Tải bản đầy đủ (.pdf) (39 trang)

gián án xác suất thống kê

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (443.92 KB, 39 trang )

❈❤÷ì♥❣ ❱
❱✳✷ ❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ q✉② ❧✉➟t ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶ ✴ ✸✻


❱✳✷ ❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ q✉② ❧✉➟t ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t






❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮


❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✷ ✴ ✸✻


❱✳✷ ❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ q✉② ❧✉➟t ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t






❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶


✷ ✴ ✸✻


❱✳✷ ❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✈➔ q✉② ❧✉➟t ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t






❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✷ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

◆ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔②






❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✸ ✴ ✸✻










ởt ởt số tỹ tr ổ
ợ ộ ố sỡ tr ổ t
ởt số tỹ
tữớ ỵ ỳ , , .
tr tữớ t ỳ ọ

t

ố t trỹ t số tỹ t rt õ t t
ũ tr số tỹ tr
õ t ỗ t r trữớ ủ
ởt tỹ ự t ỡ
õ t rt tr ũ ởt
ổ t q t
õ ỵ ử ự ừ t



t ố ử

t





❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❱➼ ❞ö ✈➲ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❱➼ ❞ö✿ ❚r♦♥❣ ♣❤➨♣ t❤û t✉♥❣ ♠ët ✤ç♥❣ ①✉ ❤❛✐ ❧➛♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣✱ ❣å✐ ❳ ❧➔ sè ❧➛♥
①✉➜t ❤✐➺♥ ♠➦t s➜♣✳ ❳ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ Ð ✤➙② t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➝✉ ♥❤÷ s❛✉✿
Ω ✏ t❙❙ , ❙◆ , ◆❙ , ◆◆ ✉

❇✐➳♥ ❝è sì ❝➜♣ ❙◆ ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ ❧➔ ✧▲➛♥ ✤➛✉ t✉♥❣ ✤÷ñ❝ ♠➦t s➜♣✱ ❧➛♥ s❛✉ t✉♥❣
✤÷ñ❝ ♠➦t ♥❣û❛✧✱✳✳✳ ❍➔♠ sè t❤ü❝ ð ✤➙② ❧➔✿ ❳ : Ω ÝÑ t✵, ✶, ✷✉
❳ ♣❙❙ q ✏ ✷
❳ ♣❙◆ q ✏ ✶
❳ ♣◆❙ q ✏ ✶
❳ ♣◆◆ q ✏ ✵
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✺ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛


❱➼ ❞ö ✈➲ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❱➼ ❞ö✿ ❚✉♥❣ ❤❛✐ ❝♦♥ ①ó❝ ①➢❝✱ ❣å✐ ❳ ❧➔ tê♥❣ sè ❝❤➜♠ ♠➔ ❤❛✐ ❝♦♥ ①ó❝ ①➢❝
t✉♥❣ ✤÷ñ❝✳ ❳ ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳
❱➼ ❞ö✿ ●å✐ ❳ ❧➔ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤➞♠ tr♦♥❣ ✷✵✵ s↔♥ ♣❤➞♠ ✤❛♥❣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➔♦
❦✐➸♠ ♥❣❤✐➺♠✱ ❳ ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳
❱➼ ❞ö✿ ❚✐➳♥ ❤➔♥❤ ✤♦ ♠ü❝ ♥÷î❝ sæ♥❣ ❍ç♥❣ t↕✐ ♠ët tr↕♠ q✉❛♥ tr➢❝ t❤õ②
✈➠♥ ✈➔♦ ✻❤ s→♥❣✳ ●å✐ ❳ ❧➔ ♠ü❝ ♥÷î❝ sæ♥❣ ✤♦ ✤÷ñ❝✱ ❳ ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉
♥❤✐➯♥✳

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✻ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

P❤➙♥ ❧♦↕✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❉ü❛ ✈➔♦ t➟♣ ❣✐→ trà ♠➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ t❛ ♣❤➙♥ ❜✐➳♥
♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝ ✈➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉
♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝✳

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮


❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✼ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝

