối xứng F σ : P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữa các hàm
tử monoidal đối xứng θσ,τ : F σ F τ → F στ với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện:
(i) F 1 = idP ;
(ii) θ1,σ = idF σ = θσ,1 , σ ∈ Γ;
(iii) Với mọi σ, τ, γ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán
θσ,τ F γ

F σ F τ F γ −−−−→ F στ F γ
σ τ,γ

F θ




F σF τγ



θσ,τ γ

−−−→

θστ,γ

(2.1.1)

F στ γ

Ta viết F = (P, F σ , θσ,τ ) và ký hiệu đơn giản là (F, θ).
Hệ nhân tử đối xứng F được gọi là một hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ
nếu F σ = id với mọi σ ∈ Γ.
Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc cảm sinh một
hệ nhân tử lấy hệ tử trong một phạm trù Picard.
2.1.2 Mệnh đề. Mỗi phạm trù Picard phân bậc (P, gr) cảm sinh một hệ nhân
tử đối xứng F : Γ → Pic.
Chứng minh. Với mỗi σ ∈ Γ, ta dựng một hàm tử monoidal đối xứng F σ =
(F σ , F σ ) : KerP →KerP như sau.

Với mỗi X ∈ KerP, vì phân bậc gr là ổn định nên tồn tại mũi tên đẳng cấu
∼

ΥσX : X → F σ X , trong đó F σ X ∈ KerP và gr(ΥσX ) = σ . Đặc biệt, khi σ = 1 thì ta

lấy F 1 X = X và Υ1X = idX . Với mỗi mũi tên f : X → Y bậc 1 trong KerP , mũi
tên F σ (f ) trong KerP được xác định duy nhất bởi biểu đồ giao hoán sau


12

Υσ

X
X −−−
→ F σX

f


F σ (f )




(2.1.2)

Υσ

Y
Y −−−
→ F σY

∼

σ
: F σ X ⊗ F σ Y −→ F σ (X ⊗ Y ) được xác định duy
Các đẳng cấu tự nhiên FX,Y

nhất bởi tính giao hoán của các biểu đồ
σ
FX,Y

F σ (X ⊗ Y )

✲

❍
❨
❍❍
❍

ΥσX⊗Y

✟

F σX ⊗ F σY

(2.1.3)

✯
✟
✟✟σ

ΥX ⊗ΥσY

X ⊗Y

Hơn nữa, với mỗi cặp σ, τ ∈ Γ tồn tại một đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal:
∼

θσ,τ : F σ F τ −→ F στ với θ1,σ = idF σ = θσ,1 được xác định bởi tính giao hoán của

biểu đồ
X

Υτ

X
−−−
→

FτX



Υστ


Υσ τ

X

(2.1.4)

F X

θσ,τ

X
F στ X ←−
−− F σ F τ X

với mọi X ∈ P .
Như vậy, cặp (F, θ) xác định như trên là một hệ nhân tử được cảm sinh từ
nhóm phạm trù Picard phân bậc P .

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng từ hệ nhân tử đối xứng F = (P, F σ , θσ,τ ), ta có thể
xây dựng một phạm trù Picard phân bậc. Phạm trù này được gọi là mở rộng
tích chéo của F và được ký hiệu là P = ∆F .
Ta đặt Ob(∆F) = ObP. Mũi tên X → Y trong ∆F là cặp (a, σ), trong đó
(a,σ)

a

(b,τ )

F σ X → Y là mũi tên trong P. Với σ, τ ∈ Γ thì hợp thành X → Y → Z là mũi

tên (c, τ σ) : X → Z với c được xác định một cách tự nhiên theo biểu đồ giao
hoán sau

F τ (a)

F τ F σ X −−−→ F τ Y
τ,σ
θX




F τσX




b

−−−→

Z

nghĩa là
τ,σ −1
(b, τ ) · (a, σ) = (b · F τ (a) · (θX
) , τ σ).


