Tài liệu Giáo án điện tử môn Xác suất thống kê - Tuần 3 pptx

TRẦN AN HẢI










 TUẦN 3







HÀ NỘI - 2009
Chương 2
BIẾN NGẪU NHIÊN



…………. tiếp theo

§3 

 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Trên thực tế, nhiều khi ta cần biết những thông tin
cô đọng phản ánh những đặc điểm quan trọng
nhất của một bnn. Ví dụ: khi xét điểm thi đại học
toàn quốc khối A, ta cần biết điểm tập trung vào
con số nào và sự phân tán của điểm so với con số
ấy. Những thông tin kiểu này được gọi là các
tham s đc trng ca bnn.




 Mode

• Mode của bnn X, ký hiệu là mod(X), là số x*
được xác định như sau:
∗ Nếu X rời rạc, thì biến cố {X = x*} có xác
suất lớn nhất, tức là
P{X = x*} =
{ }
i
i
xXP =max .
∗ Nếu X liên tục, thì x* là điểm cực đại của
hàm mật độ.


Ví dụ
X 0 1 2 3
P

5/30 15/30 9/30 1/30
mod(X) = 1.





Ví dụ
Cho bnn X có hàm mật độ





∉
≤≤
=
];[
)(
300
30
81
4
3
xkhi
xkhix
xp .
mod(X) = 3.

Ví dụ
Gọi X = thời điểm 1 đoàn tàu đến ga Hà Nội. Khi
mod(X) càng sát với giờ quy định tàu đến ga thì
tàu càng đúng giờ.





 Median

• Median của bnn X, ký hiệu là m
d
, là số thỏa
điều kiện:
P{X< m
d
} ≤ 0,5 và P{X > m
d
} ≤ 0,5.



∗
∗∗
∗ Nếu X rời rạc, thì điều kiện trên chính là
50,}{ ≤=
∑

<
i
mx
xXP
di
và 50,}{ ≤=
∑
>
i
mx
xXP
di

(x
i
thuộc tập giá trị của X).

∗
∗∗
∗ Nếu X liên tục, thì
P{X< m
d
} ≤ 0,5 ⇔ F(m
d
) ≤ 0,5.
P{X > m
d
} ≤ 0,5 ⇔ 1 - P{X≤ m
d
} ≤ 0,5

⇔ 1 - F(m
d
) ≤ 0,5 ⇔ F(m
d
) ≥ 0,5 .
Vì vậy
P{X< m
d
} ≤ 0,5 và P{X > m
d
} ≤ 0,5
⇔ F(m
d
) = 0,5.


Ví dụ
X 1 2 3 4 5 6
P

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

m
d
là số bất kỳ trong (3; 4].

 m
d
là giá trị chia đôi xác suất và có thể không
duy nhất.

Ví dụ
Cho bnn X có hàm mật độ





∉
≤≤
=
];[
)(
300
30
81
4
3
xkhi
xkhix
xp .
F(m
d
) = 0,5
⇔
∫
∞−
=
d
m

dxxp 50,)( ⇔
∫
=
d
m
dx
x
0
3
5,0
81
4

⇔ 5,0
81
4
=
d
m
⇔ m
d
=
4/1
2
81







.


 Kì vọng
Ví dụ
Xét bnn X có quy luật ppxs

X -1 1
P

0,05 0,95

Ta muốn tìm một con số làm "trung tâm" cho các
giá trị X có thể nhận.

Nếu lấy số đó =
2
11+−
= 0, thì số đó không phản
ánh đúng thực tế là hầu như X nhận giá trị bằng 1.
Sở dĩ như vậy là do trung bình cộng này chưa gắn
quy luật ppxs của X. Ta đi tìm một con số khác tốt
hơn.



Giả sử trong n lần quan sát X thấy m
1
lần X = -1,

m
2
lần X = 1. Gọi X là trung bình cộng của n giá
trị của X đã quan sát được, thì
n
m
n
m
n
mm
X
2121
)1()1(
)1()1(
+−=
⋅+⋅−
= .
n
m
1
= (tần suất X = -1),
n
m
2
= (tần suất X = 1)

Khi n→∞
n
m
1

→ P{X = -1},
n
m
2
→ P{X =1}
nên
}1{)1(}1{)1( =⋅+−=⋅−→ XPXPX = 0,9.
Số 0,9 này gắn với quy luật ppxs của X và nó phản
ánh đúng thực tế là X thiên về nhận giá trị bằng 1.
Nói cách khác, 0,9 là trung tâm của các giá trị X có
thể nhận.
• Kì vng của bnn X, ký hiệu bởi E(X), là một con
số được xác định như sau
∗
∗∗
∗ Nếu X là bnn rời rạc với P{X = x
i
} = p
i
thì
E(X)=
∑
i
ii
px .
∗
∗∗
∗ Nếu X là bnn liên tục với hàm mật độ p(x) thì
E(X)=
∫

∞+
∞−
dxxxp )( .

(E là viết tắt của expectation).
Chú ý E(X) không phải bao giờ cũng tồn tại.
Ý nghĩa của kì vọng trong kinh tế

Trong kinh tế người ta tính lợi nhuận trung bình
theo kiểu kì vọng, gọi là li nhun kì vng hay lãi
kì vng. Đó là một tiêu chuẩn để làm căn cứ khi lựa
chọn chiến lược kinh doanh.





Ví dụ
Viện thiết kế C lập dự án cho 2 công ty A và B.
 Dự án này được A và B xét duyệt độc lập với xác
suất chấp nhận tương ứng là 0,7 và 0,8.
 Nếu A chấp nhận dự án thì trả C 4 triệu, còn
ngược lại thì trả 1 triệu.
 Nếu B chấp nhận dự án thì trả C 10 triệu, còn
ngược lại thì trả 3 triệu.
 Chi phí cho lập dự án là 10 triệu và thuế 10%
doanh thu.
C có nên nhận thiết kế hay không ?