◆ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔②






❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮


❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✽ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ rí✐ r↕❝ ♥➳✉ t➟♣ ❣✐→ trà ♠➔ ♥â ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ❧➔
♠ët t➟♣ rí✐ r↕❝✱ tù❝ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ❤♦➦❝ ✈æ ❤↕♥ ♥❤÷♥❣
✤➳♠ ✤÷ñ❝✳
◆❤ú♥❣ t➟♣ ✈æ ❤↕♥ ♥❤÷♥❣ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝â t❤➸ ✈➼ ❞ö ♥❤÷ ◆ ✱ ❩ ✱ ◗ ✈➔ ❝→❝ t➟♣
❝♦♥ ✈æ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳
✣➸ ♠æ t↔ ❤❛② ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ ❳ t❛ ❝➛♥ t❤➸ ❤✐➺♥ ✤÷ñ❝
♥❤ú♥❣ ❣✐→ trà ♠➔ ❳ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝ò♥❣ ✈î✐ ①→❝ s✉➜t ✤➸ ❳ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→
trà ✤â✳ ●✐↔ sû ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ ❳ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà
①✶ ➔ ①✷ ➔ ... ➔ ①♥ ➔ ... ✈➔ P ♣❳ ✏ ①✐ q ✏ ♣✐ → ✵✱ ✐ ❂ ✶✱ ✷✱✳✳✳✱ tr♦♥❣ ✤â
✐ ♣✐ ✏ ✶. ✣➸ ♠æ t↔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳ t❛ ❞ò♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉✿
①✶ ①✷ ✳✳✳ ①♥ ✳✳✳

P ♣❳ ✏ ①✐ q ♣✶ ♣✷ ✳✳✳ ♣♥ ✳✳✳
❇↔♥❣ tr➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ ❳✳



◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✾ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝

❱➼ ❞ö ✈➲ ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t
❱➼ ❞ö✿ ●å✐ ❳ ❧➔ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝❤➾ sè ❧➛♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♠➦t s➜♣ ❦❤✐ t✉♥❣

♠ët ✤ç♥❣ ①✉ ❤❛✐ ❧➛♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣✳ ✣➸ ❧➟♣ ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝❤♦ ❳ t❛ ✤✐
t➼♥❤ ①→❝ s✉➜t ✤➸ ❳ ♥❤➟♥ tø♥❣ ❣✐→ trà ✵✱ ✶✱ ✷✳ ❚❛ ❝â
P ♣❳ ✏ ✵q ✏ P ♣◆◆ q ✏ ✶✹ ,
P ♣❳ ✏ ✶q ✏ P ♣❙◆   ◆❙ q ✏ ✷✹ ✏ ✶✷ ,
P ♣❳ ✏ ✷q ✏ P ♣❙❙ q ✏ ✶✹ .
◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳ ❧➔✿

✵ ✶ ✷
P✭❳❂①✮ ✶✹ ✷✶ ✶✹
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣


◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✵ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝

❱➼ ❞ö ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t rí✐
❚❛ ❝â t❤➸ ❞ò♥❣ ❜✐➸✉ ✤ç ✤➸ ♠æ t↔ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
rí✐ r↕❝ ❳ ♥❤÷ s❛✉✿

Xac suat

0.25

0.50

Phan phoi xac suat cua X

0

1

2
X

❈❤ó þ✿ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❣✐→ trà ①✐ , ♣✐ ❝â t➼♥❤ q✉② ❧✉➟t✱ t❤❛② ❝❤♦ ✈✐➺❝


❧➟♣ ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t t❛ ❝â t❤➸ ♠æ t↔ ❜➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝â ❞↕♥❣ s❛✉✿
P ♣❳ ✏ ①✐ q ✏ ♣✐ , ✐ ✏ ✶, ✷, ...
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✶ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝

❱➼ ❞ö ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t rí✐
❍❛✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳ ✈➔ ❨ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ♠å✐ ❜✐➳♥ ❝è
❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❳ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ ❜✐➳♥ ❝è ❜➜t ❦ý ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❨✳

❇➔✐ t♦→♥

❈❤♦ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳✱ ❨ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈➔ ❝â ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ✤÷ñ❝
❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉✿
✲✶ ✵ ✶ ✷
✶ ✷


✱ P✭❨❂①✮
P✭❳❂①✮ ✵✳✶ ✵✳✷ ✵✳✸ ✵✳✹
✵✳✹ ✵✳✻

▲➟♣ ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝❤♦ ❳ ✷ ✱ ❳   ❨ ✱ ❳ .❨

❚r↔ ❧í✐✿

❱➻ ❳ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✲✶✱ ✵✱ ✶✱ ✷ ♥➯♥ ❳ ✷ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà
✵✱ ✶✱ ✹✳ ❚❛ ✤✐ t➼♥❤ ①→❝ s✉➜t ✤➸ ❳ ✷ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤â✳
P ♣ ❳ ✷ ✏ ✵q ✏
P ♣ ❳ ✷ ✏ ✶q ✏
P ♣ ❳ ✷ ✏ ✹q ✏

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✷ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝

❱➼ ❞ö ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t rí✐
❍❛✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳ ✈➔ ❨ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➳✉ ♠å✐ ❜✐➳♥ ❝è
❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❳ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈î✐ ❜✐➳♥ ❝è ❜➜t ❦ý ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❨✳

❇➔✐ t♦→♥

❈❤♦ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳✱ ❨ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈➔ ❝â ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ✤÷ñ❝

❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ s❛✉✿
✲✶ ✵ ✶ ✷


✶ ✷
✱ P✭❨❂①✮
P✭❳❂①✮ ✵✳✶ ✵✳✷ ✵✳✸ ✵✳✹
✵✳✹ ✵✳✻
▲➟♣ ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝❤♦ ❳ ✷ ✱ ❳   ❨ ✱ ❳ .❨

❚r↔ ❧í✐✿

❱➻ ❳ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✲✶✱ ✵✱ ✶✱ ✷ ♥➯♥ ❳ ✷ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà
✵✱ ✶✱ ✹✳ ❚❛ ✤✐ t➼♥❤ ①→❝ s✉➜t ✤➸ ❳ ✷ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤â✳
P ♣ ❳ ✷ ✏ ✵q ✏
P ♣ ❳ ✷ ✏ ✶q ✏
P ♣ ❳ ✷ ✏ ✹q ✏

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✷ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝


❱➼ ❞ö ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t rí✐
❇↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝❤♦ ❳ ✷ ✿
❳✷
✵ ✶ ✹
P ♣❳ ✷ ✏ ❦ q ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳
❈→❝ ❣✐→ trà ♠➔ ❳✰❨ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❧➔✿ ✵✱ ✶✱ ✷✱ ✸✱ ✹✳ ❚❛ t➼♥❤ ①→❝
s✉➜t ✤➸ ❳✰❨ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤â✿
P ♣❳   ❨ ✏ ✵q ✏ P ♣❳ ✏ ✁✶, ❨ ✏ ✶q ✏ P ♣❳ ✏ ✁✶q.P ♣❨ ✏ ✶q ✏
P ♣ ❳   ❨ ✏ ✶q ✏
P ♣ ❳   ❨ ✏ ✷q ✏
P ♣ ❳   ❨ ✏ ✸q ✏
P ♣ ❳   ❨ ✏ ✹q ✏
❇↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝❤♦ ❳✰❨✿
✵ ✶ ✷ ✸ ✹
❳✰❨
P✭❳✰❨❂❦✮ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✸ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝


❱➼ ❞ö ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t rí✐
❈→❝ ❣✐→ trà ♠➔ ❳✳❨ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❧➔✿✲✶✱ ✲✷✱ ✵✱ ✶✱ ✷✱ ✹✳ ❚❛ t➼♥❤ ①→❝
s✉➜t ✤➸ ❳✰❨ ♥❤➟♥ ❝→❝ ❣✐→ trà ✤â✿
P ♣❳ .❨ ✏ ✁✶q ✏
P ♣❳ .❨ ✏ ✁✷q ✏
P ♣❳ .❨ ✏ ✵q ✏
P ♣❳ .❨ ✏ ✶q ✏
P ♣❳ .❨ ✏ ✷q ✏
P ♣❳ .❨ ✏ ✹q ✏
❇↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❝❤♦ ❳✳❨✿
✲✷ ✲✶ ✵ ✶ ✷ ✹
❳✳❨
P✭❳✳❨❂❦✮ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳ ✳✳✳✳✳
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✹ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝

◆ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔②







❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✺ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ♥➳✉ t➟♣ ❣✐→ trà ♠➔ ♥â ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ❧➜♣

✤➛② ➼t ♥❤➜t ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ♥➔♦ ✤â✳
Ð ✤➙② t❛ ❝❤➾ ①➨t ♥❤ú♥❣ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❝â t❤➸ ♠æ t↔ ✭❤♦➦❝ ①→❝
✤à♥❤✮ ❜ð✐ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❍➔♠ ❢✭①✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ❝õ❛ ♠ët ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳ ♥➔♦ ✤➜② ♥➳✉
t❤ä❛ ♠➣♥✿
✶ ❢ ♣① q ➙ ✵, ❅① € ♣✁✽,  ✽q✱
✷  ✽ ❢ ♣① q❞① ✏ ✶✳
✁✽
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② t❛ ❝â t❤➸ t➼♥❤ ①→❝ s✉➜t ✤➸ ❳ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣
❦❤♦↔♥❣ ✭❛✱❜✮ ❜➜t ❦ý ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ s❛✉✿ P ♣❛ ➔ ❳ ➔ ❜q ✏ ❛❜ ❢ ♣① q❞①




◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✻ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝


❱➼ ❞ö ✈➲ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë
❇➔✐ t♦→♥

❚➻♠ ❤➡♥❣ sè ❛ ✤➸ ❤➔♠ sè s❛✉ ❧➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤â✿


❛.s✐♥♣① q ♥➳✉ ① € r✵; π✷ s,
❢ ♣① q ✏

♥➳✉ ① ❘ r✵; π✷ s.