13

Từ các điều kiện chuẩn tắc và điều kiện đối chu trình của F , ta suy ra phép
hợp thành của các mũi tên trong ∆F có tính kết hợp và phần tử đơn vị. ∆F là
phạm trù Picard Γ-phân bậc với hàm tử gr : ∆F → Γ cho bởi
(a,σ)

X → ∗; (X → Y ) → σ.

Tenxơ Γ-hàm tử ⊗ : ∆F ×Γ ∆F −→ ∆F được xác định
(a,σ)

(b,σ)

(d,σ)

(X → Y ) ⊗ (X → Y ) = (X ⊗ X → Y ⊗ Y ),

trong đó d được xác định bởi hợp thành

F σ (X ⊗ X )

(F σ )−1

→

a⊗b

F σX ⊗ F σX → Y ⊗ Y .

Γ-hàm tử I : Γ → ∆F cho bởi
σ

∗ → IP ; (∗ → ∗) → (I

((F∗σ )−1 ,σ)

→

I).

Các ràng buộc kết hợp, đối xứng, đơn vị trái và đơn vị phải: a, c, l, r trong ∆F
lần lượt là
aX,Y,Z = (aX,Y,Z , 1), cX,Y = (cX,Y , 1), lX = (lX , 1), rX = (rX , 1),

trong đó aX,Y,Z , cX,Y , lX , rX là các ràng buộc của phạm trù Picard P.
2.1.3 Mệnh đề. Mỗi phạm trù Picard Γ-phân bậc P tương đương với một mở
rộng tích chéo ∆F , với F là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong Ker P .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.2, từ phạm trù Picard Γ-phân bậc P ta có thể
xây dựng một hệ nhân tử F lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P . Ta chứng

tỏ rằng mở rộng tích chéo ∆F tương đương với P .
Xét tương ứng sau:
H:

−→
−→

∆F
X
(X

(a,σ)

✲

Y)

−→

P
Xσ

(X

a.ΥX

✲

Y)

Dễ dàng thấy H là một Γ-hàm tử. Đặt HX,Y = idX⊗Y . Khi đó (H, H) là một
Γ-hàm tử monoidal đối xứng. Hơn nữa, (H, H) là một Γ-tương đương.


14

2.1.4 Mệnh đề. Nếu G : P → P là một tương đương monoidal đối xứng của
hai phạm trù Picard thì mỗi hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong P cảm sinh
một hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong P . Hơn nữa, các mở rộng tích chéo
tương ứng là Γ-tương đương.
Chứng minh. Gọi H : P → P là một tương đương monoidal đối xứng sao cho
β :H ◦G∼
= idP . Đặt F

σ

là hợp thành H ◦ F σ ◦ G và
σ,τ
θXσ,τ = G(θHX
◦ F σ (βF τ HX )).

Ta có thể thử lại rằng F = (P , F σ , θ σ,τ ) là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong P .
Hàm tử monoidal đối xứng G : P → P có thể kéo dài thành một Γ-hàm tử
của các mở rộng tích chéo
∆G : ∆F ↔ ∆F ,

được xác định như sau: đối với vật X của P đặt ∆G X = GX; đối với mũi tên
(a, σ) : X → Y, trong đó a : F σ X → Y , đặt
∆G (a, σ) = (G(a ◦ F σ (βX )), σ),

và ∆G = G, ∆G = G. Có thể kiểm tra rằng (∆G , ∆G , ∆G ) là một Γ-tương đương
monoidal đối xứng.
Bây giờ chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc tương
đương với mở rộng tích chéo của hệ nhân tử đối xứng lấy hệ tử trong phạm trù
Picard kiểu (Π, A).
2.1.5 Định lý. Giả sử P là phạm trù Picard Γ-phân bậc và S là phạm trù Picard
thu gọn của Ker P . Khi đó tồn tại hệ nhân tử F lấy hệ tử trong S sao cho P
tương đương với ∆F .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.3, P tương đương với tích chéo ∆(FP ) với FP
lấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P . Do Ker P tương đương monoidal đối
xứng với phạm trù Picard thu gọn S của nó nên theo Mệnh đề 2.1.4, FP cảm
sinh hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong S sao cho ∆(FP ) tương đương với
∆F . Vì vậy, P tương đương với ∆F .


15
• Mô tả ∆F với F lấy hệ tử trong phạm trù Picard S kiểu (M, N ).

Vật của ∆F chính là các phần tử x ∈ M . Với x, y ∈ M mũi tên x → y trong
∆F là mũi tên (a, y) : F σ x → y trong S, hay có thể viết là bộ ba (a, y, σ), trong

đó a tùy ý thuộc N , σ ∈ Γ sao cho y = σx. Hợp thành của hai mũi tên
(a, y, σ) : x → y, (b, z, τ ) : y → z

được xác định bởi
(b, z, τ ) ◦ (a, y, σ) = (b + τ a − t(x, τ, σ), z, τ σ),

trong đó t là hàm liên kết với θτ,σ . Tính kết hợp của phép hợp thành suy ra từ
định nghĩa của giả hàm tử. Dễ thấy ∆F là Γ-phạm trù, với hàm tử gr : ∆F → Γ
xác định bởi gr(x) = ∗, gr(a, y, σ) = σ.

Đối với hai mũi tên (a, y, σ) : x → y, (a , y , σ) : x → y , tích tenxơ phân bậc là
mũi tên được định nghĩa bởi
(a, y, σ) ⊗ (a , y , σ) = (a + a − f (x, x , σ), y + y , σ),

trong đó f là hàm liên kết với F σ . Các mũi tên đẳng cấu kết hợp, đối xứng là
ax,y,z = (ξ(x, y, z), x + y + z, 1),
cx,y = (η(x, y), x + y, 1).
Γ-hàm tử đơn vị I : Γ → ∆F được xác định bởi: σ → (0, 0, σ). Do vậy (∆F, gr) là

một phạm trù Picard phân bậc có π0 (∆F) = M, π1 (∆F) = N.

2.2. Hệ nhân tử lấy giá trị trong phạm trù Picard kiểu (M, N )
Để phân lớp các phạm trù Picard Γ-phân bậc, Cegarra và Khmaladze [9] đã
n (M, N ) của các Γ-môđun. Từ
xây dựng các nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,s
3 (M, N ) cho trước, các tác giả đã xây dựng
mỗi 3-đối chu trình đối xứng h ∈ ZΓ,s

được một phạm trù Picard Γ-phân bậc P(h) và chỉ ra rằng các 3-đối chu trình
đối xứng h, h là đối đồng điều khi và chỉ khi các phạm trù Picard Γ-phân bậc
P(h), P(h ) tương đương. Họ đã thu được một song ánh giữa nhóm đối đồng điều


16
3 (M, N ) với tập các lớp tương đương các phạm trù Picard Γ-phân
đối xứng HΓ,s

bậc kiểu (M, N ) (xem Định lý 3.11 trong [9]).
Trong phần này, sử dụng lý thuyết hệ nhân tử, chúng tôi chỉ ra rằng mỗi
hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ cảm sinh một cách tự nhiên các cấu trúc Γ3 (M, N ).

môđun trên M = π0 P, N = π1 P và một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s

Kết quả này dẫn đến định lý phân phân lớp các phạm trù Picard phân bậc của
Cegarra và Khmaladze (Định lý 3.11 trong [9]).
Ký hiệu Z3s là phạm trù con đầy của phạm trù Pic. Mỗi vật của Z3s là một
phạm trù Picard (M, N, h), trong đó M, N là các nhóm giao hoán và h = (ξ, η) là
cặp ràng buộc kết hợp, đối xứng của (M, N ). Mỗi mũi tên (M, N, h) → (M , N , h )
là một hàm tử monoidal đối xứng (F, F ), trong đó F là cặp đồng cấu nhóm
ϕ : M → M và f : N → N , F liên kết với hàm g : M 2 → N sao cho f∗ (h) =
ϕ∗ (h ) + ∂g . Sự tồn tại của mũi tên monoidal τ : (F, g) ⇒ (F , g ) đòi hỏi rằng
F = F . Khi đó τ chứa một ánh xạ t : M → N sao cho g = g + ∂t. Phạm trù Z3s