❚r↔ ❧í✐✿

❉➵ t❤➜② ✈➻ s✐♥♣① q ➙ ✵, ❅① € r✵; π✷ s ♥➯♥ ✤➸ ❢ ♣① q ➙ ✵,❅① € ♣✁✽,  ✽q t❤➻
 ✽ ❢ ♣① q❞① ✏ ✶✱ tù❝
❛ ➙ ✵✳ ✣➸ ❢✭①✮ ❧➔ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë t❛ ❝➛♥ t❤➯♠ t➼♥❤ ❝❤➜t ✁✽
❧➔
π

 ✽
❢ ♣① q❞①   ✷ ❢ ♣① q❞①   π ❢ ♣① q❞① ✏ ✶.
✁✽







◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮





❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✼ ✴ ✸✻


❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥

❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝

❱➼ ❞ö ✈➲ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë

❚❛ ❝â✿


π

π

✶ ✏ ✷ ❛.s✐♥♣① q❞① ✏ ✁❛.❝♦s ♣① q ✵✷ ✏ ✁❛.✵   ❛.✶







✱ s✉② r❛ ❛❂✶ ✭t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❛ ➙ ✵✮✳ ❱➟② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❤➔♠ ❢✭①✮ ❧➔
❤➔♠ ♠➟t ✤ë ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ♥➔♦ ✤â ❧➔ ❛❂✶✳

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✽ ✴ ✸✻


❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

◆ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔②






❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ rí✐ r↕❝
❇✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝

❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛
❚➼♥❤ ❝❤➜t
❈→❝ sè ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥
❑ý ✈å♥❣
P❤÷ì♥❣ s❛✐
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✶✾ ✴ ✸✻


❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❋❳ ♣① q✱ ❧➔ ❤➔♠ sè t❤ü❝
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝✿
❋❳ ♣① q ✏ P ♣❳ ↕ ① q.
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ t❤✐➳t ♥❣÷í✐ t❛ ❝â t❤➸ ❜ä ❝❤➾ sè ❳ ✈➔ ❝❤➾ ❦þ
❤✐➺✉ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❜ð✐ ❋✭①✮✳
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤å❝ t❛ ❝❤➾ ①➨t ✤➳♥ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❝â ❤➔♠
♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠✳
✣➸ ♥â✐ r➡♥❣ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❳ ❝â ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❋✭①✮ t❛ ❞ò♥❣ ❦þ

❤✐➺✉ ❳ ✔ ❋ ♣① q✳
◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✷✵ ✴ ✸✻


❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❱➼ ❞ö ✈➲ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐
❚rð ❧↕✐ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝❤➾ sè ❧➛♥ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♠➦t s➜♣ ❦❤✐ t✉♥❣ ♠ët ✤ç♥❣ ①✉
❤❛✐ ❧➛♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t ❳ ❝â ❜↔♥❣ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ①→❝ s✉➜t ❧➔✿

✵ ✶ ✷
P✭❳❂①✮ ✶✹ ✷✶ ✶✹
❚ø ❜↔♥❣ ♥➔② t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ♥❤÷ s❛✉✿



❋ ♣① q ✏ ✶④✹
✸④✹













◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

♥➳✉ ① € ♣✁✽, ✵q,
♥➳✉ ① € r✵, ✶q,
♥➳✉ ① € r✶, ✷q,
♥➳✉ ① € r✷,  ✽q.

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✷✶ ✴ ✸✻


❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

▼✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ rí✐
❍➔♠ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❝õ❛ ❜✐➳♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ ❝❤➾ sè ♠➦t s➜♣ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❦❤✐ t✉♥❣
♠ët ✤ç♥❣ ①✉ ❤❛✐ ❧➛♥ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝â t❤➸ ♠æ t↔ ❜ð✐ ✤ç t❤à s❛✉✿
F(x)


1



3/4



1/4 ●

0

1

2

x

◆❣æ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ◆❣❛ ✭✣❍❚▲✮

❳→❝ ❙✉➜t ❚❤è♥❣ ❑➯ Ù♥❣ ❉ö♥❣

◆❣➔② ✶✹ t❤→♥❣ ✶✶ ♥➠♠ ✷✵✶✶

✷✷ ✴ ✸✻


×