được gọi là phạm trù các 3-đối chu trình đối xứng.
Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần của hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm
trù Picard.
2.2.1 Định lý. Giả sử Γ là một nhóm và S là một phạm trù Picard kiểu (M, N ).
Khi đó
(i) Mỗi hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ F = (S, F σ , θσ,τ ) : Γ → Z3s cảm
sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn hóa hF ∈
3 (M, N );
ZΓ,s

(ii) Điều kiện F 1 = idS trong định nghĩa của hệ nhân tử có thể suy ra được
từ những điều kiện còn lại.
Chứng minh. (i) Theo Định lý 1.1.4, mỗi hàm tử monoidal đối xứng F σ : S −→ S
là một cặp đồng cấu nhóm (ϕσ : M → M, f σ : N → N ). Hơn nữa, do F σ là một
tự tương đương nên ϕσ và f σ là những tự đẳng cấu nhóm.
Mặt khác, nếu σ, τ ∈ Γ thì θxσ,τ : F σ F τ x −→ F στ x là một mũi tên trong
S = (M, N ) nên F στ (x) = (F σ F τ )(x) với mọi x ∈ M, do đó ϕστ = ϕσ ϕτ . Điều
này chứng tỏ M là một Γ-môđun với đồng cấu nhóm ϕ : Γ → Aut M , trong đó

17
ϕ1 = idM . Để đơn giản, với mọi σ ∈ Γ, x ∈ M và a ∈ N, ta đặt
σx = ϕσ (x),

σa = f σ (a).

Gọi ξ, η lần lượt là các ràng buộc kết hợp, đối xứng của phạm trù Picard S.
Khi đó cặp ξ, η thỏa mãn các hệ thức
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0,
η(x, y) + η(y, x) = 0,
ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0.

(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)

σ = (f (x, y, σ), σ(x + y)). Do F σ là một hàm tử monoidal đối xứng
Bây giờ đặt Fx,y

và F σ = id nên tính tương thích của F σ với ràng buộc a và c dẫn đến
f (y, z, σ) − f (x + y, z, σ) + f (x, y + z, σ) − f (x, y, σ)
= σ(ξ(x, y, z)) − ξ( σx, σy, σz),
f (x, y, σ) − f (y, x, σ) = η( σx, σy) − σ(η(x, y)).

(2.2.4)
(2.2.5)

Tính tương thích của F σ với các ràng buộc đơn vị kéo theo tính chuẩn tắc của

hàm f : f (x, 0, σ) = f (0, y, σ) = 0. Tiếp theo ta xét đẳng cấu hàm tử monoidal
θσ,τ = (θxσ,τ ) với
θxσ,τ = (t(x, σ, τ ), στ x) : F σ F τ x −→ F στ x.

Từ định nghĩa phép biến đổi tự nhiên của các hàm tử monoidal, ta có các hệ
thức sau
f σ f τ = f στ ,

(2.2.6)

f (x, y, στ ) − f (τ x, τ y, σ) − σ(f ((x, y, τ ))
= t(y, σ, τ ) − t(x + y, σ, τ ) + t(x, σ, τ ),

(2.2.7)

trong đó t thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc t(0, σ, τ ) = 0. Hệ thức (2.2.6) xác định
một đồng cấu nhóm f : Γ → Aut N. Do đó N là một Γ-môđun và f 1 = idN . Hơn
nữa, điều kiện đối chu trình (2.1.1) dẫn đến hệ thức
σt(x, τ, γ) + t(x, σ, τ γ) = t(x, στ, γ) + t(γx, σ, τ ).

(2.2.8)


18

Như vậy, bộ bốn (ξ, η, f , t) xác định một ánh xạ chuẩn tắc
h : M 3 ∪ (M |M ) ∪ (M 2 × Γ) ∪ (M × Γ2 ) → N.

Các hệ thức (2.2.1)-(2.2.5), (2.2.7) và (2.2.8) đảm bảo rằng h là một 3-đối chu
3 (M, N ) (xem Cegarra và Khmaladze

trình chuẩn tắc đối xứng thuộc nhóm ZΓ,s

[9]).
(ii) Trước hết F 1 là hàm tử đồng nhất của phạm trù S. Từ điều kiện (ii)
trong Định nghĩa 2.1.1, nghĩa là θ1,σ = θσ,1 = idF σ với σ ∈ Γ, ta được t(x, 1, σ) =
t(x, σ, 1) = 0. Bởi vậy, với τ = 1 đẳng thức (2.2.7) kéo theo f (x, y, 1) = 0, nghĩa là
1 = id. Vậy F 1 là hàm tử monoidal đối xứng đồng nhất.
Fx,y

Từ Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.1, chúng tôi thu được kết quả sau đây.
2.2.2 Định lý. Mỗi phạm trù Picard phân bậc P cảm sinh các cấu trúc Γmôđun trên M = π0 P, N = π1 P và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc
3 (M, N ).
h ∈ ZΓ,s

Chứng minh. Định lý 2.1.5 đảm bảo rằng P tương đương với mở rộng tích chéo
∆F , trong đó F là hệ nhân tử đối xứng của phạm trù Picard S = (M, N, ξ, η).

Vì vậy, từ Định lý 2.2.1 ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ sau đây sẽ mô tả hệ nhân tử F lấy hệ tử trong phạm trù Picard DisM .
2.2.3 Ví dụ. Cho nhóm aben M , ta ký hiệu DisM là phạm trù Picard chặt chẽ
kiểu (M, 0, 0). Giả sử F là một hệ nhân tử đối xứng trên Γ và lấy hệ tử trong
DisM . Khi đó với mỗi σ ∈ Γ, hàm tử monoidal đối xứng F σ là cặp (ϕσ , f σ ),
σ = id với mọi x, y ∈ M và các mũi tên
trong đó f σ = id : 0 → 0, các mũi tên Fx,y

θσ,τ đều là mũi tên đồng nhất id0 . Theo Định lý 2.2.1 (i), các đồng cấu nhóm
ϕσ : M → M xác định một đồng cấu nhóm ϕ : Γ → Aut M .

Như vậy, mỗi hệ nhân tử của Γ lấy hệ tử trong phạm trù Picard DisM là một
đồng cấu ϕ : Γ → Aut M . Đồng cấu này xác định cấu trúc Γ-môđun của M .

Ví dụ tiếp theo sẽ mô tả hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong phạm trù
Picard RedN .


19

2.2.4 Ví dụ. Cho N là nhóm aben, ta ký hiệu RedN là phạm trù Picard chặt
chẽ kiểu (0, N, 0). Giả sử F là hệ nhân tử trên Γ và lấy hệ tử trong RedN . Khi đó
với mỗi σ ∈ Γ, ta có hàm tử monoidal đối xứng F σ = (ϕσ , f σ ) : (0, N ) → (0, N ),
trong đó ϕσ = id. Theo phép chứng minh của Định lý 2.2.1, vì M = 0 nên đẳng
cấu tự nhiên F σ xác định một hàm Γ → N , ký hiệu là f . Hơn nữa, do tính chuẩn
tắc của hàm t nên θσ,τ là đồng nhất 0. Mặt khác, do các hàm ξ, η và t là đồng
nhất 0 nên các hệ thức (1.3.4), (1.3.5) và (1.3.7) là hiển nhiên, hệ thức (2.2.6)
xác định một đồng cấu f : Γ → Aut N , do đó N là một Γ-môđun. Hệ thức (2.2.7)
trở thành
f (στ ) = f (σ) + σ f (τ ),

nghĩa là f : Γ → N là một đồng cấu chéo.
Như vậy, một hệ nhân tử đối xứng F của Γ lấy hệ tử trong phạm trù Picard
RedN là một cặp (f, f ) được xác định như trên.
Cho hai phạm trù Picard S = (M, N, ξ, η) và S = (M, N, ξ , η ). Giả sử F =
(F σ , θσ,τ ) và F = (F σ , θ σ,τ ) là hai hệ nhân tử lần lượt liên kết với S và S . Ta

nói F và F đồng luân nếu tồn tại một hàm tử monoidal đối xứng Φ : S → S và
một họ các đẳng cấu uσ : ΦF σ → F σ Φ sao cho
(i) u1 = idΦ ;
(ii) Với σ, τ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán
Φθσ,τ

ΦF σ F τ

uσ F τ

σ

F ΦF τ

σ

τ

F u /

F σ F τ Φθ

/ ΦF στ
σ,τ

Φ/

F



(2.2.9)

uστ

στ Φ

2.2.5 Bổ đề. Mỗi hệ nhân tử đối xứng F là đồng luân với một hệ nhân tử đối

xứng khá chặt chẽ.
Chứng minh. Giả sử F = (P, F σ , θσ,τ ) là một hệ nhân tử đối xứng. Theo Bổ đề
1.1 trong [7], tồn tại một phép biến đổi monoidal uσ : F σ → F

σ

với F

σ

= id.

Khi đó họ (uσ )σ∈Γ cùng với hàm tử monoidal đồng nhất Id : P → P là một đồng
luân.


20

2.2.6 Bổ đề. Hai hệ nhân tử F, F : Γ → Z3s là đồng luân khi và chỉ khi các
3-đối chu trình cảm sinh hF , hF là đối đồng điều.
Chứng minh. Do F và F đồng luân nên tồn tại hàm tử monoidal đối xứng
(Φ, Φ) : (M, N, ξ, η) → (M, N, ξ , η ).

Khi đó Φ là hàm tử đồng nhất và Φx,y = (g(x, y), •), trong đó g : M 2 → N thỏa
mãn
(ξ , η ) − (ξ, η) = ∂ g.

(2.2.10)

Đẳng cấu uσ : ΦF σ → F σ Φ xác định hàm

g¯ : M × Γ → N, g¯(x, σ) = uσx .

Cặp (g, g¯) xác định một 2-đối dây chuyền chuẩn tắc g . Bây giờ ta chứng tỏ
hF − hF = ∂g . Để đơn giản, ta ký hiệu h = hF và h = hF . Trước hết, do (2.2.10)

nên ta có các hệ thức
(h − h)(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y),
(h − h)(x|y) = g(x, y) − g(y, x).

(2.2.11)
(2.2.12)

Vì uσ là một mũi tên giữa các hàm tử monoidal nên ta có hệ thức
(h − h)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − g(y, σ) + g(x + y, σ) − g(x, σ).

(2.2.13)

Mặt khác, hệ thức (2.2.9) dẫn đến hệ thức
(h − h)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ).

(2.2.14)

2 (M, N ). Vậy hF và hF
Các hệ thức (2.2.11)-(2.2.14) chứng tỏ h − h = ∂g ∈ BΓ,s

là đối đồng điều.
Ngược lại, nếu hF − hF = ∂g , ta đặt
Φx,y = (g(x, y), •), uσx = g(x, σ).

Khi đó với Φ = id thì (Φ, Φ) là một hàm tử monoidal từ (M, N, ξ, η) đến (M, N, ξ , η )

và uσ là một mũi tên từ ΦF σ đến F σ Φ. Hơn nữa, họ (uσ )σ∈Γ cùng với (Φ, Φ) là
một đồng luân.


21
3 (M, N ) xác định một hệ nhân tử khá chặt
2.2.7 Bổ đề. Mỗi phần tử h ∈ ZΓ,s

chẽ F : Γ → Z3s .
3 (M, N ) thì
Chứng minh. Theo định nghĩa của Γ-đối chu trình, với mỗi h ∈ ZΓ,s

h = (ξ, η, f , t) là họ các hàm nhận giá trị trong N . Khi đó S = (M, N, ξ, η) là một

phạm trù Picard và hệ nhân tử đối xứng F : Γ → Z3s được xác định như sau:
F σ x = σx,
F σ = id,

F σ (c, x) = (σc, σx),

σ
= (f (x, y, σ), σ(x + y)),
Fx,y

với mọi σ, τ ∈ Γ, x ∈ M và c ∈ N. Từ các hệ thức (2.2.4) và (2.2.5), ta được
(F σ , F σ ) là hàm tử monoidal đối xứng. Với mỗi σ, τ ∈ Γ và x ∈ M , ta đặt
θxσ,τ = (t(x, σ, τ ), στ x), do đó θσ,τ : F σ F τ → F στ là một đẳng cấu hàm tử. Hơn

nữa, tính khớp và tính tự nhiên của θσ,τ lần lượt được xác định bởi các hệ thức
(2.2.7) và (2.2.8). Vì vậy, hệ nhân tử vừa xác định cảm sinh h.

Trong định nghĩa sau đây, chúng tôi giới thiệu về các phạm trù Picard phân
bậc có chung kiểu (M, N ). Khi đó bài toán phân lớp tương đương các phạm trù
Picard Γ-phân bậc sẽ được thực hiện trên các phạm trù Picard phân bậc dạng
này.
2.2.8 Định nghĩa. Giả sử M và N là những Γ-nhóm. Một phạm trù Picard
Γ-phân bậc P được gọi là một phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính kiểu (M, N )

nếu tồn tại cặp đẳng cấu của các Γ-nhóm
(p, q) : (M, N ) → (π0 P, π1 P).

Dễ thấy rằng mỗi Γ-hàm tử giữa hai phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính
kiểu (M, N ) là một Γ-tương đương.
Với những chuẩn bị như trên, chúng tôi nhận được kết quả phân lớp các
phạm trù Picard phân bậc của Cegarra và Khmaladze [9].
2.2.9 Định lý. ([10], Định lý 3.11) Tồn tại song ánh
Γ Pic[M, N ]

3
↔ HΓ,s
(M, N ),


22

trong đó Γ Pic[M, N ] là tập các lớp tương đương của phạm trù Picard Γ-phân bậc
tiền đính kiểu (M, N ).
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.5, mỗi phần tử của Γ Pic(M, N ) có thể được đại
diện bởi một mở rộng tích chéo ∆F , trong đó hệ nhân tử đối xứng F : Γ → Z3s
lấy hệ tử trong phạm trù Picard S kiểu (M, N ). Từ Bổ đề 2.2.5, ta có thể giả
thiết F là khá chặt chẽ. Khi đó theo Định lý 2.2.1, F cảm sinh 3-đối chu trình

h = hF . Vì vậy Bổ đề 2.2.6 đảm bảo rằng tương ứng [F] → [hF ] là một đơn ánh.

Hơn nữa, Mệnh đề 2.2.7 chỉ ra tương ứng này là một toàn ánh.

2.3. Mở rộng Γ-môđun
Cegarra và Khmaladze [10] đã mô tả các nhóm aben ExtnZG (M, N ) bởi các đối
chu trình aben bằng con đường sơ cấp, nghĩa là không dùng tới các lý luận dựa
trên dãy phổ hệ tử phổ dụng hay dãy phổ Borel (xem Breen [2]). Theo Định lý
10 trong [10], tồn tại một song ánh
2
HΓ,ab
(M, N ) ∼
= Ext1ZΓ (M, N ).

Cegarra và Khmaladze [9] cũng mô tả nhóm aben Ext1ZΓ (M, N ) bởi nhóm đối
đồng điều đối xứng
2
HΓ,s
(M, N ) ∼
= Ext1ZΓ (M, N ).

(2.3.1)

Kết quả này được suy ra từ một dãy phổ hệ tử phổ dụng phù hợp và các tính
toán đã biết của Eilenberg-MacLane [13] cho các nhóm đồng luân của các không
gian K(M, 3) tại các chiều thấp.
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh song ánh (2.3.1) nhờ lý thuyết
Schreier cho các mở rộng Γ-môđun theo phương pháp mà Cegarra và các cộng
sự [7] đã làm cho các mở rộng nhóm đẳng biến.
2.3.1 Định nghĩa. Một mở rộng Γ-môđun của N bởi M là một dãy khớp ngắn

của các Γ-môđun và các đồng cấu Γ-môđun
i

p

E:0→N →
− B→
− M → 0.

(2.3.2)